О наилучших $L_1$-приближениях сплайнами при наличии ограничений на их производные

Пусть $W_{1^r}$ и $W_{V^r}$ ($r\in N$) – классы $2\pi$-периодических функций $f$ таких, что $f^{(r-1)}$ локально абсолютно непрерывна и $\|f^{(r)}\|_1\leqslant1$ (соответственно $\bigvee_0^{2\pi}(f^{(r)})\leqslant1$); $S_{2n,r}$ ($n\in N$) – множество $2\pi$-периодических полиномиальных сплайнов порядка $r$, дефекта 1, с узлами $k\pi/n$ ($k\in\mathbf{Z}$); $E(\mathfrak{M},\mathfrak{N})_1$ – наилучшее $L_1$-приближение множества $\mathfrak{M}$ множеством $\mathfrak{N}$.
Доказано, что если $r\geqslant3$ и $\{\varepsilon_n\}_{n=1}^{\infty}$ – невозрастающая последовательность положительных чисел, то при $n\to\infty$
\begin{equation*} E(W_1^r,S_{2n,r-1}\cap(1+\varepsilon_n)W_V^{r-1})_1\asymp \begin{cases} n^{-r}\varepsilon^{1-r/2}_n, & \varepsilon_nn^2\to\infty, \\ n^{-2}, & \varepsilon_nn^2=O(1). \end{cases} \end{equation*}
Библиогр. 6 назв.