Явная конструкция элементов кольца $S(n,r)$ инвариантов $n$-арных форм степени $r$

Доказано, что однородный многочлен степени $k$ является инвариантом неприводимого представления группы $SL(n,C)$ тогда и только тогда, когда его можно представить в виде линейной комбинации отображений
$$ [s_{11},\dots,s_{1n}]\circ\ldots\circ[s_{k1},\dots,s_{kn}]\circ L^k\colon ST^r\to C, $$
где $ST^r$ – пространство симметричных тензоров типа $(r,0)$. Отображение $[s_1,\dots,s_n]\colon T^p\to T^{p-n}$ задается при $1\leqslant s_1<\ldots<s_n\leqslant p$ формулой
$$ ([s_1,\dots,s_n](A))^{i_1,\dots,s_n}p =\sum_{\sigma}(-1)^{\sigma}A^{i_1,\dots,\sigma(1),\dots,\sigma(n),\dots,i_p}, $$
где суммирование производится по всем перестановкам $\sigma$ набора $(1,\dots,n)$; в левой части пропущены индексы $i_{s_1},\dots,i_{s_n}$ , в правой – на $s_1$-й, $\dots$, $s_n$-й позициях индексы равны соответственно $\sigma(1),\dots,\sigma(n)$. Отображение $L^k\colon T^r\to T^{k\cdot r}$ задается формулой
$$ (r^k,(A))^{i_{11},\dots,i_{1r},i_{21},\dots,i_{kr}}=A^{i_{11},\dots,i_{1r}}\cdot\ldots\cdot A^{i_{k1},\dots,i_{kr}}. $$