О сигнатуре симметрических обратимых матриц

Пусть$M$ – симметрическая обратимая $(m+n)\times(m+n)$-матрица с вещественными элементами. Разделим $M$ и $M^{-1}$ на блоки
$$\text{\raisebox{-5pt}{$M=$}} \begin{matrix} &&m &&n& \\[-3mm] &&\mspace{-15mu}\hbox to 1.3cm{\hrulefill}\mspace{-15mu}& &\mspace{-15mu}\hbox to 1.3cm{\hrulefill}\mspace{-15mu}& \\[-3.5mm] &\vrule height 3pt&&\vrule height 3pt&&\vrule height 3pt \\ m\mspace{-7mu}&\vrule &A &\vrule &B &\vrule \\[-3mm] &\vrule height 3pt&&\vrule height 3pt&&\vrule height 3pt \\[-3mm] &&\mspace{-15mu}\hbox to 1.3cm{\hrulefill}\mspace{-15mu}& &\mspace{-15mu}\hbox to 1.3cm{\hrulefill}\mspace{-15mu}& \\[-3.5mm] &\vrule height 3pt&&\vrule height 3pt&&\vrule height 3pt \\ n\mspace{-7mu}&\vrule &B^T &\vrule &C &\vrule \\[-3mm] &\vrule height 3pt&&\vrule height 3pt&&\vrule height 3pt \\[-3mm] &&\mspace{-15mu}\hbox to 1.3cm{\hrulefill}\mspace{-15mu}& &\mspace{-15mu}\hbox to 1.3cm{\hrulefill}\mspace{-15mu}& \end{matrix}\text{\raisebox{-5pt}{\,,}}\qquad \text{\raisebox{-5pt}{$M^{-1}=$}} \begin{matrix} &&m &&n& \\[-3mm] &&\mspace{-15mu}\hbox to 1.3cm{\hrulefill}\mspace{-15mu}& &\mspace{-15mu}\hbox to 1.3cm{\hrulefill}\mspace{-15mu}& \\[-3.5mm] &\vrule height 3pt&&\vrule height 3pt&&\vrule height 3pt \\ m\mspace{-7mu}&\vrule &A'&\vrule &B' &\vrule \\[-3mm] &\vrule height 3pt&&\vrule height 3pt&&\vrule height 3pt \\[-3mm] &&\mspace{-15mu}\hbox to 1.3cm{\hrulefill}\mspace{-15mu}& &\mspace{-15mu}\hbox to 1.3cm{\hrulefill}\mspace{-15mu}& \\[-3.5mm] &\vrule height 3pt&&\vrule height 3pt&&\vrule height 3pt \\ n\mspace{-7mu}&\vrule &B'^T &\vrule &C' &\vrule \\[-3mm] &\vrule height 3pt&&\vrule height 3pt&&\vrule height 3pt \\[-3mm] &&\mspace{-15mu}\hbox to 1.3cm{\hrulefill}\mspace{-15mu}& &\mspace{-15mu}\hbox to 1.3cm{\hrulefill}\mspace{-15mu}& \end{matrix}$$
Доказывается следующая формула, связывающая сигнатуру (разность между числом положительных и числом отрицательных собственных чисел), $\operatorname{sgn}M$, матрицы $M$ и сигнатуры блоков вышеприведенного представления
$$\operatorname{sgn}M=\operatorname{sgn}A+\operatorname{sgn}C'.$$
Библиогр. 2 назв.