Асимптотические свойства полиномов Кравчука

Для классических полиномов Кравчука $K_n(x;N,p)$, образующих ортогональную систему на дискретной системе точек $\{0,1,\dots,N\}$ с весом $\rho(x)= N!\,p^xq^{N-x}/(\Gamma(x+1)\Gamma(N-x+1))$ получена асимптотическая формула
$$ (2Npq\pi n!)^{1/2}\biggl(\frac1{Npq}\biggr)^{n/2} \rho(\widetilde x)e^{x^2/2}K_n(\widetilde x) =e^{-x^2/2}H_n(x)(2^nn!)^{1/2}+O\biggl(\biggl(\frac{n^{3+1/2}}N\biggr)^{1/2}\biggr), $$
где $\widetilde x=Np+(2Npq)^{1/2}x$, $n=O(N^{1/3})$, $x=O(n^{1/2})$, $H_n(x)$ – полином Эрмита. Как следствие получены асимптотическая формула для наименьшего нуля Кравчука и ее приложение в теорию кодирования. Библиогр. 5 назв.