О некоторых свойствах $P$-множеств и свойстве зажатости в выпуклых компактах

Получены новые свойства $P$-множеств – широкого класса выпуклых компактов в $\mathbb R^n$, который охватывает все выпуклые многогранники и строго выпуклые компакты. Показано, что пересечение $P$-множества с аффинным подпространством непрерывно в метрике Хаусдорфа. При этом мы не накладываем условие “непустоты внутренности”, которое предполагается в известных теоремах о непрерывности пересечения многозначных отображений. Также показано, что если график многозначного отображения есть $P$-множество, то это многозначное отображение непрерывно на всем своем эффективном множестве, а не только на его внутренности. Исследованы свойства “зажатых” множеств и получены результаты, обобщающие известный результат Юнга о том, что для любого компакта в $\mathbb R^n$ существует шар минимального радиуса, содержащий данный компакт. При этом из компакта можно выбрать не более чем $n+1$ точку так, что эти точки нельзя параллельно перенести на любой ненулевой вектор, чтобы они остались в шаре. Это означает, что компакт “зажат” в шаре. Нами рассматриваются задачи о зажатости компактов в произвольных выпуклых компактах, а не только в телах нормы. Показано, что для любого компакта $A$, зажатого в $P$-множестве $M\subset\mathbb R^n$, всегда найдется зажатое в $M$ множество $A^0\subset A$, состоящее не более чем из $2n$ элементов. Приведен пример, демонстрирующий, что в случае произвольного выпуклого компакта $M\subset\mathbb R^n$ такого конечного множества $A^0\subset A$ может не найтись.
Библиография: 5 названий.