Аннотация:
Получены новые свойства P-множеств – широкого класса выпуклых компактов в Rn, который охватывает все выпуклые многогранники и строго выпуклые компакты. Показано, что пересечение P-множества с аффинным подпространством непрерывно в метрике Хаусдорфа. При этом мы не накладываем условие “непустоты внутренности”, которое предполагается в известных теоремах о непрерывности пересечения многозначных отображений. Также показано, что если график многозначного отображения есть P-множество, то это многозначное отображение непрерывно на всем своем эффективном множестве, а не только на его внутренности. Исследованы свойства “зажатых” множеств и получены результаты, обобщающие известный результат Юнга о том, что для любого компакта
в Rn существует шар минимального радиуса, содержащий данный компакт. При этом из компакта можно выбрать не более чем n+1 точку так, что эти точки нельзя параллельно перенести на любой ненулевой вектор, чтобы они остались в шаре. Это означает, что компакт “зажат” в шаре. Нами рассматриваются задачи о зажатости компактов в произвольных выпуклых компактах, а не только в телах нормы. Показано, что для любого компакта A, зажатого в P-множестве M⊂Rn, всегда найдется зажатое в M множество A0⊂A, состоящее не более чем из 2n элементов. Приведен пример, демонстрирующий, что в случае произвольного выпуклого компакта M⊂Rn такого конечного множества A0⊂A может не найтись.
Библиография: 5 названий.
Образец цитирования:
М. В. Балашов, И. И. Богданов, “О некоторых свойствах P-множеств и свойстве зажатости в выпуклых компактах”, Матем. заметки, 84:4 (2008), 496–505; Math. Notes, 84:4 (2008), 465–472
М. И. Гомоюнов, Н. Ю. Лукоянов, “Об устойчивости одной процедуры решения задачи управления на минимакс позиционного функционала”, Тр. ИММ УрО РАН, 20, № 1, 2014, 68–82; M. I. Gomoyunov, N. Yu. Lukoyanov, “On the stability of a procedure for solving a minimax control problem for a positional functional”, Proc. Steklov Inst. Math. (Suppl.), 288, suppl. 1 (2015), 54–69