О множествах с малым удвоением

Пусть $G$ – произвольная абелева группа и $A$ – любое конечное подмножество $G$. Множество $A$ называется множеством с малой суммой, если для некоторого числа $K$ выполнено $|A+A|\le K|A|$. Структурные свойства таких множеств изучались в работах Г. А. Фреймана, Ю. Билу, И. Ружи, М.-Ч. Чанг, Б. Грина и Т. Тао. В настоящей статье мы доказываем, что при некоторых ограничениях на $K$ для любого множества с малой суммой найдется множество $\Lambda$, $\Lambda\ll_{\varepsilon}K\log|A|$, такое, что $|A\cap\Lambda|\gg |A|/K^{1/2+\varepsilon}$, где $\varepsilon>0$. В отличие от результатов предшествующих авторов наша теорема нетривиальна даже для достаточно больших $K$. Например, в качестве $K$ можно взять $|A|^\eta$, где $\eta>0$. Используемый нами метод доказательства совершенно элементарен.
Библиография: 21 название.