Об аналогах альтернативы Титса для групп гомеоморфизмов окружности и прямой

Г. Маргулисом была доказана гипотеза Гиза о справедливости аналога альтернативы Титса: для группы $G\subseteq\operatorname{Homeo}(S^1)$ гомеоморфизмов окружности или существует свободная подгруппа с двумя образующими, или существует инвариантная вероятностная мера на $S^1$. В этой заметке мы усиливаем результат Маргулиса: для группы $G\subseteq\operatorname{Homeo}(S^1)$ инвариантная вероятностная мера существует тогда и только тогда, когда факторгруппа $G/H_G$ не содержит свободной подгруппы с двумя образующими (здесь $H_G$ – некоторая каноническим образом определяемая подгруппа группы $G$). Сформулированы и доказаны аналоги альтернативы Титса для групп $G\subseteq\operatorname{Homeo}(\mathbb R)$ гомеоморфизмов прямой.
Библиография: 7 названий.