Метод стационарной фазы для седловой точки вблизи границы области интегрирования

Рассматривается интеграл $I$ от функции $g(x,y)h(x,y)\exp(i\lambda\varphi(x,y))$ (где $g$, $\varphi$ – аналитические функции, $\varphi$ имеет стационарную седловую точку $O$, $h$ – нейтрализатор, выделяющий точку $O$) по области, аналитическая граница $\Sigma$ которой близка к $O$. При условии, что кривизна $\Sigma$ вблизи $O$ отлична от кривизн линий уровня $\varphi(x,y)=\varphi(O)$, строится асимптотика $I$ при $\lambda\to\infty$, равномерная относительно взаимного расположения $\Sigma$ и $O$. Эта асимптотика, в зависимости от наклона $\Sigma$, выражается через интеграл Френеля, комплексно сопряженный интеграл Френеля, функцию Эйри и ее производную, а также через новую специальную функцию – интеграл Эйри–Френеля:
$$ V(\xi,\eta)=\frac{-1}{2\pi i}\int_{-\infty+i\varepsilon}^{\infty+i\varepsilon} \exp i\biggl[\frac{t^3}{3}+t\xi\biggr]\frac{dt}{t-\eta}. $$

Показано, что случай аналогичного $n$-кратного интеграла сводится к рассмотренной двумерной задаче.
Библиогр. 2 назв.