Об одной экстремальной задаче в пространстве с мерой

Рассматривается задача о “шаре наибольшей массы”, состоящая в следующем. Пусть $X$ – сепарабельное банахово пространство, $\nu$ – конечная мера, определенная на $\sigma$-алгебре борелевских подмножеств из $X$, $Q(x,r)$ – шар с центром в $x$ радиуса $r\geqslant0$. Для $r_0\geqslant0$ требуется найти шар $Q(x^*,r^*)$такой, что $r^*\leqslant r_0$ и
$$ \nu(Q(x^*,r^*))=\max\{\nu(Q(x,r)):x\in X,\quad r\leqslant r_0\}. $$
Приведена теорема существования. Основной результат составляют необходимый и достаточный признаки экстремального шара, которые формулируются в терминах поверхностных мер (в частности, поверхностных плотностей) границы шара.
Библиогр. 12 назв.