Экстремальные покрышки

Пусть $G$ – подмножество группы движений $D_n$ евклидова пространства $R^n$. Множество $K\subset R^n$ называется $G$-универсальной покрышкой, если всякое подмножество $R^n$ диаметра $1$ содержится в $gK$ при некотором $g\in G$. Обозначим $T_n$ группу параллельных переносов.
Доказано, что диаметр шара Юнга $\sqrt{2n/(n+1)}$ есть наименьшая средняя ширина $T_n$-универсальной покрышки в $R^n$. Также доказано, что в $R^n$ существует $D_n$-универсальная покрышка наименьшего объема, которая ограничена и является конечным объединением звездных множеств.
Библиогр. 7 назв.