Базисные системы на торе, порожденные конечнозонным интегрированием уравнения Кортевега–де Фриза

Исследуется вопрос о базисности в $L_2(T)$ системы собственных и присоединенных функций на $l$-мерном торе $T=\{\tau=(\tau_1,\dots,\tau_l),0\leqslant\tau_J\leqslant2\pi\}$ следующего несамосопряженного оператора: $\mathscr{L}=-iV\partial/{\partial\tau}+6(iU\partial/{\partial\tau})f +(iU\partial/\partial\tau)^3$, где функции $f(\tau,E)\in C^\infty$ $(T)$ – $l$-зонные решения уравнения КдФ, вектора $V,U\in\mathbf{R}^{2l+1}$ параметризуются точками $E=(E_1,\dots,E_{2l+1})$ – концами зон спектра вспомогательного оператора Хилла. Собственные и присоединенные функции оператора $\mathscr{L}$ находятся из известных формул теории конечнозонного интегрирования, но базисность этой системы является нетривиальным фактом. Основным результатом является доказательство базисности собственных функций оператора $\mathscr{L}$ (в двухзонном случае $l=2$), которое опирается на следующие наблюдения: а) собственные и присоединенные функции оператора $\mathscr{L}$ гладко зависят от параметров $E$; б) в области допустимых значений параметров $E$ существует такое всюду плотное множество для значений $E$, из которого базисность соответствующей системы уже известна.
Библиогр. 14 назв.