Обратная теорема теории приближений в разных метриках

Доказана следующая
Теорема. {\it Пусть $1\leqslant p<q<\infty$, $k\in N$, $r\in Z_+$, $\sigma=r+\dfrac1p-\dfrac1q$ и $\displaystyle\sum^\infty_{n=1}n^{q\sigma-1}\varepsilon^q_n<\infty$; тогда
$$ \sup\biggl\{\omega_k\biggl(f^{(r)};\frac\pi n\biggr)_q;f\in E_p(\varepsilon)\biggr\}\asymp\biggl(\sum^{\infty}_{\nu=n+1}\nu^{q\sigma-1}\varepsilon^q_{\nu}\biggr)^{1/q}+n^{-k}\biggl(\sum^n_{\nu=1}\nu^{q(k+\sigma)-1}\varepsilon^q_{\nu}\biggr)^{1/q}, $$
где $\omega_k(g,\delta)_q$ – модуль гладкости $k$-го порядка функции $g\in L_q$, $E_p(\varepsilon)=\{f\in L_p;\ E_{k-1}(f)_p\leqslant\varepsilon_n,\ n\in N\}$, $E_{n-1}(f)$ – наилучшее в $L_p$ приближение функции $f$ тригонометрическими полиномами порядка $\leqslant(n-1)\in Z_+$, $\varepsilon=\{\varepsilon_n\}^\infty_{n=1}$ {(}$0<\varepsilon_n\downarrow0$ при $n\uparrow\infty${)}}.
Библиогр. 15 назв.