О частных суммах тригонометрического ряда с выпуклыми коэффициентами

Доказана
Теорема. {\it Для любой последовательности положительных чисел $\{c_n\}^{\infty}_{n=0}$, которая монотонно стремится к нулю и удовлетворяет условию $\sup_{n\geqslant1}(nc_n)=\infty$, можно построить стремящуюся к нулю последовательность положительных чисел $\{a_n\}^{\infty}_{n=0}$ так, что
$$ a_n>a_{n+1},\quad a_n>a_{n+2}\geqslant2a_{n+1},\quad a_n\leqslant c_n $$
при всех $n\geqslant0$, функция
$$ f(x)=\frac12\,a_0+\sum^{\infty}_{n=1}a_n\cos(nx) $$
положительна на прямой, $f(x)\to\infty$ при $x\to+0$ и $f\in L^p_{2\pi}$ при всех $p\in(0,\infty)$, но частные суммы
$$ S_n(x)=\frac12\,a_0+\sum^n_{k=1}a_k\cos(kx),\quad n\geqslant0, $$
не являются равномерно ограниченными снизу, т.е.
$$ \inf_ {n\geqslant0}\min_xS_n(x)=-\infty. $$
}
Библиогр. 4 назв.