1-когомологии специальной линейной группы с коэффициентами в модуле срезанных полиномов

Пусть $p$ простое число, $k=GF(p^s)$, $K$ – поле, содержащее $k$, $V=k^n$ – естественный $GL_n(p^s)$-модуль, $\widetilde V=K\underset{k}{\otimes}V$, $S_n(\widetilde V)=K[e_1\dots,e_n]/\langle e^p_1,\dots,e^p_n\rangle$ – кольцо срезанных полиномов, превращенное обычным способом в $GL_n(p^s)$-модуль. Для $j=0,1,\dots,n$ ($p-1$) через $S_n^j(\widetilde V)$ будем обозначать $j$-ю однородную компоненту $S_n(\widetilde V)$. Известно, что все $S_n^j(\widetilde V)$ – (абсолютно) неприводимые $GL_n(p^s)$-модули со старшими весами $(p-1-l)\omega_m+l\omega_{m+1}$, где $j=m(p-1)+l$, $0\leqslant l<p-1$, $\{\omega_m,\ 1\leqslant m\leqslant n-1\}$ – фундаментальные веса ($\omega_0$ и $\omega_n$ интерпретируются как нулевые веса). Доказано, что группы 1-когомологий $H^1(SL_n(p^s)$, $S^j_n(\widetilde V))$, $H^1(GL_n(p^s)$, $S^j_n(\widetilde V))$ тривиальны при $n\geqslant3$, $p>2$, за исключением случая $p=3$, $j=n$, когда $H^1(SL_3(3^s)$, $S^3_3(\widetilde V))\simeq K$, $\dim_KH^1(SL_n(3^s)$, $S^n_n(\widetilde V))\leqslant1$.
Библиогр. 10 назв.