Аттракторы диссипативных гиперболических уравнений с сингулярно осциллирующими внешними силами

Изучается равномерный аттрактор $\mathscr A^\varepsilon$ диссипативного волнового уравнения в ограниченной области $\Omega\Subset\mathbb R^n$, у которого внешняя сила сингулярно осциллирует по времени, точнее имеет вид $g_0(x,t)+\varepsilon^{-\alpha}g_1(x,t/\varepsilon)$, $x\in\Omega$, $t\in\mathbb R$, где $\alpha>0$, $0<\varepsilon\leqslant1$. Это уравнение имеет в $E=H_0^1\times L_2$ поглощающее множество $B^\varepsilon$, которое допускает оценку $\|B^\varepsilon\|_E\leqslant C_1+C_2\varepsilon^{-\alpha}$ и, следовательно, может неограниченно расти по норме $E$ при $\varepsilon\to0+$. При выполнении некоторых дополнительных условий для функции $g_1(x,z)$, $x\in\Omega$, $z\in\mathbb R$, доказано, что при $0<\alpha\leqslant\alpha_0$ глобальные аттракторы $\mathscr A^\varepsilon$ такого уравнения ограничены в $E$, т.е. $\|\mathscr A^\varepsilon\|_E\leqslant C_3$, $0<\varepsilon\leqslant1$.
Наряду с исходным уравнением рассматривается “предельное” волновое уравнение с внешней силой $g_0(x,t)$, которое также имеет глобальный аттрактор $\mathscr A^0$. В том случае, когда $g_0(x,t)=g_0(x)$ и глобальный аттрактор $\mathscr A^0$ предельного уравнения является экспоненциальным, установлено, что при $0<\alpha\leqslant\alpha_0$ хаусдорфово отклонение $\operatorname{dist}_E(\mathscr A^\varepsilon,\mathscr A^0)\leqslant C\varepsilon^{\eta(\alpha)}$, причем $\eta(\alpha)>0$. Для $\eta(\alpha)$ и $\alpha_0$ даются явные формулы. Рассмотрен также неавтономный случай, когда функция $g_0=g_0(x,t)$. Предполагается, что выполнены достаточные условия при которых “предельное” неавтономное уравнение имеет экспоненциальный глобальный аттрактор. В этом случае получены оценки сверху для хаусдорфова отклонения аттракторов $\mathscr A^\varepsilon$ от $\mathscr A^0$, аналогичные приведенным выше.
Библиография: 21 название.