Комбинаторные свойства множеств вычетов по простому модулю и задача Эрдёша–Грэхэма

Рассмотрим произвольное $\varepsilon>0$ и достаточно большое простое число $p>2$. Доказано, что для любого целого числа $a$ существуют попарно различные целые $x_1,x_2,\dots,x_N$, где $N=8([1/\varepsilon+1/2]+1)^2$, такие, что $1\le x_i\le p^\varepsilon$, $i=1,\dots,N$, и
$$ a\equiv x_1^{-1}+\dotsb+x_N^{-1}\pmod p, $$
где $x_i^{-1}$ – наименьшее положительное целое такое, что $x_i^{-1}x_i\equiv1\pmod p$. Это улучшает результат Шпарлинского.
Библиография: 11 названий.