Собственные значения отображения Синюкова для геодезически эквивалентных метрик глобально упорядочены

Пусть все геодезические двух римановых метрик $g$ и $\overline g$, заданных на одном (связном, геодезически полном) многообразии $M^n$, совпадают. В каждой точке $x\in M^n$ рассмотрим совместные собственные значения $\rho_1,\rho_2,\dots,\rho_n$ этих метрик (предполагая $\rho_1\geqslant\rho_2\geqslant\dots\geqslant\rho_n$) и числа
$$ \lambda_i=(\rho_1\rho_2\dotsb\rho_n)^{1/(n+1)}\frac1{\rho_i}. $$
Мы покажем, что числа $\lambda_i$ упорядочены на всем многообразии: для любых двух точек $x$ и $y$ многообразия, число $\lambda_k(x)$ всегда не больше числа $\lambda_{k+1}(y)$. Если $\lambda_k(x)=\lambda_{k+1}(y)$, то существует точка $z\in M^n$, в которой $\lambda_k(z)=\lambda_{k+1}(z)$. Если многообразие замкнуто и если все совместные собственные значения этих метрик различны в каждой точке, то многообразие накрывается тором.
Библиография: 14 названий.