О сбалансированных базисах

В статье доказывается, что сбалансированный базис алгебры $(n+1)M_1\oplus M_n$, либо дополнительный к нему, имеет ранг $n+1$. Этот результат позволяет утверждать, что алгебра $(n+1)M_1\oplus M_n$ сбалансирована тогда и только тогда, когда алгебра матриц $M_n$ допускает WP-разложение, т.е. семейство из $n+1$ подалгебр, сопряженных диагональной, каждые две из которых ортогонально (относительно формы $XY$) пересекаются по единичной подалгебре. Таким образом, вопрос о сбалансированности алгебры $(n+1)M_1\oplus M_n$ эквивалентен известной “проблеме Винни-Пуха” о существовании ортогонального разложения простой алгебры Ли типа $A_{n-1}$ в сумму картановских подалгебр.
Библиография: 10 названий.