Вопросы корректности прямых и обратных задач для эволюционного уравнения специального вида

В банаховом пространстве $E$ рассматривается задача Коши:
\begin{equation} \begin{cases} u'(t)=Au(t)+\varphi(t)f&(0\le t\le T), \\ u(0)=\psi_0&(\psi_0\in D(A)), \end{cases} \tag{1} \end{equation}
где $A$ – оператор, порождающий $C_0$-полугруппу, $\varphi(t)$ – достаточно гладкая скалярная функция, элемент $f$ принадлежит $E$. Обсуждается вопрос о классической разрешимости (1). Затем рассматривается обратная задача: определить элемент $f$ так, чтобы функция $u(t)$ удовлетворяла соотношению $\int_0^Tu(t)\,d\mu(t)=\psi_1$. Даны необходимые и достаточные условия корректности обратной задачи, сформулированные в терминах оператора $A$ и характеристической функции
$$ \chi(z)\equiv\int_0^Td\mu(t)\int_0^te^{z(t-s)}\varphi(s)\,ds. $$

Библиография: 17 названий.