О нормальной дилатации треугольных матриц

Пусть $R$ – (вещественная или комплексная) треугольная матрица порядка $n$, для определенности, верхнетреугольная. Верно ли, что существует нормальная $n\times n$-матрица $A$, верхний треугольник которой совпадает с верхним треугольником $R$? Ответ на этот вопрос положителен и очевиден для следующих случаев: 1) $R$ вещественна; 2) $R$ – комплексная матрица с вещественной или чисто мнимой главной диагональю; более того, все диагональные элементы $R$ принадлежат некоторой прямой. Ответ положителен, хотя и менее очевиден, также для любой матрицы $R$ порядка 2. Однако, уже при $n=3$ вопрос о возможности нормального достраивания произвольной треугольной матрицы был до сих пор открытым. В настоящей публикации мы показываем, что и для $3\times3$-матриц этот вопрос решается положительно.