Замечания о модуле непрерывности конформного отображения круга на жорданову область

За показатель качества жордановой кривой $\Gamma$ примем скорость убывания к 0 при $\rho\searrow0$ величины $d(\Gamma;\rho)=\sup\bigl\{d(\Gamma;z,t):z,t\in \Gamma,\ |z-t|\le\rho\bigr\}$ ($\rho\ge0$), где $d(\Gamma;z,t)$ – меньший из диаметров дуг кривой $\Gamma$ с концами $z$, $t$. Ниже функция $g(x)$ непрерывна и не убывает при $x\ge0$, $g(x)\ge x$, $g(0)=0$, $\overline g(x):=g(x)+x$, $h(x):=\bigl(\overline g(x^{1/2})\bigr)^2$, $H(x)$ – какая-либо первообразная функции $1/h^{-1}(x)$. Отметим, что $H^{-1}(x)$ положительна и возрастает на $(-\infty,+\infty)$, $H^{-1}(x)\to0$ при $x\to-\infty$, $H^{-1}(x)\to+\infty$ при $x\to+\infty$.
Теорема. Пусть $G$ – внутренность жорданова контура $\Gamma$, $d(\Gamma;\rho)\le g(\rho)$ $(\rho\ge\nobreak0)$, $w=f(z)$ – конформное отображение на $G$ круга $D:|z|<1$. Тогда для модуля непрерывности функции $f$ на $\overline D=D\cup\partial D$ имеем неравенство
$$ \omega(f,\overline D,\delta)\le C(f)g\biggl(\frac\pi 2\bigl\{H^{-1}(4\pi^{-2}\log\delta)\bigr\}^{1/2}\biggr) \qquad (\delta>0). $$

Приводится локальная форма этой теоремы, формулируются следствия.
Библиография: 7 названий.