Тригонометрические ряды классов $L^p(\mathbb T)$, $p\in\left]1;\infty\right[$, и их консервативные средние

Пусть нижняя треугольная матрица $\mu\colon[\mu_m^{(n)}]$ определяет консервативный метод суммирования рядов:
$$ \sup_{n\in{\mathbb Z}_0}\sum_{m=0}^n|\mu_m^{(n)}-\mu_{m+1}^{(n)}|<\infty,\qquad \forall m\in{\mathbb Z}_0 \quad \lim_{n\to\infty}\mu_m^{(n)}=\rho_m\in\mathbb R, $$
и пусть последовательность $(\rho_m)$, $m\in{\mathbb Z}_0$, отграничена от нуля. Тогда тригонометрический ряд $\sum_{m=-\infty}^\infty\gamma_me^{imx}$ есть ряд Фурье некоторой функции $f\in L^p(\mathbb T)$, где показатель $p\in\left]1;\infty\right[$, в том и только том случае, когда последовательность $p$-норм его $\mu$-средних ограничена:
$$ \sup_{n\in{\mathbb Z}_0}\biggl\|\sum_{m=-n}^n\mu_{|m|}^{(n)} \gamma_me^{imx}\biggr\|_p<\infty. $$
В случае метода Фейера имеем критерий У. и Дж. Янгов (1913). В случае метода Фурье имеем обращение теоремы Рисса (1927).
Библиография: 17 названий.