Одна экстремальная задача для алгебраических многочленов с нулевым средним значением на отрезке

Пусть $\mathscr P_n^0(h)$ есть множество алгебраических многочленов порядка $n$ с действительными коэффициентами с нулевым средним значением (с весом $h$) на отрезке $[-1,1]$: $\int_{-1}^1h(x)p_n(x)dx=0$; здесь $h$ – функция, суммируемая, неотрицательная, отличная от нуля на множестве положительной меры на $[-1,1]$. Изучается задача о наименьшем возможном значении $i_n(h)=\inf\{\mu(p_n):p_n\in\mathscr P_n^0\}$ меры $\mu(p_n)=\operatorname{mes}\{x\in[-1,1]:p_n(x)\ge0\}$ множества точек отрезка, в которых многочлен $p_n\in\mathscr P_n^0$ является неотрицательным. В работе найдено точное значение величины $i_n(h)$ при определенных ограничениях на вес $h$. Этим ограничениям удовлетворяет, в частности, вес Якоби $h^{(\alpha,\beta)}(x)=(1-x)^\alpha(1+x)^\beta$ при условии $-1<\alpha,\beta\le0$.
Библиография: 9 названий.