| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Об определителях Адамара и Вандермонда и методе Бернулли–Эйлера–Лагранжа–Эйткена вычисления корней полиномов А. В. Лебедевa, Ю. В. Трубниковb, М. М. Чернявскийb a Белорусский государственный университет, г. Минск, Республика Беларусь b Витебский государственный университет им. П. М. Машерова, Республика Беларусь
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 116, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624070071 
Реферативные базы данных:
 1. Введение и постановка задачиМетоды приближенного подсчета корней полиномов в том направлении, о котором идет речь в настоящей статье, имеют долгую и содержательную историю. В 1728 г. Бернулли в статье [1] для полиномов с действительными коэффициентами
$$
\begin{equation*}
P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\dotsb+a_{n-1}x+a_n, \qquad a_0,a_n\ne 0
\end{equation*}
\notag
$$
(т.е. $P(x)$ – полином степени $n$, для которого $0$ не является корнем) описал метод (названный последователями в его честь) нахождения наибольшего по модулю действительного корня с помощью вычисления предела последовательности $t_{m+1}/t_m$ отношений соседних по номерам решений разностного уравнения
$$
\begin{equation}
a_0t_m+a_1t_{m-1}+\dotsb+a_nt_{m-n}=0,\qquad m=n,n+1,\dots,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
построенного по коэффициентам полинома $P(x)$ (подробности, см., например, в [2; гл. 10]. Обоснования этому методу Бернулли не дал. В 1748 г. Эйлер в книге [3] посвятил главу 17 анализу метода типа метода Бернулли для нахождения наибольшего (наименьшего) по модулю действительного корня многочлена $P(x)$, не имеющего кратных корней. Эйлер использовал степенные ряды (он называл их рекуррентными рядами), построенные по функции $1/P(x)$ и подсчитывал пределы отношения соседних коэффициентов этих рядов. Он обнаружил (на примерах), что в ситуации, когда $P(x)$ имеет пару наибольших по модулю комплексно сопряженных корней, метод может не работать – предел отношения соседних коэффициентов может не существовать. В 1798 г. Лагранж, развивая идеи Эйлера, в [4] описал соответствующий метод для подсчета наибольшего (наименьшего) по модулю действительного корня многочлена $P(x)$, обладающего кратными корнями. Для этого он рассматривал ряды, построенные по функции $P'(x)/P(x)$. В 1927 г. Эйткен в [5] обобщил метод Бернулли для подсчета произведений упорядоченных по модулю корней полинома $P(x)$. Он использовал при этом пределы отношений определителей, составленных из последовательных по номерам решений разностного уравнения (1.1) (подробности см., например, в [2; гл. 10], где содержится также обзор иных сходных по духу методов подсчета корней полиномов с действительными коэффициентами). В настоящей статье мы развиваем метод Эйлера–Лагранжа и вычисляем все корни произвольного полинома $P(z)$ с комплексными коэффициентами, на базе подсчета пределов отношений определителей (как и в методах Бернулли–Эйткена), построенных по коэффициентам разложений в ряды Тейлора и Лорана функции $P'(z)/P(z)$. Соответствующие методы для вычисления наибольшего и наименьшего по модулю корня полинома $P(z)$ получены в [6], [7]. Часть утверждений данной работы без доказательств и просчета конкретных примеров анонсированы в [8]. 2. Метод приближенного вычисления корней полиномовПусть
$$
\begin{equation*}
P(z)=a_0z^n+a_1z^{n-1}+\dotsb+a_{n-1}z+a_n, \qquad a_0,a_1,\dots,a_n\in\mathbb C,
\end{equation*}
\notag
$$
$a_0,a_n\ne 0$ – произвольный полином степени $n$, для которого $0$ не является корнем, т.е. где $m_1+m_2+\dotsb+m_p=n$ – сумма кратностей корней $z_j$ и $z_i\ne z_j$ при $i\ne j$ и $z_j\ne 0$, $j=1,\dots,p$. Вместе с полиномом $P(z)$ рассмотрим рациональную функцию
$$
\begin{equation}
\frac{P'( z)}{P(z)}=\sum_{j=1}^p\frac{m_j}{z-z_j} =\sum_{k=0}^\infty c_kz^k.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Здесь правая часть – разложение функции $P'(z)/P(z)$ в ряд Тейлора в окрестности нуля. Отметим сразу же, что современными средствами компьютерной математики (например, система Maple или Wolfram Mathematica) элементарно осуществляется вычисление любого числа коэффициентов этого ряда для произвольного заданного полинома $P(z)$. В разделе 3 мы продемонстрируем разработанный метод приближенного вычисления корней полинома на конкретном примере. По коэффициентам $c_k$ ряда (2.2) строятся определители Адамара. А именно, для каждой пары натуральных чисел $(k,r)$, $k\geqslant 0$, $r>0$ определителем Адамара $H_{k,r}$ называется определитель
$$
\begin{equation}
H_{k,r}:=\begin{vmatrix} c_k &c_{k+1} &\dots &c_{k+r-1} \\ c_{k+1} &c_{k+2} &\dots &c_{k+r} \\ \dots &\dots &\dots &\dots \\ c_{k+r-1} &c_{k+r} &\dots &c_{k+2(r-1)} \end{vmatrix}.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Для набора чисел $(\alpha_1,\dots,\alpha_s)$, $s>1$ определителем Вандермонда $V(\alpha_1,\dots,\alpha_s)$ называется определитель
$$
\begin{equation}
V(\alpha_1,\dots,\alpha_s):=\begin{vmatrix} 1 &1 &\dots &1 \\ \alpha_1 &\alpha_2 &\dots &\alpha_s \\ \alpha_1^2 &\alpha_2^2 &\dots &\alpha_s^2 \\ \dots &\dots &\dots &\dots \\ \alpha_1^{s-1} &\alpha_2^{s-1} &\dots &\alpha_s^{s-1} \end{vmatrix};
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
и мы полагаем $V(\alpha_1)=1$. Через $\overline V(\alpha_1,\dots,\alpha_s)$ мы будем обозначать “перевернутый” определитель Вандермонда
$$
\begin{equation}
\overline V(\alpha_1,\dots,\alpha_s):=\begin{vmatrix} \alpha_1^{s-1} &\alpha_2^{s-1} &\dots &\alpha_s^{s-1} \\ \dots &\dots &\dots &\dots \\ \alpha_1^2 &\alpha_2^2 &\dots &\alpha_s^2 \\ \alpha_1 &\alpha_2 &\dots &\alpha_s \\ 1 &1 &\dots &1 \end{vmatrix};
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
и также полагаем $\overline V(\alpha_1)=1$. Из свойств определителей непосредственно устанавливается следующая связь между $V(\alpha_1,\dots,\alpha_s)$ и $\overline V(\alpha_1,\dots,\alpha_s)$:
$$
\begin{equation}
V(\alpha_1,\dots,\alpha_s)=(-1)^{[s/2]}\overline V(\alpha_1,\dots,\alpha_s),
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
где $[x]$ – целая часть числа $x$. И, если $\alpha_i\ne 0$, $i=1,\dots,s$, то
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag V(\alpha_1,\dots,\alpha_s) &=(\alpha_1\dotsb\alpha_s)^{s-1} \overline V(\alpha_1^{-1},\dots,\alpha_s^{-1}) \\ &=(\alpha_1\dotsb\alpha_s)^{s-1} (-1)^{[s/2]}V(\alpha_1^{-1},\dots,\alpha_s^{-1}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Следующее утверждение связывает определители Адамара и Вандермонда для рассматриваемого полинома $P(z)$. Теорема 1. Пусть $(z_1,\dots, z_p)$ – корни полинома $P(z)$ (2.1) и $\sum_{k=0}^\infty c_kz^k$ – ряд Тейлора (2.2). Для любой пары $(k,r)$, $k\geqslant 0$, $0<r\leqslant p$, имеет место равенство В частности, Для $r>p$ $H_{k,r}=0$. Доказательство. Из (2.2) непосредственным вычислением получаем, что Поэтому
$$
\begin{equation}
H_{k,r}=(-1)^r\begin{vmatrix} \displaystyle{\sum_{j=1}^p}\dfrac{m_j}{z_j^{k+1}} &\displaystyle{\sum_{j=1}^p}\dfrac{m_j}{z_j^{k+2}} &\dots &\displaystyle{\sum_{j=1}^p}\dfrac{m_j}{z_j^{k+r}} \\ \displaystyle{\sum_{j=1}^p}\dfrac{m_j}{z_j^{k+2}} &\dots &\dots &\displaystyle{\sum_{j=1}^p}\dfrac{m_j}{z_j^{k+r+1}} \\ \dots &\dots &\dots &\dots \\ \displaystyle{\sum_{j=1}^p}\dfrac{m_j}{z_j^{k+r}} &\dots &\dots &\displaystyle{\sum_{j=1}^p}\dfrac{m_j}{z_j^{k+2r-1}} \end{vmatrix}.
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Используя свойства определителей и принимая во внимание, что определитель, содержащий пропорциональные строки (столбцы), равен нулю мы заключаем, что из (2.10) следует
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, H_{k,r} &=(-1)^r\sum_{\substack{j_1,j_2,\dots,j_r\\ 1\leqslant j_s\leqslant p\\ j_i\ne j_s}}\begin{vmatrix} \dfrac{m_{j_1}}{z_{j_1}^{k+1}} &\dfrac{m_{j_2}}{z_{j_2}^{k+2}} &\dots &\dfrac{m_{j_r}}{z_{j_r}^{k+r}} \\ \dfrac{m_{j_1}}{z_{j_1}^{k+2}} &\dots &\dots &\dfrac{m_{j_r}}{z_{j_r}^{k+r+1}} \\ \dots &\dots &\dots &\dots \\ \dfrac{m_{j_1}}{z_{j_1}^{k+r}} &\dots &\dots &\dfrac{m_{j_r}}{z_{j_r}^{k+2r-1}} \end{vmatrix} \nonumber \\ &=(-1)^r\sum_{\substack{j_1,j_2,\dots,j_r\\ 1\leqslant j_s\leqslant p\\ j_i\ne j_s}} \dfrac{m_{j_1}\dotsb m_{j_r}}{z_{j_1}^{k+r}\dotsb z_{j_r}^{k+2r-1}} \begin{vmatrix} z_{j_1}^{r-1} &z_{j_2}^{r-1} &\dots &z_{j_r}^{r-1} \\ z_{j_1}^{r-2} &\dots &\dots &z_{j_r}^{r-2} \\ \dots &\dots &\dots &\dots \\ 1 &\dots &\dots &1 \\ \end{vmatrix} \nonumber \\ &=(-1)^r\sum_{\substack{j_1,j_2,\dots,j_r\\ 1\leqslant j_s\leqslant p\\ j_i\ne j_s}} \frac{m_{j_1}\dotsb m_{j_r}}{z_{j_1}^{k+r}\dotsb z_{j_r}^{k+2r-1}} (-1)^{\operatorname{sign}(j_1,\dots,j_r)}\overline V(z_{\overline j_1},\dots,z_{\overline j_r}), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
где $(\overline j_1,\overline j_2,\dots,\overline j_r)$ – упорядочивание набора номеров $(j_1,j_2,\dots,j_r)$: $\overline j_1<\overline j_2<\dotsb<\overline j_r$ и $\operatorname{sign}(j_1,\dots,j_r)$ – соответствующая четность перестановки $(j_1,\dots,j_r)$.
Заметим, что
$$
\begin{equation}
\sum_{\substack{\text{все перестановки}\\(1,2,\dots,r)}} \frac{1}{1\cdot z_{i_2}z_{i_3}^2\dotsb z_{i_r}^{r-1}} (-1)^{\operatorname{sign}(i_1,\dots,i_r)}=V(z_1^{-1},\dots,z_r^{-1}).
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Теперь из (2.11), с учетом (2.12) и соотношений (2.6) и (2.7) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H_{k,r} &=(-1)^r\sum_{\substack{j_1,j_2,\dots,j_r\\ 1\leqslant j_s\leqslant p\\ j_i\ne j_s}} \frac{m_{j_1}\dotsb m_{j_r}}{z_{j_1}^{k+r}\dotsb z_{j_r}^{k+2r-1}} (-1)^{\operatorname{sign}(j_1,\dots,j_r)}\overline V(z_{\overline j_1},\dots,z_{\overline j_r}) \\ &=(-1)^r\sum_{\substack{j_1,j_2,\dots,j_r\\ 1\leqslant j_s \leqslant p\\ j_i\ne j_s}} \frac{m_{j_1}\dotsb m_{j_r}}{(z_{j_1}\dotsb z_{j_r})^{k+r}} \cdot\frac{1}{1\cdot z_{j_2}z_{j_3}^2\dotsb z_{j_r}^{r-1}} (-1)^{\operatorname{sign}(j_1,\dots,j_r)}\overline V(z_{\overline j_1},\dots,z_{\overline j_r}) \\ &=(-1)^r\sum_{\substack{j_1<j_2<\dotsb<j_r\\ 1\leqslant j_r\leqslant p}} r!\,\frac{m_{j_1}\dotsb m_{j_r}}{(z_{j_1}\dotsb z_{j_r})^{k+r}} V(z_{j_1}^{-1},\dots,z_{j_r}^{-1})\overline V(z_{j_1},\dots,z_{j_r}) \\ &=(-1)^rr!\,\sum_{\substack{j_1<j_2<\dotsb<j_r\\ 1\leqslant j_r\leqslant p}} \frac{m_{j_1}\dotsb m_{j_r}}{(z_{j_1}\dotsb z_{j_r})^{k+r}} \frac{1}{(z_{j_1}\dotsb z_{j_r})^{r-1}} \\ &\qquad{}\times(-1)^{[r/2]}V(z_{j_1},\dots,z_{j_r})\cdot (-1)^{[r/2]} V(z_{j_1},\dots,z_{j_r}) \\ &=(-1)^rr!\,\sum_{\substack{j_1<j_2<\dotsb<j_r\\ 1\leqslant j_r\leqslant p}} \frac{m_{j_1}\dotsb m_{j_r}}{(z_{j_1}\dotsb z_{j_r})^{k+2r-1}} [V(z_{j_1},\dots,z_{j_r})]^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство завершено. Из формулы (2.9) вытекает, что а для $r<p$ имеет место следующая Теорема 2. Пусть Доказательство. Из (2.8) вытекает, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{H_{k,r}}{H_{k+1,r}} &=\frac{\sum_{\substack{j_1<j_2<\dotsb<j_r\\ 1\leqslant j_r\leqslant p}} \frac{m_{j_1}\dotsb m_{j_r}}{(z_{j_1}\dotsb z_{j_r})^{k+2r-1}} [V(z_{j_1},\dots,z_{j_r})]^2} {\sum_{\substack{j_1<j_2<\dotsb<j_r\\ 1\leqslant j_r\leqslant p}} \frac{m_{j_1}\dotsb m_{j_r}}{(z_{j_1}\dotsb z_{j_r})^{k+2r}} [V(z_{j_1},\dots,z_{j_r})]^2} \nonumber \\ &=(z_1\dotsb z_r) \frac{\Bigl[1+\sum_{\substack{j_1<j_2<\dotsb<j_r\\ 1\leqslant j_r\leqslant p\\(j_1,j_2,\dots,j_r)\ne(1,2,\dots,r)}} d_{{j_1}\dots j_r}q_{j_1\dots j_r}^{k+2r-1}\Bigr]} {\Bigl[1+\sum_{\substack{j_1<j_2<\dotsb<j_r\\1\leqslant j_r\leqslant p\\ (j_1,j_2,\dots,j_r)\ne(1,2,\dots,r)}} d_{{j_1}\dots {j_r}}q_{j_1\dots j_r}^{k+2r}\Bigr]}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
где
$$
\begin{equation}
d_{j_1\dots j_r}=\frac{m_{j_1}\dotsb m_{j_r}}{m_1\dotsb m_r} \cdot\biggl[\frac{{V}(z_{j_1},\dots, z_{j_r})}{V(z_1,\dots,z_r)}\biggr]^2,\qquad q_{j_1\dots j_r}=\frac{z_1\dotsb z_r}{z_{j_1}\dotsb z_{j_r}}\,.
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
Из условий теоремы следует, что для $(j_1,j_2,\dots,j_r)\ne(1,2,\dots,r)$ имеет место
$$
\begin{equation}
0<|q_{j_1\dots j_r}|\leqslant\frac{|z_r|}{|z_{r+1}|}=q<1,
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
что вместе с (2.17) и (2.18) влечет
$$
\begin{equation*}
\lim_{k\to\infty}\frac{H_{k,r}}{H_{k+1,r}}=z_1\dotsb z_r,
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. выполняется (2.14).
Проверим теперь оценку (2.15). Используя (2.17), (2.18) и (2.19) получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\biggl|\frac{H_{k,r}}{H_{k+1,r}}-z_1\dotsb z_r\biggr| \nonumber \\ &\qquad=\Biggl|(z_1\dotsb z_r) \frac{\Bigl[1+\sum_{\substack{j_1<j_2<\dotsb<j_r\\ 1\leqslant j_r\leqslant p\\(j_1,j_2,\dots,j_r)\ne(1,2,\dots,r)}} d_{j_1\dots j_r}q_{j_1\dots j_r}^{k+2r-1}\Bigr]} {\Bigl[1+\sum_{\substack{j_1<j_2<\dotsb<j_r\\1\leqslant j_r\leqslant p\\(j_1,j_2,\dots,j_r)\ne(1,2,\dots,r)}} d_{j_1\dots j_r}q_{j_1\dots j_r}^{k+2r}\Bigr]} -z_1\dotsb z_r\Biggr|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
Из (2.20), опуская для сокращения записи индексы под знаком суммирования $\sum$, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\biggl|\frac{H_{k,r}}{H_{k+1,r}}-z_1\dotsb z_r\biggr| =|z_1\dotsb z_r| \biggl|\frac{[\sum d_{j_1\dots j_r}q_{j_1\dots j_r}^{k+2r-1} -\sum d_{j_1\dots j_r}q_{j_1\dots j_r}^{k+2r}]} {[1+\sum d_{j_1\dots j_r}q_{j_1\dots j_r}^{k+2r}]}\biggr| \nonumber \\ &\qquad\leqslant|z_1\dotsb z_r| \frac{\sum d_{j_1\dots j_r}|q_{j_1\dots j_r}|^{k+2r-1}|1-q_{j_1\dots j_r}|} {|1-\sum d_{j_1\dots j_r}|q_{j_1\dots j_r}|^{k+2r}|} \leqslant|z_1\dotsb z_r| \frac{2\sum d_{j_1\dots j_r}q^{k+2r-1}}{|1-\sum d_{j_1\dots j_r}q^{k+2r}|} \nonumber \\ &\qquad=|z_1\dotsb z_r| \biggl(\frac{2\sum d_{j_1\dots j_r}}{1-q^{k+2r}\sum d_{j_1\dots j_r}}\biggr)q^{k+2r-1} \leqslant Cq^{k+2r-1}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
что доказывает (2.15).
Очевидно, знаменатель $(1-q^{k+2r}\sum d_{j_1\dots j_r})$ в последнем выражении положителен для достаточно больших $k$. Вводя обозначение $D:=\sum d_{j_1\dots j_r}$, мы заключаем, что если $q^{k+2r}D<\varepsilon<1/2$, то Поэтому
$$
\begin{equation*}
|z_1\dotsb z_r| \biggl(\frac{2\sum d_{j_1\dots j_r}}{1-q^{k+2r}\sum d_{j_1\dots j_r}}\biggr) <|z_1\dotsb z_r|2D(1+2\varepsilon).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, можно выбрать константу $C$ в (2.21) равной $|z_1\dotsb z_r|2D(1+2\varepsilon)$. Доказательство теоремы завершено. Отметим, что $H_{k,1}=c_k$. Поэтому для вычисления наименьшего по модулю корня получаем следующее утверждение, составляющее (для полиномов с действительными коэффициентами и их действительных корней) суть наблюдений Эйлера в [3; гл. 17]. При этом Эйлер не приводил оценку скорости сходимости приближений. Следствие 1. Пусть $(z_1,\dots,z_p)$ – корни полинома $P(z)$ (2.1), $0<|z_1|<|z_2|\leqslant\dotsb\leqslant|z_p|$ и $\sum_{k=0}^\infty c_kz^k$ – ряд Тейлора (2.2). Тогда При этом где т.е. последовательность (2.22) сходится со скоростью геометрической прогрессии. И если $k$ такое, что $q^{k+2}(n-1)<1/2$, то можно выбрать $C=|z_1|4(n-1)$. Доказательство. В проверке здесь нуждается только последняя формула для константы $C$. Она вытекает из оценок для $C$ в утверждении теоремы 2. Действительно, в рассматриваемой ситуации из формулы (2.16) получаем и в соответствии с утверждением теоремы 2 можем выбрать Теорема 2, по существу, описывает не только достаточные, но и необходимые условия существования обсуждаемых пределов. А именно, справедлива следующая Теорема 3. Пусть $0<|z_1|\leqslant|z_2|\leqslant\dotsb\leqslant|z_r|=|z_{r+1}|\leqslant|z_{r+2}|\leqslant\dotsb\leqslant|z_p|$. Тогда не существует предела $\lim_{k\to\infty}H_{k,r}/H_{k+1,r}$. Доказательство. Из (2.17) следует, что существование (несуществование) предела последовательности $H_{k,r}/H_{k+1,r}$ эквивалентно существованию (несуществованию) предела последовательности
$$
\begin{equation}
A_k:=\frac{\Bigl[1+\sum_{\substack{j_1<j_2<\dotsb<j_r\\ 1\leqslant j_r\leqslant p\\ (j_1,j_2,\dots,j_r)\ne(1,2,\dots,r)}} d_{j_1\dots j_r}q_{j_1\dots j_r}^{k+2r-1}\Bigr]} {\Bigl[1+\sum_{\substack{j_1<j_2<\dotsb<j_r\\ 1\leqslant j_r\leqslant p\\ (j_1,j_2,\dots,j_r)\ne(1,2,\dots,r)}} d_{j_1\dots j_r}q_{j_1\dots j_r}^{k+2r}\Bigr]}\,,
\end{equation}
\tag{2.24}
$$
где $d_{j_1\dots j_r}$ и $q_{j_1\dots j_r}$ описаны в (2.18). Слагаемые с $|q_{j_1\dots j_r}| <1$ не влияют на существование (несуществование) предела этой последовательности. По условию теоремы в суммах в (2.24) есть слагаемые с $|q_{j_1\dots j_r}|=1$, например, $|q_{12\dots(r-1)(r+1)}|=1$ и при этом $q_{12\dots(r-1)(r+1)}\ne 1$, так как $z_r\ne z_{r+1}$.
Отбрасывая в (2.24) слагаемые с $|q_{j_1\dots j_r}|<1$, и обозначая, для краткости записи, мультииндексы $j_1\dots j_r$ через $s$, мы заключаем, что существование предела последовательности $A_k$ (2.24) эквивалентно существованию предела последовательности
$$
\begin{equation}
\widetilde A_k:=\frac{[1+\sum_sd_sq_s^{k+2r-1}]}{[1+\sum_sd_sq_s^{k+2r}]}\,,
\end{equation}
\tag{2.25}
$$
где $|q_s|=1$ и существует $s_0$, такой что $q_{s_0}\ne 1$.
Так как $|q_s|=1$, то $q_s=e^{i\varphi_s}$, $0<\varphi_s\leqslant 2\pi$. Здесь могут возникнуть следующие две ситуации. 1) Все $\varphi_s$ рационально соизмеримы с $2\pi$, т.е. $\varphi_s/(2\pi)=m_s/n_s$, $m_s,n_s\in\mathbb N$. В этом случае $\widetilde A_k$ – периодическая последовательность периода $N=\text{НОК}\{n_s\}$, и, при этом, она не является константой, так как существует $s_0$, для которого $q_{s_0}\ne 1$ (может случиться, что некоторые члены этой последовательности не определены, если $[1+\sum_sd_sq_s^{k+2r}]=0$). Таким образом, не существует предела последовательности $\widetilde A_k$. 2) Существует $\varphi_s$, рационально несоизмеримое с $2\pi$, т.е. $\varphi_s/(2\pi)\in\mathbb R\setminus\mathbb Q$. Разделим индексы $s$ на две группы $\{s\}=\{t\}\sqcup\{v\}$, где $\varphi_t$ рационально соизмеримы с $2\pi$, а $\varphi_v$ рационально несоизмеримы с $2\pi$. С этими обозначениями последовательность $\widetilde A_k$ записывается в виде
$$
\begin{equation}
\widetilde A_k:=\frac{[1+\sum_td_tq_t^{k+2r-1}+\sum_vd_vq_v^{k+2r-1}]} {[1+\sum_td_tq_t^{k+2r}+\sum_vd_vq_v^{k+2r}]}\,.
\end{equation}
\tag{2.26}
$$
Пусть $\varphi_t/(2\pi)={m_t}/{n_t}$, $m_t,n_t\in\mathbb N$ и $N=\text{НОК}\{n_t\}$. Рассмотрим подпоследовательность $\breve A_l:=\widetilde A_k$, $k+2r-1=Nl$, $l=1,2,\dots$. Для завершения доказательства достаточно установить несуществование предела последовательности $\breve A_l$. Из определения $N$ следует, что последовательность $\breve A_l $ имеет вид
$$
\begin{equation}
\breve A_l=\frac{[C_1+\sum_vd_vq_v^{Nl}]}{[C_2+\sum_vd_vq_v^{Nl+1}]}\,,
\end{equation}
\tag{2.27}
$$
где $C_1$ и $C_2$ – некоторые константы.
Пусть $m$ – число индексов $v$ и $\mathbf T^m$ – $m$-мерный тор в $\mathbb C^m$:
$$
\begin{equation*}
\mathbf T^m=S^1\times\dotsb\times S^1 =\{(\lambda_1,\dots,\lambda_m)\colon |\lambda_i|=1,\,i=1,\dots,m\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Набор $\{q_v^N\}_v$ является точкой на торе $\mathbf T^m$; а замыкание множества точек $\{q_v^{Nl}\}_v$, $l=1,2,\dots$ является подмногообразием (изоморфным тору) размерности $m'\geqslant 1$ тора $\mathbf T^m$ ($m'$ – число рационально независимых чисел в наборе $\{\varphi_v/2\pi\}_v$). Из данного наблюдения, с учетом явной формы (2.27) последовательности $\breve A_l$, следует несуществование предела этой последовательности. Доказательство завершено. Данная теорема раскрывает отмеченное во введении наблюдение Эйлера в главе 17, [3] о том, что при наличии (у полинома с действительными коэффициентами) пары наибольших по модулю комплексно сопряженных корней метод типа Бернулли может не работать. Заметим, при этом, что пары корней не обязаны быть комплексно сопряженными (они могут быть любыми – в том числе и действительными). В качестве примера достаточно рассмотреть многочлен $P(z)=z^2-1$. Здесь
$$
\begin{equation*}
\frac{P'(z)}{P(z)}=\frac{1}{z-1}+\frac{1}{z+1} =\sum_{k=0}^\infty[(-1)^k-1]z^k.
\end{equation*}
\notag
$$
$H_{k,1}=[(-1)^k-1]$ и последовательность $H_{k,1}/H_{k+1,1}$ не имеет предела. Вышеприведенные результаты позволяют вычислять корни многочлена $P(z)$, начиная с наименьшего по модулю $0<|z_1|<|z_2|<\dotsb$ . Ниже описывается аналогичная процедура вычисления корней полинома, начиная с наибольшего по модулю. Рассмотрим разложение функции $P'(z)/P(z)$ в ряд Лорана в окрестности бесконечности (т.е. для $|z|>\max_{1\leqslant j\leqslant p}|z_j|$):
$$
\begin{equation}
\frac{P'(z)}{P(z)}=\sum_{j=1}^p\frac{m_j}{z-z_j} =\sum_{k=0}^\infty\frac{b_k}{z^{k+1}}\,.
\end{equation}
\tag{2.28}
$$
По коэффициентам ряда (2.28) строим соответствующие определители Адамара. А именно, для каждой пары натуральных чисел $(k,r)$, $k\geqslant 0$, $r>0$ определителем Адамара $\mathbf H_{k,r}$ называется определитель
$$
\begin{equation}
\mathbf H_{k,r}:=\begin{vmatrix} b_k &b_{k+1} &\dots &b_{k+r-1} \\ b_{k+1} &b_{k+2} &\dots &b_{k+r} \\ \dots &\dots &\dots &\dots \\ b_{k+r-1} &b_{k+r} &\dots &b_{k+2(r-1)} \end{vmatrix}.
\end{equation}
\tag{2.29}
$$
Аналогом теоремы 1 для ряда Лорана (2.28) служит Теорема 4. Пусть $(z_1,\dots,z_p)$ – корни полинома $P(z)$ (2.1) и $\sum_{k=0}^\infty b_k/z^{k+1}$ – ряд Лорана (2.28). Для любой пары $(k,r)$, $k\geqslant 0$, $0<r\leqslant p$ имеет место равенство В частности, Для $r>p$ $\mathbf H_{k,r}=0$. Доказательство. Непосредственным вычислением из (2.28) получаем Поэтому
$$
\begin{equation}
{\bf{H}}_{k,r}=\begin{vmatrix} \displaystyle{\sum_{j=1}^p}m_jz_j^k &\displaystyle{\sum_{j=1}^p}m_jz_j^{k+1} &\dots &\displaystyle{\sum_{j=1}^p}m_jz_j^{k+r-1} \\ \displaystyle{\sum_{j=1}^p}m_jz_j^{k+1} &\dots &\dots &\displaystyle{\sum_{j=1}^p}m_jz_j^{k+r} \\ \dots &\dots &\dots &\dots \\ \displaystyle{\sum_{j=1}^p}m_jz_j^{k+r-1} &\dots &\dots &\displaystyle{\sum_{j=1}^p}m_jz_j^{k+2(r-1)} \end{vmatrix}.
\end{equation}
\tag{2.32}
$$
Вводя обозначение $\xi_j:=1/z_j$ переписываем (2.32) в виде
$$
\begin{equation}
\mathbf H_{k,r}=\begin{vmatrix} \displaystyle{\sum_{j=1}^p}\dfrac{m_j}{\xi_j^k} &\displaystyle{\sum_{j=1}^p}\dfrac{m_j}{\xi_j^{k+1}} &\dots &\displaystyle{\sum_{j=1}^p}\dfrac{m_j}{\xi_j^{k+r-1}} \\ \displaystyle{\sum_{j=1}^p}\dfrac{m_j}{\xi_j^{k+1}} &\dots &\dots &\displaystyle{\sum_{j=1}^p}\dfrac{m_j}{\xi_j^{k+r}} \\ \dots &\dots &\dots &\dots \\ \displaystyle{\sum_{j=1}^p}\dfrac{m_j}{\xi_j^{k+r-1}} &\dots &\dots &\displaystyle{\sum_{j=1}^p}\dfrac{m_j}{\xi_j^{k+2(r-1)}} \end{vmatrix}.
\end{equation}
\tag{2.33}
$$
Сравнивая (2.33) и (2.10), и используя формулу (2.8), заключаем, что
$$
\begin{equation*}
\mathbf H_{k,r}=r!\,\sum_{\substack{j_1<j_2<\dotsb<j_r\\ 1\leqslant j_r\leqslant p}} m_{j_1}\dotsb m_{j_r}({z_{j_1}\dotsb z_{j_r}})^{k+2(r-1)} [V(z_{j_1}^{-1},\dots,z_{j_r}^{-1})]^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Это равенство вместе с соотношениями (2.7) между $V(z_{j_1}^{-1},\dots,z_{j_r}^{-1})$ и $V(z_{j_1},\dots,z_{j_r})$ дает равенство (2.30). Доказательство завершено. Из формулы (2.31) вытекает, что
$$
\begin{equation}
\frac{\mathbf H_{k+1,p}}{\mathbf H_{k,p}}=z_1\dotsb z_p,
\end{equation}
\tag{2.34}
$$
а для $r<p$ имеет место следующий аналог теоремы 2. Теорема 5. Пусть Доказательство. Мы действуем по схеме доказательства теоремы 2.
Из формулы (2.30) вытекает, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{\mathbf H_{k+1,r}}{\mathbf H_{k,r}} =\frac{\sum_{\substack{j_1>j_2>\dotsb>j_r\\ 1\leqslant j_1\leqslant p}} m_{j_1}\dotsb m_{j_r}(z_{j_1}\dotsb z_{j_r})^{k+1} [V(z_{j_1},\dots,z_{j_r})]^2} {\sum_{\substack{j_1>j_2>\dotsb>j_r\\ 1\leqslant j_1\leqslant p}} m_{j_1}\dotsb m_{j_r}(z_{j_1}\dotsb z_{j_r})^k [V(z_{j_1},\dots,z_{j_r})]^2} \nonumber \\ &\qquad=(z_p\cdot z_{p-1}\dotsb z_{p-r+1}) \frac{\Bigl[1+\sum_{\substack{j_1>j_2>\dotsb>j_r\\ 1\leqslant j_1\leqslant p\\(j_1,j_2,\dots, j_r)\ne(p,p-1,\dots,p-r+1)}} d_{j_1\dots j_r}q_{j_1\dots j_r}^{k+1}\Bigr]} {\Bigl[1+\sum_{\substack{j_1>j_2>\dotsb>j_r\\ 1\leqslant j_r\leqslant p\\(j_1,j_2,\dots,j_r)\ne(p,p-1,\dots,p-r+1)}} d_{j_1\dots j_r}q_{j_1\dots j_r}^k\Bigr]}\,, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.38}
$$
где
$$
\begin{equation}
d_{j_1\dots j_r}=\frac{m_{j_1}\dotsb m_{j_r}}{m_p\dotsb m_{p-r+1}} \cdot\biggl[\frac{V(z_{j_1},\dots,z_{j_r})}{V(z_p,\dots,z_{p-r+1})}\biggr]^2,\qquad q_{j_1\dots j_r}=\frac{z_{j_1}\dotsb z_{j_r}}{z_p\dotsb z_{p-r+1}}\,.
\end{equation}
\tag{2.39}
$$
Из условий теоремы следует, что для имеет место
$$
\begin{equation}
0<|q_{j_1\dots j_r}|\leqslant\biggl|\frac{z_{p-r}}{z_{p-r+1}}\biggr|=q<1.
\end{equation}
\tag{2.40}
$$
Отсюда и из (2.38) и (2.39) следует, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{k\to\infty}\frac{\mathbf H_{k+1,r}}{\mathbf H_{k,r}} =z_{p-r+1}\dotsb z_p,
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. выполняется (2.35).
Оценка (2.36) и оценка для константы $C$ выводятся по схеме доказательства оценки (2.15). А именно, рассуждением, использованным при выводе оценки (2.21), с учетом (2.38), (2.39) и (2.40) (отбрасывая для сокращения записи индексы под знаком суммирования $\sum$), получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\biggl|\frac{\mathbf H_{k+1,r}}{\mathbf H_{k,r}}-z_{p-r+1}\dotsb z_p\biggr| =|z_{p-r+1}\dotsb z_p| \biggl|\frac{[\sum d_{j_1\dots j_r}q_{j_1\dots j_r}^{k+1} -\sum d_{j_1\dots j_r}q_{j_1\dots j_r}^k]} {[1+\sum d_{j_1\dots j_r}q_{j_1\dots j_r}^k]}\biggr| \nonumber \\ &\qquad\leqslant|z_{p-r+1}\dotsb z_p| \biggl(\frac{2\sum d_{j_1\dots j_r}}{1-q^k\sum d_{j_1\dots j_r}}\biggr)q^k \leqslant Cq^k, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.41}
$$
что доказывает (2.36).
Вводя обозначение $D:=\sum d_{j_1\dots j_r}$, заключаем, что если $q^kD<\varepsilon< 1/2$, то
$$
\begin{equation*}
|z_{p-r+1}\dotsb z_p| \biggl(\frac{2\sum d_{j_1\dots j_r}}{1-q^k\sum d_{j_1\dots j_r}}\biggr)q^k <|z_{p-r+1}\dotsb z_p|2D(1+2\varepsilon).
\end{equation*}
\notag
$$
То есть можно выбрать константу $C$ в (2.41) равной $|z_{p-r+1}\dotsb z_p|2D(1+2\varepsilon)$. Доказательство завершено. Отметим, что $\mathbf H_{k,1}=b_k$. Поэтому для вычисления наибольшего по модулю корня, подобно следствию 1, получаем следующее утверждение, составляющее (для полиномов с действительными коэффициентами и их действительных корней) суть наблюдений Эйлера в главе 17 [3]. При этом Эйлер не приводил оценку скорости сходимости приближений. Следствие 2. Пусть $(z_1,\dots,z_p)$ – корни полинома $P(z)$ (2.1), $|z_p|>|z_{p-1}|\geqslant\dotsb\geqslant|z_1|>0$ и $ \sum_{k=0}^\infty k_k/z^{k+1}$ – ряд Лорана (2.28). Тогда При этом где т.е. последовательность (2.42) сходится со скоростью геометрической прогрессии. И если $k$ такое, что $q^k(n-1)<1/2$, то можно выбрать $C=|z_p|4(n-1)$. Для вывода константы $C$ здесь замечаем, что в рассматриваемой ситуации из формулы (2.37) получаем Подобно теореме 2, теорема 5, по существу, описывает не только достаточные, но и необходимые условия существования обсуждаемых пределов. А именно, справедлива следующая Доказательство может быть проведено тем же рассуждением, что и доказательство теоремы 3. Замечание 1. Приведенные методы вычисления корней полиномов позволяют вычислить все корни произвольного полинома и посчитать их кратность. Действительно, кратность корня $z_k$ проверяется подставлением его последовательно в производные $P'(z_k),P''(z_k),\dots$ и обнаружением соотношений $P^{(s)}(z_k)=0$, $P^{(s+1)}(z_k)\ne 0$, доказывающих, что $z_k$ – корень кратности $s+1$. Если же в процессе вычислений мы обнаруживаем эффект, описанный в теоремах 3 и 6 (отсутствие сходимости последовательностей $H_{k,r}/H_{k+1,r}$ или $\mathbf H_{k+1,r}/\mathbf H_{k,r}$, т.е. их осцилляционное поведение), то это означает, что у рассматриваемого полинома $P(z)$ имеется два (или более) равных по модулю корня $|z_r|=|z_{r+1}|$. Если некоторый вектор $h\in\mathbb C$ не задает ось симметрии между $z_r$ и $z_{r+1}$, то сдвинувшись из нуля в направлении этого вектора (т.е. осуществив замену переменной $u=z-h$) мы получаем полином $Q(u):=P(u+h)$, для которого соответствующие корни $u_r=z_r-h$, $u_{r+1}=z_{r+1}-h$ не равны по модулю и вычисляются с помощью, соответственно, теорем 2 и 5. Поскольку для корней полинома существует только конечное число (очень мало) осей симметрии, задаваемых векторами $h$, мы всегда быстро (методом проб и ошибок) находим нужный вектор $h$ для осуществления замены переменной. 3. ПримерСледующий модельный пример демонстрирует процедуру вычисления корней полинома: вычислить корни полинома
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, P(z) &=z^7+(-2-3i)z^6+(-13+6i)z^5+(22+31i)z^4 \\ &\qquad{}+(70-50i)z^3+(-48-130i)z^2+(-120+16i)z+40i \\ &=(z-i)^3(z+2)^2(z-3-i)(z-3+i). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Мы используем теорему 2, т.е. вычисляем корни, начиная с наименьшего по модулю $0<|z_1|<|z_2|<\dotsb$ . Все вычисления проводились в системе Wolfram Mathematica, занимают доли секунды, и мы приводим в таблицах их результаты. После разложения $P'(z)/P(z)$ в ряд Тейлора нужно считать отношения определителей Адамара $H_{k,r}/H_{k+1,r}$, $k=1,2,\dots$ . В нашем примере
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, P'(z) &=7z^6+(-12-18i)z^5+(-65+30i)z^4+(88+124i)z^3 \nonumber \\ &\qquad{}+(210-150i)z^2+(-96-260i)z-120+16i. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Чтобы вычислить число различных корней мы, учитывая теорему 1 (для $r>p$ $H_{k,r}=0$), считаем последовательно $H_{1,1}$, $H_{1,2}$, $H_{1,3}$ и т.д. Результаты вычислений приведены ниже:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H_{1,1} &=c_1=\frac{117}{50}, \\ H_{1,2} &=\begin{vmatrix} c_1 &c_2 \\ c_2 &c_3 \end{vmatrix}=\frac{8143}{5000}+\frac{321i}{250}\,, \\ H_{1,3} &=\begin{vmatrix} c_1 &c_2 &c_3 \\ c_2 &c_3 &c_4 \\ c_3 &c_4 &c_5 \end{vmatrix}=\frac{267823}{2000000}+\frac{45351}{500000}\,i, \\ H_{1,4} &=\begin{vmatrix} c_1 &c_2 &c_3 &c_4 \\ c_2 &c_3 &c_4 &c_5 \\ c_3 &c_4 &c_5 &c_6 \\ c_4 &c_5 &c_6 &c_7 \end{vmatrix}=-\frac{287469}{800000000}+\frac{4563}{50000000}\,i, \\ H_{1,5} &=\begin{vmatrix} c_1 &c_2 &c_3 &c_4 &c_5 \\ c_2 &c_3 &c_4 &c_5 &c_6 \\ c_3 &c_4 &c_5 &c_6 &c_7 \\ c_4 &c_5 &c_6 &c_7 &c_8 \\ c_5 &c_6 &c_7 &c_8 &c_9 \end{vmatrix}=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, у нас $4$ различных корня $z_1$, $z_2$, $z_3$, $z_4$. Для надежности вычислили еще $H_{2,5}$ и $H_{3,5}$ и также обнаружили, что $H_{2,5}=0$ и $H_{3,5}=0$. Возвращаемся к определителям $4$-го порядка и вычисляем Значит, согласно (2.13), Теперь, в соответствии с теоремой 2, вычисляем корни последовательно, начиная с наименьшего по модулю.Так как у нас $4$ различных корня, то можно с большой долей уверенности, считать, что упомянутый в теореме 2 показатель скорости сходимости $0< q < 0.9$ . То есть для вычисления корня с очень большой точностью достаточно рассматривать 50 – 100 определителей $H_{k,r}$, $k\approx 100$. Для системы Wolfram Mathematica количество таких вычисляемых объектов практически не играет роли (разница в расчетах для 100 или 200 объектов занимает доли секунды). Поэтому мы проводим вычисления для $k=150$ и проводим вычисления с шагом $5$ и $10$ (для сокращения записи полученных результатов в таблицах приводим результаты последних пятидесяти шагов с шагом 10: $k=105, 115, 125, 135, 145$). При вычислениях число значащих цифр в числах с плавающей точкой было взято равным 25. В таблицах видна очень быстрая скорость сходимости процесса вычислений. Сначала вычисляем Результаты вычислений в таблице 1.Таблица 1
Ясно, что корень $z_1=i$. Чтобы проверить кратность корня $i$, подставим его в первую, вторую и т.д. производные от $P(z)$. $P'(z)$ уже вычислена в (3.1) и мы имеем $P'(i)=0$. Соответственно, вычисляем следующие производные.
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, P''(z) &=42z^5+(-60-90i)z^4+(-260+120i)z^3+(264+372i)z^2 \\ &\qquad{}+(420-300i)z+(-96-260i), \\ P''(i) &=0, \\ P'''(z) &=210z^4+(-240-360i)z^3+(-780+360i)z^2+(528+744i)z+(420-300i), \\ P'''(i) &=306+108i\ne 0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
То есть кратность корня $z_1=i$ равна трем. Далее считаем отношение определителей Адамара второго порядка:
$$
\begin{equation*}
\frac{H_{k,2}}{H_{k+1,2}}=\begin{vmatrix} c_k &c_{k+1} \\ c_{k+1} &c_{k+2} \end{vmatrix}:\begin{vmatrix} c_{k+1} &c_{k+2} \\ c_{k+2} &c_{k+3} \end{vmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Результаты в таблице 2. Таблица 2
Значит $z_1 z_2 =-2i$, т.е. $z_2=-2$. Проверим кратность этого корня: Итак, кратность корня $z_2=-2$ равна двум.Далее считаем отношение определителей Адамара третьего порядка:
$$
\begin{equation*}
\frac{H_{k,3}}{H_{k+1,3}}=\begin{vmatrix} c_k &c_{k+1} &c_{k+2} \\ c_{k+1} &c_{k+2} &c_{k+3} \\ c_{k+2} &c_{k+3} &c_{k+4} \end{vmatrix}:\begin{vmatrix} c_{k+1} &c_{k+2} &c_{k+3} \\ c_{k+2} &c_{k+3} &c_{k+4} \\ c_{k+3} &c_{k+4} &c_{k+5} \end{vmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Результаты в таблице 3. Таблица 3
Очевидно, имеет место отсутствие стабилизации (т.е. сходимости) данной последовательности. Значит, согласно теореме 3, у нас имеется два равных по модулю корня $|z_3|=|z_4|$ (так как всего у нас четыре различных корня и два из них мы уже вычислили). Чтобы найти корень $z_3$ сместим начало координат, например, заменой $z=u+1/2i$ и рассмотрим полином $Q(u)=P(u+1/2i)$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q(u) &=u^7+\biggl(-2+\frac{i}{2}\biggr)u^6 -\frac{37}{4}\,u^5+\biggl(\frac{29}{2}+\frac{43i}{8}\biggr)u^4 +\biggl(\frac{563}{16}-16i\biggr)u^3 \\ &\qquad{}+\biggl(-\frac{3}{8}-\frac{1837i}{32}\biggr)u^2 +\biggl(-\frac{1959}{64}-4i\biggr)u-\frac{33}{32}+\frac{681i}{128}\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Его производная равна
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q'(u) &=7u^6+(-12+3i)u^5-\frac{185}{4}\,u^4+\biggl(58+\frac{43i}{2}\biggr)u^3 \\ &\qquad{}+\biggl(\frac{1689}{16}-48i\biggr)u^2 +\biggl(-\frac{3}{4}-\frac{1837i}{16}\biggr)u -\frac{1959}{64}-4i. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Разлагаем $Q'(u)/Q(u)$ в ряд Тейлора до $150$ слагаемых и считаем отношения определителей Адамара третьего порядка $H_{k,3}/H_{k+1,3}$. Результаты в таблице 4. Таблица 4
Очевидно, что последовательность отношений стабилизируется к $u=1.25-2.875i$ (в принципе, на этом можно было бы закончить вычисления). Однако, сходимость довольно медленная. Поэтому, для надежности (в качестве эксперимента) сделаем иной сдвиг: $z=u+2i$. Соответствующий полином $Q(u)=P(u+2i)$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q(u) &=u^7+(-2+11i)u^6+(-61-18i)u^5+(82-199i)u^4 \\ &\qquad{}+(422+206i)u^3+(-276+538i)u^2+(-360-184i)u+48-96i, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
а его производная
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q'(u) &=7u^6+(-12+66i)u^5+(-305-90i)u^4+(328-796i)u^3 \\ &\qquad{}+(1266+618i)u^2+(-552+1076i)u-360-184i. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
После разложения $Q'(u)/Q(u)$ в ряд Тейлора до $150$ слагаемых снова считаем отношения определителей Адамара третьего порядка $H_{k,3}/H_{k+1,3}$. Результаты в таблице 5. Таблица 5
Очевидно, здесь сходимость очень быстрая, и мы заключаем, что С учетом уже найденных корней $z_1=i$, $z_2=-2$ имеем
$$
\begin{equation*}
u_1=z_1-2i=-i,\qquad u_2=z_2-2i=-2-2i\qquad \text{и}\qquad u_3 =\frac{(u_1u_2u_3)}{(u_1u_2)}=3-i.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, $z_3=u_3+2i=3+i$. Последний корень $z_4$ определяется из равенства (3.2): $z_1z_2z_3z_4=20i$. Окончательно $z_4=3-i$. Итак, для полинома
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, P(z) &=z^7+(-2-3i)z^6+(-13+6i)z^5+(22+31i)z^4 \\ &\qquad{}+(70-50i)z^3+(-48-130i)z^2+(-120+16i)z+40i \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
$z_1=i$ – корень кратности $3$; $z_2=-2$ – корень кратности $2$; $z_3=3+i$; $z_4=3-i$.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{LebTruChe24} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|