| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Асимптотики по спектральному параметру для решений А. П. Косаревab, А. А. Шкаликовab a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623090195 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеОсновная цель этой статьи – получить асимптотические представления фундаментальной матрицы решений $(2\times 2)$-системы дифференциальных уравнений вида
$$
\begin{equation}
y'-By=\lambda A y, \qquad y=y(x), \quad x \in [0, 1],
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где
$$
\begin{equation}
A=\begin{pmatrix}a_1 & 0 \\0 & a_2\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}b_{11} & b_{12} \\b_{21} & b_{22}\end{pmatrix}, \qquad y=\begin{pmatrix}y_1 \\y_2\end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
а $\lambda$ – большой спектральный параметр. В общем случае полагаем, что элементы матрицы $B$ – суммируемые на отрезке $[0, 1]$ функции, а функции $a_1$, $a_2$ в матрице $A$ также суммируемые и подчинены условию где $\theta \in [0, 2\pi)$ – фиксированное число и $a(x) > 0$ почти всюду. Далее, не ограничивая общности, полагаем $\theta=0$, чего можно добиться поворотом спектрального параметра. Указанное ограничение на функции $a_1$, $a_2$ при $\theta=0$, очевидно, эквивалентно условиям
$$
\begin{equation}
\operatorname{Im} a_1(x)=\operatorname{Im} a_2(x), \qquad a_1(x)-a_2(x)=a(x) > 0, \quad x \in [0, 1];
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
именно их предполагаем выполненными далее. В последнем пункте статьи мы существенно ослабим условия на коэффициенты матрицы $A$, но асимптотические разложения мы получим не в полуплоскостях, перекрывающих всю комплексную $\lambda$-плоскость, а в секторах раствора $< \pi$. Наша цель на первом этапе – доказать, что при выполнении указанных условий на матрицы $A$ и $B$ существует матрица $Y=Y(x, \lambda)$ фундаментальных решений системы (1.1), которая в полуплоскости $\Pi_{\kappa}=\{\lambda \mid \operatorname{Re}\lambda \geqslant -\kappa \}$ ($\kappa \in \mathbb{R}$ – произвольное фиксированное число) допускает представление где $I$ – единичная матрица, $M=M(x)$ и $E=E(x, \lambda)$ – диагональные матрицы, определенные ниже формулами (2.2), а матрица-функция $o(1)=o(1)(x, \lambda)$ голоморфна в $\Pi_{\kappa}$ при больших $|\lambda|$, причем $\|o(1)\| \to 0$ при $\lambda \to \infty$ равномерно при $x \in [0, 1]$ и $\lambda \in \Pi_{\kappa}$. Аналогичный результат справедлив в левой полуплоскости $-\Pi_{\kappa}$. Более того, мы дадим детальное представление остаточного члена $o(1)$, что полезно для дальнейших исследований.Однако наиболее существенная часть работы посвящена уточнению асимптотического представления (1.4). Предположим, что функции в матрицах $A$ и $B$ подчинены дополнительным условиям гладкости. А именно, при некотором $n \geqslant 1$
$$
\begin{equation}
a_1,a_2,b_{21},b_{12} \in W^n_1[0,1], \qquad b_{11}, b_{22} \in W^{n-1}_1[0,1],
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
где $W^k_1=W^k_1[0, 1]$ – пространства Соболева, состоящие из функций, имеющих $k-1$ абсолютно непрерывных производных (в этом случае $k$-я производная лежит в пространстве $L_1[0, 1]$, а норма определяется равенством $\|f\|_{W_1^k}=\|f\|_{L_1}+\|f^{(k)}\|_{L_1}$). Мы покажем, что в этом случае справедливо асимптотическое представление
$$
\begin{equation}
Y=M\biggl(I + R(x, \lambda) + o(1)\frac{1}{\lambda^n}\biggr)E, \qquad R(x, \lambda)= \frac{R_1(x)}{\lambda} + \dots + \frac{R_n(x)}{\lambda^n},
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
где $R_k(x) \in W^{n+1-k}_1$, $k=1, \dots, n$, не зависят от $\lambda$, а матрица-функция $o(1)$ равномерно при $x \in [0, 1]$ и $\lambda \in \Pi_{\kappa}$ стремится к нулю при $\lambda \to \infty$. Задача о нахождении асимптотических представлений для решений обыкновенных дифференциальных уравнений и систем при больших значениях спектрального параметра имеет давнюю историю. С информацией о первоначальных ее источниках можно познакомиться в работах [1], [2]. Основной базой этой теории явились знаменитые работы Биркгофа [3], [4]. В них асимптотические представления были получены для фундаментальной системы решений уравнения $l(y)-\lambda^m y= 0$, где $l(y)$ – скалярный обыкновенный дифференциальный оператор $m$-го порядка. Важно, что в качестве приложения асимптотической теории были получены теоремы о разложении достаточно гладких функций в ряды по корневым функциям соответствующих дифференциальных операторов при дополнительных условиях их регулярности. Построение асимптотической теории для систем обыкновенных дифференциальных операторов было предпринято Тамаркиным [5] и Биркгофом и Лангером [6]. Результаты были получены для $(m \times m)$-систем первого порядка вида (1.1) при условии, что элементы $(m \times m)$-матриц $A$ и $B$ принадлежат пространству $C^{n+1}$ (т.е. $n+1$ раз непрерывно дифференцируемы), причем матрица $A$ подобна диагональной $A=\{a_1, \dots a_n\}$, где $a_k=\alpha_ka(x)$, $k=1, \dots, n$, $a(x) > 0$, и $\alpha_k$ – различные между собой числа1. При таких условиях асимптотические разложения были получены в секторах, которыми можно покрыть всю комплексную $\lambda$-плоскость. Дальнейшие уточнения и варианты изложения теории Биркгофа–Тамаркина–Лангера проводились во многих работах. Мы можем рекомендовать читателю книги Рапопорта [7], Вазова [8], Наймарка [9]. Основные приложения теории – результаты об асимптотическом поведении собственных значений и собственных функций обыкновенных дифференциальных операторов и теоремы о базисных свойствах систем собственных функций. Основные работы по уточнению теории Биркгофа–Тамаркина–Лангера были посвящены ослаблению условий на гладкость коэффициентов матрицы $B$ (матрица $A$ чаще всего предполагалась диагональной с постоянными различными числами на диагонали). Из числа работ последних трех десятилетий на эту тему отметим работы Рыхлова [10], Маламуда и Оридороги [11], Савчука и Шкаликова [12]. В последней работе [12] приведены достаточно подробные ссылки по рассматриваемой теме и сказано об элементах новизны соответствующих работ. Интерес к $(2 \times 2)$-системам возник после работы Джакова и Митягина [13], в которой для оператора Дирака с регулярными краевыми условиями и $L_2$-потенциалом $B$ (спектральная задача для этого оператора сводится к системе (1.1) с матрицей $A$, в которой $a_1=-a_2=1$) была доказана теорема о безусловной базисности корневых функций этого оператора. Метод исследования в работе [13] не использовал асимптотическую теорию. Савчук и Шкаликов [14] показали, что методы асимптотической теории позволяют получить более сильный результат. А именно, с помощью этих методов они получили теорему о базисности корневых функций для оператора Дирака с $L_1$-потенциалом. Изучение задачи о базисности для оператора Дирака было продолжено в работе Макина [15]. В работе [16] проведен сравнительный анализ различных методов исследования базисности корневых векторов общих и дифференциальных операторов. В этой же работе имеется обширная литература по этой теме. Основная теорема 1 этой работы при более ограничительных условиях на функции матрицы $A$ анонсирована авторами в заметке [17]. Там же показано, что знание дополнительных членов в асимптотическом представлении (1.6) имеет важное значение при исследовании нерегулярных спектральных задач, порожденных системой (1.1). В этой работе мы не будем заниматься исследованием регулярных или нерегулярных задач, порожденных системой (1.1). Отметим, что в недавних заметках [18] и [19] были предложены новые определения регулярных задач для систем произвольного порядка и приведены результаты о спектральных свойствах порожденных ими операторов. Как было отмечено ранее, результаты о существовании асимптотических представлений при условии достаточной гладкости элементов матриц были получены ранее не только для $(2 \times 2)$-систем, но и для $(m \times m)$-систем. Как Тамаркин [5], так и Биркгоф и Лангер [6] получали асимптотические представления в форме
$$
\begin{equation}
Y(x, \lambda)=\bigl(I+R(x, \lambda)+\mathcal{O}(1)\lambda^{-(n-1)}\bigr)E(x, \lambda),
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
при условии, что коэффициенты уравнения принадлежат пространству $C^{n+1}[0, 1]$ (имеют $n+1$ непрерывных производных). Здесь матрицы $R(x, \lambda)$ и $E(x, \lambda)$ имеют такой же вид, как в (1.6) и (2.2). Но в указанных и последующих работах на эту тему явные выражения для матриц-функций $R_k$ не указывались. Объяснялось это тем, что нахождение явных выражений для матриц-коэффициентов разложений представлялось трудно обозримой задачей в техническом отношении. Об этом сказано, например, в книге Наймарка (см. [9; гл. 2, § 4.6]), где выписываются в виде уравнений рекуррентные соотношения для определения $R_k$, но решение этих уравнений и определение нужных точных констант при их интегрировании не представляется возможным провести в явном виде. В связи с этим отметим важное обстоятельство (что будет видно из текста статьи): задача о нахождении явных выражений для матриц-функций $R_k$ в представлении (1.4) оказывается менее сложной, нежели задача об их поиске в виде (1.7), т.е. представление решения в виде (1.4) является более удобным. Резюмируя, отметим основные моменты новизны этой работы в сравнении с предшествующими. Во-первых, мы налагаем минимальные условия на гладкость элементов матриц $A$ и $B$ для получения представлений в форме (1.4) и (1.6). Во-вторых, условия (1.3) на функции в матрице $A$ являются существенно более общими, нежели рассматриваемые ранее. В-третьих, мы получаем явные формулы для матриц-функций $R_k$ в асимптотическом представлении (1.6). Этот момент является наиболее важным. Авторы планируют существенно использовать эти формулы в дальнейшем при изучении краевых задач, порождаемых системой (1.1). Отметим, что в важных частных случаях для системы Дирака (когда в матрице $A$ имеем $a_1=-a_2=1$) или для системы телеграфных уравнений (когда $a_1(x)=- a_2(x)=a(x) > 0$) явные формулы для матриц-функций $R_k$ также были неизвестны. 2. Форма остатка и его оценки. Формулировка основной теоремыВсюду в работе нормы векторов и матриц будем понимать в следующем смысле:
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\begin{pmatrix}f_1 \\f_2\end{pmatrix}\biggr\|:=\|f_1\| + \|f_2\|, \qquad \biggl\|\begin{pmatrix}f_{11} & f_{12}\\f_{21} & f_{22}\end{pmatrix}\biggr\| :=\sum_{i, j} \|f_{ij}\|.
\end{equation*}
\notag
$$
Матрицей фундаментальной системы решений или фундаментальной матрицей уравнения (1.1) мы называем матрицу
$$
\begin{equation*}
Y(x, \lambda) =\begin{pmatrix} y_{11}(x, \lambda) & y_{12}(x, \lambda) \\ y_{21}(x, \lambda) & y_{22}(x, \lambda) \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
определенную при $x \in [0, 1]$, $\lambda \in \mathbb{C}$, $|\lambda| > \lambda_0$, столбцы которой являются независимыми решениями системы (1.1). Таким образом, матрица $Y(x, \lambda)$ удовлетворяет матричному дифференциальному уравнению при каждом фиксированном $\lambda$, где матрицы $A$ и $B$ имеют представление (1.2). При этом решение $Y(x, \lambda)$ мы ищем в классе абсолютно непрерывных функций. Важную роль в дальнейшем изложении играют матрицы
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, M(x) =\begin{pmatrix} \displaystyle \exp\biggl(\int_0^xb_{11}(t)\,dt\biggr) & 0 \\ 0 & \displaystyle \exp\biggl(\int_0^xb_{22}(t)\,dt\biggr) \end{pmatrix}, \\ E(x, \lambda)=\begin{pmatrix} \displaystyle \exp\biggl(\lambda \int_0^x a_{1}(t)\,dt\biggr) & 0 \\ 0 & \displaystyle \exp\biggl(\lambda \int_0^x a_{2}(t)\,dt\biggr) \end{pmatrix}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Далее, полезно ввести следующие обозначения, которые читателю надо запомнить для дальнейшего чтения статьи. Положим
$$
\begin{equation}
A_i(x)=\int_0^x a_i(t)\,dt, \qquad \mathrm{P}(x)=A_1(x)-A_2(x), \qquad b(x)= \exp\biggl(\int_0^x b_{11} (t)- b_{22}(t)\,dt\biggr).
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Матрицу $B$ удобно представить в виде суммы диагональной и внедиагональной матриц, а именно,
$$
\begin{equation*}
D(x) = \begin{pmatrix}b_{11}(x) & 0 \\0 & b_{22}(x)\end{pmatrix}, \qquad B(x)-D(x) = \begin{pmatrix}0 & b_{12}(x) \\b_{21}(x) & 0 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
В оценке остатка важную роль играет матрица Очевидно, для элементов этой матрицы справедливы равенства
$$
\begin{equation}
q_{11}(x)=q_{22}(x)=0, \qquad q_{21}(x)=b_{21}(x)b(x), \qquad q_{12}(x)=b_{12}(x)b^{-1}(x).
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Для оценки остатка в асимптотическом представлении $Y(x, \lambda)$ определим набор из четырех интегралов
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, v_{11}(s, x, \lambda) &=-\int_{\max\{x, s\}}^1 q_{12}(t)e^{-\lambda[\mathrm{P}(t)-\mathrm{P}(s)]}\,dt, \\ v_{12}(s, x, \lambda) &= -\int_{\max\{x, s\}}^1 q_{12}(t)e^{\lambda[\mathrm{P}(x)-\mathrm{P}(t)]}\,dt, \\ v_{21}(s, x, \lambda) &=-\int_0^{\min\{x, s\}} q_{21}(t)e^{-\lambda[\mathrm{P}(x)-\mathrm{P}(t)]}\,dt, \\ v_{22}(s, x, \lambda) &=-\int_{0}^{\min\{x, s\}} q_{21}(t)e^{\lambda[\mathrm{P}(t)-\mathrm{P}(s)]}\,dt, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
где $q_{ij}$ заданы в (2.5). В случае интегрируемых коэффициентов для оценки остатков удобно использовать обозначения
$$
\begin{equation}
\Upsilon(\lambda)=\max_{i, j, s, x} |v_{ij}(s, x, \lambda)|, \qquad C_q^{\mathrm{int}}= \int_0^1|q_{12}(t)|+|q_{21}(t)|\,dt,
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
а в случае абсолютно непрерывных коэффициентов дополнительно определим константу
$$
\begin{equation}
C_q^1 := 2e^{\kappa \mathrm{P}(1)}\max_{0 \leqslant t \leqslant 1} \biggl(\biggl|\frac{q_{21}(t)}{a(t)}\biggr| + \biggl|\frac{q_{12}(t)}{a(t)}\biggr|\biggr) + e^{\kappa \mathrm{P}(1)}\int_0^1 \biggl| \biggl(\frac{q_{21}(t)}{a(t)}\biggr)'\biggr| + \biggl| \biggl(\frac{q_{12}(t)}{a(t)}\biggr)'\biggr|\,dt.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Лемма 1. Выполнено $\Upsilon(\lambda) \to 0$ при $\Pi_{\kappa} \ni \lambda \to \infty$. Более того, если коэффициенты $a_1$, $a_2$, $b_{21}$, $b_{12}$ уравнения (1.1) абсолютно непрерывны, то $\Upsilon(\lambda) \leqslant C_q^1|\lambda|^{-1}$ при $\Pi_{\kappa} \ni \lambda \to \infty$. Доказательство. Аналогичная лемма доказана в [12]. Здесь условия на коэффициенты другие, но идея сохраняется.
Заметим, что в интегралах (2.6) пределы интегрирования выбраны так, что все экспоненты ограничены и их модули оцениваются величиной $e^{\kappa \mathrm{P}(1)}$ при всех $\lambda \in \Pi_{\kappa}$. Далее приведем доказательство для $|v_{11}(s, x, \lambda)|$. Для остальных $v_{ij}$ это делается аналогично. Зафиксируем произвольные точки $s, x \in [0, 1]$. Так как $\mathrm{P}(t)$ – строго монотонная функция, то можно провести замену $\xi=\mathrm{P}(t)$, $\xi \in [0, \mathrm{P}(1)]$, после которой первый интеграл в (2.6) примет вид
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathrm{P}(\max\{x, s\})}^{\mathrm{P}(1)} f_{11}(\xi)e^{-\lambda[\xi- \mathrm{P}(s)]}\,d\xi, \qquad f_{11}(\xi)=\frac{q_{12}(t(\xi))}{a(t(\xi))}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $f_{11}(\xi) \in L_1[0, \mathrm{P}(1)]$, так как
$$
\begin{equation*}
\int_0^{\mathrm{P}(1)} \frac{q_{12}(t(\xi))}{a(t(\xi))}\, d\xi=\int_0^1 q_{12}(t)\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому, действуя так же, как в лемме Римана–Лебега, для малого фиксированного $\varepsilon > 0$ подберем непрерывно дифференцируемую функцию $\widehat{f}_{11}$ такую, что
$$
\begin{equation*}
\int_0^{\mathrm{P}(1)} |f_{11}(\xi)-\widehat{f}_{11}(\xi)|\,d\xi<\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
|v_{11}(s, x, \lambda)| \leqslant \varepsilon e^{\kappa\mathrm{P}(1)} + \biggl|\int_{\mathrm{P}(\max\{x, s\})}^{\mathrm{P}(1)} \widehat{f}_{11}(\xi)e^{-\lambda[\xi- \mathrm{P}(s)]}\, d\xi\biggr|.
\end{equation*}
\notag
$$
После интегрирования по частям в интеграле придем к оценке
$$
\begin{equation*}
|v_{11}(s, x, \lambda)| \leqslant \varepsilon e^{\kappa\mathrm{P}(1)} + \frac{e^{\kappa\mathrm{P}(1)}}{|\lambda|}\biggl(2\max_{0 \leqslant \xi \leqslant \mathrm{P}(1)}|\widehat{f}_{11}(\xi)| + \int_0^{\mathrm{P}(1)} |\widehat{f}_{11}'(\xi)|\,d\xi \biggr) \leqslant 2\varepsilon e^{\kappa\mathrm{P}(1)},
\end{equation*}
\notag
$$
если значение $|\lambda|$ достаточно велико. Последняя оценка завершает доказательство первого утверждения леммы.
В случае $a_1, a_2, b_{21}, b_{12} \in AC[0, 1]$ функции $q_{21}a^{-1}$, $q_{12}a^{-1}$ принадлежат пространству $AC[0, 1]$ (из условия (1.3) и абсолютной непрерывности следует, что $a(x) \geqslant \delta > 0$), а функции $(q_{21}a^{-1})'$, $(q_{12}a^{-1})'$ лежат в пространстве $L_1[0, 1]$. Поэтому сразу перейдем к интегрированию по частям в $v_{ij}(s, x, \lambda)$ при произвольно фиксированных $s, x$. Тогда с учетом ограниченности экспонент имеем Лемма доказана.Теперь мы можем сформулировать основную теорему работы, в которой докажем существование фундаментальной матрицы решений $Y(x, \lambda)$, имеющей представление (1.6) c явными формулами для матриц $R^m$. Предварительно определим операторы, в терминах которых компактно запишем формулы для коэффициентов в асимптотических разложениях. Положим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, (I_1 f)(x)=-\int_x^1 b_{12}(t) b^{-1}(t) f(t)\, dt, \qquad (I_2 f)(x)=\int_0^x b_{21}(t) b(t) f(t)\, dt, \\ (Df)(x)=\frac 1{a(x)} f'(x), \qquad J_1=\frac{b_{21}b}{a} I_1, \qquad J_2= -\frac{b_{12}b^{-1}}a I_2, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
где функции $a(x)$ и $b(x)$ определены в (1.3), (2.3). Теорема 1. Пусть выполнено условие (1.3) и все функции $a_{i}$, $b_{ij}$ принадлежат пространству $L_1[0, 1]$. Тогда при любом $\kappa \in \mathbb{R}$ существует фундаментальная матрица $Y(x, \lambda)$ уравнения (1.1), имеющая представление Если дополнительно выполнены условия (1.5), то фундаментальную матрицу $Y(x, \lambda)$ можно выбрать такой, что $R(x, \lambda)$ допускает представление
$$
\begin{equation}
R(x, \lambda)=\frac{R^1(x)}{\lambda} + \dots + \frac{R^n(x)}{\lambda^n} + o(1)\lambda^{-n},
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
где элементы матрицы $o(1)$ – бесконечно малые функции равномерно по $x \in [0, 1]$ при $\lambda \to \infty$, $\lambda \in \Pi_{\kappa}$ и, более того, выполнена оценка с некоторой функцией $\widehat{\Upsilon}(\lambda)$, которая допускает оценку через набор интегралов вида (2.6), где в качестве $q_{ij}(x)$ выступают суммируемые на отрезке $[0, 1]$ функции, определяемые коэффициентами уравнения (1.1). Матриц-функции $R^{m}$ явно вычисляются по формулам
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, R^m=\begin{pmatrix} r_{11}^m & r_{12}^m \\ r_{21}^m & r_{22}^m \end{pmatrix}, \\ \notag r_{11}^1=I_1\frac{b_{21}b}{a}, \qquad r_{21}^1=\frac{b_{21}b}{a}, \qquad r_{12}^1=-\frac{b_{12}b^{-1}}{a}, \qquad r_{22}^1=-I_2\frac{b_{12}b^{-1}}{a}, \\ \notag r^{m+1}_{11}=I_1 r_{21}^{m+1}, \quad r^{m+1}_{21}=(-D+ J_1)^m r^1_{21}, \quad r^{m+1}_{12}=(D+ J_2)^m r^1_{12}, \quad r^{m+1}_{22}=I_2 r^{m+1}_{12}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Аналогичное утверждение верно, если $\Pi_{\kappa}$ заменить на $-\Pi_{\kappa}=\{\lambda \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Re} \lambda \leqslant \kappa \}$. 3. Доказательство теоремы для случая $n=0$Начнем с доказательства утверждения теоремы для интегрируемых коэффициентов. Основную идею доказательства в этом случае мы заимствуем из [12], где первая часть теоремы доказана для систем произвольного порядка, но с другими условиями на функции матрицы $A$. В случае $(2 \times 2)$-систем мы имеем возможность изложить доказательство более лаконично. Осуществим замену переменных с неизвестной $(2 \times 2)$-матрицей $Z(x, \lambda)$. Подставляя $Y(x, \lambda)$ в (2.1) с учетом равенств $E'=\lambda A E$ и $M'=DM$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, M' ZE + MZ' E + MZE'=\lambda AMZE + BMZE, \\ DMZE + MZ' E + MZ\lambda A E=\lambda A MZE+DMZE+(B-D)MZE, \\ MZ' E= \lambda (AMZ-MZA)E+(B-D)MZE. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Умножим на $M^{-1}$ слева и на $E^{-1}$ справа и учтем, что диагональные матрицы $M$ и $A$ коммутируют. Тогда где матрица $Q(x)$ определена в (2.4).Запишем уравнение (3.2) в покомпонентном виде
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} z_{11}' & z_{12}' \\ z_{21}' & z_{22}' \end{pmatrix} =\lambda\begin{pmatrix} 0 & az_{12} \\ -az_{21} & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} q_{12}z_{21} & q_{12}z_{22} \\ q_{21}z_{11} & q_{21}z_{12} \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим по отдельности первый и второй столбцы матрицы $Z(x, \lambda)$ и проинтегрируем с условиями $z_{1k}(1, \lambda)=\delta_{1k}$, $z_{2k}(0, \lambda)=\delta_{2k}$, где $\delta_{ij}$ – символ Кронекера. Тогда
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \begin{pmatrix} z_{11} \\ z_{21} \end{pmatrix} -\begin{pmatrix}1 \\0\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} \displaystyle -\int_{x}^1 q_{12}(t) z_{21}(t, \lambda)\,dt \\ \displaystyle \int_{0}^xq_{21}(t)e^{-\lambda[\mathrm{P}(x)-\mathrm{P}(t)]}z_{11}(t, \lambda)\,dt \end{pmatrix}, \\ \begin{pmatrix} z_{12} \\ z_{22} \end{pmatrix} -\begin{pmatrix}0 \\1\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} \displaystyle -\int_x^1 q_{12}(t) e^{\lambda[\mathrm{P}(x)-\mathrm{P}(t)]}z_{22}(t, \lambda)\,dt \\ \displaystyle \int_{0}^x q_{21}(t) z_{12}(t, \lambda)\,dt \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Через $z_k$ обозначим $k$-й столбец матрицы $Z(x, \lambda)$, а через $V_k=V_k(\lambda)$ – интегральный оператор, определенный соответствующей правой частью равенств (3.3). Тогда уравнение для $z_k$ запишется в виде
$$
\begin{equation}
z_k=z_k^0 + V_kz_k, \quad z_k^0 = \begin{pmatrix} \delta_{1k} \\ \delta_{2k} \end{pmatrix}, \qquad k=1, 2.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Лемма 2. Операторы $V_k(\lambda)\colon L_{\infty}\times L_{\infty} \to L_{\infty}\times L_{\infty}$ непрерывны, и $\|V_k(\lambda)\| \leqslant e^{\kappa\mathrm{P}(1)}C_q^{\mathrm{int}}$. Более того, оператор $V_k^2(\lambda)$ является сжимающим, а именно, $\|V_k^2(\lambda)\|$ $\leqslant$ $C_q^{\mathrm{int}}\Upsilon(\lambda)$, где функция $\Upsilon(\lambda)$ определена в (2.7) и $\Upsilon(\lambda) \to 0$ при $\Pi_{\kappa} \ni \lambda \to \infty$ согласно лемме 1. Кроме того, в случае $a_1, a_2, b_{21}, b_{12} \in AC[0, 1]$ оценку можно усилить $\|V_k^2(\lambda)\|\leqslant C_q^{\mathrm{int}}C_q^1|\lambda|^{-1}$. Доказательство. Согласно определению
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, V_1\begin{pmatrix}f_1 \\f_2\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} \displaystyle -\int_{x}^1 q_{12}(t) f_2(t)\,dt, \\ \displaystyle \int_{0}^xq_{21}(t)e^{-\lambda[\mathrm{P}(x)-\mathrm{P}(t)]}f_1(t)\,dt \end{pmatrix}, \\ V_2\begin{pmatrix}f_1 \\f_2\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} \displaystyle - \int_x^1 q_{12}(t)e^{\lambda[\mathrm{P}(x)-\mathrm{P}(t)]}f_2(t)\,dt \\ \displaystyle \int_0^x q_{21}(t)f_1(t)\,dt \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Из явного вида операторов следует, что $\|V_k(\lambda)\| \leqslant e^{\kappa\mathrm{P}(1)}C_q^{\mathrm{int}}$.
Всюду далее мы предполагаем, что нормы векторов и операторов берутся в пространстве $L_{\infty} \times L_{\infty}$, поэтому будем опускать индексы в выражениях $\|\cdot\|_{L_{\infty} \times L_{\infty}}$ и $\|\cdot\|_{L_{\infty} \times L_{\infty} \to L_{\infty} \times L_{\infty}}$. Тот факт, что операторы $V_1^2$ и $V_2^2$ являются сжимающими, становится очевидным после изменения порядка интегрирования
$$
\begin{equation}
V_1^2\begin{pmatrix}f_1 \\f_2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \displaystyle -\int_{x}^1 q_{12}(t)\int_0^t q_{21}(s)e^{-\lambda[\mathrm{P}(t)-\mathrm{P}(s)]}f_1(s)\,ds\,dt \\ \displaystyle -\int_{0}^x q_{21}(t)e^{-\lambda[\mathrm{P}(x)-\mathrm{P}(t)]}\int_t^1 q_{12}(s)f_2(s)\,ds\,dt \end{pmatrix}
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber =\begin{pmatrix} \displaystyle \int_0^1 q_{21}(s)f_1(s)v_{11}(s, x, \lambda)\,ds \\ \displaystyle \int_0^1 q_{12}(s)f_2(s)v_{21}(s, x, \lambda)\,ds \end{pmatrix},
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
V_2^2\begin{pmatrix}f_1 \\f_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \displaystyle -\int_x^1 q_{12}(t)e^{\lambda[\mathrm{P}(x)-\mathrm{P}(t)]}\int_0^tq_{21}(s)f_1(s)\,ds\,dt \\ \displaystyle -\int_0^x q_{21}(t)\int_t^1q_{12}(s)e^{\lambda[\mathrm{P}(t)-\mathrm{P}(s)]}f_2(s)\,ds\,dt \end{pmatrix}
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber =\begin{pmatrix} \displaystyle \int_0^1 q_{21}(s)f_1(s)v_{12}(s, x, \lambda)\,ds \\ \displaystyle \int_0^1 q_{12}(s)f_2(s)v_{22}(s, x, \lambda)\,ds \end{pmatrix}.
\end{equation}
\notag
$$
Из последних равенств в (3.6), (3.7) следует, что
$$
\begin{equation*}
\biggl\|V_k^2\begin{pmatrix}f_1 \\f_2\end{pmatrix}\biggr\| \leqslant C_q^{\mathrm{int}}\Upsilon(\lambda) \biggl\|\begin{pmatrix}f_1 \\f_2\end{pmatrix}\biggr\|.
\end{equation*}
\notag
$$
Оценки для $\Upsilon(\lambda)$ из леммы 1 в случае интегрируемых и абсолютно непрерывных коэффициентов завершают доказательство леммы 2. Вернемся к уравнению (3.4). Представим его решение в виде формального ряда
$$
\begin{equation}
z_k=z_k^0+ \sum_{\nu=1}^\infty V_k^\nu(\lambda) z_k^0.
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Используя результаты леммы 2, найдем число $\lambda_0 > 0$ такое, что при $|\lambda| > \lambda_0$ выполнены неравенства
$$
\begin{equation*}
\|V_k^2(\lambda)\|<\frac{1}{2}, \quad \sum_{\nu=0}^\infty \|V_k^{2\nu}(\lambda)\|<2, \qquad k=1, 2.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда для частичных сумм справедлива оценка
$$
\begin{equation}
\biggl\|\sum_{\eta=0}^{N} V_k^\eta z_k^0\biggr\| \leqslant \sum_{\eta=0}^{\lceil N/2\rceil} \|V_k^{2\eta}\|\bigl(\|I\| + \|V_k\|\bigr) \|z_k^0\| \leqslant C_V, \qquad C_V := 2(1+e^{\kappa\mathrm{P}(1)}C_q^{\mathrm{int}}).
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Таким образом, ряд (3.8) сходится по норме пространства $L_{\infty} \times L_{\infty}$. Из аналогичных оценок для частичных сумм $\sum_{\eta=0}^{N} V_k^\eta(\lambda)$ следует, что ряд $\sum_{\eta=0}^\infty V_k^\eta(\lambda)$ сходится по операторной норме, при этом его норма не превосходит постоянной $C_V$. Для оценки остатка $R(x, \lambda)$ в представлении (2.10) достаточно оценить $\|z_k-z_k^0\|$. Имеем
$$
\begin{equation}
V_1\begin{pmatrix}1 \\0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\ -v_{21}(1, x, \lambda)\end{pmatrix}, \qquad V_2\begin{pmatrix}0 \\1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}v_{12}(0, x, \lambda) \\0\end{pmatrix}, \qquad \|V_kz_k^0\| \leqslant \Upsilon(\lambda).
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Тогда из представления (3.8) получаем
$$
\begin{equation*}
\|z_k-z_k^0\| \leqslant \biggl\|\sum_{\nu=0}^\infty V_k^\nu(\lambda)\biggr\| \,\|V_kz_k^0\| \leqslant C_V\Upsilon(\lambda).
\end{equation*}
\notag
$$
Переход от матрицы $Z(x, \lambda)$ к матрице $Y(x, \lambda)$ по формуле (3.1) и оценка для функции $\Upsilon(\lambda)$ из леммы 1 завершают доказательство теоремы в случае интегрируемых коэффициентов. Замечание 1. Из вида (2.10) матрицы $Y(x, \lambda)$ следует, что ее определитель имеет вид 4. Доказательство теоремы для случая $n\geqslant 1$Шаг $1$. Оценка хвоста ряда. Перейдем к доказательству второй части теоремы с коэффициентами, подчиненными условиям (1.5). Ранее мы уже показали, что уравнение (3.4) обладает решениями $z_k$ вида
$$
\begin{equation*}
z_k=\sum_{\nu=0}^{\infty} V_k^{\nu}z_k^0, \quad z_k^0=\begin{pmatrix}\delta_{1k} \\ \delta_{2k}\end{pmatrix}, \qquad k=1, 2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $V_k$ определены в (3.5). Заметим, что в случае, когда $a_1$, $a_2$, $b_{21}$, $b_{12}$ принадлежат хотя бы классу $W_1^1[0, 1]$, при больших $|\lambda|$ справедлива оценка
$$
\begin{equation}
\biggl\|\biggl(\sum_{\eta=0}^{\infty} V_k^{\eta}\biggr) V_k^{2n} V_kz_k^0\biggr\| \leqslant C_V (C_q^{\mathrm{int}}\Upsilon(\lambda))^{n}\Upsilon(\lambda) \leqslant C_V \bigl(C_q^{\mathrm{int}}C_q^1|\lambda|^{-1}\bigr)^{n}C_q^1|\lambda|^{-1}.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Здесь мы воспользовались леммой 2, а также оценками (3.9) и (3.10). Таким образом, для получения асимптотических формул с точностью до $o(1)\lambda^{-n}$ нужно рассмотреть не весь ряд (3.8), а только его первые $2n+1$ слагаемых
$$
\begin{equation}
z_k=\sum_{\nu=0}^{2n} V_k^{\nu}z_k^0 + o(1)\lambda^{-n}, \qquad k= 1, 2.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Заметим, что матрицы $R^m(x)$ в асимптотическом представлении (2.11) определены неоднозначно, поэтому удобно особо выделить асимптотическое представление (2.11) с матрицами $R^m(x)$, определенными (2.12), и назвать такое представление эталонным. Наметим дальнейший план доказательства. Заметим, что интегрирование по частям в координатах $V_k^{\nu}z_k^0$ не дает эталонных асимптотик. Помимо слагаемых, которые будут давать вклад в столбцы эталонных матриц, возникают дополнительные осциллирующие слагаемые (функции $\lambda^{-j}e^{\pm\lambda\mathrm{P}(x)}$ с множителями, которые определяются значениями подынтегральных функций в точках $0$ и $1$), к которым далее применяются оставшиеся степени операторов $V_k$. Но оказывается, что решения (4.2) являются линейными комбинациями эталонных решений (2.11), (2.12), а потому можно исключить возникающие дополнительные члены подбором нужных линейных комбинаций. Именно эту идею мы реализуем в дальнейшем. Шаг $2$. Доказательство теоремы при $n=1$. В случае $n=1$ утверждение теоремы получается прямым подсчетом. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &V_1\begin{pmatrix}1 \\0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ \displaystyle e^{-\lambda\mathrm{P}(x)}\int_0^xq_{21}e^{\lambda\mathrm{P}(t)}\,dt \end{pmatrix} \\ &\qquad=\begin{pmatrix} 0 \\ \lambda^{-1}r_{21}^1(x) \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 0 \\ - \lambda^{-1}e^{-\lambda\mathrm{P}(x)}r_{21}^1(0) \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 0 \\ \displaystyle-\lambda^{-1}e^{-\lambda\mathrm{P}(x)}\int_0^x(r_{21}^{1}(t))' e^{\lambda\mathrm{P}(t)}\,dt \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь при переходе ко второму равенству мы проинтегрировали по частям и воспользовались равенством $q_{21}(x)=b_{21}(x)b(x)$. Заметим, что по условию $(r_{21}^{1}(t))' \in L_1[0, 1]$. Поэтому согласно лемме 1 третий вектор в правой части последнего равенства есть $o(1)\lambda^{-1}$. Аналогично получаем
$$
\begin{equation*}
V_2\begin{pmatrix}0 \\1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\lambda^{-1}r_{12}^1(x) \\0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} - \lambda^{-1}e^{\lambda(\mathrm{P}(x)-\mathrm{P}(1))}r_{12}^1(1) \\ 0 \end{pmatrix} +o(1)\lambda^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, V_1^2\begin{pmatrix}1 \\0\end{pmatrix} &=V_1\begin{pmatrix}0 \\\lambda^{-1}r_{21}^1(x)\end{pmatrix} +V_1\begin{pmatrix}0 \\- \lambda^{-1}e^{-\lambda\mathrm{P}(x)}r_{21}^1(0)\end{pmatrix} +o(1)\lambda^{-1} \\ & =\begin{pmatrix}\lambda^{-1} I_1 r_{21}^1(x) \\0 \end{pmatrix} - \lambda^{-1}e^{-\lambda\mathrm{P}(x)}r_{21}^1(0)V_2 \begin{pmatrix}0 \\1\end{pmatrix} +o(1)\lambda^{-1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
При переходе к последнему равенству мы воспользовались сформулированным ниже замечанием 2. Аналогично,
$$
\begin{equation*}
V_2^2 \begin{pmatrix}0 \\1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\\lambda^{-1}I_2r_{12}^1(x)\end{pmatrix} -\lambda^{-1}e^{\lambda(\mathrm{P}(x)-\mathrm{P}(1))}r_{12}^1(1)V_1 \begin{pmatrix}1 \\0\end{pmatrix} +o(1)\lambda^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, первый столбец матрицы $Z(x, \lambda)$ имеет представление
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \begin{pmatrix}z_{11} \\z_{21}\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}1 \\0\end{pmatrix} +V_1\begin{pmatrix}1 \\0\end{pmatrix} +V_1^2\begin{pmatrix}1 \\0\end{pmatrix} +o(\lambda^{-1}) \\ & =\begin{pmatrix}1 \\0\end{pmatrix} +\lambda^{-1}\begin{pmatrix}I_1r_{21}^1(x) \\r_{21}^1(x)\end{pmatrix} -\lambda^{-1}e^{-\lambda\mathrm{P}(x)}r_{21}^1(0) \biggl(\begin{pmatrix}0 \\1\end{pmatrix}+V_2\begin{pmatrix}0 \\1\end{pmatrix}\biggr) +o(\lambda^{-1}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично для второго столбца матрицы получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \begin{pmatrix}z_{12} \\z_{22}\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}0 \\1\end{pmatrix} +V_2\begin{pmatrix}0 \\1\end{pmatrix} +V_2^2\begin{pmatrix}0 \\1\end{pmatrix} +o(\lambda^{-1}) \\ & =\begin{pmatrix}0 \\1\end{pmatrix} +\lambda^{-1}\begin{pmatrix}r_{12}^1(x) \\I_2r_{12}^1(x)\end{pmatrix} -\lambda^{-1}e^{\lambda(\mathrm{P}(x)-\mathrm{P}(1))}r_{12}^1(1) \biggl(\begin{pmatrix}1 \\0\end{pmatrix}+V_1\begin{pmatrix}1 \\0\end{pmatrix}\biggr) +o(\lambda^{-1}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из равенства $Y(x, \lambda)=M(x)Z(x, \lambda)E(x, \lambda)$ получаем представления для столбцов матрицы $Y(x, \lambda)$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \begin{pmatrix}y_{11} \\y_{21}\end{pmatrix} &= M(x)\biggl(\begin{pmatrix}1 \\0\end{pmatrix} +V_1\begin{pmatrix}1 \\0\end{pmatrix} +V_1^2\begin{pmatrix}1 \\0\end{pmatrix} +o(\lambda^{-1})\biggr)e^{\lambda A_1(x)} \\ & =M(x)\biggl(\begin{pmatrix}1 \\0\end{pmatrix} +\lambda^{-1}\begin{pmatrix}I_1r_{21}^1(x) \\r_{21}^1(x)\end{pmatrix} \\ &\qquad-\lambda^{-1}e^{-\lambda\mathrm{P}(x)}r_{21}^1(0) \biggl(\begin{pmatrix}0 \\1\end{pmatrix} + V_2\begin{pmatrix}0 \\1\end{pmatrix}\biggr) +o(\lambda^{-1})\biggr)e^{\lambda A_1(x)}, \\ \begin{pmatrix}y_{12} \\y_{22}\end{pmatrix} &=M(x)\biggl(\begin{pmatrix}0 \\1\end{pmatrix} +V_2\begin{pmatrix}0 \\1\end{pmatrix} +V_2^2\begin{pmatrix}0 \\1\end{pmatrix} +o(\lambda^{-1})\biggr) e^{\lambda A_2(x)} \\ &=M(x)\biggl(\begin{pmatrix}0 \\1\end{pmatrix} +\lambda^{-1}\begin{pmatrix}r_{12}^1(x) \\I_2r_{12}^1(x)\end{pmatrix} \\ &\qquad-\lambda^{-1}e^{\lambda(\mathrm{P}(x)-\mathrm{P}(1))}r_{12}^1(1) \biggl(\begin{pmatrix}1 \\0\end{pmatrix} +V_1\begin{pmatrix}1 \\0\end{pmatrix}\biggr) +o(\lambda^{-1})\biggr) e^{\lambda A_2(x)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Важно заметить, что из (2.3) очевидно следуют равенства $-\mathrm{P}(x) + A_1(x)= A_2(x)$ и $\mathrm{P}(x) + A_2(x)=A_1(x)$. Теперь нетрудно проверить, что линейные комбинации этих столбцов
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} y_{11} \\ y_{21} \end{pmatrix} + \lambda^{-1}r_{21}^1(0) \begin{pmatrix} y_{12} \\ y_{22} \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} y_{12} \\ y_{22} \end{pmatrix} + \lambda^{-1}e^{-\lambda\mathrm{P}(1)}r_{12}^1(1) \begin{pmatrix} y_{11} \\ y_{21} \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
образуют фундаментальную матрицу решений $\widehat{Y}(x, \lambda)$, при этом матрица $R^1(x)$ в представлении $\widehat{Y}(x, \lambda)$ имеет вид (2.12). Шаг $3$. Предварительные формулы. Доказательство теоремы 1 в случае $n > 1$ принципиально сложнее. Теперь множители в линейных комбинациях будут представляться уже конечной суммой по степеням $\lambda^{-1}$, а к уже построенным в случае $n=1$ коэффициентам асимптотик будут применяться операторы $\pm D$ и $J_1$, $J_2$ (они соответствуют применению операторов $V_1^2$, $V_2^2$), которые ранее мы никак не привлекали. Кратко поясним суть двух заключительных шагов доказательства. Основная цель шага 3 – явно выписать асимптотические представления векторов $V_k^{2m-1}z_k^0$ и $V_k^{2m}z_k^0$ ($k=1, 2$) с точностью до $o(1)\lambda^{-n}$. Для этого мы сначала определим асимптотическое поведение векторов
$$
\begin{equation*}
V_1z_1^0=V_1\begin{pmatrix}1 \\0\end{pmatrix}, \qquad V_1^2\begin{pmatrix}0 \\f_2(x)\end{pmatrix}, \qquad V_2z_2^0=V_2\begin{pmatrix}0 \\1\end{pmatrix}, \qquad V_2^2\begin{pmatrix}f_1(x) \\0\end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
из чего при $m=1, \dots, n$ станет понятно, как ведут себя векторы $V_k^{2m-1}z_k^0$, а именно,
$$
\begin{equation*}
(V_1^{2})^{m-1}V_1z_1^0 =\begin{pmatrix}0 \\f_{2m}(x, \lambda)\end{pmatrix}, \qquad (V_2^{2})^{m-1}V_2z_2^0 =\begin{pmatrix}f_{1m}(x, \lambda) \\0\end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
с некоторыми функциями $f_{1m}(x, \lambda)$, $f_{2m}(x, \lambda)$, вид которых мы конкретизируем в рамках третьего шага. Результаты действий четных степеней операторов $V_k^{2m}$ на векторы $z_k^0$ теперь определяются равенствами
$$
\begin{equation}
V_1(V_1^{2m-1}z_1^0) =\begin{pmatrix}I_1f_{2m}(x, \lambda) \\0\end{pmatrix}, \qquad V_2(V_2^{2m-1}z_2^0)=\begin{pmatrix}0 \\I_2f_{1m}(x, \lambda)\end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
На заключительном шаге 4 мы преобразуем суммы
$$
\begin{equation*}
\sum_{\nu=0}^{2n} V_1^{\nu}z_1^0, \qquad \sum_{\nu=0}^{2n} V_2^{\nu}z_2^0
\end{equation*}
\notag
$$
к такому виду, из которого станет очевидно, какие линейные комбинации нужно взять для получения эталонной асимптотики. Начнем реализацию намеченного плана. Выпишем результаты применения первых степеней операторов $V_k$ к векторам $z_k^0$. Имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, V_1z_1^0 &=\begin{pmatrix} 0 \\ \displaystyle\sum_{j=1}^n \lambda^{-j}(-D)^{j-1}r_{21}^1(x) \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 0 \\ \displaystyle- \sum_{j=1}^n \lambda^{-j}e^{-\lambda \mathrm{P}(x)}(-D)^{j-1}r_{21}^1(0) \end{pmatrix} \\ &\qquad +\begin{pmatrix} 0 \\ \displaystyle-\lambda^{-n}e^{-\lambda\mathrm{P}(x)}\int_0^x \bigl[(-D)^{n-1}r_{21}^{1}(t)\bigr]' e^{\lambda\mathrm{P}(t)}\,dt \end{pmatrix}, \\ V_2z_2^0 &=\begin{pmatrix} \displaystyle\sum_{j=1}^n \lambda^{-j} D^{j-1}r_{12}^1(x) \\ 0 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} \displaystyle-\sum_{j=1}^n \lambda^{-j} e^{\lambda(\mathrm{P}(x)-\mathrm{P}(1))}D^{j-1}r_{12}^1(1) \\ 0 \end{pmatrix} \\ &\qquad +\begin{pmatrix} \displaystyle\lambda^{-n}e^{\lambda\mathrm{P}(x)}\int_x^1[D^{n-1}r_{12}^{1}(t)]' e^{-\lambda\mathrm{P}(t)}\,dt \\ 0 \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
В этих формулах интегралы, определяющие действие $V_1$ и $V_2$, мы проинтегрировали по частям $n$ раз и воспользовались выражениями для $r_{21}^{1}(x)$, $r_{12}^1(x)$ из (2.12). Подчеркнем, что первые векторы в этих формулах содержат части коэффициентов (2.12), отвечающие слагаемому $((-1)^kD)^m$ в сумме $((-1)^kD+ J_k)^m$ после раскрытия скобок. Вторые векторы состоят из значений подынтегральных функций в точках $0$ и $1$, умноженных на $\lambda^{-j}e^{\pm\lambda\mathrm{P}(x)}$ (такие члены неизбежно возникают при интегрировании по частям). Третьи векторы – остатки в интегральной форме, которые по лемме 1 оцениваются величиной $o(1)\lambda^{-n}$. Теперь запишем формулы, определяющие действия операторов $V_1^2$ и $V_2^2$. Имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, V_1^2 \begin{pmatrix} 0 \\ f_2(x) \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} 0 \\ \displaystyle\sum_{j=1}^n \lambda^{-j}(-D)^{j-1}J_1f_2(x) \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 0 \\ \displaystyle-\sum_{j=1}^n \lambda^{-j} e^{-\lambda\mathrm{P}(x)}(-D)^{j-1}J_1f_2(0) \end{pmatrix} \\ &\qquad +\begin{pmatrix} 0 \\ \displaystyle-\lambda^{-n}e^{-\lambda\mathrm{P}(x)}\int_0^x \bigl[(-D)^{n-1}J_1f_2(t)\bigr]' e^{\lambda\mathrm{P}(t)}\,dt \end{pmatrix}, \\ V_2^2 \begin{pmatrix}f_1(x) \\0\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} \displaystyle\sum_{j=1}^n \lambda^{-j} D^{j-1}J_2f_1(x) \\ 0 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} \displaystyle-\sum_{j=1}^n \lambda^{-j} e^{\lambda(\mathrm{P}(x)-\mathrm{P}(1))}D^{j-1}J_2f_1(1) \\ 0 \end{pmatrix} \\ &\qquad +\begin{pmatrix} \displaystyle\lambda^{-n}e^{\lambda\mathrm{P}(x)}\int_x^1 \bigl[D^{n-1}J_2f_1(t)\bigr]' e^{-\lambda\mathrm{P}(t)}\,dt \\ 0 \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Здесь мы также проинтегрировали по частям $n$ раз и воспользовались выражениями для $J_1$, $J_2$ из (2.9). Эти формулы важно иметь в виду при вычислении степеней $(V_1^2)^{l}(V_1z_1^0)$. Например, в векторе в качестве $f_2(x)$ для $V_1^2$ будут выступать функции
$$
\begin{equation*}
\lambda^{-1}r_{21}^1(x), \quad \lambda^{-2}(-D)r_{21}^1 (x), \quad \dots, \quad \lambda^{-(n-1)}(-D)^{n-2}r_{21}^1(x),
\end{equation*}
\notag
$$
возникающие в представлении вектора $V_1z_1^0$. Из выписанных формул (4.4), (4.5) нетрудно усмотреть, что вторая координата вектора $(V_1^2)^l(V_1z_1^0)$ содержит всевозможные композиции операторов $(-D)$ и $J_1$ длиной от $l$ до $n-1$ включительно, среди которых есть ровно $l$ операторов $J_1$. Аналогичное утверждение верно для первой координаты вектора $(V_2^2)^l(V_2z_2^0)$. Теперь мы готовы явно записать асимптотическое поведение векторов
$$
\begin{equation*}
V_k^{2m-1}z_k^0, \quad V_k^{2m}z_k^0, \qquad k=1, 2, \quad m=1, \dots, n.
\end{equation*}
\notag
$$
Для этого введем обозначения для операторов
$$
\begin{equation*}
F_1^\nu := \begin{cases} -D, & \nu=0, \\ J_1, & \nu=1, \end{cases} \qquad F_2^\nu := \begin{cases} D, & \nu=0, \\ J_2, & \nu=1, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
и для множества последовательностей из нулей и единиц длины $l$ с суммой $m$
$$
\begin{equation*}
S(l, m):= \bigl\{\nu=(\nu_1, \dots, \nu_l)\mid\nu_1, \dots, \nu_l \in \{0, 1\},\,\nu_1 + \dots + \nu_l=m\bigr\}, \qquad l, m \in \{0\} \cup \mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
В дальнейшем множеству $S(k, m)$ мы будем сопоставлять сумму всевозможных композиций из $l$ операторов $F_1$ $(F_2)$, среди которых есть ровно $m$ операторов $J_1$ $(J_2)$, т.е.
$$
\begin{equation}
F(l, m, k) := \sum_{\nu \in S(l, m)}F_k^{\nu_1} \dots F_k^{\nu_l}, \qquad k =1, 2.
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Дополнительно положим $F(0, m, 1)=F(0, m, 2)=I$, где $I$ – тождественный оператор. С помощью введенных обозначений при $m=1, \dots, n$ определим функции
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, c_{1m}(x, \lambda) &:= \sum_{j=m-1}^{n-1} \lambda^{-(j+1)} F(j, m-1, 1)r_{21}^1(x), \\ c_{2m}(x, \lambda) &:= \sum_{j=m-1}^{n-1} \lambda^{-(j+1)}\bigl(F(j, m-1, 2)r_{12}^1\bigr)(x), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
и интегралы
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, l_{1m}(x, \lambda) &:= -\lambda^{-n}\int_0^x \bigl(F(n-1, m-1, 1)r_{21}^1(t)\bigr)' e^{-\lambda [\mathrm{P}(x)-\mathrm{P}(t)]}\,dt, \\ l_{2m}(x, \lambda) &:= \lambda^{-n}\int_x^1 \bigl(F(n-1, m-1, 2)r_{12}^1(t)\bigr)' e^{\lambda [\mathrm{P}(x)-\mathrm{P}(t)]}\,dt. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
При $m=1, \dots, n$, используя представления (4.4), (4.5), последовательно применим $m-1$ раз оператор $V_1^2$ к вектору $V_1z_1^0$. С учетом обозначений (4.7), (4.8) получаем
$$
\begin{equation}
V_1^{2m-1}\begin{pmatrix}1 \\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\c_{1m}(x, \lambda)\end{pmatrix} -\sum_{k=1}^{m}V_1^{2m-2k} \begin{pmatrix} 0 \\ c_{1k}(0, \lambda)e^{-\lambda \mathrm{P}(x)} \end{pmatrix} +o(1)\lambda^{-n}.
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
Третье слагаемое в этом равенстве, которое мы обозначили через $o(1)\lambda^{-n}$, в действительности имеет вид
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^{m}V_1^{2m-2k}\begin{pmatrix}0 \\l_{1k}(x, \lambda)\end{pmatrix} +\sum_{k=1}^{m-1} V_1^{2m-2k} \begin{pmatrix} 0 \\ \lambda^{-n} \bigl(F(n-1, k-1, 1)r_{21}^1\bigr)(x) \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Покажем, что это обозначение оправдано, т.е. суммы в (4.10) есть $o(1)\lambda^{-n}$. Оценка $o(1)\lambda^{-n}$ для первой суммы следует из того факта, что функции
$$
\begin{equation*}
\bigl(F(n-1, m-1, 1)r_{21}^1(t)\bigr)', \quad \bigl(F(n-1, m-1, 2)r_{12}^1(t)\bigr)', \qquad m=1, \dots, n
\end{equation*}
\notag
$$
принадлежат по крайней мере пространству $L_1[0, 1]$. Так как экспоненты в $l_{1m}$ и $l_{2m}$ ограничены числом $e^{\kappa \mathrm{P}(1)}$, то применение леммы 1 для интегралов в $l_{1m}$, $l_{2m}$ гарантирует оценку $o(1)\lambda^{-n}$. Слагаемые во второй сумме возникают, когда мы применяем сжимающий оператор $V_1^2$ к вектору вида где $f(x) \in AC[0, 1]$ и $f(x)$ не зависит от $\lambda$. Оценка $\mathcal{O}(\lambda^{-(n+1)})$ для второй суммы следует из леммы 2.Равенства (4.3) позволяют легко вычислить четные степени $V_k^{2m}z_k^0$, если уже известны нечетные степени (4.9), а именно, при $m=1, \dots, n$ имеем
$$
\begin{equation}
V_1^{2m}\begin{pmatrix}1 \\0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}I_1 c_{1m}(x, \lambda)\\0\end{pmatrix} -\sum_{k=1}^{m}V_1^{2m-2k+1} \begin{pmatrix}0 \\c_{1k}(0, \lambda)e^{-\lambda \mathrm{P}(x)}\end{pmatrix} +o(1)\lambda^{-n}.
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
Здесь мы учли, что ограниченность оператора $V_1$ сохраняет оценку $V_1o(\lambda^{-n})= o(\lambda^{-n})$. Заметим, что вторые слагаемые в правых частях равенств (4.9), (4.11) содержат те самые осциллирующие члены, о которых говорилось выше. На шаге 4 мы уберем их, подбирая нужные линейные комбинации решений. Шаг $4$. Построение линейных комбинаций при $n > 1$. Чтобы увидеть в представлениях (4.9), (4.11) формулы (2.12) для коэффициентов асимптотик изменим порядок суммирования в $\sum_{m=1}^{n} c_{km}(x, \lambda)$ и будем группировать слагаемые не по нечетным степеням оператора, а по степеням $\lambda^{-1}$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \sum_{m=1}^{n} c_{1m}(x, \lambda) &= \sum_{j=0}^{n-1} \lambda^{-(j+1)} \sum_{m=1}^{j+1} F(j, m-1, 1)r_{21}^1(x) \\ &=\sum_{j=0}^{n-1} \lambda^{-(j+1)} (-D+J_1)^j r_{21}^1(x)=\sum_{j=1}^{n} \lambda^{-j} r_{21}^{j}(x). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
Здесь мы воспользовались определением (4.6) для $F(l, m, k)$ и соображением, что объединение $\bigcup_{m=1}^{j+1} S(j, m-1)$ есть в точности множество последовательностей из нулей и единиц длины $j$. Просуммируем равенства (4.9) и (4.11) по $m$ от $1$ до $n$ и сложим их. Сгруппируем слагаемые с множителями $c_{1k}(0, \lambda)$ и учтем, что $I_1 r_{21}^m= r_{11}^m$. Тогда получим
$$
\begin{equation}
\sum_{\eta=0}^{2n}V_1^{\eta} \begin{pmatrix}1 \\0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 \\0\end{pmatrix} +\sum_{m=1}^{n} \lambda^{-m} \begin{pmatrix}r_{11}^{m}(x) \\r_{21}^{m}(x)\end{pmatrix} -\sum_{m=1}^nc_{1m}(0, \lambda)\sum_{\eta=0}^{2n-2m+1}V_1^{\eta} \begin{pmatrix}0 \\e^{-\lambda \mathrm{P}(x)}\end{pmatrix} + o(\lambda^{-n}).
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
Действуя аналогично для вычисления сумм
$$
\begin{equation*}
\sum_{\eta=0}^{2n}V_2^{\eta} \begin{pmatrix}0 \\1\end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \sum_{\eta=0}^{2n}V_2^{\eta} \begin{pmatrix}0 \\1\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}0 \\1\end{pmatrix} +\sum_{m=1}^{n} \lambda^{-m}\begin{pmatrix}r_{12}^{m}(x) \\r_{22}^{m}(x)\end{pmatrix} \\ &\qquad -\sum_{m=1}^nc_{2m}(1, \lambda)\sum_{\eta=0}^{2n-2m+1}V_2^{\eta} \begin{pmatrix}e^{\lambda[\mathrm{P}(x)-\mathrm{P}(1)]} \\0\end{pmatrix} + o(\lambda^{-n}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
В представлениях (4.13) и (4.14) уже угадывается утверждение теоремы, однако лишними являются слагаемые с множителями $c_{1m}(0, \lambda)$ и $c_{2m}(1, \lambda)$, возникшие при интегрировании по частям. Следующее ключевое замечание поможет убрать эти лишние осциллирующие члены. Замечание 2. Операторы $V_1$ и $V_2$ связаны соотношениями Преобразуем осциллирующие члены в равенствах (4.13) и (4.14) с учетом замечания 2. Имеем
$$
\begin{equation}
\sum_{m=1}^nc_{1m}(0, \lambda)\sum_{\eta=0}^{2n-2m+1}V_1^{\eta} \begin{pmatrix}0 \\e^{-\lambda \mathrm{P}(x)}\end{pmatrix} =\sum_{m=1}^nc_{1m}(0, \lambda)e^{-\lambda \mathrm{P}(x)}\sum_{\eta=0}^{2n-2m+1}V_2^{\eta} \begin{pmatrix}0 \\1\end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
$$
\begin{equation}
\sum_{m=1}^nc_{2m}(1, \lambda)\sum_{\eta=0}^{2n-2m+1}V_2^{\eta} \begin{pmatrix}e^{\lambda[\mathrm{P}(x)-\mathrm{P}(1)]} \\0\end{pmatrix} =\sum_{m=1}^nc_{2m}(1, \lambda)e^{\lambda[\mathrm{P}(x)-\mathrm{P}(1)]} \sum_{\eta=0}^{2n-2m+1}V_1^{\eta} \begin{pmatrix}1 \\0\end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
Из вида функций (4.7), оценки (3.10) для $V_kz_k^0$ и леммы 2 следует, что
$$
\begin{equation*}
\biggl\|c_{1k}(0, \lambda) V_2^{2n-2k+1} \begin{pmatrix}0 \\1\end{pmatrix}\biggr\| \leqslant \kappa_{1k}\lambda^{-(n+1)}, \qquad \biggl\|c_{2k}(1, \lambda) V_1^{2n-2k+1}\begin{pmatrix}1 \\0\end{pmatrix}\biggr\| \leqslant \kappa_{2k}\lambda^{-(n+1)}
\end{equation*}
\notag
$$
с некоторыми константами $\kappa_{1k}$, $\kappa_{2k}$. Из последних оценок следует, что в равенствах (4.15) и (4.16) вместо сумм по $\eta$ от $0$ до $2n-2m+1$ можно проводить суммирование по $\eta$ от $0$ до $2n$ без изменения остатка $o(1)\lambda^{-n}$. В итоге решения $z_1$ и $z_2$ из (4.2) принимают вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, z_1 &=\sum_{\eta=0}^{2n}V_1^{\eta}\begin{pmatrix}1 \\0\end{pmatrix} + o(\lambda^{-n}) \\ &=\begin{pmatrix}1 \\0\end{pmatrix}+\sum_{m=1}^{n} \lambda^{-m} \begin{pmatrix}r_{11}^{m}(x) \\r_{21}^{m}(x)\end{pmatrix} +C_1(\lambda)e^{-\lambda \mathrm{P}(x)}\sum_{\eta=0}^{2n}V_2^{\eta} \begin{pmatrix}0 \\1\end{pmatrix}+ o(\lambda^{-n}), \\ z_2 &=\sum_{\eta=0}^{2n}V_2^{\eta}\begin{pmatrix}0 \\1\end{pmatrix} + o(\lambda^{-n}) \\ &=\begin{pmatrix}0 \\1\end{pmatrix}+\sum_{m=1}^{n} \lambda^{-m} \begin{pmatrix}r_{12}^{m}(x) \\r_{22}^{m}(x)\end{pmatrix} +C_2(\lambda)e^{\lambda[\mathrm{P}(x)-\mathrm{P}(1)]} \sum_{\eta=0}^{2n}V_1^{\eta}\begin{pmatrix}1 \\0\end{pmatrix} + o(\lambda^{-n}), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
где множители $C_1(\lambda)$, $C_2(\lambda)$ (многочлены от $\lambda^{-1}$) определяются равенствами
$$
\begin{equation*}
C_{1}(\lambda)=-\sum_{m=1}^n c_{1m}(0, \lambda), \qquad C_{2}(\lambda)=-\sum_{m= 1}^n c_{2m}(1, \lambda).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, мы преобразовали решения $z_k$ в форме (4.2) к виду (4.17). По аналогии со случаем $n=1$ перед построением линейных комбинаций вернемся от решений $z_k$ к решениям $y_k$ по формуле $Y(x, \lambda)$ $=$ $M(x)Z(x, \lambda)E(x, \lambda)$, а именно,
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix}y_{11} \\y_{21}\end{pmatrix} =M(x)\begin{pmatrix}z_{11} \\z_{21}\end{pmatrix}e^{\lambda A_1(x)}, \qquad \begin{pmatrix}y_{12} \\y_{22}\end{pmatrix} =M(x)\begin{pmatrix}z_{12} \\z_{22}\end{pmatrix}e^{\lambda A_2(x)}.
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
Рассмотрим линейные комбинации
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix}\widehat{y}_{11} \\\widehat{y}_{21}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}y_{11} \\y_{21}\end{pmatrix} - C_1(\lambda)\begin{pmatrix}y_{12} \\y_{22}\end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix}\widehat{y}_{12} \\\widehat{y}_{22}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}y_{12} \\y_{22}\end{pmatrix} - C_2(\lambda)e^{-\lambda \mathrm{P}(1)} \begin{pmatrix}y_{11} \\y_{21}\end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
Теперь для первых столбцов обеих линейных комбинаций воспользуемся представлениями (4.17) для $z_k$, а для столбцов с множителями $-C_k(\lambda)$ воспользуемся равенствами (4.2) для $z_k$. Тогда с учетом формул перехода (4.18) и равенств $-\mathrm{P}(x) + A_1(x)=A_2(x)$, $\mathrm{P}(x) + A_2(x)=A_1(x)$ нетрудно проверить, что матрица
$$
\begin{equation*}
\widehat{Y}(x, \lambda)= \begin{pmatrix}\widehat{y}_{11} & \widehat{y}_{12} \\\widehat{y}_{21} & \widehat{y}_{22} \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
имеет представление с эталонной асимптотикой (2.10)–(2.12) при $\lambda \in \Pi_{\kappa}$, $\lambda \to \infty$. Отметим, что экспоненты $e^{\lambda[A_2(x)-A_1(x)]}$ и $e^{\lambda[A_1(x)-A_2(x)-\mathrm{P}(1)]}$ ограничены величиной $e^{\kappa\mathrm{P}(1)}$ при всех $\lambda \in \Pi_{\kappa}$. С учетом этого факта взятие линейных комбинаций (4.19) сохраняет оценку остатка в виде $o(1)\lambda^{-n}$ и меняет оценку $o(1)$ не более, чем на постоянный множитель. Из оценки хвоста ряда (4.1) и формул (4.8), (4.10) для остатков в интегральной форме нетрудно понять, что при больших $|\lambda|$ функции $o_{ij}(1)$ оцениваются величиной $C_0\Upsilon(\lambda)$, где $\Upsilon(\lambda)$ определена в (2.7), а в качестве $q_{ij}(x)$ выступают суммируемые на отрезке $[0, 1]$ функции $q_{21}(x)$, $q_{12}(x)$ и $(F(n-1, m, 1)r_{21}^1)'$, $(F(n-1, m, 2)r_{12}^1)'$ при $m =0, \dots,n-1$. Теорема доказана. 5. Асимптотики в секторах при более слабых ограничениях на матрицу $A$Утверждение теоремы 1 о существовании асимптотик решений системы (1.1) мы получили в полуплоскостях, которые покрывают (и даже с наложением друг на друга) всю комплексную $\lambda$-плоскость. Полезно отметить, что требование (1.3) можно ослабить, заменив его условием
$$
\begin{equation}
\operatorname{arg}{\{a_1(x)-a_2(x)\}} \in (-\theta, \theta), \qquad \theta \in \biggl(0, \frac{\pi}{2}\biggr), \quad a_1(x)-a_2(x) \ne 0.
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Но при этом существование асимптотик можно гарантировать лишь в двух секторах раствора $< \pi$ каждый. Приведем соответствующий результат. Теорема 2. Пусть выполнено условие (5.1) и все функции $a_i$, $b_{ij}$ принадлежат пространству $L_1[0, 1]$. Тогда при любом достаточно малом $\delta > 0$ существует матрица $Y(x, \lambda)$ фундаментальных решений системы (1.1), голоморфная в секторе $S_{\theta, \delta}=\{\lambda \mid \operatorname{arg}{\lambda} \in \bigl[-\pi/2+(\theta+\delta), \pi/2-(\theta+\delta)\bigr]\}$ при больших $|\lambda|$ и имеющая представление (2.10). Если дополнительно выполнено условие (1.5), то существует матрица $Y(x, \lambda)$ фундаментальных решений системы (1.1), имеющая представление (1.6), где матрицы $R_k(x)$ определенны формулами (2.12), а функция остатка $o(1)$ голоморфна в более широком секторе $S_{\theta, 0}= \{\lambda \mid \operatorname{arg}{\lambda} \in [-\pi/2+\theta, \pi/2-\theta]\}$. Для этой функции справедливы такие же оценки как в теореме 1. Аналогичное утверждение верно, если секторы $S_{\theta, \delta}$ и $S_{\theta, 0}$ заменить на секторы $-S_{\theta, \delta}$ и $-S_{\theta, 0}$ соответственно. Доказательство. Повторим шаги доказательства теоремы 1, изменив только утверждение леммы 1. Начнем со случая интегрируемых коэффициентов. Напомним, что согласно введеным обозначениям
Представим $\lambda$ и функции $a(x)$, $\mathrm{P}(x)$ в виде сумм действительной и мнимой частей
$$
\begin{equation*}
\lambda=\lambda_{\mathrm{re}} + i\lambda_{\mathrm{im}}, \qquad a(x)=a_{\mathrm{re}}(x) + ia_{\mathrm{im}}(x), \qquad \mathrm{P}(x)= \mathrm{P}_{\mathrm{re}}(x) + i\mathrm{P}_{\mathrm{im}}(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь зафиксируем произвольное $\delta \in (0, \pi/2-\theta)$ из условия теоремы 2. Тогда для некоторого малого $\varepsilon \in (0, 1)$ при всех $\lambda \in S_{\theta, \delta}$ и $x \in [0, 1]$ будут выполнены неравенства
$$
\begin{equation}
\lambda_{\mathrm{re}} \geqslant (1-\varepsilon)^{-1}|\lambda_{\mathrm{im}}|\operatorname{tg}{\theta} \geqslant (1-\varepsilon)^{-1}|\lambda_{\mathrm{im}}|\frac{|a_{\mathrm{im}}(x)|}{a_{\mathrm{re}}(x)}.
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
Из (5.2) очевидно следует неравенства
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Re}\{-\lambda a(x)\} \leqslant -\varepsilon \lambda_{\mathrm{re}}a_{\mathrm{re}}(x) \leqslant -\widehat{\varepsilon}|\lambda|a_{\mathrm{re}}(x), \qquad \widehat{\varepsilon}= \varepsilon\bigl(1+ctg^2(\theta+\delta)\bigr)^{-1/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Зафиксируем произвольные $s$, $x$. Для оценки $|v_{11}(s, x, \lambda)|$ внесем модуль под знак интеграла. Тогда с учетом последнего неравенства при всех $\lambda \in S_{\theta, \delta}$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |v_{11}(s, x, \lambda)| & \leqslant \int_{\max\{x, s\}}^1 |q_{12}(t)|e^{\operatorname{Re}\{-\lambda(\mathrm{P}(t)-\mathrm{P}(s))\}}\,dt \\ &\leqslant \int_{\max\{x, s\}}^1 |q_{12}(t)|e^{-\widehat{\varepsilon}|\lambda| (\mathrm{P}_{\mathrm{re}}(t)-\mathrm{P}_{\mathrm{re}}(s))}\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
При этом из определения функции $P(x)$ и условия (5.1) очевидно, что $\mathrm{P}_{\mathrm{re}}(x)$ – строго монотонная и неотрицательная функция. Далее оценка интеграла проводится тем же путем, что и в лемме 1 для случая интегрируемых коэффициентов. Важно отметить, что в случае $\delta=0$ неравенство (5.2) может уже не выполняться, поэтому в случае интегрируемых коэффициентов необходимо рассматривать сектор раствора меньше, чем $\pi-2\theta$. Если выполнено условие (1.5), то достаточно заметить, что $\operatorname{Re} \lambda a(x) \geqslant 0$ при всех $x \in [0,1]$ и $\lambda \in S_{\theta, 0}$, поэтому доказательство завершается интегрированием по частям так же, как в лемме 1 для случая абсолютно непрерывных коэффициентов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KosShk23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|