| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Краткие сообщения Числа Гурвица для групп Коксетера типов Р. Феслер Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г. Москва
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S000143462311038X 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеРассмотрим разбиение $\lambda \stackrel{\mathrm{def}}{=} (\lambda_1 \geqslant \dots\geqslant \lambda_s)$ числа $n \stackrel{\mathrm{def}}{=}|\lambda|\stackrel{\mathrm{def}}{=} \lambda_1 +\dots+\lambda_s$. Пусть $m$ – натуральное число. Число Гурвица $h_{m,\lambda}$ по определению равно ${1}/{n!}$, умноженному на количество последовательностей $\sigma_1,\dots, \sigma_m \in S_n$ транспозиций (т.е. $\sigma_k=(i_k,j_k)$ для каждого $k$) таких, что произведение $\sigma_1 \dotsb \sigma_m \in S_n$ имеет циклический тип $\lambda$. Числа Гурвица являются ответом во множестве задач комбинаторики, топологии, алгебраической геометрии и других; см., например, [1]–[4]. Производящая функция чисел Гурвица
$$
\begin{equation*}
H(\beta,p) \stackrel{\mathrm{def}}{=} \sum_{m,\lambda} h_{m,\lambda} \frac{\beta^m}{m!} p_{\lambda_1} \dotsb p_{\lambda_s}
\end{equation*}
\notag
$$
удовлетворяет уравнению cut-and-join ${\partial H}/{\partial \beta} = \mathcal C \mathcal J(H)$, где
$$
\begin{equation}
\mathcal C \mathcal J=\frac12 \sum_{i,j=1}^\infty (i+j) p_i p_j\,\frac{\partial}{\partial p_{i+j}}+ij p_{i+j} \,\frac{\partial^2}{\partial p_i\,\partial p_j},
\end{equation}
\tag{1}
$$
а также является $\tau$-функцией интегрируемой иерархии КП [5], [6]. В данной заметке мы рассматриваем аналог чисел Гурвица для групп Коксетера (групп, порожденных отражениями) $B_n$ и $D_n$. Роль транспозиций в них будут играть отражения, а циклический тип заменяется на класс сопряженности. 2. Структура групп $B_n$ и $D_n$Существует хорошо известное (см. [7]) вложение группы $B_n$ в группу перестановок $S_{2n}$ в качестве нормализатора $\operatorname{Norm}(\tau)$ элемента $\tau=(1,n+1) (2,n+2) \dots (n,2n)$. Отражения в $B_n$ при этом вложении переходят в перестановки $r_{ij} = (ij)(\tau(i),\tau(j))$ и $\ell_i=(i,\tau(i))$; здесь $1 \leqslant i,j \leqslant 2n$. Группа $D_n$ – пересечение группы $B_n$ с подгруппой четных перестановок; она порождена отражениями $r_{ij}$. Пусть $x \in \operatorname{Norm}(\tau)$, и пусть $x=c_1 \dotsb c_k$ – разложение на независимые циклы. Тогда для каждого цикла $c_i$, $i=1,\dots, k$, верно одно из двух: либо в разложении имеется другой цикл $c_j=\tau c_i \tau$ той же длины, либо $c_i$ имеет четную длину и $\tau$-инвариантен: $c_i=\tau c_i \tau$. Зафиксируем два разбиения, $\lambda=(\lambda_1\geqslant\dots\geqslant \lambda_s)$ и $\mu=(\mu_1\geqslant\dots\geqslant \mu_t)$, для которых $|\lambda|+ |\mu|=n$, и рассмотрим множество $C_{\lambda\mid\mu}$, состоящее из всех элементов $x \in B_n \subset S_{2n}$, разложение которых на циклы состоит из пар циклов $c_i$ и $\tau c_i \tau$ длиной $\lambda_1,\dots, \lambda_s$ (имеется в виду длина каждого из циклов) и из $\tau$-инвариантных циклов $c_i=\tau c_i \tau$, длины которых равны $2\mu_1,\dots, 2\mu_t$ (напомним, что длины должны быть четными). Теорема 1 [8; предложение 25]. Множество $C_{\lambda\mid\mu} \subset B_n$ явчляется классом сопряженности. Каждый класс сопряженности в группе $B_n$ имеет вид $C_{\lambda\mid\mu}$ для некоторых разбиений $\lambda$ и $\mu$ таких, что $|\lambda|+|\mu|=n$. Описание классов сопряженности группы $D_n$ несколько сложнее. Теорема 2 [8; предложение 25]. 1. Если разбиение $\mu$ содержит четное число частей, то класс сопряженности $C_{\lambda\mid\mu} \subset B_n$ лежит в группе $D_n$; если же количество частей нечетно, класс не пересекается с $D_n$. 2. Если $\mu \ne \varnothing$ и содержит четное количество частей, то $C_{\lambda\mid\mu}$ – класс сопряженности в группе $D_n$. 3. Если хотя бы одна из частей $\lambda_i$ разбиения $\lambda$ – нечетное число, то $C_{\lambda\mid\varnothing}$ – класс сопряженности в группе $D_n$. 4. Если все части $\lambda_i$ – четные числа, то $C_{\lambda \mid \varnothing}$ распадается на два класса сопряженности в группе $D_n$, $C_{\lambda\mid\varnothing}^+$ и $C_{\lambda\mid\varnothing}^-$. Любой класс сопряженности в группе $D_n$ – один из перечисленных выше. В частности, отражения $r_{ij}$ образуют класс сопряженности $C_{2^1 1^{n-2} \mid \varnothing} \subset D_n \subset B_n$, а отражения $\ell_i$ – класс сопряженности$C_{1^{n-1} \mid 1^1} \subset B_n$. Мы будем обозначать эти классы $\mathcal R$ и $\mathcal L$ соответственно. 3. Числа Гурвица и уравнение cut-and-joinЗафиксируем пару разбиений $\lambda, \mu$, для которых $|\lambda|+|\mu|=n$, и пусть $C_{\lambda\mid\mu} \subset B_n$ – определенный выше класс сопряженности. Определение 1. Говорят, что последовательность отражений $(\sigma_1,\dots, \sigma_{m+\ell})$ в группе $B_n$ имеет профиль $(\lambda,\mu,m,\ell)$, если $\#\{p \mid \sigma_p \in {\mathcal R}\} = m$, $\#\{p \mid \sigma_p\in {\mathcal L}\}=\ell$ и $\sigma_1 \dots \sigma_{m+\ell} \in C_{\lambda \mid \mu}$. Число Гурвица для группы $B_n$ $h_{m,\ell,\lambda,\mu}^B$ определяется как $({1}/{n!}) \#\{(\sigma_1,\dots, \sigma_{m+\ell})$ – последовательность профиля $(\lambda,\mu,m,\ell)\}$. Число Гурвица для группы $D_n$ определяется как $h_{m,\lambda,\mu}^D \stackrel{\mathrm{def}}{=} h_{m,0,\lambda,\mu}^B$. Обозначим
$$
\begin{equation*}
\mathcal A_{\lambda\mid \mu} \stackrel{\mathrm{def}}{=} \frac{1}{\#C_{\lambda\mid\mu}} \sum_{x \in C_{\lambda\mid\mu}} x \in \mathbb{C}[B_n]
\end{equation*}
\notag
$$
среднее арифметическое элементов класса сопряженности. Элементы $\mathcal A_{\lambda\mid \mu}$ принадлежат центру $Z[B_n]$ групповой алгебры группы $B_n$ и образуют в нем базис. Рассмотрим теперь кольцо многочленов $\mathbb{C}[p,q]$, где $p=(p_1, p_2, \dots)$ и $q=(q_1, q_2, \dots)$ – два бесконечных набора переменных. Кольцо градуировано по общей степени многочлена, причем предполагается, что $\deg p_k=\deg q_k =k$ для любого $k=1,2,\dots$. Отображение, переводящее $\mathcal A_{\lambda\mid \mu}$ в $p_\lambda q_\mu \stackrel{\mathrm{def}}{=} p_{\lambda_1} \dots p_{\lambda_s} q_{\mu_1} \dots q_{\mu_t}$ – изоморфизм между $Z[B_n]$ и $\mathbb{C}[p,q]_n$ – однородной компонентой степени $n$ кольца. Ситуация для группы $D_n$ аналогична (см. подробности в [8]): средние арифметические $\mathcal A_{\lambda\mid \mu}$, где разбиение $\mu \ne \varnothing$ содержит четное число частей, а также средние арифметические
$$
\begin{equation*}
\mathcal A_{\lambda\mid\varnothing} \stackrel{\mathrm{def}}{=} \frac{1}{\# C_{\lambda\mid\varnothing}} \sum_{x \in C_{\lambda\mid\varnothing}^+ \cup C_{\lambda\mid\varnothing}^-} x \in \mathbb{C}[D_n]
\end{equation*}
\notag
$$
образуют базис в пространстве $V_n^+ \subset Z[D_n]$, изоморфном подпространству $Q_n \subset \mathbb{C}[p,q]_n$, состоящему из многочленов четной степени по $q$. При нечетном $n$ имеет место равенство $Z[D_n]=V_n^+$, а при четном $n$ – равенство $Z[D_n]=V_n^+ \oplus V_n^-$, где пространство $V_n^-$ порождено элементами
$$
\begin{equation*}
\mathcal B_\lambda \stackrel{\mathrm{def}}{=} \frac{1}{\#C_{\lambda\mid\varnothing}}\biggl(\sum_{x \in C_{\lambda\mid\varnothing}^+} x - \sum_{x \in C_{\lambda\mid\varnothing}^-} x\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Отображение, переводящее $\mathcal B_\lambda$ в $p_{\lambda_1/2} \dots p_{\lambda_s/2}$ (напомним, что все части $\lambda_i$ разбиения $\lambda$ четные) изоморфизм между $V_n^-$ и $\mathbb{C}[p]_{n/2}$. Пусть теперь $\mathcal C \mathcal J_1, \mathcal C \mathcal J_2\colon \mathbb{C}[p,q]_n \to \mathbb{C}[p,q]_n$ – линейные операторы, для которых следующие диаграммы коммутативны: Здесь
$$
\begin{equation*}
T_1 \stackrel{\mathrm{def}}{=} \frac12 \sum_{1 \leqslant i,j \leqslant 2n} r_{ij}, \qquad\text{и}\qquad T_2 \stackrel{\mathrm{def}}{=} \frac12 \sum_{1 \leqslant i \leqslant 2n} \ell_i
\end{equation*}
\notag
$$
– суммы отражений, принадлежащих классам $\mathcal R$ и $\mathcal L$ соответственно. Теперь соберем числа Гурвица для группы $B_n$ в следующую производящую функцию:
$$
\begin{equation*}
\mathcal{H}^B(\beta,\gamma,p,q)=\sum_{m,\ell}\sum_{\lambda,\mu} \frac{ h_{m,\ell,\lambda,\mu}^B}{m!\,\ell!} p_{\lambda}q_{\mu}\beta^m\gamma^\ell.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 3. $\mathcal C \mathcal J_1$ и $\mathcal C \mathcal J_2$ – дифференциальные операторы, задаваемые формулами 4. Замена переменных и явные формулыНепосредственные вычисления показывают, что при замене переменных $u_\ell=(p_\ell+q_\ell)/2$ и $v_\ell = (p_\ell-q_\ell)/2$, $\ell=1, 2, \dots$, операторы cut-and-join переходят в
$$
\begin{equation*}
\mathcal C \mathcal J_1 \mapsto \mathcal C \mathcal J_u+\mathcal C \mathcal J_v, \qquad \mathcal C \mathcal J_2 \mapsto E_u - E_v.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $\mathcal C \mathcal J_u$ и $\mathcal C \mathcal J_v$ – классический оператор cut-and-join (1), где переменные $p_i$ заменяются на $u_i$ и $v_i$, соответственно. $E_u, E_v$ – эйлерово векторное поле $E \stackrel{\mathrm{def}}{=} \sum_{i=1}^\infty ip_i \,\partial /{\partial p_i}$, где произведена та же замена. Теорема 4. Для любых разбиений $\lambda$ и $\mu$ многочлены где $s_\lambda$ и $s_\mu$ – многочлены Шура, а $(p \pm q)/2$ означает $((p_1 \pm q_1)/2, (p_2 \pm q_2)/2, \dots)$, – собственные векторы операторов $\mathcal C \mathcal J_1$ и $\mathcal C \mathcal J_2$. Соответствующие собственные значения равны $\sum_{i=1}^\infty \bigl(\lambda_i(\lambda_i-2i+1)+\mu_i(\mu_i-2i+1)\bigr)$ для $\mathcal C \mathcal J_1$ и $\sum_{i=1}^\infty (\lambda_i - \mu_i)$ для $\mathcal C \mathcal J_2$. Следствие 2. Имеем Это аналог формулы, выражающей классические числа Гурвица через многочлены Шура, см. [5]. Для группы $D_n$ подпространства $V_n^+, V_n^- \subset Z[D_n]$ инвариантны относительно умножения на $T_1$. Обозначим $\mathcal C \mathcal J_1^D$, $\mathcal C \mathcal J_2^D$ операторы, для которых коммутативны следующие диаграммы: Теорема 5. Оператор $\mathcal C \mathcal J_1^D$ – ограничение оператора $\mathcal C \mathcal J_1^B$ на подпространство $Q_n \subset \mathbb{C}[p,q]_n$ многочленов четной степени по переменным $q$. Оператор $\mathcal C \mathcal J_2^D$ (определенный только для четных $n$) заменой переменных $p_i \mapsto p_i/2$ переводится в умноженный на $4$ оператор cut-and-join (1), в котором $n \mapsto n/2$. Существуют явные формулы, выражающие $h_{m,0,\lambda,\mu}^B$ через классические числа Гурвица $h_{m,\lambda}$. Для произвольной последовательности $c=(c_1,\dots, c_k)$ натуральных чисел обозначим $\xi(c)$ разбиение, содержащее $c_1$ частей, равных $1$, $c_2$ частей, равных $2$, и т.д. Тогда $| \xi(c)|=c_1+2c_2+\dots+ kc_k$. Для натуральных чисел $p$, $q$, $r$ обозначим $f^r_{pq}$ коэффициент при $x^r$ в многочлене $(1+x)^p(1-x)^q$. Пусть $\lambda \stackrel{\mathrm{def}}{=} \xi(\gamma)$ и $\mu \stackrel{\mathrm{def}}{=} \xi(\delta)$. Тогда Теорема 6. 5. Иерархия КП и числа Гурвица для группы $B_n$Иерархия КП – одна из наиболее изученных интегрируемых систем; см., например, [9]–[11]. Она представляет собой бесконечную систему уравнений в частных производных, применяемых к формальному ряду $F \in \mathbb{C}[[t]]$ от бесконечного числа переменных (“времен”) $t=(t_1, t_2, \dots)$. Если ряд $F$ – решение иерархии, его экспонента $\tau= e^F$ называется $\tau$-функцией. Теорема 7. Производящая функция $\mathcal{H}^B(\beta,\gamma,u+v,u-v)$ – $2$-параметрическое семейство $\tau$-functions иерархии КП, отдельно по переменным $u$ и по переменным $v$. БлагодарностиАвтор благодарен своему научному руководителю Ю. М. Бурману за многочисленные плодотворные обсуждения и постоянное внимание к работе.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Fes23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|