| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Следы пространств Соболева на кусочно регулярных по Альфорсу–Давиду множествах А. И. Тюленевab a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва b Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623090079 
Реферативные базы данных:
  ВведениеПусть $p \in (1,\infty)$ и пусть $(\operatorname{X},\operatorname{d},\mu)$ – метрическое пространство с равномерно локально удваивающей мерой, допускающее слабое локальное $(1,p)$-неравенство Пуанкаре (см. детали в разделе 2). Проблема точного описания следов пространства Соболева $W_{p}^{1}(\operatorname{X})$ на различных замкнутых множествах $S \subset \operatorname{X}$ привлекает большое внимание в последнее время [1]–[6] (см. также ссылки в этих работах). Кроме того, для области $\Omega \subset \operatorname{X}$ связанная по смыслу проблема точного описания следа пространства Соболева первого порядка $W_{p}^{1}(\Omega)$ на границе $\partial \Omega$ также представляет большой интерес [7]–[9]. Однако, во всех вышеупомянтуых работах предполагалось, что $S$ (или $\partial \Omega$) удовлетворяет своего рода коразмерностному условию регулярности типа Альфорса–Давида, т.е. $S \in \mathcal{ADR}_{\theta}(\operatorname{X})$ при некотором $\theta \geqslant 0$ (см. определение 1.1). К сожалению, при $\theta \geqslant 0$ класс $\mathcal{ADR}_{\theta}(\operatorname{X})$ очень узок. Например, можно построить простые плоские спрямляемые кривые, которые не принадлежат $\mathcal{ADR}_{\theta}(\mathbb{R}^{2})$ для любого $\theta \geqslant 0$ [10]. В работе [11] при $\theta \geqslant 0$ был введен класс всех регулярных снизу в смысле $\theta$-коразмерностного обхвата множеств $\mathcal{LCR}_{\theta}(\operatorname{X})$ (см. определение 1.3). При $\theta \geqslant 0$ имеем $\mathcal{ADR}_{\theta}(\operatorname{X}) \subset \mathcal{LCR}_{\theta}(\operatorname{X})$ [11], но, как правило, класс $\mathcal{LCR}_{\theta}(\operatorname{X})$ гораздо шире, чем класс $\mathcal{ADR}_{\theta}(\operatorname{X})$ [4], [11]. При $\theta \in [0,p)$ для замкнутого множества $S \in \mathcal{LCR}_{\theta}(\operatorname{X})$ автор получил в [11] точное описание следа пространства $W_{p}^{1}(\operatorname{X})$ на $S$. Результаты работы [11] покрывают все известные ранее результаты, касающиеся следов пространств $W_{p}^{1}(\operatorname{X})$ на различных множествах $S \subset \operatorname{X}$. В то же самое время, из-за большой общности соответствующие критерии из [11] весьма абстрактны. Действительно, в их формулировках существенную роль играли некоторые специальные последовательности мер, названные $\theta$-регулярными. Конструкции таких последовательностей мер, приведенные в [11], были основаны на некоторых нетривиальных методах, включающих двоичные кубы Криста и локальную $\ast$-слабую сходимость мер. Этот факт делает соответствующие критерии весьма неудобными для приложений. В действительности, нахождение простых явных конструкций $\theta$-регулярных последовательностей мер – тонкая проблема. Естественно найти некоторые частные случаи множеств $S \in \mathcal{LCR}_{\theta}(\operatorname{X}) \setminus \mathcal{ADR}_{\theta}(\operatorname{X})$, $\theta \geqslant 0$, для которых можно легко построить соответствующие примеры $\theta$-регулярных последовательностей мер. Первый шаг в этом направлении – рассмотреть кусочно регулярные по Альфорсу–Давиду множества $S$, т.е. множества $S$, которые могут быть представлены как конечное объединение регулярных по Альфорсу–Давиду множеств различной коразмерности. Более точно, при $p \in (1,\infty)$ предположим, что $S=\bigcup_{i=1}^{N}S^{i}$ при некотором $N \in \mathbb{N}$, $N \geqslant 2$, где при каждом $i \in \{1,\dots ,N\}$
$$
\begin{equation*}
S^{i} \in \mathcal{ADR}_{\theta_{i}}(\operatorname{X})
\end{equation*}
\notag
$$
и $0 \leqslant \theta_{1} < \theta_{2} < \dots < \theta_{N} < p$. При $\theta \in [\theta_{N},p)$ мы построим в данной работе явные примеры $\theta$-регулярных последовательностей мер, сконцентрированных на $S$ и получим явные точные внутренние описания следа пространства Соболева $W_{p}^{1}(\operatorname{X})$ на $S$. Насколько нам известно, результаты настоящей статьи являются новыми и не могли быть получены с помощью известных ранее методов. Мы полагаем, что наши результаты достаточно прозрачны и могут быть эффективно использованы в теории граничных задач для уравнений в частных производных. В заключение стоит отметить, что хотя методы работы автора [11] позволяют охватить случаи, когда множество $S$ составлено из бесконечного числа регулярных по Альфорсу–Давиду множеств различной коразмерности, достаточно сложно сделать соответствующие критерии прозрачными. В настоящей заметке мы существенно используем факт того, что $N < +\infty$. Кроме того, соответствующие промежуточные константы существенно зависят от $N$. Отметим, однако, что в [10] автор сделал первую попытку построения явных примеров $1$-регулярных последовательностей мер, а также привел соответствующие критерии на след в случае, когда $S=\Gamma \subset \mathbb{R}^{2}$ – спрямляемая кривая положительной длины без самопересечений. Ясно, что, вообще говоря, такая кривая не может быть получена как конечное объединение регулярных по Альфорсу–Давиду множеств. Мы разобьем основные результаты данной статьи на две части. Первая часть соответствует случаю, когда $\theta_{i} > 0$ при всех $i \in \{1,\dots ,N\}$. Этот случай технически проще, потому что множество $S$ является пористым. Во второй части мы считаем, что $\theta_{1}=0$ и $\theta_{i} > 0$ при всех $i \in \{2,\dots ,N\}$. Этот случай более замысловатый, потому что $S$ уже вообще говоря не является пористым. 1. Необходимые сведения и вспомогательные результаты1.1. Базовые предположенияНа протяжении всей статьи мы фиксируем метрическое пространство с мерой $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d},\mu)$, где $(\operatorname{X},\operatorname{d})$ – полное сепарабельное метрическое пространство, а $\mu$ – борелевски регулярная внешняя мера на $\operatorname{X}$ с носителем $\operatorname{supp}\mu=\operatorname{X}$, удовлетворяющая условию равномерно локального удвоения, т.е. для любого $R > 0$ имеем $B_{R}(x) \in (0,+\infty)$ при $x \in \operatorname{X}$ и
$$
\begin{equation}
C_{\mu}(R):=\sup_{r (0,R]}\sup_{x \in \operatorname{X}}\frac{\mu(B_{2r}(x))}{\mu(B_{r}(x))} < +\infty,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где $B_{r}(x)$ – замкнутый шар радиуса $r$ с центром в $x$, т.е.
$$
\begin{equation}
B_{r}(x):=\{y \in \operatorname{X}\colon \operatorname{d}(x,y) \leqslant r\}.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Кроме того, под шаром мы всегда подразумеваем замкнутый шар $B=B_{r}(x)$ при некоторых $r \geqslant 0$ и $x \in \operatorname{X}$. Очевидно, если рассматривать данный шар $B$ лишь как подмножество в $\operatorname{X}$, то может случиться так, что центр и радиус такого шара не определены однозначно. Следовательно, в дальнейшем мы всегда рассматриваем заданный шар $B$ вместе с некоторым фиксированным центром $x_{B}$ и фиксированным радиусом $r_{B}$. Для шара $B=B_{r}(x)$ и константы $c \geqslant 0$ положим $cB:=B_{cr}(x)$. Скажем, что семейство $\mathcal{F}$ подмножеств $\operatorname{X}$ дизъюнктно, если $F_{1} \cap F_{2}=\varnothing$ для различных множеств $F_{1},F_{2} \in \mathcal{F}$. Через $\operatorname{LIP}(\operatorname{X})$ обозначим линейное пространство всех вещественнозначных липшицевых функций на $\operatorname{X}$, т.е. $f \in \operatorname{LIP}(\operatorname{X})$ в том и только том случае, если существует $L_{f} \geqslant 0$, для которой
$$
\begin{equation*}
|f(x)-f(y)| \leqslant L_{f}\operatorname{d}(x,y) \qquad \text{при} \quad (x,y) \in \operatorname{X} \times \operatorname{X}.
\end{equation*}
\notag
$$
Под мерой на $\operatorname{X}$ мы всегда подразумеваем ненулевую борелевски регулярную (внешнюю) меру $\mathfrak{m}$ с носителем $\operatorname{supp}\mathfrak{m} \subset \operatorname{X}$. Скажем, что $\mathfrak{m}$ локально конечна, если $\mathfrak{m}(B_{r}(x)) < +\infty$ для всех $x \in \operatorname{X}$ и всех $r \in [0,+\infty)$. При $p \in [1,\infty)$ через $L_{p}(\mathfrak{m})$ ($L^{\mathrm{loc}}_{p}(\mathfrak{m})$) обозначим линейное пространство $\mathfrak{m}$-классов $[f]$ эквивалентности всех $p$-интегрируемых (локально $p$-интегрируемых) функций $f\colon \operatorname{supp}\mathfrak{m} \to [-\infty,+\infty]$. При этом зачастую, если это ясно из контекста, мы будем отождествлять класс $[f]$ с произвольным представителем этого класса. Фраза “функция $f \in L_{p}(\mathfrak{m})$ ($f \in L^{\mathrm{loc}}_{p}(\mathfrak{m})$)” означает, что соответствующий класс эквивалентности принадлежит $L_{p}(\mathfrak{m})$ ($L^{\mathrm{loc}}_{p}(\mathfrak{m})$). Если дана последовательность мер $\{\mathfrak{m}_{k}\}=\{\mathfrak{m}_{k}\}_{k=0}^{\infty}$ на $\operatorname{X}$ такая, что $\operatorname{supp}\mathfrak{m}_{k}=\operatorname{supp}\mathfrak{m}_{0}$ при $k \in \mathbb{N}$, то полагаем $L_{p}(\{\mathfrak{m}_{k}\}):=\bigcap_{k=0}^{\infty}L_{p}(\mathfrak{m}_{k})$ и $L^{\mathrm{loc}}_{p}(\{\mathfrak{m}_{k}\}) :=\bigcap_{k=0}^{\infty}L^{\mathrm{loc}}_{p}(\mathfrak{m}_{k})$ соответственно. Для заданной борелевски регулярной локально конечной (внешней) меры $\mathfrak{m}$ на $\operatorname{X}$, для любой функции $f \in L_{1}^{\mathrm{loc}}(\mathfrak{m})$ и любого борелевского множества $G \subset \operatorname{X}$ с мерой $\mathfrak{m}(G) < +\infty$ положим
$$
\begin{equation}
f_{G,\mathfrak{m}}:= \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int _{G}f(x)\,d\mathfrak{m}(x):= \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{\mathfrak{m}(G)}\int_{G}f(x)\,d\mathfrak{m}(x),&\mathfrak{m}(G) > 0, \\ 0,& \mathfrak{m}(G)=0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Положим также
$$
\begin{equation}
\mathcal{E}_{\mathfrak{m}}(f,G):=\inf_{c \in \mathbb{R}} \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int _{G}|f(x)-c|\,d\mathfrak{m}(x), \qquad \mathcal{OSC}_{\mathfrak{m}}(f,G) := \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int _{G} \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int _{G}|f(x)-f(y)|\,d\mathfrak{m}(x)\,d\mathfrak{m}(y).
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Легко проверить, что (см. доказательство в [11; § 2])
$$
\begin{equation}
\mathcal{E}_{\mathfrak{m}}(f,G) \leqslant \mathcal{OSC}_{\mathfrak{m}}(f,G) \leqslant 2 \mathcal{E}_{\mathfrak{m}}(f,G).
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
Наконец, на протяжении статьи фиксируем параметр $p \in (1,\infty)$ и предположим, что пространство $\operatorname{X}$ допускает слабое локальное $(1,p)$-неравенство Пуанкаре, т.е. для любого $R > 0$ существуют константы $C=C(R) > 0$, $\lambda=\lambda(R) \geqslant 1$ такие, что для любой функции $f \in \operatorname{LIP}(\operatorname{X})$ справедливо следующее неравенство:
$$
\begin{equation}
\mathcal{E}_{\mu}(f,B_{r}(x)) \leqslant C r \biggl( \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int _{B_{\lambda r}(x)}(\operatorname{lip}f(y))^{p}\,d\mu(y)\biggr)^{1/p} \qquad \text{при всех} \quad (x,r) \in \operatorname{X} \times (0,R],
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
где $\operatorname{lip}f(y):=\varlimsup_{z \to y} |f(y)-f(z)|/\operatorname{d}(y,z)$ при условии, что $y \in \operatorname{X}$ – точка прикосновения и $\operatorname{lip}f(y)=0$ при условии, что $y$ – изолированная точка. Наши предположения относительно пространства $\operatorname{X}$ достаточно типичны в современном геометрическом анализе и влекут некоторые хорошие свойства $\operatorname{X}$. Читатель может найти в замечательной монографии [12] подробное изложение теории метрических пространств с мерой, удовлетворяющих предположениям, принятым в настоящей статье. Имеем следующий результат (см. [11; предложение 2.23]). Предложение 1.1. Для любого $R > 0$ существует такое число $Q=Q(R) > 0$, что мера $\mu$ имеет свойство относительного убывания объема порядка $Q$, т.е. существует $C(R,Q) > 0$ такое, что Имея в нашем распоряжении предложение 1.1, через $\underline{Q}_{\mu}$ обозначим инфимум множества всех $Q$, для которых справедливо (1.7). Аналогично, через $\overline{q}_{\mu}$ обозначим супремум множества всех $q$, для которых справедливо (1.8). Замечание 1.1. Ясно, что $\overline{q}_{\mu} \leqslant \underline{Q}_{\mu}$. К сожалению, во многих случаях существует зазор между этими параметрами, т.е. $\overline{q}_{\mu}$ может быть гораздо меньше, чем $\underline{Q}_{\mu}$. Читатель может найти интересные примеры, иллюстрирующие этот феномен в [13]. Для заданного множества $E \subset \operatorname{X}$, для любого $k \in \mathbb{Z}$ через $Z_{k}(E)$ будем обозначать произвольное $2^{-k}$-разделенное подмножество $E$. Кроме того, через $\mathcal{A}_{k}(E)$ обозначим соответствующее индексное множество, т.е. $Z_{k}(E):=\{z_{k,\alpha}\colon \alpha \in \mathcal{A}_{k}(E)\}$. Мы полагаем далее $B_{k,\alpha}:=B_{2^{-k}}(z_{k,\alpha})$. Напомним следующее элементарное предложение (см. детали в [11]). 1.2. Регулярные множестваПоскольку зависимость $\mu(B_{r}(x))$ от $r$ не является, вообще говоря, степенью $r$, естественно рассмотреть коразмерностные замены для привычных обхватов и мер по Хаусдорфу. Более точно, следуя [7]–[9], [14], [2], при $\theta \geqslant 0$ для каждого множества $E \subset \operatorname{X}$ и любого $\delta \in (0,+\infty]$ мы положим
$$
\begin{equation}
\mathcal{H}_{\theta,\delta}(E):=\inf\biggl\{\sum \frac{\mu(B_{r_{i}}(x_{i}))}{(r_{i})^{\theta}}\colon E \subset \bigcup B_{r_{i}}(x_{i}) \text{ и } 0 < r_{i} < \delta\biggr\},
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
где инфимум взят по всем не более чем счетным покрытиям $E$ шарами $\{B_{r_{i}}(x_{i})\}$ с радиусами $r_{i} \in (0,\delta)$. При $\delta > 0$ отображение $\mathcal{H}_{\theta,\delta}\colon 2^{\operatorname{X}} \to [0,+\infty]$ называется $\theta$-коразмерностным обхватом по Хаусдорфу на масштабе $\delta$. Определим $\theta$-коразмеронстную меру Хаусдорфа равенством
$$
\begin{equation}
\mathcal{H}_{\theta}(E):=\lim_{\delta \to 0}\mathcal{H}_{\theta,\delta}(E).
\end{equation}
\tag{1.11}
$$
Замечание 1.2. Ясно, что при $\theta \in [0,\underline{Q}_{\mu})$ равенство $\mathcal{H}_{\theta}(\varnothing)=0$ следует из существования последовательности (замкнутых) шаров $\{B_{i}\}:=\{B_{r_{i}}(x_{i})\}_{i=1}^{\infty}$ с радиусами $r_{i} \to 0$, $i \to \infty$ такой, что $\mu(B_{i})/(r_{i})^{\theta} \to 0$, $i \to \infty$. В итоге, по теореме 4.2 из [15] в этом случае $\mathcal{H}_{\theta}\colon 2^{\operatorname{X}} \to [0,+\infty]$ является борелевски регулярной внешней мерой на $\operatorname{X}$. Очевидно, неравенство $0 \leqslant \theta < \overline{q}_{\mu}$ достаточно для этого. К сожалению, это условие далеко от необходимого. Проблема нахождения подходящего диапазона параметров, для которого $\mathcal{H}_{\theta}$ является нетривиальной внешней мерой (т.е. существуют нетривиальные подмножества конечной положительной меры), является достаточно тонкой и зависит от конкретной структуры данного метрического пространства с мерой. Ситуация полностью прозрачна для так называемых $Q$-регулярных по Альфорсу пространств, т.е. когда $\mu(B_{r}(x)) \approx r^{Q}$, $r > 0$, $x \in \operatorname{X}$ для некоторого $Q > 0$ (не зависящего от $r$ и $x$). В этом случае $\mathcal{H}_{\theta}$ может рассматриваться, как нетривиальная внешняя мера в диапазоне $\theta \in [0,Q)$. В случае $\theta=Q$ мера $\mathcal{H}_{\theta}$ – считающая мера и $\mathcal{H}_{\theta}(E)=+\infty$ для любого бесконечного множества $E$. Следующая концепция, которая активно использовалась в статьях [7]–[9], [14], расширяет хорошо известное условие регулярности по Альфорсу–Давиду с $\mathbb{R}^{n}$ на случай общих метрических пространств с мерой. Определение 1.1. Для заданного параметра $\theta \geqslant 0$ замкнутое множество $S \subset \operatorname{X}$ называется $\theta$-коразмерностно регулярным по Альфорсу–Давиду при условии, что существуют константы $\varkappa_{S,1}(\theta),\varkappa_{S,2}(\theta) > 0$, для которых Класс всех $\theta$-коразмерностно регулярных по Альфорсу–Давиду множеств будет обозначаться через $\mathcal{ADR}_{\theta}(\operatorname{X})$. Замечание 1.3. Из замечания 1.2 ясно, что, если метрическое пространство с мерой не является $Q$-регулярным по Альфорсу, то трудно выписать явно диапазон параметра $\theta \geqslant 0$, для котрого $\mathcal{ADR}_{\theta}(\operatorname{X}) \neq \varnothing$. Для заданного борелевски регулярной (внешней) меры $\mathfrak{m}$ на $\operatorname{X}$ и борелевского множества $S \subset \operatorname{X}$ через $\mathfrak{m}\lfloor_{S}$ обозначим ограничение $\mathfrak{m}$ на $S$, т.е. $\mathfrak{m}\lfloor_{S}:=\mathfrak{m}(E \cap S)$ для любого борелевского множества $E \subset \operatorname{X}$. Хорошо известно, что (см., например, [12; лемма 3.3.13]) $\mathfrak{m}\lfloor_{S}$ – борелевски регулярная мера на $\operatorname{X}$. Замечание 1.4. Заметим, что при $\theta \geqslant 0$ и $S \in \mathcal{ADR}_{\theta}(\operatorname{X})$ ограничение $\mathcal{H}_{\theta} \lfloor_{S}$ меры $\mathcal{H}_{\theta}$ на множества $S$ удовлетворяет равномерно локальному свойству удвоения на $S$, т.е. для каждого $R > 0$ имеем Комбинируя это наблюдение с теоремой Лебега о дифференцировании (см. [12; п. 3.4]) выводим, что для любого $f \in L_{p}(\mathcal{H}_{\theta}\lfloor_{S})$ существует множество $E \subset S$ меры $\mathcal{H}_{\theta}(E)=0$ такое, что любая точка $x \in S \setminus E$ – точка Лебега $f$. Следующее понятие очень важно во многих разделах современного анализа. Соответствующая литература огромна и мы упомянем лишь обзор [16]. Кроме того, эта концепция была ключевым инструментом при доказательстве многих результатов, касающихся следов функциональных пространств (см. [4], [11] и соответствующие ссылки, приведенные в этих работах). Определение 1.2. Для борелевского множества $S \subset \operatorname{X}$ и параметра $\sigma \in (0,1]$ скажем, что шар $B$ является $(S,\sigma)$-пористым, если существует шар $B' \subset B \setminus S$ такой, что $r(B') \geqslant \sigma r_{B}$. Кроме того, при $r \in (0,1]$ положим Будем говорить, что $S$ является $\sigma$-пористым, если $S=S_{r}(\sigma)$ для всех $r \in (0,1]$. Теперь мы соберем базовые свойства $\theta$-коразмерностно регулярных по Альфорсу–Давиду множеств. Доказательство. Без ограничения общности мы можем предположить, что $S$ ограничено и, следовательно, $\mathcal{H}_{\theta}(S) < +\infty$. Чтобы доказать (1), достаточно заметить, что при $\delta > 0$ для покрытия $\{B_{j}\}$ множества $S$ с радиусами $r_{B_{j}} \in (0,\delta)$, очевидно, имеем $\sum \mu(B_{j}) \leqslant \delta^{\theta}\sum \mu(B_{j})/(r_{B_{j}})^{\theta}$. Следовательно, $\mu(S) \leqslant \delta^{\theta}\mathcal{H}_{\theta,\delta}(S)$. Поскольку $\delta > 0$ может быть выбрано сколь угодно малым, утверждение доказано.
Чтобы доказать (2) мы повторим некоторые стандартные рассуждения, аналогичные тем, что использовались в [17] для случая $Q$-регулярных по Альфорсу метрических пространств с мерой. Фиксируем $x \in S$ и $r \in (0,1/8]$. Для $k \in \mathbb{N}_{0}$, удовлетворяющего неравенству $2^{-k} \leqslant r$, рассмотрим индексное множество
$$
\begin{equation*}
\mathcal{C}_{k}:=\{\alpha \in \mathcal{A}_{k}(\operatorname{X})\colon z_{k,\alpha} \in B_{r}(x)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что $B_{k,\alpha} \cap S \neq \varnothing$ при всех $\alpha \in \mathcal{C}_{k}$, и для любого $\alpha \in \mathcal{C}_{k}$ выберем $x_{k,\alpha} \in B_{k,\alpha} \cap S$. Очевидно, имеем следующие включения:
$$
\begin{equation*}
B_{1/2^k}(x_{k,\alpha}) \subset 2B_{k,\alpha} \subset B_{4/2^k}(x_{k,\alpha}) \subset 8B_{k,\alpha}.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя свойство равномерно локального удвоения меры $\mu$ и (1.12), имеем для любого $k \in \mathbb{N}_{0}$, удовлетворяющего $2^{-k} \leqslant r$, для любого $\alpha \in \mathcal{C}_{k}$ следующие неравенства (напомним, что $r \in (0,1/8]$):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{\varkappa_{S,1}(\theta)}{C_{\mu}(1)}2^{k\theta}\mu(B_{k,\alpha}) \leqslant \varkappa_{S,1}(\theta)2^{k\theta}\mu(B_{1/2^k}(x_{k,\alpha})) \leqslant \mathcal{H}_{\theta}(B_{1/2^k}(x_{k,\alpha}) \cap S) \leqslant \mathcal{H}_{\theta}(2B_{k,\alpha} \cap S) \\ &\qquad\leqslant \mathcal{H}_{\theta}(B_{4/2^k}(x_{k,\alpha}) \cap S) \leqslant \varkappa_{S,2}(\theta)2^{k\theta}\mu(B_{4/2^k}(x_{k,\alpha})) \leqslant (C_{\mu}(1))^{3}\varkappa_{S,1}(\theta)2^{k\theta}\mu(B_{k,\alpha}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Комбинируя это наблюдение с предложением 1.2, замечанием 1.4 и правой частью (1.12), выводим (еще раз напомним, что $r \in (0,1/8]$)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &2^{k\theta}\mu(B_{r}(x))\leqslant \sum_{\alpha \in \mathcal{C}_{k}}2^{k\theta}\mu(2B_{k,\alpha}) \leqslant C \sum_{\alpha \in \mathcal{C}_{k}}\mathcal{H}_{\theta}(2B_{k,\alpha} \cap S ) \\ &\qquad\leqslant C \mathcal{H}_{\theta}(B_{3r}(x) \cap S) \leqslant C \frac{\mu(B_{r}(x))}{r^{\theta}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.13}
$$
Заметим, что число $k \in \mathbb{N}$ может быть выбрано сколь угодно большим. С другой стороны, константа $C > 0$ в вышеприведенном неравенстве не зависит от $k$. Это очевидно приводит к противоречию. Следовательно, существует такое, что для любого $k \in \mathbb{N}_{0}$, удовлетворяющего неравенству $2^{-k} \leqslant r/N$, можно найти шар $B_{k,\alpha}$, центр которого принадлежит $B_{r}(x)$, но $B_{k,\alpha} \cap S=\varnothing$. Учитывая, что $x \in S$ и $r \in (0,1/8]$ выбраны произвольно, положим $\sigma=1/(8N)$ и завершим доказательство. В [11] было введено следующее естественное обобщение условия регулярности типа Альфорса–Давида. Определение 1.3. При $\theta \geqslant 0$, будем говорить, что $S \subset \operatorname{X}$ является регулярным снизу в смысле $\theta$-коразмерностного обхвата, если существует константа $\lambda_{S} \in (0,1]$ такая, что Через $\mathcal{LCR}_{\theta}(\operatorname{X})$ обозначим семейство всех регулярных снизу в смысле $\theta$-коразмерностного обхвата подмножеств $\operatorname{X}$. Замечание 1.5. Легко показать, что $\mathcal{ADR}_{\theta}(\operatorname{X}) \subset \mathcal{LCR}_{\theta}(\operatorname{X})$, $\theta \geqslant 0$ (см. [11; лемма 4.7]). Как правило, класс $\mathcal{LCR}_{\theta}(\operatorname{X})$ гораздо шире нежели класс $\mathcal{ADR}_{\theta}(\operatorname{X})$ (см. соответствующие примеры в [4], [10]). Замечание 1.6. Ясно, что при $0 \leqslant \theta_{1} \leqslant \theta_{2}$ имеем $\mathcal{LCR}_{\theta_{1}}(\operatorname{X}) \subset \mathcal{LCR}_{\theta_{2}}(\operatorname{X})$. Замечание 1.7. Понятно, что при $\theta \geqslant 0$ для произвольных множеств $S^{1}, S^{2} \in \mathcal{LCR}_{\theta}(\operatorname{X})$ их объединение $S=S^{1} \cup S^{2}$ также принадлежит классу $\mathcal{LCR}_{\theta}(\operatorname{X})$. Определение 1.4. Будем говорить, что замкнутое множество $S \subset \operatorname{X}$ кусочно регулярно по Альфорсу–Давиду, если существуют числа $0 \leqslant \theta_{1}(S) < \dots < \theta_{N}(S) < \underline{Q}_{\mu}$, $N \in \mathbb{N}$, и множества $S^{i} \in \mathcal{ADR}_{\theta_{i}(S)}(\operatorname{X})$ такие, что $S=\bigcup_{i=1}^{N}S^{i}$. В этом случае мы полагаем $\theta(S):=\theta_{N}(S)$. Через $\mathcal{PADR}(\operatorname{X})$ обозначим класс всех замкнутых кусочно регулярных по Альфорсу–Давиду множеств. Кроме того, при $\theta \geqslant 0$ мы полагаем $\mathcal{PADR}_{\operatorname{\theta}}(\operatorname{X}):=\{S \in \mathcal{PADR}(\operatorname{X})\colon \theta(S)=\theta\}$. Ясно, что $\mathcal{PADR}(\operatorname{X})=\bigcup_{\theta \geqslant 0}\mathcal{PADR}_{\theta}(\operatorname{X})$. Замечание 1.8. Из замечаний 1.5–1.7 ясно, что при $\theta \geqslant 0$ имеем $\mathcal{PADR}_{\theta}(\operatorname{X}) \subset \mathcal{LCR}_{\theta}(\operatorname{X})$. Замечание 1.9. Если множество $S \in \mathcal{PADR}_{\theta}(\operatorname{X})$, то из предложения 1.3, очевидно, имеем $\mu(S)=0$ при условии, что $\theta_{1}(S) > 0$. Кроме того, если $S=\bigcup_{i=1}^{N}S^{i}$ такое, что $S^{i} \in \mathcal{ADR}_{\theta_{i}(S)}(\operatorname{X})$ при $\theta_{i}(S) > 0$, $i \in \{1,\dots ,N\}$, то $S$ является $\sigma$-пористым при некотором $\sigma=\sigma(S) \in (0,1)$. Для доказательства этого факта рассуждаем следующим образом. Прежде всего мы утверждаем, что, если множество $S$ является $\sigma$-пористым, то каждый шар $B$ радиуса $r_{B} \leqslant 1$ является $(S,\sigma/2)$-пористым. В самом деле, пусть $B=B_{r}(x)$ – произвольный шар с $r \leqslant 1$. Рассмотрим шар $B_{r/2}(x)$. Если он имеет пустое пересечение с $S$, то завершаем рассмотрение. Если $B_{r/2}(x) \cap S \neq \varnothing$, то для любой точки $y \in B_{r/2}(x) \cap S$ имеем $B_{r/2}(y) \subset B_{r}(x)$. Учитывая, что шар $B_{r/2}(y)$ является $(S,\sigma)$-пористым, завершаем доказательство утверждения в этом случае. Согласно предложению 1.3 при каждом $i \in \{1,\dots ,N\}$ множество $S^{i}$ является $\sigma_{i}:=\sigma_{i}(S^{i})$-пористым при некотором $\sigma_{i} \in (0,1)$. Следовательно, применяя второе утверждение предложения 1.3 $N$ раз в комбинации с вышеприведенными аргументами, заключаем, что множество $S$ является $\sigma$-пористым при $\sigma=\prod_{i=1}^{N}2\sigma_{i}/2$. 1.3. Регулярные последовательности мерНапомним теперь ключевой инструмент из [11], позволяющий отлавливать гладкостные свойства функций в пространствах следов. Определение 1.5. При $\theta \geqslant 0$ скажем, что последовательность мер $\{\mathfrak{m}_{k}\}:=\{\mathfrak{m}_{k}\}_{k=0}^{\infty}$ на $\operatorname{X}$ является $\theta$-регулярной, если существует такое $\epsilon=\epsilon(\{\mathfrak{m}_{k}\}) \in (0,1)$, что выполнены следующие условия: Кроме того, будем говорить, что $\theta$-регулярная последовательность мер $\{\mathfrak{m}_{k}\}$ является сильно $\theta$-регулярной, если Для заданного замкнутого множества $S \subset \operatorname{X}$ класс всех $\theta$-регулярных и класс всех сильно $\theta$-регулярных последовательностей мер $\{\mathfrak{m}_{k}\}$, удовлетворяющих условию $\operatorname{supp}\mathfrak{m}_{k}=S$, $k \in \mathbb{N}_{0}$, будет обозначаться через $\mathfrak{M}_{\theta}(S)$ и $\mathfrak{M}^{\mathrm{str}}_{\theta}(S)$, соответственно. Замечание 1.10. Пусть $S$ – замкнутое непустое множество и пусть $\theta \geqslant 0$. В [11] было доказано, что, если $S \in \mathcal{LCR}_{\theta}(\operatorname{X})$, то $\mathfrak{M}^{\mathrm{str}}_{\theta}(S) \neq \varnothing$. С другой стороны, если $\mathfrak{M}_{\theta}(S) \neq \varnothing$, то $S \in \mathcal{LCR}_{\theta}(\operatorname{X})$. Следующее предложение – простое следствие определения 1.5 (см. [11; теорема 5.2]). Грубо говоря, оно показывает наличие своего рода свойства типа удвоения у мер $\mathfrak{m}_{k}$, $k \in \mathbb{N}_{0}$, из $\theta$-регулярной последовательности мер на определенных масштабах. Отметим, что меры $\mathfrak{m}_{k}$, $k \in \mathbb{N}_{0}$, вообще говоря, не удовлетворяют свойству равномерно локального удвоения. Предложение 1.4. Пусть $\theta \geqslant 0$, $S \in \mathcal{LCR}_{\theta}(\operatorname{X})$ и $\{\mathfrak{m}_{k}\} \in \mathfrak{M}_{\theta}(\operatorname{S})$. Тогда, для любого $c \geqslant 1$, существует константа $C > 0$ такая, что для любого $k \in \mathbb{N}_{0}$ справедливы неравенства Используя вышеприведенное неравенство, выводим следующую простую, но важную оценку. Предложение 1.5. Пусть $\theta \geqslant 0$, $S \in \mathcal{LCR}_{\theta}(\operatorname{X})$ и $\{\mathfrak{m}_{k}\} \in \mathfrak{M}_{\theta}(\operatorname{S})$. Тогда для любых $c_{1},c_{2} \geqslant 1$ существует константа $C > 0$ такая, что для любого $k \in \mathbb{N}_{0}$ следующее неравенство: справедливо для любых шаров $B_{\epsilon^{k}}(x)$, $B_{\epsilon^{k}}(y)$ при $x \in S$, $y \in \operatorname{X}$, удовлетворяющих $B_{c_{1}\epsilon^{k}}(x) \subset B_{c_{2}\epsilon^{k}}(y)$. Доказательство. Фиксируем число $k \in \mathbb{N}_{0}$ и замкнутые шары $B_{\epsilon^{k}}(x)$, $B_{\epsilon^{k}}(y)$ при $x \in S$, $y \in \operatorname{X}$, для которых $B_{c_{1}\epsilon^{k}}(x) \subset B_{c_{2}\epsilon^{k}}(y)$. Очевидно, $B_{c_{2}\epsilon^{k}}(y) \subset B_{2c_{2}\epsilon^{k}}(x)$. Из предложения 1.4 получаем
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{m}_{k}(B_{c_{1}\epsilon^{k}}(x)) \leqslant \mathfrak{m}_{k}(B_{c_{2}\epsilon^{k}}(y)) \leqslant \mathfrak{m}_{k}(B_{2c_{2}\epsilon^{k}}(x)) \leqslant C\mathfrak{m}_{k}(B_{\epsilon^{k}}(x)) \leqslant C\mathfrak{m}_{k}(B_{c_{1}\epsilon^{k}}(x)).
\end{equation*}
\notag
$$
Комбинируя эту оценку с (1.4), получим
$$
\begin{equation*}
\mathcal{OSC}_{\mathfrak{m}_{k}}(f,B_{c_{1}\epsilon^{k}}(x)) \leqslant C \mathcal{OSC}_{\mathfrak{m}_{k}}(f,B_{c_{2}\epsilon^{k}}(y)).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, учитывая (1.5), мы выводим требуемую оценку и завершаем доказательство. Предложение 1.6. Пусть $\underline{\theta} \in [0,\underline{Q}_{\mu})$ и $S \in \mathcal{ADR}_{\underline{\theta}}(\operatorname{X})$. Тогда, для любого $\theta \in [\underline{\theta},\underline{Q}_{\mu})$ последовательность $\{2^{k(\theta-\underline{\theta})}\mathcal{H}_{\underline{\theta}}\lfloor_{S}\} \in \mathfrak{M}_{\theta}^{\mathrm{str}}(S)$ при $\epsilon(\{2^{k(\theta-\underline{\theta})}\mathcal{H}_{\underline{\theta}}\lfloor_{S}\})=1/2$. Доказательство. Факт того, что последовательность $\{2^{k(\theta-\underline{\theta})}\mathcal{H}_{\theta}\lfloor_{S}\}$ принадлежит $\mathfrak{M}_{\theta}(S)$ немедленно следует из определений 1.1 и 1.5. Для проверки условия (M5) в определении 1.5 заметим, что в действительности выполнено более сильно условие. Более точно, для борелевского множества $E \subset \operatorname{S}$
$$
\begin{equation}
\lim_{k \to \infty} \frac{\mathcal{H}_{\underline{\theta}}\lfloor_{S}(B_{2^{-k}}(\underline{x}) \cap E)}{\mathcal{H}_{\underline{\theta}}\lfloor_{S}(B_{2^{-k}}(\underline{x}))} =1 \qquad \text{для } \mathcal{H}_{\underline{\theta}}-\text{п.в.} \quad \underline{x} \in E.
\end{equation}
\tag{1.16}
$$
Чтобы проверить(1.16), достаточно использовать замечание 1.4 и применить классические рассуждения, использованные в [12; п. 3.4]. Замечание 1.11. В силу предложения 1.4, при $\theta \geqslant 0$, $S \in \mathcal{LCR}_{\theta}(\operatorname{X})$, $\{\mathfrak{m}_{k}\} \in \mathfrak{M}_{\theta}(\operatorname{S})$ и $c \geqslant 1$, следует существование такой константы $C > 0$, что для любого $k \in \mathbb{N}_{0}$ (см. детали в [11; предложение 5.3]) В частности, держа в памяти предложение 1.6, получаем, что при $\theta \geqslant 0$, $S \in \mathcal{ADR}_{\theta}(\operatorname{X})$ и $c \geqslant 1$ существует константа $C > 0$ такая, что для любого $k \in \mathbb{N}_{0}$ справедливо неравенство Лемма 1.1. Пусть $\theta \geqslant 0$, $S \in \mathcal{LCR}_{\theta}(\operatorname{X})$ и $\{\mathfrak{m}_{k}\} \in \mathfrak{M}_{\theta}(\operatorname{S})$. Тогда для любого $L \in \mathbb{N}_{0}$ существует константа $C > 0$ (зависящая от $L$) такая, что Доказательство. В силу неравенства Гёльдера, (1.4) и (1.4) имеем
$$
\begin{equation*}
\bigl(\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k}}(f,B_{\epsilon^{k}}(x))\bigr)^{p} \leqslant C \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int _{B_{\epsilon^{k}}(x)}|f(y)|^{p}\,d\mathfrak{m}_{k}(y).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, меняя порядок интегрирования и учитывая замечание 1.11, для каждого $k \in \{0,\dots ,L\}$ получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{S}\bigl(\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k}} (f,B_{\epsilon^{k}}(x))\bigr)^{p}\,d\mathfrak{m}_{k}(x) &\leqslant C \int_{S}\biggl( \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int _{B_{\epsilon^{k}}(x)}|f(y)|^{p} \,d\mathfrak{m}_{k}(y)\biggr)\,d\mathfrak{m}_{k}(x) \\ &\leqslant C\int_{S}|f(y)|^{p}\,d\mathfrak{m}_{k}(y). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Суммируя эту оценку по всем $k \in \{0,\dots ,L\}$, получим требуемое неравенство. 1.4. Пространства СоболеваНапомним, что параметр интегрируемости $p \in (1,\infty)$ предполагается фиксированным на протяжении всей статьи. Напомним, что существует несколько различных походов к пространствам Соболева на метрических пространствах с мерой (см. детальное изложение в [12; гл. 10] и соответствующее обсуждение в [11]). В данной работе мы следуем подходу, предложенному Чигером [18] и вводим следующее определение пространств Сболева. Определение 1.6. Пространство Соболева $W^{1}_{p}(\operatorname{X})$ – это линейное пространство, состоящее из всех $F \in L_{p}(\operatorname{X})$, для которых $\operatorname{Ch}_{p}(F) < +\infty$, где $\operatorname{Ch}_{p}(F)$ – энергия Чигера $F$, определяемая как Норма в пространстве $W^{1}_{p}(\operatorname{X})$ определяется равенством Напомним понятие $p$-емкости $C_{p}$ (см. детали в [19; п. 1.4]). Хорошо известно, что для любого элемента $F \in W^{1}_{p}(\operatorname{X})$ существует борелевский представитель $\overline{F}$, имеющий точки Лебега всюду на $\operatorname{X}$, исключая множество $p$-емкости нуль. Любой такой представитель будет называться $p$-точным представителем $F$. В этой статье мы следуем подходу к следам функций из пространств Соболева, предложенному автором в недавней работе [11]. Пусть дана борелевски регулярная мера $\mathfrak{m}$ на $\operatorname{X}$ и замкнутое непустое множество $S \subset \operatorname{X}$ такое, что $\operatorname{supp}\mathfrak{m}=S$ и $C_{p}(S) > 0$. Предположим, что мера $\mathfrak{m}$ абсолютно непрерывна относительно $C_{p}$, т.е. для каждого борелевского множества $E \subset S$ из равенства $C_{p}(E)=0$ следует равенство $\mathfrak{m}(E)=0$. Мы определим $\mathfrak{m}$-след $F|_{S}^{\mathfrak{m}}$ любого элемента $F \in W_{p}^{1}(\operatorname{X})$ на $S$ как $\mathfrak{m}$-класс эквивалентности поточечного ограничения $\overline{F}|_{S}$ на множество $S$ любого $p$-точного представителя $\overline{F}$ элемента $F$. Через $W_{p}^{1}(\operatorname{X})|^{\mathfrak{m}}_{S}$ обозначим линейное пространство $\mathfrak{m}$-следов всех $F \in W_{p}^{1}(\operatorname{X})$, снабженное соответствующей фактор-нормой. Мы введем также оператор $\mathfrak{m}$-следа $\operatorname{Tr}|_{S}^{\mathfrak{m}}\colon W_{p}^{1}(\operatorname{X}) \to W_{p}^{1}(\operatorname{X})|_{S}^{\mathfrak{m}}$, который действует на $W_{p}^{1}(\operatorname{X})$ по формуле $\operatorname{Tr}|_{S}^{\mathfrak{m}}(F):=F|_{S}^{\mathfrak{m}}$. Наконец, скажем, что $F \in W_{p}^{1}(\operatorname{X})$ является $\mathfrak{m}$-продолжением функции $f\colon S \to \mathbb{R}$, если для $\mathfrak{m}$-класса эквивалентности $[f]_{\mathfrak{m}}$ функции $f$ имеем $[f]_{\mathfrak{m}}=F|^{\mathfrak{m}}_{S}$. 1.5. Абстрактный критерийТеперь мы готовы кратко описать частный случай недавнего результата автора [11]. Подробное обсуждение понятий введенных в данном разделе можно найти в [11]. Пусть $\theta \geqslant 0$, $S \in \mathcal{LCR}_{\theta}(\operatorname{X})$ и $\{\mathfrak{m}_{k}\} \in \mathfrak{M}^{\mathrm{str}}_{\theta}(S)$. При $k \in \mathbb{N}_{0}$ для любого $r > 0$ положим
$$
\begin{equation}
\widetilde{\mathcal{E}}_{\mathfrak{m}_{k}}(f,B_{r}(x)):= \begin{cases} \mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k}}(f,B_{2r}(x)), &\text{если }B_{r}(x) \cap S \neq \varnothing, \\ 0, &\text{если } B_{r}(x) \cap S=\varnothing. \end{cases}
\end{equation}
\tag{1.20}
$$
Следующее понятие было введено [11]. Определение 1.7. Для заданного параметра $c \geqslant 1$ скажем, что конечное семейство замкнутых шаров $\mathcal{B}=\{B_{r_{i}}(x_{i})\}_{i=1}^{N}$ является $(S,c)$-приятным, если выполнены условия: Скажем, что $(S,c)$-приятное семейство $\mathcal{B}=\{B_{r_{i}}(x_{i})\}_{i=1}^{N}$ является $(S,c)$-семейством Уитни, при условии что Для дальнейшего изложения нам необходимо следующее обозначение. Для числа $r > 0$ через $k(r)$ обозначим единственное целое, для которого $r \in (2^{-k(r)-1},2^{-k(r)}]$. Введем функционал типа Брудного–Шварцмана. При $c \geqslant 1$ для любого $f \in L_{1}^{\mathrm{loc}}(\{\mathfrak{m}_{k}\})$ положим
$$
\begin{equation}
\mathcal{BSN}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},c}(f):= \sup\biggl(\sum_{i=1}^{N} \frac{\mu(B_{r_{i}}(x_{i}))}{r^{p}_{i}} \bigl(\widetilde{\mathcal{E}}_{\mathfrak{m}_{k(r_{i})}} (f,B_{cr_{i}}(x_{i}))\bigr)^{p}\biggr)^{1/p};
\end{equation}
\tag{1.21}
$$
супремум взят по всем $(S,c)$-приятным семействам замкнутых шаров $\{B_{r_{i}}(x_{i})\}_{i=1}^{N}$. При $f \in L_{1}^{\mathrm{loc}}(\{\mathfrak{m}_{k}\})$ определим $\{\mathfrak{m}_{k}\}$-максимальную функцию Кальдерона:
$$
\begin{equation*}
f^{\sharp}_{\{\mathfrak{m}_{k}\}}(x):=\sup_{r \in (0,1]}\frac{1}{r}\widetilde{\mathcal{E}}_{\mathfrak{m}_{k(r)}}(f,B_{r}(x)), \qquad x \in \operatorname{X}.
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним определение 1.2 и определим естественный аналог полунормы Бесова. При $\sigma \in (0,1]$ для любого $f \in L_{1}^{\mathrm{loc}}(\{\mathfrak{m}_{k}\})$ положим
$$
\begin{equation}
\mathcal{BN}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},\sigma}(f) :=\|f^{\sharp}_{\{\mathfrak{m}_{k}\}}|L_{p}(S,\mu)\|+\biggl(\sum_{k=1}^{\infty} \epsilon^{k(\theta-p)} \int_{S_{\epsilon^{k}}(\sigma)} \bigl(\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k}}(f,B_{\epsilon^{k}}(x))\bigr)^{p}\, d\mathfrak{m}_{k}(x)\biggr)^{1/p}.
\end{equation}
\tag{1.22}
$$
Теперь мы готовы сформулировать критерий, который является частью теоремы 1.4 из [11]. Теорема 1.1. Пусть $\{\mathfrak{m}_{k}\} \in \mathfrak{M}^{\mathrm{str}}_{\theta}(S)$, $\epsilon:=\epsilon(\{\mathfrak{m}_{k}\})$, $c \geqslant {3}/{\epsilon}$ и $\sigma \in (0,\epsilon^{2}/(4c))$. Тогда при $f \in L_{1}^{\mathrm{loc}}(\{\mathfrak{m}_{k}\})$ следующие условия эквивалентны: 2. Пространства БесоваТеория пространств Бесова $\operatorname{B}^{s}_{r,t}(\operatorname{X})$, $s > 0$, $r,t \in (0,+\infty]$ на $\operatorname{X}$ вызывает в последнее время большой интерес [20]–[22], [11]. В дальнейшем мы будем работать с пространствами Бесова определенными на регулярных по Альфорсу–Давиду подмножествах $\operatorname{X}$. Поскольку в этой заметке мы не будем работать со всей шкалой пространств Бесова, мы определим их только при $r=t=p \in (1,\infty)$ и $s \in (0,1)$. На протяжении всего раздела полагаем $B_{k}(x):=B_{2^{-k}}(x)$ при всех $x \in \operatorname{X}$ и $k \in \mathbb{Z}$. Следующее предложение является немедленным следствием (1.5) и замечания 1.4. Предложение 2.1. Пусть $S \in \mathcal{ADR}_{\theta}(\operatorname{X})$ при некотором $\theta \in [0,\underline{Q}_{\mu})$. Для любого $c \geqslant 1$ существует константа $C > 0$ такая, что для любого $f \in L_{1}^{\mathrm{loc}}(\mathcal{H}_{\theta}\lfloor_{S})$, для любого $k \in \mathbb{N}_{0}$ и любых $x,y$, удовлетворяющих неравенству $\operatorname{d}(x,y) \leqslant c/2^{k}$, На следующее определение нас вдохновило аналогичное определение из [2]. Определение 2.1. Пусть $S \in \mathcal{ADR}_{\theta}(\operatorname{X})$ при некотором $\theta \in [0,\underline{Q}_{\mu})$. При $s \in (0,1)$ и $p \in (1,\infty)$ функция $f \in L_{p}(\mathcal{H}_{\theta}\lfloor_{S})$ принадлежит пространству Бесова $\operatorname{B}^{s}_{p}(S):=\operatorname{B}^{s}_{p,p}(S)$, если Кроме того, положим Нам также потребуется альтернативное определение пространства Бесова. Соответствующая характеризация дается теоремой 2.1 ниже. Отметим, что аналогичный результат для однородных пространств Бесова был получен в [1] для всей шкалы параметров $s,r,t$. В действительности, основываясь на идеях и методах [1] можно получить “неоднородные аналоги” соответствующих результатов. Однако, в нашем частном случае более простые (и, на самом деле, классические) методы прекрасно работают. Мы дадим детали для полноты картины. Теорема 2.1. Пусть $S \in \mathcal{ADR}_{\theta}(\operatorname{X})$ при некотором $\theta \in (0,\underline{Q}_{\mu})$. При $s > 0$ и $p \in (1,\infty)$ функция $f \in L_{p}(\mathcal{H}_{\theta}\lfloor_{S})$ принадлежит пространству Бесова $\operatorname{B}^{s}_{p}(S):=\operatorname{B}^{s}_{p,p}(S)$ в том и только том случае, если Доказательство. Зафиксируем $f \in L_{p}(\mathcal{H}_{\theta}\lfloor_{S})$ и разобьем доказательство на два естественных шага.
Шаг 1. Заметим, что при $k \in \mathbb{Z}$, $B_{k}(x) \subset B_{k-1}(y)$ для всех $y \in B_{k}(x)$. Следовательно, используя (1.5), неравенство Гёльдера и замечание 1.4, легко получить
$$
\begin{equation}
\bigl(\mathcal{E}_{\mathcal{H}_{\theta}\lfloor_{S}}(f,B_{k}(x))\bigr)^{p} \leqslant C \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int _{B_{k}(x)\cap S} \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int _{B_{k-1}(y)\cap S}|f(y)-f(z)|^{p}\,d\mathcal{H}_{\theta}(y)\,d\mathcal{H}_{\theta}(z).
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Подставим (2.6) в (2.2), поменяем порядок интегрирования и учтем замечание 1.11. Этим получаем
$$
\begin{equation}
(\mathcal{BN}^{s}_{p}(f))^{p} \leqslant \sum_{k=2}^{\infty} 2^{ksp}\int_{S}\biggl( \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int _{B_{k-1}(y)\cap S}|f(y)-f(z)|^{p}\,d\mathcal{H}_{\theta}(z)\biggr)\,d\mathcal{H}_{\theta}(y) \leqslant C (\widetilde{\mathcal{BN}}^{s}_{p}(f))^{p}.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Кроме того, с помощью леммы 1.1 примененной при $L=1$ и $\mathfrak{m}_{k}=\mathcal{H}_{\theta}\lfloor_{S}$, $k \in \mathbb{N}_{0}$, имеем
$$
\begin{equation}
\int_{S}\bigl(\mathcal{E}_{\mathcal{H}_{\theta} \lfloor_{S}}(f,B_{1}(x))\bigr)^{p}\,d\mathcal{H}_{\theta}(x) \leqslant C\|f|L_{p}(\mathcal{H}_{\theta}\lfloor_{S})\|^{p}.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
В итоге, комбинируя (2.7) и (2.8), получим неравенство в левой части (2.5).
Шаг 2. Установим неравенство в правой части (2.5). Положим
$$
\begin{equation*}
f_{B_{i}(x)}:= \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int _{B_{i}(x) \cap S}f(y)\,d\mathcal{H}_{\theta}(y)
\end{equation*}
\notag
$$
при $x \in S$ и $i \in \mathbb{Z}$. Имея в нашем распоряжении замечание 1.4, получим существование борелевского множества $E \subset S$ с мерой $\mathcal{H}_{\theta}(E)=0$ такое, что $f(x)=\lim_{i \to \infty}f_{B_{i}(x)}$ для всех $x \in S \setminus E.$ Следовательно,
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, |f(x)-f(y)| \leqslant \sum_{i=k}^{\infty}|f_{B_{i}(x)}-f_{B_{i+1}(x)}|+|f_{B_{k}(x)}-f_{B_{k}(y)}| +\sum_{i=k}^{\infty}|f_{B_{i}(y)}-f_{B_{i+1}(y)}| \\ \text{для всех пар} \quad (x,y) \in (S \setminus E) \times (S \setminus E). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Следовательно, из предложения 2.1 имеем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, |f(x)-f(y)| \leqslant C\sum_{i=k}^{\infty}\mathcal{E}_{\mathcal{H}_{\theta} \lfloor_{S}}(f,B_{i}(x))+C\mathcal{E}_{\mathcal{H}_{\theta} \lfloor_{S}}(f,3B_{k}(x)) +C\sum_{i=k}^{\infty}\mathcal{E}_{\mathcal{H}_{\theta} \lfloor_{S}}(f,B_{i}(y)) \\ \text{для всех пар} \quad (x,y) \in (S \setminus E) \times (S \setminus E). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Подставим (2.10) в (2.4). В итоге получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag (\widetilde{\mathcal{BN}}^{s}_{p}(f))^{p} &=\int_{S}\sum_{k=1}^{\infty} 2^{ksp} \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int _{B_{k}(x)}|f(x)-f(y)|^{p}\,d\mathcal{H}_{\theta}(y)\, d\mathcal{H}_{\theta}(x) \\ &\leqslant C(R_{1}+R_{2}+R_{3}+R_{4}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
В силу неравенства Харди имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag R_{1} &:=\int_{S}\sum_{k=1}^{\infty} 2^{ksp} \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int _{B_{k}(x)}\biggl(\sum_{i=k}^{\infty} \mathcal{E}_{\mathcal{H}_{\theta}\lfloor_{S}}(f,B_{i}(x)) \biggr)^{p}\,d\mathcal{H}_{\theta}(y)\,d\mathcal{H}_{\theta}(x) \\ &\leqslant C \int_{S}\sum_{k=1}^{\infty} 2^{ksp}(\mathcal{E}_{\mathcal{H}_{\theta}\lfloor_{S}} (f,B_{k}(x)))^{p}\,d\mathcal{H}_{\theta}(x) \leqslant C \|f|\operatorname{B}^{s}_{p}(S)\|^{p}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Для оценки $R_{2}$ поменяем порядок интегрирования, воспользуемся неравенством Харди и, наконец, учтем замечание 1.11. В итоге получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag R_{2} &:=\int_{S}\sum_{k=1}^{\infty} 2^{ksp} \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int _{B_{k}(x)}\biggl(\sum_{i=k}^{\infty} \mathcal{E}_{\mathcal{H}_{\theta}\lfloor_{S}}(f,B_{i}(y)) \biggr)^{p}\,d\mathcal{H}_{\theta}(y)\,d\mathcal{H}_{\theta}(x) \\ &\leqslant C\int_{S}\sum_{k=1}^{\infty} 2^{ksp}\biggl(\sum_{i=k}^{\infty} \mathcal{E}_{\mathcal{H}_{\theta}\lfloor_{S}}(f,B_{i}(y))\biggr)^{p}\, d\mathcal{H}_{\theta}(y) \leqslant C \|f|\operatorname{B}^{s}_{p}(S)\|^{p}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
Поскольку $3B_{k}(x) \subset B_{k-2}(x)$, комбинация предложения 1.5 и предложения 1.6 (при $\theta=\underline{\theta}$ и $\mathfrak{m}_{k}=\mathcal{H}_{\theta}\lfloor_{S}$, $k \in \mathbb{N}_{0}$) дает
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag R_{3} &:=\int_{S}\sum_{k=3}^{\infty} 2^{ksp}\bigl(\mathcal{E}_{\mathcal{H}_{\theta}\lfloor_{S}} (f,3B_{k}(x))\bigr)^{p}\,d\mathcal{H}_{\theta}(x) \\ \notag &\leqslant C\sum_{k=3}^{\infty}\int_{S} 2^{ksp}\bigl(\mathcal{E}_{\mathcal{H}_{\theta}\lfloor_{S}} (f,B_{k-2}(x))\bigr)^{p}\,d\mathcal{H}_{\theta}(x) \\ &\leqslant C\sum_{k=1}^{\infty}\int_{S} 2^{ksp}\bigl(\mathcal{E}_{\mathcal{H}_{\theta}\lfloor_{S}} (f,B_{k}(x))\bigr)^{p}\,d\mathcal{H}_{\theta}(x). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
Наконец, меняя порядок интегрирования и используя замечание 1.11, легко выводим
$$
\begin{equation}
R_{4}:=\int_{S}\sum_{k=1}^{2}2^{ksp} \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int _{B_{k}(x) \cap S} |f(x)-f(y)|^{p}\,d\mathcal{H}_{\theta}(y)\,d\mathcal{H}_{\theta}(x) \leqslant C\int_{S}|f(x)|^{p}\,d\mathcal{H}_{\theta}(x).
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
Комбинируя (2.11)–(2.15), мы получаем неравенство в правой части (2.5). Доказательство завершено. 3. Основные результатыНа протяжении всего раздела зафиксируем $\underline{\theta} \in [0,\min\{p,\underline{Q}_{\mu}\})$, $\theta \in [\underline{\theta},p)$, и множество $S \in \mathcal{PADR}_{\theta}(\operatorname{X})$ такое, что $S=\bigcup_{i=1}^{N}S^{i}$ при некотором $N \in \mathbb{N}$, $N \geqslant 2$, и $S^{i} \in \mathcal{ADR}_{\theta_{i}}(\operatorname{X})$, $0 \leqslant \theta_{1} < \dots < \theta_{N}=\underline{\theta} < p$. Для любого $k \in \mathbb{N}_{0}$ положим
$$
\begin{equation}
\mathfrak{m}_{k}:=\sum_{i=1}^{N}2^{k(\theta-\theta_{i})}\mathcal{H}_{\theta_{i}}\lfloor_{S^{i}}.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Прежде всего, мы сделаем простое наблюдение, которое немедленно следует из (3.1). Предложение 3.1. Функция $f\colon S \to \mathbb{R}$ принадлежит $L^{\mathrm{loc}}_{p}(\mathfrak{m}_{0})$ в том и только том случае, если $f \in \bigcap_{i=1}^{N} L_{1}^{\mathrm{loc}}(\mathcal{H}_{\theta_{i}}\lfloor_{S^{i}})$ и, кроме того (положим $p':=p/(p-1)$), Кроме того, при $k \in \mathbb{N}_{0}$ мы будем иногда сравнивать меры $\mathfrak{m}_{k}\lfloor_{S^{i}}$ и $2^{k(\theta-\theta_{i})}\mathcal{H}_{\theta_{i}}\lfloor_{S^{i}}$. Замечание 3.1. Используя определение 1.1 и предложение 1.6 нетрудно показать, что $\{\mathfrak{m}_{k}\} \in \mathfrak{M}^{\mathrm{str}}_{\theta}(S)$ (см. детали в работе [11]). Предложение 3.2. Для любого $c \geqslant 1$ существует такая константа $C > 0$, что при каждом $i \in \{1,\dots ,N\}$ справедливо следующее. Если $\underline{x} \in \operatorname{X}$ и $x \in S^{i}$ такие, что $B_{k}(x) \subset cB_{k}(\underline{x})$, то Доказательство. Неравенство в левой части (3.3) является немедленным следствием (3.1). Для доказательства неравенства в правой части (3.3) заметим, что $cB_{k}(\underline{x}) \subset 2cB_{k}(x)$. Следовательно, используя предложение 1.4, условие (M2) определения 1.5 и определение 1.1, мы получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathfrak{m}_{k}(cB_{k}(\underline{x})) &\leqslant \mathfrak{m}_{k}(2cB_{k}(x)) \leqslant C \mathfrak{m}_{k}(B_{k}(x)) \leqslant C 2^{k\theta}\mu(B_{k}(x)) \\ &\leqslant C 2^{k(\theta-\theta_{i})}\mathcal{H}_{\theta_{i}}(B_{k}(x) \cap S^{i}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Этим доказательство завершено. При $k \in \mathbb{Z}$ будем использовать обозначение $B_{k}(x):=B_{2^{-k}}(x)$. Для любого $k \in \mathbb{Z}$ зафиксируем максимальное $2^{-k}$-разделенное подмножество $Z_{k}(S):=\{z_{k,\alpha}\colon \alpha \in \mathcal{A}_{k}(S)\}$ множества $S$. Кроме того, для каждого $k \in \mathbb{Z}$ и любого $\alpha \in \mathcal{A}_{k}(S)$ положим $B_{k,\alpha}:=B_{k}(z_{k,\alpha})$. При $k \in \mathbb{Z}$ и $i,j \in \{1,\dots ,N\}$ положим
$$
\begin{equation}
S^{i,j}_{k}:=\{x \in S^{i}\colon B_{2^{-k}}(x) \cap S^{j} \neq \varnothing\}.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Легко видеть, что $S^{i,j}_{k+1} \subset S^{i,j}_{k}$ при всех $k \in \mathbb{Z}$. Наконец, для любого $k \in \mathbb{Z}$ определим
$$
\begin{equation}
\Sigma^{i,j}_{k}:=\{(y,z) \in S^{i} \times S^{j}\colon \operatorname{d}(y,z) \leqslant 2^{-k}\}.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
При $i \in \{1,\dots ,N\}$ и $f \in L_{1}^{\mathrm{loc}}(\mathcal{H}_{\theta_{i}}\lfloor_{S^{i}})$, для каждого $k \in \mathbb{Z}$ введем следующее усреднение:
$$
\begin{equation}
A^{i}_{k}(f)(x):= \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int _{B_{k}(x) \cap S^{i}}f(x')\,d\mathcal{H}_{\theta_{i}}(x'), \qquad x \in S^{i}.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Более общим образом, при $i,j \in \{1,\dots ,N\}$ и $f \in L_{1}^{\mathrm{loc}}(\mathcal{H}_{\theta_{i}}\lfloor_{S^{i}}) \cap L_{1}^{\mathrm{loc}}(\mathcal{H}_{\theta_{j}}\lfloor_{S^{j}})$, для каждого $k \in \mathbb{Z}$ введем двойное усреднение
$$
\begin{equation}
A^{i,j}_{k}(f)(y,z):= \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int _{B_{k}(y) \cap S^{i}} \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int _{B_{k}(z) \cap S^{j}}|f(y')-f(z')|\,d\mathcal{H}_{\theta_{i}}(y') \,d\mathcal{H}_{\theta_{j}}(z'), \qquad (y,z) \in S^{i}\times S^{j}.
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Следующие две леммы будут ключевыми инструментами для нас. Лемма 3.1. Для любого $c \geqslant 1$ существует такая константа $C > 0$, что для любых $i,j \in \{1,\dots ,N\}$, для любого $k \in \mathbb{N}_{0}$, при всех $(y,z) \in \Sigma^{i,j}_{k}$ следующее неравенство справедливо для любого такого шара $B=cB_{k}(\underline{x})$, $\underline{x} \in \operatorname{X}$, что $B \supset B_{k}(y)$ и $B \supset B_{k}(z)$. Доказательство. Из (3.1) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &2^{k(2\theta-\theta_{i}-\theta_{j})}\int_{B_{k}(y) \cap S^{i}}\int_{B_{k}(z) \cap S^{j}}|f(y')-f(z')|\,d\mathcal{H}_{\theta_{i}}(y') \,d\mathcal{H}_{\theta_{j}}(z') \\ &\qquad\leqslant \int_{B}\int_{B}|f(y')-f(z')|\,d\mathfrak{m}_{k}(y')\,d\mathfrak{m}_{k}(z'). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Остается применить предложение 3.2 и учесть (1.5). Имея в нашем распоряжении вышеприведенную лемму, мы можем установить полезную оценку. Напомним замечание 1.9. Предложение 3.3. Если $\theta_{i}(S) > 0$, то для любого $\sigma \in (0,\sigma(S)]$ существует такая константа $C > 0$, что Доказательство. Применим лемму 3.1 при $i=j$, $c=1$ и $y=z=x$. Это дает существование такой константы $C > 0$, что для любого $f \in L_{1}^{\mathrm{loc}}(\mathfrak{m}_{0})$ справедливо следующее неравенство:
$$
\begin{equation*}
\mathcal{E}_{\mathcal{H}_{\theta_{i}}\lfloor_{S^{i}}}(f,B_{k}(x)) \leqslant C \mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k}}(f,B_{k}(x)), \qquad k\in \mathbb{N}_{0}, \quad x \in S^{i}.
\end{equation*}
\notag
$$
Это неравенство немедленно влечет существование константы $C > 0$ такой, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\sum_{k=1}^{\infty}2^{kp(1-\theta_{i}/p)} \int_{S^{i}}(\mathcal{E}_{\mathcal{H}_{\theta_{i}} \lfloor_{S^{i}}}(f,B_{k}(x)))^{p}\,d\mathcal{H}_{\theta_{i}}(x) \\ &\qquad \leqslant C \sum_{k=1}^{\infty}2^{k(p-\theta)}\int_{S^{i}} (\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k}}(f,B_{k}(x)))^{p}\,d\mathfrak{m}_{k}(x), \qquad f \in L_{1}^{\mathrm{loc}}(\mathfrak{m}_{0}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Так как $S^{i}$ является $\sigma$-пористым множеством (напомним предложение 1.3 и замечание 1.9), существует такая константа $C > 0$, что для любого $f \in L_{1}^{\mathrm{loc}}(\mathfrak{m}_{0})$ правая часть (3.11) может быть оценена сверху через $C\mathcal{BN}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},\sigma}(f)$. Комбинируя это наблюдение с предложением 3.1 и определением 2.1, получим требуемую оценку, завершая доказательство. Для дальнейших результатов установим следующий комбинаторный результат. Предложение 3.4. Пусть $k \in \mathbb{N}_{0}$, $\underline{x} \in \operatorname{X}$ и $c \geqslant 1$ таковы, что $cB_{k}(\underline{x}) \cap S \neq \varnothing$. Тогда существует индексное множество $\mathcal{I} \subset \{1,\dots ,N\}$ и число $\overline{i} \in \{1,\dots ,N+1\}$ такие, что справедливо следующее. Для любого $i \in \mathcal{I}$ существует точка $x_{i} \in S^{i}$, для которой $B_{k}(x_{i}) \subset (c+\overline{i})B_{k}(\underline{x})$ и, кроме того, $(c+\overline{i})B_{k}(\underline{x}) \cap S^{j}=\varnothing$ для всех $j \in \{1,\dots ,N\} \setminus \mathcal{I}$. Доказательство. При $l \in \{0,\dots ,N\}$ пусть $\mathcal{I}^{l} \subset \{1,\dots ,N\}$ такое, что Рассмотрим теперь шар $(c+l+1)B_{k}(\underline{x})$. Ясно, что для любого $i \in \mathcal{I}^{l}$ существует такая точка $x_{i} \in S^{i}$, что $B_{k}(x_{i}) \subset (c+l+1)B_{k}(\underline{x})$. Если $(c+l+1)B_{k}(\underline{x}) \cap S^{j}=\varnothing$ для всех $j \in \{1,\dots ,N\} \setminus \mathcal{I}^{l}$, то мы останавливаемся и полагаем $\mathcal{I}:=\mathcal{I}^{l}$ и $\overline{i}:=l+1$. В противном случае мы повторяем эту процедуру с заменой $l$ на $l+1$.
Ясно, что так как $N < +\infty$, начиная с $l=0$ мы найдем такое $i \in \{0,\dots ,N\}$, что вышеприведенная процедура остановится после $i$ шагов. Этим утверждение доказано. Лемма 3.2. Для любого $c \geqslant 1$ существует такая константа $C > 0$, что справедливо следующее. Если шар $B=cB_{k}(\underline{x})$ и индексное множество $\mathcal{I} \subset \{1,\dots ,N\}$ таковы, что $cB_{k}(x) \supset B_{k}(x_{i})$ при $x_{i} \in S^{i}$ для всех $i \in \mathcal{I}$ и $cB_{k}(x) \cap S^{j}=\varnothing$ для всех $j \in \{1,\dots ,N\} \setminus \mathcal{I}$, то Доказательство. Используя (3.1) с помощью элементарных комбинаторных рассуждений легко получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{B}\int_{B}|f(y)-f(z)|\,d\mathfrak{m}_{k}(y)\,d\mathfrak{m}_{k}(z) \\ &\qquad=\sum_{i,j \in \mathcal{I}}2^{k(\theta-\theta_{i})}2^{k(\theta-\theta_{j})}\int_{B \cap S^{i}}\int_{B \cap S^{j}}|f(y)-f(z)|\,d\mathcal{H}_{\theta_{i}}(y)\,d\mathcal{H}_{\theta_{j}}(z). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, учитывая предложение 3.2 и (1.4), имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{OSC}_{\mathfrak{m}_{k}}(f,B) &\leqslant C \biggl(\sum_{i \in \mathcal{I}}\mathcal{OSC}_{\mathcal{H}_{\theta_{i}} \lfloor_{S^{i}}}(f,B) \\ &\qquad+\sum_{\substack{i,j \in \mathcal{I}\\ i \neq j}} \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int _{B \cap S^{i}} \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int _{B \cap S^{j}}|f(y')-f(z')|\,d\mathcal{H}_{\theta_{i}}(y') \,d\mathcal{H}_{\theta_{j}}(z')\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, учитывая (1.5), завершаем доказательство. При $k \in \mathbb{Z}$ определим весовую функцию $\operatorname{w}_{k}\colon \operatorname{X} \times \operatorname{X} \to [0,+\infty)$ равенством
$$
\begin{equation}
\operatorname{w}_{k}(y,z):=\frac{1}{\sqrt{\mu(B_{k}(y))} \sqrt{\mu(B_{k}(z))}}, \qquad (y,z) \in \operatorname{X} \times \operatorname{X}.
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
Немедленным следствием (1.1) является то, что для каждого $\underline{k} \in \mathbb{Z}$ существует константа $C > 0$ такая, что для любого $k \geqslant \underline{k}$ имеем
$$
\begin{equation}
\operatorname{w}_{k}(y,z) \leqslant C\operatorname{w}_{k-1}(y,z) \qquad \text{при всех} \quad (y,z) \in \operatorname{X} \times \operatorname{X}.
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
Следующее простое предложение показывает, что веса $\operatorname{w}_{k}$, $k \in \mathbb{N}_{0}$, не могут сильно осциллировать. Предложение 3.5. Для любого $c > 0$ существует константа $C > 0$ такая, что для любого $k \in \mathbb{N}_{0}$, для любой пары $(y,z) \in \operatorname{X} \times \operatorname{X}$ имеем Доказательство. Заметим, что $B_{k}(y) \subset 2cB_{k}(y')$ для любого $y' \in cB_{k}(y)$. Следовательно, из (1.1) мы легко получаем неравенство в левой части (3.15). Меняя роли $(y,z)$ и $(y',z')$, получаем неравенство в правой части (3.15). Предложение 3.6. Для любых $i,j \in \{1,\dots ,N\}$ существует такая константа $C > 0$, что для любого $k \in \mathbb{N}_{0}$ справедлива оценка Доказательство. Используя предложение 3.5 при $y'=z'=z$, предложение 1.6, замечание 1.11 (при $\theta=\theta_{j}$) и определение 1.1, имеем Доказательство завершено. Теперь мы готовы определить функционалы склейки. При $f \in \bigcap_{i=1}^{N}L_{p}(\mathcal{H}_{\theta_{i}}\lfloor_{S^{i}})$ положим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\mathcal{GL}^{(1)}_{p}(f):=\biggl(\sum_{i \neq j}\sum_{k=1}^{\infty}2^{k(p-\theta_{i}-\theta_{j})} \iint_{\Sigma^{i,j}_{k}}\operatorname{w}_{k} (y,z)|f(y)-f(z)|^{p}\,d\mathcal{H}_{\theta_{i}}(y) \,d\mathcal{H}_{\theta_{j}}(z)\biggr)^{1/p}, \\ \notag &\mathcal{GL}^{(2)}_{p}(f):=\biggl(\sum_{i \neq j}\sum_{k=1}^{\infty}2^{k(p-\theta_{i}-\theta_{j})} \! \iint_{\Sigma^{i,j}_{k}} \! \! \! \operatorname{w}_{k}(y,z) |A_{k}^{i}(f)(y)-A^{j}_{k}f(z)|^{p} \,d\mathcal{H}_{\theta_{i}}(y)\,d\mathcal{H}_{\theta_{j}}(z)\biggr)^{1/p} \! , \\ &\mathcal{GL}^{(3)}_{p}(f):=\biggl(\sum_{i \neq j}\sum_{k=1}^{\infty}2^{k(p-\theta_{i}-\theta_{j})} \iint_{\Sigma^{i,j}_{k}}\operatorname{w}_{k}(y,z) (A^{i,j}_{k}(f)(y,z))^{p}\,d\mathcal{H}_{\theta_{i}}(y) \,d\mathcal{H}_{\theta_{j}}(z)\biggr)^{1/p}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
Замечание 3.2. При $f \in \bigcap_{i=1}^{N}L_{p}(\mathcal{H}_{\theta_{i}}\lfloor_{S^{i}})$ ясно, что $|A_{k}^{i}(f)(y)-A^{j}_{k}(f)(z)| \leqslant A^{i,j}_{k}(f)(y,z)$ для любых $i,j \in \{1,\dots ,N\}$ для любой пары $(y,z) \in S^{i} \times S^{j}$. Следовательно, $\mathcal{GL}^{(2)}_{p}(f) \leqslant \mathcal{GL}^{(3)}_{p}(f)$. 3.1. Простой случайВ этом разделе мы рассмотрим “простой случай”, когда $\theta_{1} > 0$. Под “простотой” мы подразумеваем, что результирующее пространство следов будет своего рода смесью функциональных пространств “одного сорта”, т.е. пространств Бесова с различными показателями гладкости. Кроме того, соответствующая норма в пространстве следов будет состоять из различных норм типа Бесова в комбинации со специальными функционалами склейки между значениями функций на кусках разной коразмерности. Поскольку $\theta_{i} > 0$ для всех $i \in \{1,\dots ,N\}$, мы можем вывести интересные неравенства, связывающие различные функционалы склейки. Доказательство. Зафиксируем $f \in \bigcap_{i=1}^{N}L_{p}(\mathcal{H}_{\theta_{i}}\lfloor_{S^{i}})$. При $i,j \in \{1,\dots ,N\}$ из предложения 3.5 и неравенства Гёльдера для любого $k \in \mathbb{N}$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\operatorname{w}_{k}(y,z)(A^{i,j}_{k}(f)(y,z))^{p} \\ &\qquad\leqslant C \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int _{B_{k}(y) \cap S^{i}} \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int _{B_{k}(z) \cap S^{j}}\operatorname{w}_{k}(y',z')|f(y')-f(z')|^{p} \,d\mathcal{H}_{\theta_{i}}(y')\,d\mathcal{H}_{\theta_{j}}(z'). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что $(y',z') \in \Sigma^{i,j}_{k-2}$ при условии, что $(y,z) \in \Sigma_{k}^{i,j}$ и $y' \in B_{k}(y) \cap S^{i}$, $z' \in B_{k}(z) \cap S^{j}$. Следовательно, меняя порядок интегрирования, используя замечание 1.11 и оценку (3.14), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{k=3}^{\infty}\sum_{i\neq j}\iint_{\Sigma^{i,j}_{k}}\operatorname{w}_{k}(y,z) (A^{i,j}_{k}(f)(y,z))^{p}\,d\mathcal{H}_{\theta_{i}}(y) \,d\mathcal{H}_{\theta_{j}}(z) \\ &\qquad \leqslant C \sum_{k=3}^{\infty}\sum_{i\neq j}\iint_{\Sigma^{i,j}_{k-2}}\operatorname{w}_{k-2} (y',z')|f(y')-f(z')|^{p}\,d\mathcal{H}_{\theta_{i}}(y') \,d\mathcal{H}_{\theta_{j}}(z') \leqslant C \bigl(\mathcal{GL}^{(1)}_{p}(f)\bigr)^{p}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Остается заметить, что из предложений 3.5, 3.6 и неравенства Гёльдера легко вытекает
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{k=1}^{2}\sum_{i,j=1}^{N}\iint_{\Sigma^{i,j}_{k}}\operatorname{w}_{k} (y,z)(A^{i,j}_{k}(f)(y,z))^{p}\,d\mathcal{H}_{\theta_{i}}(y) \,d\mathcal{H}_{\theta_{j}}(z) \\ &\qquad \leqslant C \sum_{k=1}^{2}\sum_{i=1}^{N} \int_{S^{i}} \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int _{B_{k}(y)\cap S^{i}}|f(y')|^{p}\,d\mathcal{H}_{\theta_{i}}(y')\,d\mathcal{H}_{\theta_{i}}(y) \leqslant C \sum_{i=1}^{N}\|f|L_{p}(\mathcal{H}_{\theta_{i}}\lfloor_{S^{i}})\|^{p}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Собирая вышеприведенные оценки, завершаем доказательство. Доказательство. В силу неравенства треугольника и неравенства Гёльдера для сумм при $k \in \mathbb{N}_{0}$ для каждой пары $(y,z) \in \Sigma^{i,j}_{k}$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{w}_{k}(y,z)|f(y)-f(z)|^{p} &\leqslant 3^{p-1}\operatorname{w}_{k}(y,z)\bigl(|f(y)-A^{i}_{k}(f)(y)|^{p} \\ &\qquad +|f(z)-A^{j}_{k}(f)(z)|^{p}+|A^{i}_{k}(f)(y)-A^{j}_{k}(f)(z)|^{p}\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation}
\iint_{\Sigma^{i,j}_{k}}\operatorname{w}_{k}(y,z)|f(y)-f(z)|^{p} \,d\mathcal{H}_{\theta_{i}}(y)\,d\mathcal{H}_{\theta_{j}}(z) \leqslant C \bigl(J^{i,j}_{k}(1)+J^{i,j}_{k}(2)+J^{i,j}_{k}(3)\bigr),
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
где мы положили
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &J^{i,j}_{k}(1):=\iint_{\Sigma^{i,j}_{k}}\operatorname{w}_{k}(y,z) |f(y)-A^{i}_{k}(f)(y)|^{p}\,d\mathcal{H}_{\theta_{i}}(y) \,d\mathcal{H}_{\theta_{j}}(z), \\ \notag &J^{i,j}_{k}(2):=\iint_{\Sigma^{i,j}_{k}}\operatorname{w}_{k}(y,z) |f(z)-A^{j}_{k}(f)(z)|^{p}\,d\mathcal{H}_{\theta_{i}}(y) \,d\mathcal{H}_{\theta_{j}}(z), \\ &J^{i,j}_{k}(3):=\iint_{\Sigma^{i,j}_{k}}\operatorname{w}_{k}(y,z) |A^{i}_{k}(f)(y)-A^{j}_{k}(f)(z)|^{p}\,d\mathcal{H}_{\theta_{i}}(y) \,d\mathcal{H}_{\theta_{j}}(z). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
Поэтому, используя предложение 3.6, неравенство Гёльдера и учитывая (3.6), выводим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag J^{i,j}_{k}(1) &\leqslant C 2^{k\theta_{j}} \int_{S^{i,j}_{k}}|f(y)-A^{i}_{k}(f)(y)|^{p}\,d\mathcal{H}_{\theta_{i}}(y) \\ \notag &\leqslant C 2^{k\theta_{j}} \int_{S^{i,j}_{k}} \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int _{B_{k}(y)\cap S^{i}}|f(y)-f(y')|^{p}\,d\mathcal{H}_{\theta_{i}}(y') \,d\mathcal{H}_{\theta_{i}}(y) \\ & \leqslant C 2^{k\theta_{j}} \int_{S^{i}} \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int _{B_{k}(y)\cap S^{i}}|f(y)-f(y')|^{p}\,d\mathcal{H}_{\theta_{i}}(y') \,d\mathcal{H}_{\theta_{i}}(y). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.21}
$$
Аналогичные рассуждения дают оценку
$$
\begin{equation}
J^{i,j}_{k}(2) \leqslant C 2^{k\theta_{i}} \int_{S^{j}} \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int _{B_{k}(z)\cap S^{j}}|f(z)-f(z')|^{p}\,d\mathcal{H}_{\theta_{j}}(z') \,d\mathcal{H}_{\theta_{j}}(z).
\end{equation}
\tag{3.22}
$$
В итоге, комбинируя оценки (3.21), (3.22) и учитывая теорему 2.1, будем иметь
$$
\begin{equation}
\sum_{i \neq j}\sum_{k=1}^{\infty}2^{k(p-\theta_{i}-\theta_{j})} (J^{i,j}_{k}(1)+J^{i,j}_{k}(2)) \leqslant C \sum_{i=1}^{N}\|f|\operatorname{B}^{1-\theta_{i}/p}_{p}(S^{i})\|^{p}.
\end{equation}
\tag{3.23}
$$
Наконец, собирая оценки (3.19), (3.20), (3.23) и учитывая (3.16), приходим к требуемой оценке (3.18), завершая доказательство. Теперь установим ключевой результат данного раздела. Напомним замечание 1.9. Теорема 3.1. Для любого $\sigma \in (0,\sigma(S)]$ существует такая константа $C > 0$, что Доказательство. Поскольку в силу замечания 1.9 $S$ является $\sigma$-пористым и $\mu(S)=0$, из (1.22) имеем Нам будет удобно разбить остаток доказательства на несколько шагов.
Шаг 1. При $i,j \in \{1,\dots ,N\}$ и $i \neq j$ для любого $k \in \mathbb{N}_{0}$ имеем $B_{k}(x) \cap S^{j}=\varnothing$ для всех $x \in S^{i} \setminus S^{i,j}_{k}$. Следовательно, из (3.1) получим
$$
\begin{equation*}
\int_{S^{i}\setminus \bigcup_{j \neq i}\!S^{i,j}_{k}}\bigl(\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k}}(f,B_{k}(x))\bigr)^{p} \,d\mathfrak{m}_{k}(x) =2^{k(\theta-\theta_{i})}\!\int_{S^{i}\setminus \bigcup_{j \neq i}S^{i,j}_{k}}\! \bigl(\mathcal{E}_{\mathcal{H}_{\theta_{i}} \lfloor_{S^{i}}}(f,B_{k}(x))\bigr)^{p}\,d\mathcal{H}_{\theta_{i}}(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда, учитывая (2.3), будем иметь
$$
\begin{equation}
\sum_{i=1}^N\sum_{k=1}^{\infty}2^{k(p-\theta)}\int_{S^{i}\setminus \bigcup_{j \neq i}S^{i,j}_{k}}\bigl(\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k}} (f,B_{k}(x))\bigr)^{p}\,d\mathfrak{m}_{k}(x) \leqslant \sum_{i=1}^{N}\|f|\operatorname{B}_{p}^{1-\theta_{i}/p}(S^{i})\|^{p}.
\end{equation}
\tag{3.26}
$$
Шаг 2. Фиксируем на время $i,j \in \{1,\dots ,N\}$ при условии $i \neq j$. Напомним обозначение, данное сразу после доказательства предложения 3.2. При $k \in \mathbb{N}_{0}$ и $\alpha \in \mathcal{A}_{k}(S)$, удовлетворяющих условию $B_{k,\alpha} \cap S^{i,j}_{k} \neq \varnothing$, применим предложение 3.4. Это дает индексное множество $\mathcal{I}_{k,\alpha} \subset \{1,\dots ,N\}$ и постоянную $c_{k,\alpha} \in \{1,\dots ,i+1\}$, для которых $c_{k,\alpha}B_{k,\alpha} \cap S^{j}=\varnothing$ при всех $j' \in \{1,\dots ,N\} \setminus \mathcal{I}_{k,\alpha}$, и для любого $i' \in \mathcal{I}_{k,\alpha}$ существует точка $x_{k,\alpha}(i) \in S^{i}$ такая, что $B_{k}(x_{k,\alpha}(i')) \subset c_{k,\alpha}B_{k,\alpha}$. Кроме того, без ограничения общности мы можем предположить, что $B_{k}(x) \subset c_{k,\alpha}B_{k,\alpha}$ при всех $x \in S^{i,j}_{k} \cap B_{k,\alpha}$. В итоге, используя предложение 1.5, оценку (1.5) в комбинации с леммой 3.2 и неравенством Гёльдера, получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\int_{S^{i,j}_{k} \cap B_{k,\alpha}}\bigl(\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k}}(f,B_{k}(x))\bigr)^{p} \,d\mathfrak{m}_{k}(x) \leqslant C 2^{k\theta}\mu(B_{k,\alpha}) \bigl(\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k}}(f,c_{k,\alpha}B_{k,\alpha})\bigr)^{p} \\ \notag &\qquad \leqslant C 2^{k\theta}\mu(B_{k,\alpha})\biggl[\sum_{i' \in \mathcal{I}_{k,\alpha}} \bigl(\mathcal{E}_{\mathcal{H}_{\theta_{i'}} \lfloor_{S^{i'}}}(f,c_{k,\alpha}B_{k,\alpha} \cap S^{i'})\bigr)^{p} \\ &\qquad\qquad +\sum_{\substack{i',j' \in \mathcal{I}_{k,\alpha} \\ i' \neq j'}} \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int _{c_{k,\alpha}B_{k,\alpha}\cap S^{i'}} \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int _{c_{k,\alpha}B_{k,\alpha} \cap S^{j'}}|f(y')-f(z')|^{p}\,d\mathcal{H}_{\theta_{i'}}(y') \,d\mathcal{H}_{\theta_{j'}}(z')\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.27}
$$
Шаг 3. Очевидно, при $i' \in \mathcal{I}_{k,\alpha}$ имеем $c_{k,\alpha}B_{k,\alpha} \subset B_{k-N-1}(x)$ для всех $x \in c_{k,\alpha}B_{k,\alpha} \cap S^{i'}$. Следовательно, из (1.1) и определения 1.1 (напомним, что $B_{k}(x) \subset c_{k,\alpha}B_{k,\alpha}$ при всех $x \in B_{k,\alpha} \cap S^{i'}$) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 2^{k\theta}\mu(B_{k,\alpha}) &\leqslant 2^{k\theta}\mu(B_{k-N-1}(x)) \leqslant C 2^{k\theta}\mu(B_{k}(x)) \\ &\leqslant C 2^{k(\theta-\theta_{i'})}\mathcal{H}_{\theta_{i'}}(B_{k}(x) \cap S^{i'}) \leqslant C 2^{k(\theta-\theta_{i'})}\mathcal{H}_{\theta_{i'}}(c_{k,\alpha}B_{k,\alpha} \cap S^{i'}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Комбинируя вышеприведенные рассуждения с предложением 1.5 (мы применяем это предложение с заменой $\mathfrak{m}_{k}$ на $2^{k(\theta-\theta_{i'})}\mathcal{H}_{\theta_{i'}}\lfloor_{S^{i'}}$), выводим для каждого индекса $i' \in \mathcal{I}_{k,\alpha}$ неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &2^{k\theta}\mu(B_{k,\alpha}) \bigl(\mathcal{E}_{\mathcal{H}_{\theta_{i'}} \lfloor_{S^{i'}}}(f,c_{k,\alpha}B_{k,\alpha} \cap S^{i'})\bigr)^{p} \\ &\qquad \leqslant C 2^{k(\theta-\theta_{i'})}\int_{c_{k,\alpha}B_{k,\alpha} \cap S^{i'}} \bigl(\mathcal{E}_{\mathcal{H}_{\theta_{i'}}\lfloor_{S^{i'}}}(f,B_{k-N-1}(x) \cap S^{i'})\bigr)^{p}\,d\mathcal{H}_{\theta_{i'}}(x). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.28}
$$
Из предложения 3.5 и используя оценку (3.14) заключаем, что при $i',j' \in \mathcal{I}_{k,\alpha}$ следующее неравенство:
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{\mu(B_{k,\alpha})} \leqslant C\operatorname{w}_{k-N-2}(y,z)
\end{equation*}
\notag
$$
справедливо для любых $y \in c_{k,\alpha}B_{k,\alpha} \cap S^{i'}$ и любых $z \in c_{k,\alpha}B_{k,\alpha} \cap S^{j'}$. Следовательно,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &2^{k\theta}\mu(B_{k,\alpha}) \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int _{c_{k,\alpha}B_{k,\alpha}\cap S^{i'}} \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int _{c_{k,\alpha}B_{k,\alpha} \cap S^{j'}}|f(y)-f(z)|^{p}\,d\mathcal{H}_{\theta_{i'}}(y) \,d\mathcal{H}_{\theta_{j'}}(z) \\ \notag &\qquad \leqslant C 2^{k(\theta-\theta_{i'}-\theta_{j'})}\int_{c_{k,\alpha}B_{k,\alpha}\cap S^{i'}} \int_{c_{k,\alpha}B_{k,\alpha} \cap S^{j'}}\operatorname{w}_{k-N-2}(y,z) \\ &\qquad\qquad\times|f(y)-f(z)|^{p} \,d\mathcal{H}_{\theta_{i'}}(y)\,d\mathcal{H}_{\theta_{j'}}(z). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.29}
$$
Шаг 4. Если $k \geqslant N+3$, $\alpha \in \mathcal{A}_{k}(S)$ и $i',j' \in \mathcal{I}_{k,\alpha}$ таковы, что $B_{k,\alpha} \cap S^{i,j}_{k} \neq \varnothing$, то из (3.5), очевидно, имеем
$$
\begin{equation*}
c_{k,\alpha}B_{k,\alpha}\cap S^{i'} \times c_{k,\alpha}B_{k,\alpha}\cap S^{j'} \subset \Sigma^{i',j'}_{k-N-2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Помня об этом наблюдении, скомбинируем (3.27), (3.28), (3.29) и учтем предложение 1.2. Для каждого $k \in \mathbb{N}_{0}$, $k \geqslant N+3$, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{S^{i,j}_{k}}\bigl(\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k}} (f,B_{k}(x))\bigr)^{p}\,d\mathfrak{m}_{k}(x)=\sum_{\alpha \in \mathcal{A}_{k}(S)} \int_{S^{i,j}_{k} \cap B_{k,\alpha}}\bigl(\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k}}(f,B_{k}(x)) \bigr)^{p}\,d\mathfrak{m}_{k}(x) \\ &\qquad \leqslant C\sum_{i'=1}^{N}2^{k(\theta-\theta_{i})}\int_{S^{i}} \bigl(\mathcal{E}_{\mathcal{H}_{\theta_{i}} \lfloor_{S^{i}}}(f,B_{k-N-1}(y))\bigr)^{p}\,d\mathcal{H}_{\theta_{i}}(y) \\ &\qquad\qquad +C\sum_{i' \neq j'}2^{k(\theta-\theta_{i}-\theta_{j})} \iint_{\Sigma^{i',j'}_{k-N-2}}\operatorname{w}_{k-N-2}(y,z) |f(y)-f(z)|^{p}\,d\mathcal{H}_{\theta_{i}}(y)\,d\mathcal{H}_{\theta_{j}}(z). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В итоге, используя (2.3) и (3.16), получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\sum_{i \neq j}\sum_{k=N+3}^{\infty}2^{k(p-\theta)} \int_{S^{i,j}_{k}}\bigl(\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k}} (f,B_{k}(x))\bigr)^{p}\,d\mathfrak{m}_{k}(x) \\ &\qquad \leqslant C\biggl(\sum_{i=1}^{N}\|f| \operatorname{B}_{p}^{1-\theta_{i}/p}(S^{i})\|^{p} +(\mathcal{GL}^{(1)}_{p}(f))^{p}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.30}
$$
Шаг 5. Заметим, что в силу предложения 3.1 и леммы 1.1 имеем
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^{N+2} 2^{k(\theta-p)}\int_{S}\bigl(\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k}} (f,B_{k}(x))\bigr)^{p}\,d\mathfrak{m}_{k}(x) \leqslant C \sum_{i=1}^{N}\|f|L_{p}(\mathcal{H}_{\theta_{i}}\lfloor_{S^{i}})\|^{p}.
\end{equation}
\tag{3.31}
$$
Шаг 6. Комбинируя (3.26), (3.30) и (3.31), приходим к оценке (3.24), завершая доказательство. Доказательство. При $i,j \in \{1,\dots ,N\}$ для каждого $k \in \mathbb{N}_{0}$ скомбинируем лемму 3.1 (примененную при $c=2$ и $B=B_{k-1}(y)$) и предложение 3.6. Это приводит нас к следующей цепочке неравенств:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\iint_{\Sigma^{i,j}_{k}}\operatorname{w}_{k}(y,z) (A^{i,j}_{k}(f)(y,z))^{p}\,d\mathcal{H}_{\theta_{i}} (y)\,d\mathcal{H}_{\theta_{j}}(z) \leqslant C 2^{k\theta_{j}} \int_{S^{i,j}_{k}}\bigl(\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k}} (f,B_{k-1}(y))\bigr)^{p}\,d\mathcal{H}_{\theta_{i}}(y) \\ &\qquad \leqslant C 2^{k(\theta_{i}+\theta_{j}-\theta)}\int_{S^{i}} \bigl(\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k}}(f,B_{k-1}(y))\bigr)^{p} \,d\mathfrak{m}_{k}(y). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, используя условие (M4) определения 1.5 и лемму 1.1 (при $L=0$), получим
$$
\begin{equation}
\bigl(\mathcal{GL}^{(3)}_{p}(f)\bigr)^{p} \leqslant C \sum_{k=1}^{\infty}2^{k(p-\theta)}\int_{S} \bigl(\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k-1}}(f,B_{k-1}(y))\bigr)^{p} \,d\mathfrak{m}_{k-1}(y) \leqslant C \bigl(\operatorname{BN}_{p,\{\mathfrak{m}_{k}\},\sigma}(f)\bigr)^{p}.
\end{equation}
\tag{3.33}
$$
Наконец, комбинируя вышеприведенное неравенство с предложением 3.3, завершаем доказательство. Комбинируя теоремы 1.1, 3.1, 3.2 с леммами 3.3, 3.4 и замечанием 3.2, мы незамедлительно получаем основной результат данного раздела. Следствие 3.1. Функция Наконец, существует оператор $\mathfrak{m}_{0}$-продолжения 3.2. Сложный случайВ этом разделе мы рассмотрим более сложный случай, когда $\theta_{1}=0$. В целях технических упрощений предположим, что $N=2$ и, следовательно, $\theta_{2} > 0$. В отличие от предыдущего раздела итоговое пространство следов будет смесью пространств “различного сорта”. Грубо говоря, норма в пространстве следов будет состоять из полунормы типа Соболева, полунормы типа Бесова и соответствующего функционала склейки. Помимо идеологического отличия от предыдущего раздела, в данном случае нам необходимо преодолеть техническую трудность. Более точно, поскольку $\theta_{1}=0$, множество $S=S^{1} \cup S^{2}$, вообще говоря, не является пористым. При условии вышеприведенных предположений, очевидно, имеем
$$
\begin{equation}
\mathfrak{m}_{k}=2^{k\theta}\mu\lfloor_{S^{1}} +2^{k(\theta-\theta_{2})}\mathcal{H}_{\theta_{2}}\lfloor_{S^{2}}, \qquad k \in \mathbb{N}_{0}.
\end{equation}
\tag{3.35}
$$
Помня об определении 1.1 и формуле (1.20), положим
$$
\begin{equation}
f^{\sharp}_{\mu\lfloor_{S^{1}}}(x):=\sup_{r \in (0,2]}\mathcal{E}_{\mu\lfloor_{S^{1}}}(f,B_{r}(x)), \qquad x \in S.
\end{equation}
\tag{3.36}
$$
Напомним следующую лемму из [11] (мы используем обозначение $k(B):=k(r_{B})$). Лемма 3.5. Пусть $\delta \in (0,1]$ и $c \geqslant 1$. Тогда существует константа $C > 0$, зависящая от $\delta$, такая, что если $\mathcal{B}_{\delta}$ – произвольное $(S,c)$-приятное семейство шаров, удовлетворяющих условию $r_{B} \geqslant \delta$ для всех $B \in \mathcal{B}_{\delta}$, то при любом $f \in L_{p}(\mathfrak{m}_{0})$ справедливо неравенство Напомним также комбинаторный результат, который является небольшой модификацией теоремы 2.6 из [3]. Предложение 3.7. Пусть $c \geqslant 1$ и пусть $\mathcal{B}$ – $(S^1,c)$-семейство шаров Уитни. Тогда существуют константы $C > 0$, $\tau \in (0,1)$ и семейство $\mathcal{U}:=\{U(B)\colon B \in \mathcal{B}\}$ борелевских подмножеств $S^1$, для которых $U(B) \subset 2cB$, $\mu(U(B)) \geqslant \tau \mu(B)$ при всех $B \in \mathcal{B}$, и кратность покрытия семейства $\{U(B)\colon B \in \mathcal{B}\}$ ограничена сверху $C$. Первое полезное техническое наблюдение дается следующей леммой. Лемма 3.6. Для любого $c \geqslant 1$ существует константа $C > 0$ такая, что, если $\mathcal{F}:=\{B_{r_{i}}(x_{i})\}_{i=1}^{\overline{N}}$, $\overline{N} \in \mathbb{N}$ – $(S^{1},c)$-приятное семейство, для которого $\max\{4cr_{B}\!: B \in \mathcal{F}\} \leqslant 1$, то Доказательство. Рассмотрим семейство $\mathcal{F}_{1}:=\{B \in \mathcal{F}\colon \frac{1}{2}B \cap S^{1} \neq \varnothing\}$. Для шара $B=B_{r}(\underline{x}) \in \mathcal{F}_{1}$ фиксируем точку $x_{B} \in \frac{1}{2}B \cap S^{1}$. Очевидно, имеем следующие включения:
$$
\begin{equation*}
B_{\frac{r}{2}}(x_{B}) \subset B \subset 2cB \subset B_{(2c+1)r}(x), \qquad x \in B \cap S^{1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя вышеприведенные включения, (1.1) и (1.12) (при $\theta=0$), имеем
$$
\begin{equation*}
\mu(B \cap S) \leqslant \mu(B) \leqslant C\mu(B_{r/2}(x_{B})) \leqslant C\mu(B_{\frac{r}{2}}(x_{B}) \cap S) \leqslant C \mu(B \cap S).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, применяя предложение 1.5 при $\mathfrak{m}_{k}=2^{k\theta}\mu\lfloor_{S^{1}}$, $k \in \mathbb{N}_{0}$, получим
$$
\begin{equation*}
\mu(B)\bigl(\mathcal{E}_{\mu\lfloor_{S^{1}}}(f,2cB)\bigr)^{p} \leqslant C\mu(B \cap S)\bigl(\mathcal{E}_{\mu\lfloor_{S^{1}}}(f,(2c+1)B_{r}(x))\bigr)^{p} \qquad \text{при всех} \quad x \in B \cap S^{1}.
\end{equation*}
\notag
$$
В итоге, поскольку семейство $\mathcal{F}_{1}$ дизъюнктно, выводим (мы учитываем (3.36))
$$
\begin{equation}
\sum_{B \in \mathcal{F}_{1}}\frac{\mu(B)}{(r_{B})^{p}} \bigl(\mathcal{E}_{\mu\lfloor_{S^{1}}}(f,2cB)\bigr)^{p} \leqslant C\sum_{B \in \mathcal{F}_{1}}\int_{B \cap S^{1}}(f^{\sharp}_{\mu\lfloor_{S^{1}}}(x))^{p}\,d\mu(x) \leqslant C\int_{S^{1}}(f^{\sharp}_{\mu\lfloor_{S^{1}}})^{p}\,d\mu(x).
\end{equation}
\tag{3.39}
$$
Рассмотрим семейство $\mathcal{F}_{2}:=\{\frac{1}{2}B\colon B \in \mathcal{F} \setminus \mathcal{F}_{1}\}$. Очевидно, $\mathcal{F}_{2}$ – $(S^{1},2c)$-семейство шаров Уитни. Используя предложение 1.5 при $\mathfrak{m}_{k}=2^{k\theta}\mu\lfloor_{S^{1}}$ и учитывая предложение 3.7, получим для каждого $B \in \mathcal{F}_{2}$,
$$
\begin{equation*}
\mu(B)\bigl(\mathcal{E}_{\mu\lfloor_{S^{1}}}(f,4cB)\bigr)^{p} \leqslant C\mu(U(B))\bigl(\mathcal{E}_{\mu\lfloor_{S^{1}}}(f,(8c) B_{r_{B}}(x))\bigr)^{p} \quad\ \ \text{при всех} \ \ x \in U(2B).
\end{equation*}
\notag
$$
Из предложения 3.7 следует, что для некоторого числа $C > 0$ будем иметь
$$
\begin{equation*}
\sup_{x \in \operatorname{X}}\sum_{B \in \mathcal{F}_{2}}\chi_{U(2B)}(x) \leqslant C.
\end{equation*}
\notag
$$
В итоге мы получаем (мы учли (3.36))
$$
\begin{equation}
\sum_{B \in \mathcal{F}_{2}} \frac{\mu(B)}{(r_{B})^{p}} \bigl(\mathcal{E}_{\mu\lfloor_{S^{1}}}(f,4cB)\bigr)^{p} \leqslant C\sum_{B \in \mathcal{F}_{2}}\int_{U(B)}(f^{\sharp}_{\mu\lfloor_{S^{1}}})^{p}\,d\mu(x) \leqslant C\int_{S^{1}}(f^{\sharp}_{\mu\lfloor_{S^{1}}})^{p}\,d\mu(x).
\end{equation}
\tag{3.40}
$$
Комбинируя (3.39) и (3.40), мы приходим к требуемой оценке и завершаем доказательство. Второе полезное техническое наблюдение дается в следующей лемме. Лемма 3.7. Для любого $c \geqslant 1$ существует константа $C > 0$ такая, что, если $\mathcal{B}:=\{B_{r_{i}}(x_{i})\}_{i=1}^{\overline{N}}$, $\overline{N} \in \mathbb{N}$ является $(S^{2},c)$-приятным семейством, удовлетворяющим условию $\max\{8cr_{i}\colon 1 \leqslant i \leqslant \overline{N}\} \leqslant 1$, то Доказательство. Легко видеть, что для шара $B=B_{r_{i}}(x_{i}) \in \mathcal{B}$ найдется шар $\widetilde{B}$ с таким же радиусом и центром в некоторой точке $\widetilde{x}_{i} \in S^{2}$, для которого $\widetilde{B} \subset 2cB$. Кроме того, ясно, что $2cB \subset B_{4cr_{i}}(x)$ для всех $x \in 2cB \cap S^{2}$. При $k \in \mathbb{N}_{0}$ положим
$$
\begin{equation*}
\mathcal{B}(k):=\{B \in \mathcal{B}\colon r_{B} \in (2^{-k-1},2^{-k}]\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, используя определение 1.1 и применяя предложение 1.5 при $\mathfrak{m}_{k}=2^{k(\theta-\theta_{2})}\mathcal{H}_{\theta_{2}}\lfloor_{S^{2}}$, легко видеть, что для каждого шара $B \in \mathcal{B}(k)$ справедливо следующее неравенство:
$$
\begin{equation}
\mu(B)\bigl(\mathcal{E}_{\mathcal{H}_{\theta_{2}} \lfloor_{S^{2}}}(f,2cB)\bigr)^{p} \leqslant 2^{-k\theta_{2}}\mathcal{H}_{\theta_{2}}(2cB \cap S^{2})\inf_{x \in 2cB \cap S^{2}}\bigl(\mathcal{E}_{\mathcal{H}_{\theta_{2}} \lfloor_{S^{2}}}(f,4cB_{k}(x))\bigr)^{p}.
\end{equation}
\tag{3.42}
$$
Следовательно, учитывая, что кратность покрытия $\{2cB\colon B \in \mathcal{B}(k)\}$ ограничена сверху некоторой константой $C > 0$, не зависящей от $k$, заключаем, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\sum_{B \in \mathcal{B}}\frac{\mu(B)}{(r_{B})^{p}} \bigl(\mathcal{E}_{\mathcal{H}_{\theta_{2}} \lfloor_{S^{2}}}(f,2cB)\bigr)^{p} \\ \notag &\qquad\leqslant C\sum_{k=0}^{\infty}2^{k(p-\theta_{2})}\sum_{B \in \mathcal{B}(k)}\int_{2cB \cap S^{2}}\bigl(\mathcal{E}_{\mathcal{H}_{\theta_{2}} \lfloor_{S^{2}}}(f,4cB_{k}(x))\bigr)^{p} \,d\mathcal{H}_{\theta_{2}}(x) \\ &\qquad\leqslant C \sum_{k\colon \mathcal{B}(k) \neq \varnothing}2^{k(p-\theta_{2})}\int_{S^{2}} \bigl(\mathcal{E}_{\mathcal{H}_{\theta_{2}}\lfloor_{S^{2}}} (f,4cB_{k}(x))\bigr)^{p}\,d\mathcal{H}_{\theta_{2}}(x). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.43}
$$
В соответствии с предположениями леммы имеем $\max\{8cr_{B}\colon B \in \mathcal{B}\} \leqslant 1$. Поэтому, если $B \in \mathcal{B}(k)$ при некотором $k \in \mathbb{N}_{0}$, то $4c2^{-k} \leqslant 1$. Следовательно, для каждого $k \in \mathbb{N}_{0}$ с условием $\mathcal{B}(k) \neq \varnothing$ имеем $2^{-j(k)} \leqslant 1$, где $j(k)$ – максимум по всем $j \in \mathbb{N}_{0}$, удовлетворяющим неравенству $4c2^{-k} \leqslant 2^{-j}$. Учитывая это наблюдение, мы продолжим (3.43) и получим
$$
\begin{equation*}
\sum_{B \in \mathcal{B}}\frac{\mu(B)}{(r_{B})^{p}} \bigl(\mathcal{E}_{\mathcal{H}_{\theta_{2}} \lfloor_{S^{2}}}(f,2cB)\bigr)^{p} \leqslant C \sum_{j=0}^{\infty}2^{j(p-\theta_{2})} \int_{S^{2}}\bigl(\mathcal{E}_{\mathcal{H}_{\theta_{2}} \lfloor_{S^{2}}}(f,B_{j}(x))\bigr)^{p}\,d\mathcal{H}_{\theta_{2}}(x).
\end{equation*}
\notag
$$
В итоге, учитывая определение 2.1, завершаем доказательство. Теперь мы готовы установить первый ключевой результат этого раздела. Доказательство. Пусть $\underline{k} \in \mathbb{N}$ – наименьший среди всех $k \in \mathbb{N}$, удовлетворяющих неравенству $2^{-k} < 1/4c$. Пусть $\mathcal{B}$ – произвольное $(S,c)$-приятное семейство замкнутых шаров. Определим вспомогательные подсемейства $\underline{\mathcal{B}}:=\{B \in \mathcal{B}\colon r_{B} \geqslant 2^{-\underline{k}-1}\}$ и $\overline{\mathcal{B}}:=\mathcal{B} \setminus \underline{\mathcal{B}}$. Положим
$$
\begin{equation}
\mathcal{B}^{1}:=\{B \in \overline{\mathcal{B}}\colon cB \cap S^{2}=\varnothing\}, \qquad \mathcal{B}^{2}:=\{B \in \overline{\mathcal{B}}\colon cB \cap S^{1}=\varnothing\}.
\end{equation}
\tag{3.45}
$$
При каждом $B \in \mathcal{B}$ положим $k(B):=k(r_{B})$, как обычно. Напомним (1.20). Разобьем остаток доказательства на несколько шагов.
Шаг 1. При каждом $B \in \mathcal{B}^{1}$ имеем $\widetilde{\mathcal{E}}_{\mathfrak{m}_{k(B)}}(f,cB)=\mathcal{E}_{\mu\lfloor_{S^{1}}}(f,2cB))$. Следовательно, в силу леммы 3.6 имеем
$$
\begin{equation}
\sum_{B \in \mathcal{B}^{1}} \frac{\mu(B)}{(r_{B})^{p}} \bigl(\widetilde{\mathcal{E}}_{\mathfrak{m}_{k(B)}}(f,cB)\bigr)^{p} \leqslant C\int_{S^{1}}(f^{\sharp}_{\mu\lfloor_{S^{1}}})^{p}\,d\mu(x).
\end{equation}
\tag{3.46}
$$
Шаг 2. При каждом $B \in \mathcal{B}^{2}$ имеем $\widetilde{\mathcal{E}}_{\mathfrak{m}_{k(B)}}(f,cB) =\mathcal{E}_{\mathcal{H}_{\theta_{2}}\lfloor_{S^{2}}}(f,2cB))$. Из леммы 3.7 получаем
$$
\begin{equation}
\sum_{B \in \mathcal{B}^{2}} \frac{\mu(B)}{(r_{B})^{p}} \bigl(\widetilde{\mathcal{E}}_{\mathfrak{m}_{k(B)}}(f,cB)\bigr)^{p} \leqslant C\|f|\operatorname{B}_{p}^{1-\theta_{2}/p}(S^{2})\|^{p}.
\end{equation}
\tag{3.47}
$$
Шаг 3. Положим $\mathcal{B}^{3}:=\overline{\mathcal{B}} \setminus (\mathcal{B}^{1}\cup\mathcal{B}^{2})$, т.е. $B \in \mathcal{B}^{3}$ в том и только том случае, если $cB \cap S^{1} \neq \varnothing$, $cB \cap S^{2} \neq \varnothing$ и $B \in \overline{\mathcal{B}}$. При $k \in \mathbb{Z}$ рассмотрим семейство
$$
\begin{equation}
\mathcal{B}^{3}(k):=\{B \in \mathcal{B}^{3}\colon r_B \in (2^{-k-1},2^{-k}]\}.
\end{equation}
\tag{3.48}
$$
Заметим, что при $k \in \mathbb{N}_{0}$ для каждого шара $B \in \mathcal{B}^{3}(k)$ найдутся точки $x^{1}_{k}(B) \in S^{1}$ и $x^{2}_{k}(B) \in S^{2}$, для которых
$$
\begin{equation}
B_{k}(x^{i}_{k}(B)) \subset 2cB \subset 3cB_{k}(x^{i}_{k}(B)), \qquad i=1,2.
\end{equation}
\tag{3.49}
$$
Следовательно, применение леммы 3.2 дает
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k}}(f,2cB) &\leqslant C\biggl(\mathcal{E}_{\mu\lfloor_{S^{1}}}(f,2cB) +\mathcal{E}_{\mathcal{H}_{\theta_{2}}\lfloor_{S^{2}}}(f,2cB) \\ &\qquad + \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int _{2cB \cap S^{1}} \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int _{2cB \cap S^{2}}|f(y')-f(z')|\,d\mu(y')\,d\mathcal{H}_{\theta_{2}}(z')\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.50}
$$
Шаг 4. Из лемм 3.6, 3.7 следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\sum_{B \in \mathcal{B}^{3}} \frac{\mu(B)}{(r_{B})^{p}} \bigl[\bigl(\mathcal{E}_{\mu\lfloor_{S^{1}}}(f,2cB)\bigr)^{p} +\bigl(\mathcal{E}_{\mathcal{H}_{\theta_{2}}\lfloor_{S^{2}}}(f,2cB) \bigr)^{p}\bigr] \\ &\qquad \leqslant C\biggl[\int_{S^{1}}(f^{\sharp}_{\mu\lfloor_{S^{1}}})^{p}\,d\mu(x) +\|f|\operatorname{B}_{p}^{1-\theta_{2}/p}(S^{2})\|^{p}\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.51}
$$
Шаг 5. Фиксируем на время $k \in \mathbb{N}_{0}$ и $B \in \mathcal{B}^{3}(k)$. Используя (3.13) и предложение 3.5, легко видеть, что
$$
\begin{equation*}
(\mu(2cB))^{-1} \leqslant C\operatorname{w}_{k}(y,z) \qquad\text{при всех} \quad (y,z) \in 2cB \times 2cB.
\end{equation*}
\notag
$$
В то же время, комбинируя определение 1.1 с включениями (3.49) и учитывая (1.1) вместе с замечанием 1.4, получим
$$
\begin{equation*}
\mu(2cB) \leqslant C\mu(2cB \cap S^{1}), \qquad \mu(B)2^{k\theta_{2}} \leqslant C \mathcal{H}_{\theta_{2}}(2cB \cap S^{2}).
\end{equation*}
\notag
$$
В итоге, выводим существование такой постоянной $C > 0$, что для каждой пары $(y,z) \in 2cB \cap S^{1} \times 2cB \cap S^{2}$ справедлива следующая цепочка неравенств:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \frac{\mu(B)}{(r_{B})^{p}} &\leqslant C 2^{kp}\mu(B) \frac{\mathcal{H}_{\theta_{2}}(2cB \cap S^{2})}{\mathcal{H}_{\theta_{2}}(2cB \cap S^{2})}\mu(2cB)\operatorname{w}_{k}(y,z) \\ &\leqslant C 2^{k(p-\theta_{2})}\mathcal{H}_{\theta_{2}}(2cB \cap S^{2})\mu(2cB \cap S^{1})\operatorname{w}_{k}(y,z). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.52}
$$
Кроме того, используя (1.1), замечание 1.4 и (3.48), легко видеть, что
$$
\begin{equation}
\,\rlap{-}\kern-1.5mm \int _{2cB \cap S^{1}} \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int _{2cB \cap S^{2}}|f(y')-f(z')|\,d\mu(y')\,d\mathcal{H}_{\theta_{2}}(z') \leqslant C \inf A^{1,2}_{k-\underline{k}}(f)(y,z),
\end{equation}
\tag{3.53}
$$
где инфимум взят по всем $(y,z) \in 2cB \cap S^{1} \times 2cB \cap S^{2}$.
Шаг 6. При $k \in \mathbb{N}_{0}$ в силу (3.48) кратность покрытия семейства $\mathcal{B}^{3}(k)$ ограничена сверху некоторой константой $C > 0$, не зависящей от $k$. Используя этот факт в комбинации с (3.52), (3.53) и учитывая, что $2cB \cap S^{1} \times 2cB \cap S^{2} \subset \Sigma^{1,2}_{k-\underline{k}}$, получим при каждом $B \in \mathcal{B}^{3}(k)$ оценку
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\sum_{k=\underline{k}+1}^{\infty}\sum_{B \in \mathcal{B}^{3}(k)}\frac{\mu(B)}{(r_{B})^{p}}\biggl( \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int _{2cB \cap S^{1}} \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int _{2cB \cap S^{2}}|f(y)-f(z)|\,d\mu(y)\,d\mathcal{H}_{\theta_{2}}(z)\biggr)^{p} \\ &\qquad \leqslant C \sum_{k=\underline{k}+1}^{\infty}2^{k(p-\theta_{2})} \iint_{\Sigma^{1,2}_{k-\underline{k}}} \! \operatorname{w}_{k-\underline{k}}(y,z) (A^{1,2}_{k-\underline{k}}(f)(y,z))^{p}\,d\mu(y)\,d\mathcal{H}_{\theta_{2}}(z) \leqslant C \bigl(\mathcal{GL}^{3}_{p}(f)\bigr)^{p}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.54}
$$
Наконец, используя лемму 3.5 в комбинации с предложением 3.1, будем иметь
$$
\begin{equation}
\sum_{B \in \underline{\mathcal{B}}}\frac{\mu(B)}{(r_{B})^{p}} \bigl(\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k}}(f,2cB)\bigr)^{p} \leqslant \|f|L_{p}(\mu\lfloor_{S^{1}})\|^{p}+\|f|L_{p}(\mathcal{H}_{\theta_{2}}\lfloor_{S^{2}}))\|^{p}.
\end{equation}
\tag{3.55}
$$
Шаг 7. Наконец, комбинируя оценки (3.46), (3.47), (3.50), (3.51), (3.54), (3.55) приходим к (3.44) и завершаем доказательство. Для того, чтобы сформулировать следующий результат напомним, что множество $S^{2}$ является $\sigma_{2}(S)$-пористым. Теорема 3.4. Существует константа $\underline{c} \geqslant 1$, зависящая от $\sigma_{2}(S)$ такая, что справедливо следующее. Для любого $c \geqslant \underline{c}$ существует такая константа $C > 0$, что Доказательство. Разобьем доказательство на несколько шагов. При $k \in \mathbb{N}_{0}$ пусть $Z_{k}(S^{2})$ – произвольное максимальное $2^{-k}$-разделенное подмножество $S^{2}$ с соответствующим индексным множеством $\mathcal{A}_{k}(S^{2})$, т.е.
Шаг 1. Рассуждая как при доказательстве теоремы 3.2, имеем
$$
\begin{equation}
\bigl(\mathcal{GL}^{(3)}_{p}(f)\bigr)^{p} \leqslant C \sum_{k=0}^{\infty}2^{k(p-\theta)} \int_{S^{2}}\bigl(\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k}}(f,B_{k}(y)) \bigr)^{p}\,d\mathfrak{m}_{k}(y).
\end{equation}
\tag{3.57}
$$
Шаг 2. Так как $S^{2}$ является $\sigma_{2}:=\sigma_{2}(S)$-пористым, при $k \in \mathbb{N}_{0}$ и $\alpha \in \mathcal{A}_{k}(S^{2})$ существует шар $\widehat{B}_{k,\alpha} \subset B_{k,\alpha} \setminus S^{2}$ с радиусом $r_{\widehat{B}_{k,\alpha}} \geqslant \sigma_{2}r(B_{k,\alpha})$. Следовательно, $(3/\sigma_{2})\widehat{B}_{k,\alpha} \supset B_{k}(y)$ для всех $y \in B_{k,\alpha} \cap S^{2}$. Это включение в комбинации с предложением 1.5 приводит к оценке
$$
\begin{equation}
\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k}}(f,B_{k}(y)) \leqslant C \mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k}} \biggl(\frac{3}{\sigma_{2}}\widehat{B}_{k,\alpha},f\biggr) \qquad \text{при всех} \quad y \in B_{k,\alpha} \cap S^{2}.
\end{equation}
\tag{3.58}
$$
Шаг 3. В силу (1.1) и (3.58) ясно, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\int_{S^{2}}\bigl(\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k}}(f,B_{k}(y))\bigr)^{p} \,d\mathfrak{m}_{k}(y) \leqslant \sum_{\alpha \in \mathcal{A}_{k}(S^{2})}\int_{B_{k,\alpha} \cap S^{2}}\bigl(\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k}}(f,B_{k}(y))\bigr)^{p} \,d\mathfrak{m}_{k}(y) \\ &\qquad \leqslant C \sum_{\alpha \in \mathcal{A}_{k}(S^{2})} 2^{k\theta}\mu(\widehat{B}_{k,\alpha}) \mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k}} \biggl(\frac{3}{\sigma_{2}}\widehat{B}_{k,\alpha},f\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.59}
$$
Шаг 4. В силу [11; лемма 7.3] существует константа $N_{1} \in \mathbb{N}_{0}$ такая, что при каждом $k \in \mathbb{N}$ семейство $\{\widehat{B}_{k,\alpha}\colon \alpha \in \mathcal{A}_{k}(S^{2})\}$ можно разбить на $N_{1}$ дизъюнктных подсемейств. Кроме того, поскольку
$$
\begin{equation*}
\operatorname{dist}\biggl(\frac{1}{2}\widehat{B}_{k,\alpha},S^{2}\biggr) \geqslant \frac{\sigma_{2}}{2}2^{-k},
\end{equation*}
\notag
$$
существует константа $N_{2} \in \mathbb{N}$, зависящая только от $\sigma_{2}$, такая, что при любых $k \in \mathbb{N}_{0}$ и $\alpha \in \mathcal{A}_{k}(S^{2})$, шар $\frac{1}{2}\widehat{B}_{k,\alpha}$ не пересекает любой шар $\frac{1}{2}\widehat{B}_{k+N_{2},\beta}$, $\beta \in \mathcal{A}_{k+N_{2}}(S^{2})$. В результате, существует $i \in \{1,\dots ,N_{2}\}$ и последовательность индексных множеств $\{\mathcal{J}_{k}\}_{k=0}^{\infty}$ такие, что $\mathcal{J}_{k} \subset \mathcal{A}_{i+kN_{2}}$, $k \in \mathbb{N}$, и
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\sum_{k=0}^{\infty}2^{k(p-\theta)} \sum_{\alpha \in \mathcal{A}_{k}(S^{2})} 2^{k\theta}\mu(\widehat{B}_{k,\alpha})\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{k}} \biggl(\frac{3}{\sigma_{2}}\widehat{B}_{k,\alpha},f\biggr) \\ &\qquad \leqslant N_{1}N_{2}\sum_{k=0}^{\infty}2^{(i+kN_{2})p} \sum_{\alpha \in \mathcal{J}_{k}} \mu(\widehat{B}_{i+kN_{2},\alpha})\mathcal{E}_{\mathfrak{m}_{i+kN_{2}}} \biggl(\frac{3}{\sigma_{2}}\widehat{B}_{i+kN_{2},\alpha},f\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.60}
$$
Шаг 5. Принимая во внимание, что семейство $\mathcal{B}:=\{B_{i+kN_{2},\alpha}\colon k \in \mathbb{N}_{0}, \alpha \in \mathcal{J}_{k}\}$ дизъюнктно, комбинируя (3.57), (3.59), (3.60) и полагая $\underline{c}=3/\sigma_{2}$, приходим к требуемой оценке. Доказательство завершено. Основной результат настоящего раздела звучит следующим образом. Следствие 3.2. Пусть $\sigma \in (0,\sigma_{2}(S)]$. Функция $f \in \bigcap_{i=1}^{2}L_{p}(\mathcal{H}_{\theta_{i}}\lfloor_{S^{i}})$ принадлежит пространству $W_{p}^{1}|_{S}^{\mathfrak{m}_{0}}$ в том и только том случае, если $f \in \operatorname{B}^{1-\theta_{2}/p}_{p} (\mathcal{H}_{\theta_{2}}\lfloor_{S^{2}})$, $f^{\sharp}_{\mu\lfloor_{S^{1}}} \in L_{p}(S,\mu)$ и $\mathcal{GL}^{(3)}_{p}(f) < +\infty$. Кроме того, справедливо неравенство в котором константы эквивалентности не зависят от $f$. Наконец, существует оператор $\mathfrak{m}_{0}$-продолжения Доказательство. Применяя теорему 1.1 вначале для множества $S^{1}$ с последовательностью мер $\{\mathfrak{m}^{1}_{k}\}:=\{2^{k\theta}\mu\}$, а затем для множества $S^{2}$ с последовательностью мер $\{\mathfrak{m}^{2}_{k}\}:=\{2^{k(\theta-\theta_{2})} \mathcal{H}_{\theta_{2}}\lfloor_{S^{2}}\}$, получаем существование константы $C > 0$, для которой
$$
\begin{equation*}
\|f|L_{p}(S^{1},\mu)\|+\|f^{\sharp}_{\mu\lfloor_{S^{1}}}|L_{p}(S^{1},\mu)\| + \|f|\operatorname{B}_{p}^{1-\theta_{2}/p}(S^{2})\| \leqslant C\|f|W_{p}^{1}(\operatorname{X})|_{S}^{\mathfrak{m}_{0}}\|.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, ясно, что $\chi_{S^{2}}F|_{S}^{\mathfrak{m}_{0}}=F|_{S^{2}}^{\mathcal{H}_{\theta_{2}}}$ и $\chi_{S^{1} \setminus S^{2}}F|_{S}^{\mathfrak{m}_{0}}=\chi_{S^{1} \setminus S^{2}}F|_{S^{1}}^{\mu}$. Комбинируя вышеприведенные наблюдения с теоремами 3.3, 3.4, завершаем доказательство. 3.3. Заключительные замечанияСледует отметить, что наши результаты, в частности, применимы в ситуации, когда $S=\bigcup_{i=1}^{N}S^{i}$ и $S^{N} \subset \dots \subset S^{1}=S$. Нестрого говоря, в этом случае мы характеризуем пространство следов пространства $W_{p}^{1}(\operatorname{X})$ на множестве $S$ с “различной точностью” на различных кусках $S$. Удивительно, но такие случаи ранее в литературе не рассматривались. Заметим также, что конкретная конструкция весов, данная в (3.13) не важна. В самом деле, во всех основных результатах данной работы можно использовать другие веса $\widetilde{\operatorname{w}}_{k}$. Единственное требование состоит в том, что при $c \geqslant 1$ существует такая константа $C > 0$, что неравенства
$$
\begin{equation*}
C^{-1}\widetilde{\operatorname{w}}_{k}(y,z) \leqslant \operatorname{w}_{k}(y,z) \leqslant C \widetilde{\operatorname{w}}_{k}(y,z)
\end{equation*}
\notag
$$
справедливы для любого $k \in \mathbb{N}_{0}$ для всех $(y,z) \in \operatorname{X} \times \operatorname{X}$, удовлетворяющих условию $\operatorname{d}(y,z) \leqslant c 2^{-k}$. Например, для любого $k \in \mathbb{N}_{0}$, можно взять
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\operatorname{w}}_{k}(y,z):=\frac{1}{2} \biggl(\frac{1}{\mu(B_{k}(y))}+\frac{1}{\mu(B_{k}(z))}\biggr), \qquad (y,z) \in \operatorname{X} \times \operatorname{X}.
\end{equation*}
\notag
$$
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Tyu23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|