| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Краткие сообщения Об оценке интегральной нормы решения задачи Дирихле для квазилинейного эллиптического уравнения С. В. Пикулин Федеральный исследовательский центр «Информатика и управление» Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S000143462309033X 
Реферативные базы данных:
  1. Оценка решения задачи Дирихле, равномерная по норме правой частиВ ограниченной липшицевой области $\Omega$ евклидова пространства $\mathbb R^n$, $n\geqslant 2$, рассмотрим задачу Дирихле для квазилинейного эллиптического уравнения
$$
\begin{equation}
\operatorname{div}A(x,\nabla u)-a(x)|u|^{q-1}u=f(x)\quad \text{в}\ \ \Omega,\qquad q>0,
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $x=(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb R^n$, $a(x)\geqslant 0$ – функция класса $L_\infty(\Omega)$, $\nabla u$ – (обобщенный) градиент, $A(x,\mathrm v)=(A_1(x,\mathrm v),\dots,A_n(x,\mathrm v))$ – каратеодориева вектор-функция со значениями в $\mathbb R^n$, удовлетворяющая равномерно по $x\in\Omega$ следующим условиям роста (см. [1], [2]):
$$
\begin{equation}
A(x,\mathrm v)\cdot\mathrm v:=\sum_{j=1}^nA_j(x,\mathrm v)\mathrm v_j \geqslant F_1|\mathrm v|^p,\qquad |A(x,\mathrm v)|\leqslant F_2|\mathrm v|^{p-1},
\end{equation}
\tag{3}
$$
где $\mathrm v\in\mathbb R^n$, $F_1,F_2=\mathrm{const}>0$. Определение 1. Функция $u\in\mathring W_p^1(\Omega)\cap L_{q+1}(\Omega)$ называется обобщенным решением задачи (1), (2), если для любой $\psi\in C_0^\infty(\Omega)$ справедливо интегральное тождество Известно (см. [2], [3]), что для решений уравнения (4) при $a(x)\equiv 1$, т.е.
$$
\begin{equation}
\operatorname{div}(|\nabla u|^{p-2}\nabla u)-|u|^{q-1}u=f(x)\qquad \text{в}\quad \Omega
\end{equation}
\tag{5}
$$
при $p>q+1>1$ справедлив принцип компактности носителя: если множество $\operatorname{supp}f$ компактно в $\Omega$, то носитель решения $\mathscr D:=\operatorname{supp}u$ также может оказаться компактным в $\Omega$. Непустое открытое множество $\Omega\setminus\mathscr D$, на котором $u(x)$ обращается в тождественный нуль, называют в этом случае “мертвой зоной” решения. Отметим, что эффект мертвой зоны возникает для эллиптических, а также параболических, уравнений более общего вида (см. [4]). Противоположное условие влечет для уравнения (5) выполнение сильного принципа максимума, запрещающего возникновение мертвых зон (см. [5], [6]). Однако, как показано ниже, эффект локализации проявляется и в этом случае.Для измеримого подмножества области $\omega\subset\Omega$ введем следующие обозначения:
$$
\begin{equation*}
\omega(\delta):=\bigl\{x\in\Omega\colon \operatorname{dist}(x,\omega)<\delta\bigr\},\qquad \mu(\omega,\delta)=\operatorname{mes}(\omega(\delta)\setminus\omega),\quad \delta>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 1. Предположим, что для уравнения (1) выполнено условие (6), а также следующее условие невырожденности на коэффициент $a(x)$: Доказательство. Выберем функцию $\theta\in C^\infty(\Omega)$ со свойствами $0\leqslant\theta(x)\leqslant 1$ в $\Omega$, $\theta\equiv 0$ в окрестности $\omega$, $\theta\equiv 1$ в $\Omega\setminus\omega(\delta)$, $|\nabla\theta|<2/\delta$ в $\Omega$. Подставляя функцию $\psi=u\theta^\beta$ в тождество (4), запишем его в виде
Оценим первое слагаемое в правой части равенства (10), используя неравенства (3):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber I_1' &=\int_\Omega A(x,\nabla u)\cdot\nabla(u\theta^\beta)\,dx =\int_\Omega A(x,\nabla u)\cdot(\nabla u)\theta^\beta\,dx +\int_\Omega A(x,\nabla u)\cdot(\nabla\theta)u\beta\theta^{\beta-1}\,dx \\ &\geqslant F_1\int_\Omega|\nabla u|^p\theta^\beta\,dx -\beta F_2\int_\Omega|\nabla u|^{p-1}|\nabla\theta|\,|u|\theta^{\beta-1}\,dx =:F_1I_2-\beta F_2I_2'. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{11}
$$
Для оценки второго слагаемого в правой части формулы (11) используем неравенство Юнга:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \beta F_2I_2' &=\beta F_2\int_\Omega|\nabla u|^{p-1}|\nabla\theta|\,|u|\theta^{\beta-1}\,dx \nonumber \\ &\leqslant\beta F_2\int_\Omega\biggl(\frac{F_1\theta}{p^*\beta F_2|u|}|\nabla u|^p +\frac{1}{p}\biggl(\frac{\beta F_2|u|}{F_1\theta}\biggr)^{p-1}|\nabla\theta|^p\biggr) |u|\theta^{\beta-1}\,dx \nonumber \\ &=\frac{F_1}{p^*}\int_\Omega|\nabla u|^p\theta^\beta\,dx +\frac{(\beta F_2)^p}{p F_1^{p-1}} \int_{\omega(\delta)}\theta^{\beta-p}|\nabla\theta|^p|u|^p\,dx =:\frac{F_1}{p^*}\,I_2+C_0I_3'. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{12}
$$
где $p^*:=p/(p-1)$.
Оценим второе слагаемое правой части неравенства (12) с учетом условия (7) и вытекающего из определения (8) равенства $\beta=(\beta-p)(q+1)/p$ также с помощью неравенства Юнга:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, C_0I_3' &=\frac{(\beta F_2)^p}{pF_1^{p-1}} \int_{\omega(\delta)}|u|^p\theta^{\beta-p}|\nabla\theta|^p\,dx \leqslant\frac{1}{p}\int_\Omega a|u|^{q+1}\theta^\beta\,dx \nonumber \\ &\qquad{}+C_1\int_{\omega(\delta)} a^{-p/(q+1-p)}|\nabla\theta|^\beta\,dx =:\frac{1}{p}\,I_1+C_1I_3,\qquad C_1=\mathrm{const}>0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{13}
$$
где
$$
\begin{equation*}
C_1=\frac{(\beta F_2)^p}{pF_1^{p-1}}\frac{q+1-p}{q+1} \biggl(\frac{p(\beta F_2)^p}{(q+1)F_1^{p-1}}\biggr)^{p/(q+1-p)}=\mathrm{const}>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Объединяя соотношения (10)–(13), получаем оценку
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 0&=\int_\Omega A(x,\nabla u)\cdot\nabla\psi\,dx +\int_\Omega a|u|^{q+1}\theta^\beta\,dx \nonumber \\ &\geqslant I_1+F_1I_2-\biggl(\frac{F_1}{p^*}\,I_2+\frac{1}{p}\,I_1+C_1I_3\biggr) =\frac{1}{p^*}\,I_1+\frac{F_1}{p}\,I_2-C_1I_3. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{14}
$$
Перенося в левую часть неравенства (14) слагаемое, содержащее $I_3$, находим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, C_1I_3 \geqslant I_1+I_2=\int_\Omega(|\nabla u|^p+a|u|^{q+1})\theta^\beta\,dx \geqslant\int_{\Omega\setminus\omega(\delta)} (|\nabla u|^p+a|u|^{q+1})\,dx, \\ C_2 =\frac{C_1}{\min\{1/p^*,F_1/p\}}\,. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{15}
$$
Для оценки интеграла $I_3$ применим неравенство Гёльдера, пользуясь условием (7):
$$
\begin{equation}
I_3=\int_{\omega(\delta)}a^{-p/(q+1-p)}|\nabla\theta|^\beta\,dx \leqslant\biggl(\frac{2}{\delta}\biggr)^\beta R^{p/((q+1-p)r)} (\operatorname{mes}\omega(\delta)\setminus\omega)^{1-p/((q+1-p)r)}\,.
\end{equation}
\tag{16}
$$
Объединяя неравенства (15), (16), получаем утверждение теоремы. 2. Сходимость семейства решенийРассмотрим в области $\Omega$ семейство задач вида (1), (2)
$$
\begin{equation}
\operatorname{div}A_\varepsilon(x,\nabla u_\varepsilon) -a_\varepsilon(x)|u_\varepsilon|^{q-1}u_\varepsilon =f_\varepsilon(x)\qquad \text{в}\quad \Omega,
\end{equation}
\tag{17}
$$
$$
\begin{equation}
u_\varepsilon(x)=0\qquad \text{на}\quad \partial\Omega,
\end{equation}
\tag{18}
$$
где для коэффициентов уравнения (17) выполнены условия теоремы 1 равномерно по параметру $\varepsilon\to 0$, задающему характерный размер компонент носителя функции $f_\varepsilon$. В работах [7]–[10] даны достаточные условия интегральной и поточечной сходимости семейства решений уравнений (17) с неоднородным условием Дирихле на $\partial\Omega$ к решению предельной задачи в предположении, что главная часть уравнения содержит линейный равномерно эллиптический оператор второго порядка и что носители $f_\varepsilon$ сосредоточены в объединении шаров или цилиндров малого радиуса. Сформулируем соответствующий результат о сходимости к нулю семейства решений задач (17), (18). Допустим, при каждом $\varepsilon$ в $\mathbb R^n$ задано конечное число $N_\varepsilon$ аффинных подпространств $Y(j,\varepsilon)$, $j=1,\dots,N_\varepsilon$, коразмерности $m\in[2,n]$, т.е. $\dim Y(j,\varepsilon)=n-m$. Предположим, что носитель $\operatorname{supp}f_\varepsilon(x)$ содержится в объединении $\varepsilon$-окрестностей $Y(j,\varepsilon)$:
$$
\begin{equation}
\omega_\varepsilon=\biggl\{x\in\Omega\colon \operatorname{dist} \biggl(x,\bigcup_{j=1}^{N_\varepsilon}Y(j,\varepsilon)\biggr)\leqslant\varepsilon\biggr\}.
\end{equation}
\tag{19}
$$
В частности, при $n=m$ множество (19) представляет собой объединение конечного числа шаров радиуса $\varepsilon$. Допустим, что количество $N_\varepsilon$ цилиндров (шаров) ведет себя по закону
$$
\begin{equation*}
N_\varepsilon=O(\varepsilon^{-\kappa}),\quad \varepsilon\to 0,\qquad \kappa=\mathrm{const}\geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Выберем для каждого значения параметра $\varepsilon$ число $\delta_\varepsilon$ таким образом, чтобы при некотором $d\geqslant 1$ выполнялось условие
$$
\begin{equation*}
\delta_\varepsilon\sim\mathrm{const}\cdot\varepsilon^d,\qquad \varepsilon\to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\mu(\omega_\varepsilon,\delta_\varepsilon)=O(\varepsilon^c),\quad \varepsilon \to 0,\qquad c=m-1+d-\kappa.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя теорему 1 к задаче (17), (18), получаем оценку
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \int_{\Omega_\varepsilon\setminus\omega_\varepsilon(\delta_\varepsilon)} (|\nabla u_\varepsilon|^p+a_\varepsilon|u_\varepsilon|^{q+1})\,dx \leqslant C\frac{\mu^s(\omega_\varepsilon,\delta_\varepsilon)}{\delta_\varepsilon^\beta} =O(\varepsilon^\gamma),\qquad \varepsilon\to 0, \\ \gamma=sc-\beta d=(m-1-\kappa)s-(\beta-s)d. \nonumber \end{gathered}
\end{equation}
\tag{20}
$$
Из требования $\gamma>0$ находим последовательно
$$
\begin{equation}
d\in\biggl[1,\frac{(m-1-\kappa)s}{\beta-s}\biggr),\qquad m\in\biggl(\frac{\beta}{s}\,,n\biggr]\cap\mathbb N,\qquad \kappa\in\biggl[0,m-\frac{\beta}{s}\biggr).
\end{equation}
\tag{21}
$$
Неравенство $\beta/s<n$ приводит к усилению условия (8) в виде
$$
\begin{equation}
\frac{1}{p}-\frac{1}{q+1}-\frac{1}{n}>\frac{1}{(q+1)r}\geqslant 0.
\end{equation}
\tag{22}
$$
Таким образом, справедливо следующее достаточное условие сходимости к нулю семейства решений $\{u_\varepsilon\}$, $\varepsilon\to 0$, вместе с градиентами при $p\in(1,n)$. Теорема 2. Предположим, что условия теоремы 1 выполнены для задачи (17), (18) равномерно по $\varepsilon$, причем показатель $r$ удовлетворяет неравенствам (22), и для параметров $d$, $m$, $\kappa$ справедливы включения (21). Тогда верна асимптотика (20) при $\gamma>0$. Автор благодарит анонимного рецензента за высказанные ценные замечания и указание литературного источника. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Pik23} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|