Б. С. Кашин, А. В. Мелешкина, “Об абсолютной сходимости рядов Фурье функций двух переменных из пространства $C^{1,\omega}$”, Матем. заметки, 114:4 (2023), 633–636; Math. Notes, 114:4 (2023), 635

Пусть $T^2=(-\pi,\pi)^2$ – двумерный тор, $x=(x_1,x_2)\in T^2$ и для функции $f(x)$ из пространства $L^1(T^2)$

Пусть $A$ – пространство функций на $T^2$, для которых имеет место (2). Ясно, что сумма ряда (2) задает норму на $A$. Классические результаты Бохнера [1] и Вейнгера [2], распространившие на кратный случай одномерные теоремы Бернштейна, применительно к функциям двух переменных утверждают, что $C^{1+\varepsilon}\subset A$, $C^{1}\not\subset A$. Здесь $C^{1}$ – пространство непрерывных на $T^2$ функций, имеющих непрерывные частные производные первого порядка.

Мы рассматриваем более узкие, чем $C^{1}$, пространства $C^{1,\omega}$, где $\omega(\delta)$, $\delta\in\mathbb{R}_{+}$, – некоторый модуль непрерывности, с нормой

При $\omega(\delta)=\delta^{\varepsilon}$, $0<\varepsilon<1$, пространство $C^{1,\omega}$ совпадает с $C^{1+\varepsilon}$. В одномерном случае вероятностные методы построения достаточно гладких функций с рядом Фурье не сходящимся абсолютно были разработаны Бочкаревым [3]. Для функций четного числа переменных вероятностный подход требует некоторой модификации. Вероятностное доказательство результата Вейнгера было предложено в [4]. Ниже с использованием простых вероятностных соображений мы уточняем результат Вейнгера и показываем, что имеет место

Доказательство. Пусть $\widetilde{\psi}(x)$, $x\in\mathbb{R}^1$, – bump-функция класса $C^{\infty}$ с носителем $(-\pi,\pi)$, например,

$$ \begin{equation*} \widetilde{\psi}(x)=\begin{cases} \exp\biggl(-\dfrac{1}{1-(x/\pi)^2}\biggr), & |x|<\pi, \\ 0, & |x|\geqslant\pi, \end{cases} \end{equation*} \notag $$

и для $x=(x_1,x_2)\in T^2$ пусть $\psi(x)=\widetilde{\psi}(x_1)\cdot\widetilde{\psi}(x_2)$. Для квадрата

$$ \begin{equation} \Delta\subset T^2, \qquad \Delta=[x_1,x_1+\rho]\times[x_2,x_2+\rho] \end{equation} \tag{4} $$

через $\psi_{\Delta}$ обозначим преобразованную с помощью сдвига и сжатия носителя функцию $\psi$ такую, что носитель $\psi_{\Delta}$ – внутренность квадрата $\Delta$. Несложно проверить, что для квадрата $\Delta$ вида (4)

$$ \begin{equation} \|\psi_{\Delta}\|_{C^{1,\omega}} \leqslant \frac{C}{\rho\cdot\omega(\rho)}. \end{equation} \tag{5} $$

Определим для $\eta>0$, заданного по условиям теоремы 1, последовательность

$$ \begin{equation} \rho_k=\frac{\alpha}{k^{1/2}(\log{3k})^{1/2+\varepsilon}}, \qquad k=1,2,\dots, \quad 0<\varepsilon<\eta, \end{equation} \tag{6} $$

где абсолютная постоянная $\alpha>0$ настолько мала, что $T^2$ содержит совокупность непересекающихся квадратов $\Delta_k$ со стороной $\rho_k$ суммарной площади

$$ \begin{equation*} \sum_{k=1}^{\infty}|\Delta_k|=\sum_{k=1}^{\infty}\rho^2_k<\frac{1}{10}. \end{equation*} \notag $$

Легко понять, учитывая регулярность убывания чисел $\rho_k$, $k=1,2,\dots$, что квадраты $\Delta_k$ можно последовательно укладывать в полосы

$$ \begin{equation*} \Lambda_s=\{a_s<x_1<a_{s+1},\, x_2\in(-\pi,\pi)\},\qquad s=1,2,\dots, \end{equation*} \notag $$

где $0\leqslant a_1<a_2<\cdots$, $\lim_{s\to\infty}a_s=A<\pi$, заполняя при этом более половины площади каждой полосы.

Считая модуль непрерывности $\omega(\delta)$ (т.е. число $\eta>0$) фиксированным, рассмотрим функцию на $T^2$, зависящую от случайного параметра $t$:

$$ \begin{equation} f_t(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\rho_k\omega(\rho_k)}{\log\log{10 k}} r_k(t)\psi_{\Delta_k}(x), \end{equation} \tag{7} $$

где $r_k(t)$, $t\in(0,1)$, $k=1,2,\dots$, – функции Радемахера (см. [5]). Так как квадраты $\Delta_k$ не пересекаются, то из (5), (7) легко следует, что для любого $t\in(0,1)$ частные суммы ряда (7) образуют фундаментальную последовательность в пространстве $C^{1,\omega}$, а значит, $f_t(x)\in C^{1,\omega}$. Оценим коэффициенты Фурье функции $f_t(x)$. В [4] уже использовался тот факт, что при $k\geqslant k_0$

$$ \begin{equation} |c_n(\psi_{\Delta_k}(x))|>c\rho_k^2,\qquad \text{если}\quad n=(n_1,n_2), \quad \frac{\beta}{2\rho_k}\leqslant|n_1|\leqslant\frac{\beta}{\rho_k}, \qquad \frac{\beta}{2\rho_k}\leqslant|n_2|\leqslant\frac{\beta}{\rho_k}, \end{equation} \tag{8} $$

где $c>0$, $\beta>0$ – абсолютные постоянные,

Если точка $n=(n_1,n_2)\in\mathbb{Z}^2$, $n\ne 0$, фиксирована и лежит в достаточно малом угле с‘биссектрисой, совпадающей с одной из биссектрисс координатных углов, то соотношение (8) выполняется для таких $k$, что

$$ \begin{equation} \frac{\beta'}{|n_1|}\leqslant\frac{1}{k^{1/2}(\log{3k})^{1/2+\varepsilon}} \leqslant\frac{\beta''}{|n_1|}, \end{equation} \tag{9} $$

где $0<\beta'\leqslant\beta''$ – абсолютные постоянные.

Нетрудно проверить, что соотношению (9) удовлетворяют номера $k$, для которых

$$ \begin{equation} \frac{\gamma'n_1^2}{(\log{3|n_1|})^{1+2\varepsilon}}\leqslant k \leqslant \frac{\gamma''n_1^2}{(\log{3|n_1|})^{1+2\varepsilon}}, \end{equation} \tag{10} $$

где $0<\gamma'\leqslant\gamma''$ – абсолютные постоянные.

Пусть область $\Gamma$ в $\mathbb{R}^2$ образована малыми углами вокруг биссектрисс координатных углов. При помощи классической нижней оценки для $L^1$ нормы полиномов по системе Радемахера (см. [5; теорема 2.7]) и оценки (8) (см. также (10)) для $n\in \Gamma$ в среднем по $t$ коэффициент Фурье функции $f_t(x)$ с номером $n$ для достаточно больших $|n|$ может быть оценен снизу следующим образом:

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \int_0^1|c_n(f_t)|\,dt&\geqslant\frac{c}{|n_1|^2}\cdot \frac{1}{|n_1|}\cdot\frac{1}{(\log{c'|n_1|})^{1/2-\eta}\log\log{|n_1|}} \cdot\frac{|n_1|}{(\log{3|n_1|})^{1/2+\varepsilon}} \\ &\geqslant \frac{c''}{n_1^2(\log{3|n_1|})^{1+\varepsilon-\eta}\log\log{|n_1|}}, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

где $c$, $c'$, $c''$ – положительные абсолютные постоянные.

Представим $\Gamma$ в виде

$$ \begin{equation*} \Gamma=\bigcup_{s=0}^{s+1}\Gamma_s, \qquad\text{где}\quad \Gamma_s=\{n\in\Gamma\colon |n|\in[2^s, 2^{s+1})\}. \end{equation*} \notag $$

Тогда для всех достаточно больших $s$

$$ \begin{equation*} \int_0^1\sum_{n\in\Gamma_s}|c_n(f_t)|\,dt\geqslant \frac{c\cdot2^{2s}} {2^{2s}(\log{3\cdot 2^{s+1}})^{1+\varepsilon-\eta}\log{s}}, \end{equation*} \notag $$

откуда с учетом выбора числа $\varepsilon$ вытекает, что

$$ \begin{equation*} \int_0^1\|f_t\|_A\,dt \geqslant \sum_{s=s_0}^{\infty}\frac{1}{s^{1+\varepsilon-\eta}\log{s}}=\infty. \end{equation*} \notag $$

Из последнего соотношения непосредственно вытекает утверждение теоремы 1.

Что касается достаточных условий на модуль непрерывности $\omega(\delta)$, гарантирующих выполнение $C^{1,\omega} \subset A$, то из результатов работы Тимана [6] следует в двумерном случае

Естественно возникает вопрос об окончательных условиях на модуль неперывности $\omega(\delta)$, гарантирующих вложение $C^{1,\omega} \subset A$.

Авторы благодарят И. Р. Лифлянда и В. Н. Темлякова за полезные обсуждения.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ