Математические заметки, 2023, том 114, выпуск 4, страницы 628–632 DOI: https://doi.org/10.4213/mzm14088 (Mi mzm14088)

DOI: https://doi.org/10.4213/mzm14088

Финансовая поддержка	Номер гранта
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации	FZGU-2023-0007
Результаты получены в рамках выполнения госзадания Министерства науки и высшего образования РФ (проект FZGU-2023-0007).

Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 4, Pages 630–634
DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623090316

Реферативные базы данных:

1. Введение

В реальных приложениях часто возникают модели неоднородной несжимаемой жидкости, которые также называются моделями несжимаемой жидкости с переменной плотностью. Подобные модели активно исследуются с середины прошлого века вплоть до наших дней. Первая постановка задачи о слабых решениях для несжимаемой системы Навье–Стокса с переменной плотностью была предложена Кажиховым в работе [1]. В указанной работе предполагается, что начальное условие на плотность отделено от нуля, т.е. существует константа $m>0$ такая, что $\rho(x,0)=\rho_0(x)\geqslant m$, $\rho_0\in L_\infty(\Omega)$. При этом предположении доказано существование слабого решения рассматриваемой задачи.

В работе Симона [2] для слабой постановки задачи для неоднородной несжимаемой системы Навье–Стокса была предпринята попытка отказаться от отделимости от нуля начального условия на плотность. А именно, предполагается, что $\rho_0(x)\geqslant 0$, $\rho_0\in L_\infty(\Omega)$. Однако при этом на $\rho_0$ вводится другое, на самом деле близкое по смыслу, ограничение $1/\rho_0\in L_{6/5}(\Omega)$. Данное условие обозначает, что $\rho_0$ не может обращаться в нуль на множестве положительной меры. Отметим, что решение, полученное Симоном, является решением в смысле Кажихова.

Важно отметить, что в указанных работах решение $\rho$ не является непрерывной по $t$ функцией со значениями в $L_p(\Omega)$. Указанная непрерывность для решения уравнения переноса была установлена в работе [3]. На основе этого в монографии Лионса [4] для случая ограниченной области было доказано существование слабого решения начально-краевой задачи для неоднородной несжимаемой системы Навье–Стокса при следующих предположениях: $\rho(x,0)=\rho_0(x)\geqslant 0$, $\rho_0\in L_\infty(\Omega)$. Но при этом предполагается, что $\rho u(x,0)=m_0\in L_2(\Omega)^n$ и $m_0=0$ при почти всех $x\in\Omega$, при которых $\rho_0(x)=0$, а также $|m_0|^2/\rho_0\in L_1(\Omega)$.

При этом еще с середины 19-го века известно достаточно большое число сред, которые не удовлетворяют ньютоновскому реологическому соотношению. В данной работе рассматривается одна их таких сред, которая описывается моделью Кельвина–Фойгта и различными ее обобщениями [5]. Исследование разрешимости различных задач для однородных моделей Кельвина–Фойгта было начато в работах Осколкова (см. [6] и имеющуюся там библиографию) и продолжается до сих пор [7]–[11].

Исследованию неоднородной несжимаемой модели Кельвина–Фойгта в последнее время посвящено большое число работ, посвященных как разрешимости начально-краевых задач [12], [13], так и исследованию задач оптимального управления с обратной связью [14], [15]. При этом в постановках задачи о слабых решениях рассматриваемых задач во всех упомянутых работах предполагается, что начальное условие на плотность отделено от нуля.

В данной работе доказывается существование слабых решений начально-краевой задачи для неоднородной несжимаемой модели Кельвина–Фойгта при любой начальной плотности $\rho_0\geqslant 0$, $\rho_0\in L_\infty(\Omega)$. Доказательство разрешимости рассматриваемой задачи проводится с помощью аппроксимационно-топологического подхода к исследованию задач гидродинамики [16]. Существенным моментом в доказательстве являются априорные оценки на производную скорости жидкости по времени и непрерывность по времени функции $\rho$ как функции со значениями в $L_p(\Omega)$.

В ограниченной области $\Omega\subset\mathbb R^n$, $n=2,3$, с гладкой границей $\partial\Omega$ на промежутке времени $[0,T]$, $0<T<\infty$, рассматривается следующая начально-краевая задача:

2. Определение слабого решения и основной результат

Введем необходимые обозначения. Через $C^\infty_0(\Omega)^n$ обозначим пространство функций, определенных на $\Omega$, принимающих значения в $\mathbb R^n$ класса $C^\infty$, с компактным носителем, содержащимся в $\Omega$. Пусть $\mathscr V=\{v\colon v\in C^\infty_0(\Omega)^n,\,\operatorname{div}v=0\}$. Определим пространства $V^0$ и $V^1$ как пополнение $\mathscr V$ по нормам $L_2(\Omega)^n$ и $H^1(\Omega)^n$ соответственно. Положим $V^2=H^2(\Omega)^n\cap V^1$.

Обозначим через $\pi\colon L_2(\Omega)^n\to V^0$ проектор Лере и рассмотрим в $\mathscr V$ оператор $A=-\pi\Delta$. Оператор $A$ продолжается в $V^0$ до замкнутого оператора, который является самосопряженным положительным оператором с вполне непрерывным обратным. Область определения $A$ совпадает с $V^2$. В силу теоремы Гильберта о спектральном разложении вполне непрерывных операторов собственные функции $\{e_j\}$ оператора $A$ образуют ортонормированный базис в $V^0$. Пусть $0<\lambda_1\leqslant\lambda_2\leqslant\lambda_3\leqslant\dotsb\leqslant\lambda_k\leqslant\dotsb$ – собственные значения оператора $A$. Обозначим через $E_\infty$ множество конечных линейных комбинаций, составленных из $e_j$, и определим пространство $V^\alpha$, $\alpha\in\mathbb R$, как пополнение $E_\infty$ по норме $\|v\|_{V^\alpha}=(\sum_{k=1}^\infty\lambda_k^\alpha|v_k|^2)^{1/2}$.

Также введем пространства, в которых будет исследована разрешимость изучаемой задачи и задачи, аппроксимирующей исходную. Для скорости $v$ это пространства

Будем предполагать, что $a\in V^1$, $\rho_0\in L_\infty(\Omega)$, а $f\in L_2(0,T,L_2(\Omega)^n)$.

Отметим, что начальное условие для функции $\rho\in E_1$ имеет смысл в силу непрерывности вложения $E_1\subset C_w([0,T],L_\infty(\Omega))$ (см., например, [17; глава 3, лемма 1.4]).

Основным результатом статьи является следующая

3. Схема доказательства теоремы 1

Доказательство существования слабого решения задачи (1)–(3) основано на аппроксимационно-топологическом подходе к исследованию задач гидродинамики [16]. А именно, рассматривается некоторая задача, обладающая более хорошими свойствами и аппроксимирующая исходную, и доказывается ее разрешимость. Затем на основе априорных оценок решений показывается, что из последовательности решений аппроксимационной задачи можно извлечь подпоследовательность, слабо сходящуюся к решению исходной задачи при стремлении параметра аппроксимации к нулю.

Рассматривается следующая аппроксимационная задача:

Для доказательства разрешимости аппроксимационной задачи мы будем пользоваться следующим вариантом теоремы Лере–Шаудера:

В нашем случае сначала для фиксированной $u\in L_\infty(0,T;V^2)$, $\|u\|_{L_\infty(0,T;V^2)}\leqslant R$, точное значение $R$ указано ниже, на основе абстрактных результатов для уравнения неразрывности (см., например, [4]) находится единственное слабое решение $\rho\in E_1$ задачи

Затем для фиксированных $\rho$ и $u$ на основе принципа сжимающих отображений находится единственное слабое решение $w\in W_2$ следующей линейной задачи:

Таким образом определено однопараметрическое семейство отображений, которое переводит функцию $u\in L_\infty(0,T;V^2)$ из замкнутого шара $B_R\subset L_\infty(0,T;V^2)$ в функцию $w\in W_2$. Затем непосредственно проверяется, что это семейство отображений является непрерывным. Далее, по теореме Обена–Дубинского–Симона [18] имеет место компактное вложение $W_2\subset L_\infty(0,T;V^2)$. Таким образом, в итоге получаем отображение, $\Psi\colon[0,1]\times B_R\to L_\infty(0,T;V^2)$, которое является компактным.

После этого доказывается, что всякая функция $w$ такая, что $w=\Psi(\tau,w)$ при некотором $\tau\in[0,1]$, удовлетворяет следующим оценкам:

Определим значение $R$, а именно, положим $R=C_4(C_2+C_3/\varepsilon)+1$, где $C_4$ – константа из неравенства $\|u\|_{L_\infty(0,T;V^2)}\leqslant C_4\|u\|_{W_2}$, которое имеет место в силу вложения $W_2\subset L_\infty(0,T;V^2)$. Тогда на границе шара $B_R$ нет неподвижных точек семейства $\Psi(\tau,\,\cdot\,)$.

Так как $\Psi(0,\,\cdot\,)\equiv 0$, то выполнено последнее из условий теоремы 2. Таким образом, существует функция $w\in L_\infty(0,T;V^2)$, для которой $\Psi(1,w)=w$. Следовательно, по построению существует слабое решение $(\rho,w)\in E_1\times W_2$ аппроксимационной задачи (7)–(9).

Устремим теперь в задаче (7)–(9) параметр $\varepsilon$ к $0$. В силу оценки (10) и компактности вложения $W_1\subset C([0,T],L_4(\Omega)^n)$ без ограничения общности при $\varepsilon\to 0$ последовательность $w_\varepsilon$ сходится к некоторой функции $v$ слабо в $L_p(0,T;V^1)$, $p\in[1,\infty)$ и сильно в $C([0,T],L_4(\Omega)^n)$, а последовательность $w'_\varepsilon$ сходится к $v'$ слабо в $L_2(0,T;V^{1})$. В силу свойств уравнения неразрывности (см., например, [4]) при $\varepsilon\to 0$ последовательность $\rho_\varepsilon$ сходится к некоторой функции $\rho$ сильно в $C([0,T];L_\gamma(\Omega))$, $\gamma\in[1,\infty)$ и $*$-слабо в $L_\infty(Q_T)$, а $\rho_\varepsilon'$ сходится слабо в $L_2(0,T;H^{-1}(\Omega))$ к $\rho'$.

Переходя в задаче (7)–(9) к пределу при $\varepsilon\to 0$ на основании указанных сходимостей, получаем, что предельная пара функций $(\rho,v)\in E_1\times W_1$, удовлетворяет равенствам (4), (5) и начальным условиям (6), т.е. является слабым решением начально-краевой задачи (1)–(3).

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1.	А. В. Кажихов, Докл. АН СССР, 216:5 (1974), 1008–1010
2.	J. Simon, SIAM J. Math. Anal., 21:5 (1990), 1093–1117
3.	R. J. DiPerna, P.-L. Lions, Invent. Math., 98:3 (1989), 511–547
4.	P.-L. Lions, Mathematical Topics in Fluid Mechanics, v. 1, Oxford Lecture Ser. Math. Appl., 3, Incompressible Models, Clarendon Press, Oxford, 1996
5.	В. Г. Звягин, М. В. Турбин, Гидродинамика, СМФН, 31, РУДН, М., 2009, 3–144
6.	А. П. Осколков, Краевые задачи математической физики. 13, Тр. МИАН СССР, 179, 1988, 126–164
7.	C. Amrouche, L. C. Berselli, R. Lewandowski, D. D. Nguyen, Nonlinear, 196 (2020), Article 111790
8.	А. В. Звягин, Матем. заметки, 105:6 (2019), 839–856
9.	А. В. Звягин, В. П. Орлов, Матем. заметки, 97:5 (2015), 681–698
10.	A. Ustiuzhaninova, M. Turbin, J. Dyn. Control Syst., 28:3 (2022), 465–480
11.	M. Turbin, A. Ustiuzhaninova, Evol. Equ. Control Theory, 11:6 (2022), 2055–2072
12.	S. N. Antontsev, H. B. de Oliveira, Kh. Khompysh, Nonlinearity, 34:5 (2021), 3083–3111
13.	В. Г. Звягин, М. В. Турбин, Докл. РАН. Матем., информ., проц. упр., 509 (2023), 13–16
14.	V. Zvyagin, M. Turbin, J. Fixed Point Theory Appl., 23:1 (2021), Article 4
15.	В. Г. Звягин, М. В. Турбин, Изв. вузов. Матем., 2020, № 4, 93–98
16.	В. Г. Звягин, Труды Шестой Международной конференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям (Москва, 2011), СМФН, 46, РУДН, М., 2012, 92–119
17.	Р. Темам, Уравнения Навье–Стокса. Теория и численный анализ, Мир, М., 1981
18.	J. Simon, Ann. Mat. Pura Appl. (4), 146 (1987), 65–96

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{ZvyTur23}
\by В.~Г.~Звягин, М.~В.~Турбин
\paper Теорема существования слабых решений начально-краевой~задачи
для неоднородной несжимаемой модели Кельвина--Фойгта без ограничения
снизу на начальное значение плотности
\jour Матем. заметки
\yr 2023
\vol 114
\issue 4
\pages 628--632
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/mzm14088}
\crossref{https://doi.org/10.4213/mzm14088}
\transl
\jour Math. Notes
\yr 2023
\vol 114
\issue 4
\pages 630--634
\crossref{https://doi.org/10.1134/S0001434623090316}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85174584586}