| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Квазиклассическое приближение монопольных гармоник Ю. А. Кордюковa, И. А. Таймановbc a Институт математики с вычислительным центром — обособленное структурное подразделение Федерального государственного бюджетного научного учреждения Уфимского федерального исследовательского центра Российской академии наук, г. Уфа b Новосибирский национальный исследовательский государственный университет c Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, г. Новосибирск
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623110597 
Реферативные базы данных:
 1. ВведениеВ [1] (см. также [2]) мы предложили обобщение многомерного метода ВКБ (метода канонического оператора Маслова [3], [4]) на магнитные лапласианы, отвечающие монополям. Этот подход применим к общим дифференциальным операторам, действующим на сеченияx нетривиальных расслоений. В [1] квазиклассический параметр $\hbar$ квантуется:
$$
\begin{equation*}
\hbar=1,\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \dots,\ \frac{1}{N},\ \dots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Для каждого заданного значения $\hbar$ строятся почти собственные функции магнитного лапласиана $\Delta^{L^N}$, $N=\hbar^{-1}$, отвечающего магнитному полю $NF$, пропорциональному исходному полю $F$. Недавно для вычисления канонического оператора около фокальных точек, которые устроены достаточно просто, были получены существенные упрощения. Они, в частности, позволяют моделировать канонический оператор в стандартных пакетах программ и эффективно применять его ко многим прикладным задачам [5], [6]. В этой работе мы демонстрируем (одновременное) применение этих методов к тестовой задаче – выводу явных формул для квазиклассических приближений монопольных гармоник, т.е. собственных сечений, отвечающих монополю Дирака [7]. Точные решения для них были получены в [8], [9]. 2. Магнитный монополь ДиракаПусть $M$ – риманово многообразие с метрикой $g_{jk}$ и замкнутой $2$-формой $F^{(0)}$, описывающей магнитное поле. В достаточно малой окрестности каждой точки выберем “вектор-потенциал” $A^{(0)}=(A^{(0)}_k)$ этой формы (магнитный потенциал) из условия
$$
\begin{equation*}
F^{(0)}_{jk}=\frac{\partial A^{(0)}_k}{\partial x^j} -\frac{\partial A^{(0)}_j}{\partial x^k}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\{x^j\}$ – локальные координаты в этой окрестности. Магнитный потенциал, вообще говоря, определен только локально. Рассмотрим частицу с зарядом $q$ на многообразии $M$. В [9] полагается, что $q=Ze$, где $Z\in\mathbb Z$ и $e$ – элементарный электрический заряд: $e>0$ и равен по модулю заряду электрона. Рассмотрим на $M$ замкнутую $2$-форму Если $F$ удовлетворяет условию квантования Дирака: то форма $F$ является формой кривизны комплексного линейного расслоения $\mathscr L$ со структурной группой $U(1)$, вектор-потенциал $A=qA^{(0)}$ задает связность $\nabla=d-iA$ в этом расслоении и первый класс Черна расслоения $\mathscr L$ равен В этом случае магнитному полю $F$, а точнее, системе из внешнего магнитного поля $F^{(0)}$ и частицы с зарядом $q$, можно сопоставить магнитный лапласиан, действующий на сечениях расслоения $\mathscr L$:
$$
\begin{equation*}
\Delta^{\mathscr L}=-\frac{1}{\sqrt{g}} \biggl(\frac{\partial}{\partial x^j}-iA_j\biggr)\sqrt{g}g^{jk} \biggl(\frac{\partial}{\partial x^k}-iA_k\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $g=\det(g_{jk})$, $g^{jk}g_{km}=\delta^j_m$ и, как обычно, по повторяющимся верхним и нижним индексам подразумевается суммирование. Монополь Дирака [7] описывает движение электрона в трехмерном пространстве в однородном магнитном поле Стационарное уравнение Шрёдингера на собственные функции $\Psi(r,\theta,\varphi)$ квантованной системы после разделения переменных на сферическую и радиальную составляющие: $\Psi=f(r)S(\theta,\varphi)$ распадается в систему двух дифференциальных уравнений. Сферическая составляющая $S(\theta,\varphi)$ является сечением некоторого нетривиального линейного $U(1)$-расслоения $\mathscr L$ над единичной двумерной сферой с координатами $\theta$ и $\varphi$. Уравнение на $S(\theta,\varphi)$ имеет видИз построения связности $A=qA^{(0)}$ и определения магнитного лапласиана видно, что замена знака заряда на противоположный приводит к сопряжению расслоения $\mathscr L$ и собственных сечений
$$
\begin{equation}
q\to -q,\quad \mathscr L\to\overline{\mathscr L}=\mathscr L^\ast,\quad \psi\to\overline\psi,\quad E\to E,\qquad \text{где}\quad \Delta^\mathscr L\psi=E\psi.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
В своей работе Дирак детально рассмотрел случай, когда т.е. магнитный заряд $g_D$ монополя, расположенного в начале координат, принимает минимально возможное положительное значение, чтобы выполнялось условие квантования, и частица имеет заряд $q=-e$ (электрон). Здесь мы полагаем $\hbar=c=1$, где $\hbar$ – постоянная Планка и $c$ – скорость света в вакууме. Собственные сечения, отвечающие наименьшему собственному значению $E=1/2$, были найдены Таммом [8]:
$$
\begin{equation}
S_a=\cos\frac{\theta}{2}\,,\qquad S_b=\sin\frac{\theta}{2}\,e^{-i\varphi}
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
при $0\leqslant\theta<\pi$. Единичная двумерная сфера $S^2$ в $\mathbb R^3$ с центром в начале координат наделена римановой метрикой, индуцированной вложением в евклидово пространство $\mathbb R^3$. В сферических координатах
$$
\begin{equation*}
x=\sin\theta\cos\varphi,\quad y=\sin\theta\sin\varphi,\quad z=\cos\theta,\qquad \theta\in(0,\pi),\quad \varphi\in(0,2\pi),
\end{equation*}
\notag
$$
риманова метрика $g$ задана формулой Пусть $F_B$ – замкнутая 2-форма магнитного поля, задаваемая формулой
$$
\begin{equation*}
F_B=B\,d\mathrm{vol}=B\sin\theta\,d\theta\wedge d\varphi,
\end{equation*}
\notag
$$
где $d\mathrm{vol}$ обозначает риманову форму объема метрики $g$: Условие квантования (2.1) означает, что Обозначим в дальнейшем через $L$ расслоение с формой кривизны отвечаюшей значению $B=1/2$. Его первый класс Черна равен
$$
\begin{equation*}
c_1(L)=\biggl[\frac{F}{2\pi}\biggr]=1\in H^2(S^2;\mathbb Z)=\mathbb Z.
\end{equation*}
\notag
$$
В алгебраической геометрии оно рассматривается как расслоение над $\mathbb CP^1=S^2$ и обозначается через $L=\mathscr O(1)$. Формула (2.3) задает сечения сопряженного к нему расслоения $\overline L=L^{-1}=\mathscr O(-1)$, так как отвечает частице с отрицательным зарядом. При $B=N/2$ форма $F_B=NF$ является формой кривизны линейного расслоения $L^N$, где $L^N$ – $N$-я тензорная степень расслоения $L$ при $N>0$, тривиальное расслоение при $N=0$ и $N$-я тензорная степень расслоения $\overline L=L^\ast$ при $N<0$. Очевидно, что $c_1(L^N)=N$. Рассмотрим покрытие сферы двумя координатными окрестностями $U_1$ и $U_2$:
$$
\begin{equation*}
U_1=\{0\leqslant\theta<\pi,\,0\leqslant\varphi<2\pi\},\qquad U_2=\{0<\theta\leqslant\pi,\,0\leqslant\varphi<2\pi\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как над каждой из этих областей ограничение любого линейного расслоения $\mathscr L$ тривиально:
$$
\begin{equation*}
\mathscr L|_{U_1}=U_1\times\mathbb C,\qquad \mathscr L|_{U_2}=U_2\times\mathbb C,
\end{equation*}
\notag
$$
то расслоение однозначно задается функцией сцепления $g_{12}$, которая определена на $U_1\cap U_2$ и связывает линейные координаты $\lambda$ и $\mu$ в слоях над $U_1$ и $U_2$: В частности, при $\mathscr L=L^N$, $N=2B$, имеем
$$
\begin{equation*}
g_{12}(\theta,\varphi)=e^{-2iB\varphi},\qquad (\theta,\varphi)\in U_1\cap U_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Магнитные потенциалы формы $F_B$ задаются формулами
$$
\begin{equation}
A_1=B(1-\cos\theta)\,d\varphi\quad \text{на }U_1,\qquad A_2=-B(1+\cos\theta)\,d\varphi\quad \text{на }U_2.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
На $U_1\cap U_2$ они связаны калибровочным преобразованием Магнитный лапласиан $\Delta^{L^N}$ принимает вид
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} \Delta^{L^N} &=-\frac{1}{\sin\theta}\, \frac{\partial}{\partial\theta}\sin\theta\,\frac{\partial}{\partial\theta} -\frac{1}{\sin^2\theta}\biggl(\frac{\partial}{\partial\varphi} -iB(1-\cos\theta)\biggr)^2 &\qquad &\text{на }U_1, \\ \Delta^{L^N} &=-\frac{1}{\sin\theta}\,\frac{\partial}{\partial\theta} \sin\theta\,\frac{\partial}{\partial\theta} -\frac{1}{\sin^2\theta} \biggl(\frac{\partial}{\partial\varphi}+iB(1+\cos\theta)\biggr)^2 &\qquad &\text{на }U_2, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
где $B=N/2$. Спектр магнитного лапласиана $\Delta^{L^N}$ вычислен в [8], [9]. Он состоит из собственных значений
$$
\begin{equation}
E_{N,j}=j(j+1)+\frac{N}{2}(2j+1),\qquad j=0,1,\dots,
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
кратности Соответствующие собственные функции известны как монопольные гармоники (monopole harmonics). Явные формулы для них приведены в [9]. Заметим, что формула (2.3) дает представление $S_a$ и $S_b$ как сечений $L^{-1}$ над $U_1$ и согласно (2.6) над $U_2$ они задаются сечениями
$$
\begin{equation*}
S_a=\cos\frac{\theta}{2}\,e^{i\varphi},\qquad S_b=\sin\frac{\theta}{2}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. как сечения они нигде не имеют особенностей. Введем на пространстве сечений $U(1)$-расслоения $\mathscr L$ эрмитово скалярное произведение
$$
\begin{equation}
\langle\phi\mid\psi\rangle=\int_{S^2}\overline\phi\psi\,d\mathrm{vol}.
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Сечения $S_a$ и $S_b$ ортогональны относительно (2.11): $\langle S_a\mid S_b\rangle =0$. Более детальное обсуждение приведенных в п. 2 утверждений и конструкций дано в [2]. 3. ВКБ-приближение для монопольных гармоникМагнитный геодезический поток задается гамильтонианом
$$
\begin{equation}
H(\theta,\varphi,p_\theta,p_\varphi) =p_\theta^2+\frac{1}{\sin^2\theta}\,p^2_\varphi
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
по отношению к скрученной симплектической форме $\Omega$ на $T^*M$:
$$
\begin{equation*}
\Omega=dp_\theta\wedge d\theta+dp_\varphi\wedge d\varphi +B\sin\theta\,d\theta\wedge d\varphi.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как магнитный лапласиан (2.8) является квантованием именно этого выражения, то мы опускаем привычный множитель $1/2$ перед правой частью в (3.1). Таким образом, значение $E$ гамильтониана имеет смысл удвоенной кинетической энергии частицы. Соответствующие уравнения Гамильтона имеют вид
$$
\begin{equation*}
\dot\theta=2p_\theta,\qquad \dot\varphi=\frac{2}{\sin^2\theta}\,p_\varphi,\qquad \dot p_\theta=-\frac{2\cos\theta}{\sin^3\theta}\,p^2_\varphi +B\sin\theta p_\varphi,\qquad \dot p_\varphi=-B\sin\theta p_\theta.
\end{equation*}
\notag
$$
Магнитный геодезический поток является суперинтегрирумым. Поэтому разбиение фазового пространства на инвариантные торы неоднозначно и определяется, например, выбором двух коммутирующих первых интегралов $I_1$ и $I_2$. В качестве одного из них естественно взять гамильтониан: В качестве дополнительного первого интеграла возьмем Легко проверить, что функция $I_2$ всюду определена. Соответствующие инвариантные торы $\Lambda$ параметризуются двумя параметрами $E$ и $P$ и задаются уравнениями
$$
\begin{equation*}
p_\theta^2+\frac{1}{\sin^2\theta}\,p^2_\varphi=E,\qquad p_\varphi-B\cos\theta=P.
\end{equation*}
\notag
$$
Тор $\Lambda(E,P)$ не пуст тогда и только тогда, когда Положим Магнитный лапласиан действует на сечениях расслоения $L = \mathscr O(1)$. Это отвечает положительному заряду частицы (в отличие от случая Дирака), т.е. позитрону.Согласно [1] квазиклассические собственные сечения оператора $\Delta^{L^N}$ строятся по инвариантным лагранжевым торам $\Lambda(E,P)$. Эти торы должны удовлеворять условиям квантования типа Бора–Зоммерфельда, которые выполняются при
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} E=\lambda_{N,j} &=\frac{j(j+1)+(N/2)(2j+1)+1/4}{N^2}\,, &\qquad j &=0,1,2,\dots\,. \\ P &=\frac{k}{N}-\frac{1}{2}\,, &\qquad -j &\leqslant k\leqslant N+j, \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\hbar^{-1}=N\in\mathbb N$ и условие квантования зависит от $\hbar$. Используя связь почти собственных значений $\widehat E_{N,j}$ оператора $\Delta^{L^N}$ с допустимыми значениями параметра $E$, получаем
$$
\begin{equation}
\widehat E_{N,j}=\lambda_{N,j}N^2 =j(j+1)+\frac{N}{2}(2j+1)+\frac{1}{4}\,,\qquad j=0,1,\dots\,.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Кратность почти собственного значения $\widehat E_{N,j}$ равна Если сравнить их с формулами (2.9) и (2.10) для точных собственных значений, мы видим, что формула (3.2) описывает точные собственные значения магнитного лапласиана с точностью до постоянной поправки $\Delta\lambda_{N,j}=1/4$, а формула (3.3) дает правильный ответ для кратностей этих собственных значений. Почти собственные функции $U_{N,j,k}\in C^\infty(M,L^N)$ оператора $\Delta^{L^N}$, соответствующие почти собственному значению $\widehat E_{N,j}=\lambda_{N,j}N^2$, задаются формулой
$$
\begin{equation}
U_N=U_{N,j,k}=K_{\Lambda(E,P)}^{1/N}u\in C^\infty(M,L^N),\qquad u(\theta,\varphi)\equiv u_0,
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
где
$$
\begin{equation*}
K_{\Lambda(E,P)}^{1/N}\colon C^\infty(\Lambda(E,P))\to C^\infty(M,L^N)
\end{equation*}
\notag
$$
– канонический оператор, построенный в работе [1]. Для краткости будем опускать индексы $j$ и $k$ там, где это возможно. Тор $\Lambda=\Lambda(E,P)$ состоит из всех точек $(\theta,\varphi,p_\theta,p_\varphi)$ таких, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, p_\theta &=P_\theta(\theta):=\biggl(E-\frac{1}{\sin^2\theta} \biggl(P+\frac{1}{2}\cos\theta\biggr)^2\biggr)^{1/2} =\frac{(a+b\cos\theta+c\cos^2\theta)^{1/2}}{\sin\theta}\,, \\ p_\varphi &=P_\varphi(\theta):=P+\frac{1}{2}\cos\theta, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
где
$$
\begin{equation*}
a=E-P^2,\qquad b=-P, \qquad c=-\biggl(E+\frac{1}{4}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
$\theta\in [\theta_2,\theta_1]$, $\varphi\in[0,2\pi)$ и
$$
\begin{equation}
\theta_j:=\arccos z_j,\quad j=1,2,\qquad z_{1,2}=\frac{-b\mp\sqrt{\Delta}}{2c} =\frac{-P/2\mp\sqrt{E^2+E(1/4-P^2)}}{E+1/4}\,,
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
$z_{1,2}$ – корни квадратного уравнения $a+bz+cz^2=0$, $\Delta=b^2-4ac>0$. Особые точки ограничения проекции $\pi$ на $\Lambda$ получаются при $\theta=\theta_1$ или $\theta=\theta_2$. Поэтому, цикл особенностей $\Sigma(\Lambda)$ состоит из двух окружностей
$$
\begin{equation*}
\biggl\{p_\theta=0,\,p_\varphi=P+\frac{1}{2}\cos\theta_j,\, \theta=\theta_j,\,\varphi\in[0,2\pi)\biggr\},\qquad j=1,2.
\end{equation*}
\notag
$$
Особые точки имеют тип складки. Тор $\Lambda$ представляет собой объединение двух неособых канонических карт $\mathscr U^\pm$ с координатами
$$
\begin{equation}
\sigma_{\pm}\colon (\theta,\varphi)\in U :=\bigl\{\theta\in[\theta_2,\theta_1],\,\varphi\in[0,2\pi)\bigr\} \mapsto\bigl(\theta,\varphi,\pm P_\theta(\theta),P_\varphi(\theta)\bigr) \in\mathscr U^\pm\subset\Lambda
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
и цикла особенностей $\Sigma(\Lambda)$:
$$
\begin{equation*}
\Lambda=\mathscr U^+\cup\mathscr U^-\cup\Sigma(\Lambda).
\end{equation*}
\notag
$$
Образ тора $\Lambda=\Lambda(E,P)$ при канонической проекции $\pi\colon T^*S^2\to S^2$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\pi(\Lambda)=\overline U =\bigl\{(\theta,\varphi)\colon \theta\in[\theta_2,\theta_1],\,\varphi\in[0,2\pi)\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним (см. [1; формула (22)]), что если $\mathscr U$ – неособая карта на лагранжевом многообразии $\Lambda$ с координатным отображением $\sigma\colon U\to\mathscr U$, то ассоциированный с ней канонический оператор $K^h_{\Lambda,\mathscr U}\colon C^\infty(\mathscr U)\to C^\infty(U)$ задается формулой
$$
\begin{equation}
K^h_{\Lambda,\mathscr U}u(x) =\exp\biggl(\frac ih\tau(\sigma (x))-\pi i\frac{m_{\mathscr U}}2\biggr) \sqrt{\biggl|\frac{d\mu(\sigma(x))}{d\mathrm{vol}}\biggr|}u(\sigma(x)), \qquad x\in U,
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
где $\tau$ – функция эйконала, $m_{\mathscr U}$ – индекс Маслова карты $\mathscr U$, $\mu$ – гладкая положительная плотность на $\Lambda$, инвариантная относительно магнитного геодезического потока, $d\mathrm{vol}$ – риманова форма объема. Поскольку расслоение $L$ нетривиально, все наши конструкции зависят также от выбора тривиализации расслоения $L$, от которого зависит вид функции эйконала $\tau$. Как следствие, при $h=1/N$ результаты применения оператора $K^h_{\Lambda,\mathscr U}$ к функции $u$ на $\Lambda$ при различных выборах карты $\mathscr U$ и тривиализации расслоения $L$ задают корректно определенное сечение расслоения $L^N$. В рассматриваемом случае проекция $\pi(\mathscr U^\pm)=U$ неособой канонической карты $(\mathscr U^\pm,\sigma_\pm)$ на $\Lambda$ содержится в двух различных тривиализующих окрестностях $U_1$ и $U_2$. Соответствующие выражения для магнитного потенциала задаются формулами (2.7) с $B=1/2$. В зависимости от выбора тривиализации получаем разные выражения для функции эйконала $\tau^\pm_{U_1}$ и $\tau^\pm_{U_2}$ на $\mathscr U^\pm$, полученные в [1]. Если рассматривать $\pi(\mathscr U^\pm)$ как подмножество $U_1$, то
$$
\begin{equation*}
\tau^\pm_{U_1}(\sigma_{\pm}(\theta,\varphi)) =\pm I(\theta)+\biggl(P+\frac{1}{2}\biggr)\varphi+\tau_1,\qquad (\theta,\varphi)\in U.
\end{equation*}
\notag
$$
Если рассматривать $\pi(\mathscr U^\pm)$ как подмножество $U_2$, то
$$
\begin{equation*}
\tau^\pm_{U_2}(\sigma_\pm(\theta,\varphi)) =\pm I(\theta)+\biggl(P-\frac{1}{2}\biggr)\varphi+\tau_2,\qquad (\theta,\varphi)\in U.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь функция $I(\theta)$ задается формулой
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I(\theta) &=\frac{1}{2}\biggl|P+\frac{1}{2}\biggr| \arcsin\frac{2a+b+(b+2c)\cos\theta}{(\cos\theta-1)\sqrt{\Delta}} +\frac{1}{2}\biggr|P-\frac{1}{2}\biggr| \arcsin\frac{2a-b+(b-2c)\cos\theta}{(\cos\theta+1)\sqrt{\Delta}} \\ &\qquad{}+\sqrt{E+\frac{1}{4}}\arcsin\frac{2c\cos\theta+b}{\sqrt{\Delta}}\,, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и $\tau_1$, $\tau_2$ – произвольные постоянные. Найдем меру $\mu$ на инвариантном торе $\Lambda(E,P)$, инвариантную относительно магнитного геодезического потока. Запишем ее в карте $\mathscr U^\pm$ в виде Ограничение генератора магнитного геодезического потока на тор $\Lambda (E,P)$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
X=\pm 2P_\theta(\theta)\,\frac{\partial}{\partial\theta} +\frac{2}{\sin^2\theta}\,P_\varphi(\theta)\,\frac{\partial}{\partial\varphi}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
где $P_\theta$ и $P_\varphi$ задаются формулами (3.5). Условие инвариантности меры $\mu$ относительно потока задается формулой
$$
\begin{equation*}
\pm\frac{\partial}{\partial\theta}(2P_\theta(\theta)f_\pm(\theta,\varphi)) +\frac{\partial}{\partial\varphi} \biggl(\frac{2}{\sin^2\theta}\,P_\varphi(\theta)f(\theta,\varphi)\biggr)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Полагая $f_\pm(\theta,\varphi)=f_\pm(\theta)$, получаем, что
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial}{\partial\theta}(2P_\theta(\theta)f_\pm(\theta,\varphi))=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому в качестве решения можно взять Тем самым, в качестве инвариантной меры $\mu$ можно взять меру
$$
\begin{equation*}
\mu_\pm=\frac{\sin\theta}{(a+b\cos\theta+c\cos^2\theta)^{1/2}}\,d\theta\,d\varphi.
\end{equation*}
\notag
$$
Легко проверить, что $\mu$ – гладкая положительная плотность на торе $\Lambda$. Напомним, что риманова форма объема $d\mathrm{vol}$ задается формулой (2.4). Вычислим индексы карт. Прежде всего, напомним, что кокасательное расслоение $T^*S^2$ наделено скрученной симплектической формой $\Omega$. Поэтому, чтобы применить известные формулы для индекса Маслова, необходимо перейти к стандартной симплектической форме $\Omega_0$. Такой переход задается выбором тривиализации линейного расслоения $L$ и соответственно выбором магнитного потенциала. Рассматривая тривиализацию над $U_1$, получаем отображение
$$
\begin{equation*}
f_{U_1}(\theta,\varphi,p_\theta,p_\varphi) =\biggl(\theta,\varphi,p_\theta,p_\varphi +\frac{1}{2}(1-\cos\theta)\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
которое переводит $(T^*S^2|_{U_1},\Omega)$ в $(T^*S^2|_{U_1},\Omega_0)$. При этом отображении инвариантный тор $\Lambda (E,P)$ переходит в тор $\Lambda_0(E,P)$, задающийся уравнениями
$$
\begin{equation*}
p_\theta^2+\frac{1}{\sin^2\theta} \biggl(p_\varphi-\frac{1}{2}(1-\cos\theta)\biggr)^2=E,\qquad p_\varphi=P+\frac{1}{2}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
а канонические карты $\mathscr U^\pm$ – в неособые канонические карты $\mathscr U^\pm_0$ с координатами
$$
\begin{equation*}
\sigma_{\pm,0}\colon(\theta,\varphi)\in U \mapsto\biggl(\theta,\varphi,\pm P_\theta(\theta),P+\frac{1}{2}\biggr) \in\mathscr U_0^\pm\subset\Lambda_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим якобиан
$$
\begin{equation*}
\mathscr J(\sigma_\pm(\theta,\varphi)) =f^{-1}(\sigma_\pm(\theta,\varphi))=P_\theta(\theta),\qquad (\theta,\varphi)\in\mathscr U^\pm.
\end{equation*}
\notag
$$
Выберем центральную точку $\sigma_{+,0}(\theta_+,\varphi_+)\in\mathscr U^+_0$, скажем, $\sigma_{+,0}(\theta_+,\varphi_+)=\sigma_{+,0}(\pi/2,0)$ и точку $\sigma_{-,0}(\theta_-,\varphi_-)\in \mathscr U^-_0$, скажем, $\sigma_{-,0}(\theta_-,\varphi_-)=\sigma_{0,-}(\pi/2,0)$. Выберем и зафиксируем аргумент якобиана в центральной точке $\arg\mathscr J(\sigma_{0,+}(\theta_+,\varphi_+))=0$. Соответственно, индексы карт $\mathscr U^+_0$ и $\mathscr U^+$ равны нулю: Индекс карты $\mathscr U^-_0$ задается формулой
$$
\begin{equation*}
m_{\mathscr U^-_0} =\frac{1}{\pi}\arg\mathscr J(\sigma_{+.0}(\theta_+,\varphi_+)) +\operatorname{ind}\gamma,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\gamma\colon[0,1]\to\Lambda_0$ – такой гладкий путь, что
$$
\begin{equation*}
\gamma(0)=\sigma_{+,0}(\theta_+,\varphi_+), \qquad \gamma(1)=\sigma_{-,0}(\theta_-,\varphi_-),
\end{equation*}
\notag
$$
и $\operatorname{ind}\gamma$ – индекс Маслова пути $\gamma$. Справедлива формула (см., например, [10; формулы (1.1) и (1.2)])
$$
\begin{equation*}
\operatorname{ind}\gamma =\lim_{\varepsilon\to +0}\underset{\gamma}{\operatorname{var}} \operatorname{arg}\mathscr J^{\varepsilon},
\end{equation*}
\notag
$$
где для любого $\varepsilon>0$ якобиан $\mathscr J^\varepsilon$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\mathscr J^\varepsilon(\sigma_\pm(\theta,\varphi)) =P_\theta(\theta) \biggl(1\mp i\varepsilon\,\frac{\partial P_\theta}{\partial\theta}\biggr),\qquad (\theta,\varphi)\in \mathscr U^\pm.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя эту формулу, нетрудно вычислить, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{ind}\gamma_-=-1,\qquad m_{\mathscr U^-_0}=m_{\mathscr U^-}=-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно (3.8) в области $\{(\theta,\varphi)\colon\theta_2+\varepsilon<\theta<\theta_1-\varepsilon,\, 0\leqslant\varphi<2\pi\}$ с произвольным $\varepsilon>0$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag K^{h,1}_{\Lambda,\mathscr U}u(\theta,\varphi) &=\frac{u_+(\sigma_+(\theta,\varphi)) \exp\bigl((i/h)\tau^+_{U_1}(\sigma_+(\theta,\varphi))\bigr)} {(a+b\cos\theta+c\cos^2\theta)^{1/4}} \\ &\qquad +i\frac{u_-(\sigma_-(\theta,\varphi)) \exp\bigl((i/h)\tau^-_{U_1}(\sigma_-(\theta,\varphi))\bigr)} {(a+b\cos\theta+c\cos^2\theta)^{1/4}}\,, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
где мы рассматриваем $\pi(\mathscr U^\pm)$ как подмножество $U_1$ и $u_\pm$ обозначает ограничения функции $u$ на $\mathscr U^\pm$. Формулу (3.9) можно переписать в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, K^{h,1}_{\Lambda,\mathscr U}u(\theta,\varphi) &=\exp\biggl(\frac{3\pi i}4\biggr) \exp\biggl(i\frac{\tau^+_{U_1}+\tau^-_{U_1}}{2h}\biggr) \nonumber \\ &\qquad{}\times \biggl[\frac{u_--u_+}{(a+b\cos\theta+c\cos^2\theta)^{1/4}} \cos\biggl(\frac{\tau^+_{U_1}-\tau^-_{U_1}}{2h}+\frac{\pi}{4}\biggr) \nonumber \\ &\qquad\qquad{}-i\frac{u_-+u_+}{(a+b\cos\theta+c\cos^2\theta)^{1/4}} \sin\biggl(\frac{\tau^+_{U_1}-\tau^-_{U_1}}{2h} +\frac{\pi}{4}\biggr)\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Положим Тогда
$$
\begin{equation*}
\tau^+_{U_1}+\tau^-_{U_1}=2\biggl(P+\frac{1}{2}\biggr)\varphi,\qquad \tau^+_{U_1}-\tau^-_{U_1}=2(I(\theta)-I(\theta_2))
\end{equation*}
\notag
$$
и формула (3.10) принимает вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, K^{h,1}_{\Lambda,\mathscr U}u(\theta,\varphi) &=\exp\biggl(\frac{3\pi i}4\biggr) \exp\biggl(\frac{i(P+1/2)\varphi}h\biggr) \nonumber \\ &\qquad{}\times \biggl[\frac{u_--u_+}{(a+b\cos\theta+c\cos^2\theta)^{1/4}} \cos\biggl(\frac{I(\theta)-I(\theta_2)}{h}+\frac{\pi}{4}\biggr) \nonumber \\ &\qquad\qquad{}-i\frac{u_-+u_+}{(a+b\cos\theta+c\cos^2\theta)^{1/4}} \sin\biggl(\frac{I(\theta)-I(\theta_2)}{h} +\frac{\pi}{4}\biggr)\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
В частности, полагая $u(\theta,\varphi)\equiv u_0$, получаем формулу для почти собственной функции $U_N \in C^\infty(M,L^N)$ оператора $\Delta^{L^N}$ с соответствующим собственным значением $\widehat\lambda_N$:
$$
\begin{equation}
U^{(1)}_N(\theta,\varphi) =\frac{2\exp(\pi i/4)u_0}{(a+b\cos\theta+c\cos^2\theta)^{1/4}}\, \exp\biggl(i\biggl(P+\frac12\biggr)N\varphi\biggr)\sin\biggl((I(\theta)-I(\theta_2))N +\frac{\pi}{4}\biggr),
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
где мы рассматриваем $\pi(\mathscr U^\pm)$ как подмножество $U_1$. Аналогично получаем
$$
\begin{equation}
U^{(2)}_N(\theta,\varphi) =\frac{2\exp(\pi i/4)u_0}{(a+b\cos\theta+c\cos^2\theta)^{1/4}}\, \exp\biggl(i\biggl(P-\frac12\biggr)N\varphi\biggr) \sin\biggl((I(\theta)-I(\theta_2))N +\frac{\pi}{4}\biggr),
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
где мы рассматриваем $\pi(\mathscr U^\pm)$ как подмножество $U_2$. Формулы (3.12) и (3.13) справедливы в области
$$
\begin{equation*}
\{(\theta,\varphi)\colon\theta_2+\varepsilon<\theta<\theta_1-\varepsilon,\, 0\leqslant\varphi<2\pi\}
\end{equation*}
\notag
$$
с произвольным $\varepsilon>0$. Воспользуемся методом, предложенным в [5], для описания канонического оператора в окрестности складки лагранжева многообразия. Запишем функцию $U^{(1)}_N(\theta,\varphi)$ в терминах функции Эйри $\mathrm{Ai}$, пользуясь известным асимптотическим представлением в виде тригонометрических функций для функции $\mathrm{Ai}$:
$$
\begin{equation*}
\mathrm{Ai}(-x)=\frac{1}{\sqrt{\pi}x^{1/4}} \sin\biggl(\frac{2}{3}\,x^{3/2}+\frac{\pi}{4}\biggr)(1+O(x^{-1})),\qquad x\to +\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Получаем
$$
\begin{equation*}
U^{(1)}_N(\theta,\varphi) \asymp\sqrt{\pi} \exp\biggl(\frac{\pi i}4\biggr) \exp\biggl(i\biggl(P+\frac12\biggr)N\varphi\biggr) A(\theta)N^{1/6}\mathrm{Ai}(-N^{2/3}\Phi(\theta)),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\asymp$ означает равенство с точностью до слагаемых порядка $O(1/N)$ в амплитуде,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Phi(\theta) &=\biggl(\frac{3}{2}(I(\theta)-I(\theta_2))\biggr)^{2/3}, \\ A(\theta) &=\frac{2u_0}{(a+b\cos\theta+c\cos^2\theta)^{1/4}} \biggl(\frac{3}{2}(I(\theta)-I(\theta_2))\biggr)^{1/6}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Найдем асимптотику амплитуды и фазы в формуле при $\theta\to\theta_2+0$, чтобы продолжить эти асимптотические формулы в некоторую окрестность $(\theta_2-\varepsilon,\theta_2]$. Заметим, что при $\theta\to\theta_2+0$
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, a+b\cos\theta+c\cos^2\theta =c(\cos\theta-\cos\theta_1)(\cos\theta-\cos\theta_2) \sim c(\cos\theta_1-\cos\theta_2)\sin\theta_2(\theta-\theta_2), \\ \frac{(a+b\cos\theta+c\cos^2\theta)^{1/2}}{\sin\theta} \sim\frac{(c(\cos\theta_1-\cos\theta_2))^{1/2}}{(\sin\theta_2)^{1/2}} (\theta-\theta_2)^{1/2} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и потому
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I(\theta)-I(\theta_2) &=\int_{\theta_2}^\theta \frac{(a+b\cos\theta+c\cos^2\theta)^{1/2}}{\sin\theta}\,d\theta \\ &\asymp\int_{\theta_2}^\theta \frac{(c(\cos\theta_1-\cos\theta_2))^{1/2}}{(\sin\theta_2)^{1/2}} (\theta-\theta_2)^{1/2}\,d\theta \\ &=\frac{2}{3}\,\frac{(c(\cos\theta_2-\cos\theta_1))^{1/2}}{(\sin\theta_2)^{1/2}} (\theta-\theta_2)^{3/2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Получаем асимптотики фазы при $\theta\to\theta_2+0$
$$
\begin{equation*}
\Phi(\theta) \asymp\frac{(c(\cos\theta_2-\cos\theta_1))^{1/3}}{(\sin\theta_2)^{1/3}}(\theta-\theta_2)
\end{equation*}
\notag
$$
и амплитуды
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A(\theta) &\asymp\frac{2u_0}{(c(\cos\theta_1-\cos\theta_2)\sin\theta_2 (\theta-\theta_2))^{1/4}}\, \frac{(c(\cos\theta_2-\cos\theta_1))^{1/12}}{(\sin\theta_2)^{1/12}} (\theta-\theta_2)^{1/4} \\ &=\frac{2u_0}{(c(\cos\theta_1-\cos\theta_2))^{1/6}(\sin\theta_2)^{1/3}}\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из соотношений (3.6) находим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \sin\theta_{1,2}=\frac{P\sqrt{E}\mp 1/2\sqrt{E+1/4-P^2}}{E+1/4}\,, \\ c(\cos\theta_1-\cos\theta_2)=\sqrt{\Delta}=\sqrt{E^2+E\biggl(\frac14-P^2\biggr)}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, мы видим, что функции $\Phi(\theta)$ и $A(\theta)$ являются гладкими на полуинтервале $[\theta_2,\theta_2+\varepsilon)$, включая точку $\theta_2$, причем $\Phi'(\theta_2)\ne 0$. Мы продолжим их на полуинтервал $(\theta_2-\varepsilon,\theta_2)$, используя приведенные выше асимптотики при $\theta\to\theta_2+0$. Используя рассуждения, аналогичные тем, которые приведены в доказательстве теоремы 2 работы [5], получаем следующее утверждение. Теорема. Функция $U^{(1)}_{N,j,k}(\theta,\varphi)$, задаваемая формулой (3.4), представляется в виде При $N=1$, $j=0$, $k=1,2$ мы получаем квазиклассические приближения собственных сечений $\overline S_a$ и $\overline S_b$ вида (2.3) (напомним, что мы рассматриваем случай частицы отличающегося знаком заряда, что приводит к сопряжению расслоений и их сечений). Вообще, сравнение данных квазиклассических ответов с классическими (см. приложение) показывает, что они являются почти локализованными на проекциях соответствующих лагранжевых торов. Легко видеть, что при любом $N$ сечения $U_{N,j,k}$, $j=0,1,2,\dots$, $-j\leqslant k\leqslant N+j$, почти ортогональны относительно скалярного произведения (2.11):
$$
\begin{equation*}
\langle U_{N,j_1,k_1}\mid U_{N,j_2,k_2}\rangle\asymp 0,\qquad (j_1,k_1)\ne(j_2,k_2).
\end{equation*}
\notag
$$
Действительно, при разных $j$ они почти ортогональны, поскольку являются почти собственными сечениями, отвечающими различным почти собственным значениям оператора $\Delta^{L^N}$, в то время как при одинаковых $j$ и различных $k$ они почти ортогональны, поскольку имеют вид $S(\theta)e^{ik\varphi}$. Более того, если мы выберем постоянную $u_0$ таким образом, что выполнено условие нормировки:
$$
\begin{equation*}
\int_{\Lambda(E,P)}u^2_0\,d\mu=1 \quad\Longleftrightarrow\quad u_0=\frac{1}{\sqrt{\mu(\Lambda(E,P))}} =\frac{1}{2\pi}\biggl(E+\frac14\biggr)^{-1/4},
\end{equation*}
\notag
$$
то соответствующее почти собственное сечение $U_{N,j,k}$ асимптотически нормировано:
4. Монопольные гармоникиСогласно [9] для собственного значения $E_{N,j}$, $j=0,1,\dots$, оператора $\Delta^{L^N}$, заданного формулой (2.9), соответствующие собственные сечения $Y_{N,j,k}$, $k=-j,\dots,N+j$, имеют вид
$$
\begin{equation*}
Y^{(1)}_{N,j,k}(\theta,\varphi) =\Theta_{N,j,k}(\theta)e^{ik\varphi}\quad \text{на}\ \ U_1,\qquad Y^{(2)}_{N,j,k}(\theta,\varphi) =\Theta_{N,j,k}(\theta)e^{i(k-N)\varphi}\quad \text{на}\ \ U_2,
\end{equation*}
\notag
$$
где функция $\Theta_{N,j,k}(\theta)$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\Theta_{N,j,k}(\theta)=\widetilde\Theta_{N,j,k}(\cos\theta),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\widetilde\Theta_{N,j,k}(x) \\ &=\biggl[\frac{N+2j+1}{4\pi}\,\frac{(N+j+k)!\,(j+k)!}{(N+j)!\,j!}\biggr]^{1/2} \biggl(\frac{1-x}{2}\biggr)^{-k/2} \biggl(\frac{1+x}{2}\biggr)^{(N-k)/2}\widetilde P_{N,j,k}(x), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
многочлен $\widetilde P_{N,j,k}(x)$ представляет собой многочлен Якоби $P^{\alpha,\beta}_n(x)$ с параметрами и имеет вид
$$
\begin{equation*}
\widetilde P_{N,j,k}(x) =j!\,(j+N)!\sum_s\frac{(-1)^{j+k-s}}{s!\,(j-s)!\,(N-k+s)!\,(j+k-s)!} \biggl(\frac{1-x}{2}\biggr)^{j+k-s}\biggl(\frac{1+x}{2}\biggr)^s,
\end{equation*}
\notag
$$
где сумма берется по всем целым значениям $s$, для которых аргументы факториалов неотрицательны. Легко видеть, что
$$
\begin{equation*}
Y^{(1)}_{N,j,k}(\theta,\varphi)=e^{iN\varphi}Y^{(2)}_{N,j,k}(\theta,\varphi).
\end{equation*}
\notag
$$
Сечения $Y_{N,j,k}$ являются собственными функциями оператора углового момента $L_z$, заданного формулами
$$
\begin{equation*}
L_zY^{(1)}=\biggl(-i\,\partial_\varphi-\frac{N}{2}\biggr)Y^{(1)}\quad \text{на}\ \ U_1,\qquad L_zY^{(2)}=\biggl(-i\,\partial_\varphi+\frac{N}{2}\biggr)Y^{(2)}\quad \text{на}\ \ U_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Легко видеть, что В частности, при $N=1$, $j=0$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \widetilde\Theta_{(1,0,0)}(x) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\biggl(\frac{1+x}{2}\biggr)^{1/2}, \qquad \Theta_{(1,0,0)}(\theta) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cos\biggl(\frac{\theta}{2}\biggr), \\ Y^{(1)}_{(1,0,0)}(\theta,\varphi) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cos\frac{\theta}{2}\,, \qquad Y^{(2)}_{(1,0,0)}(\theta,\varphi) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cos\frac{\theta}{2}\,e^{-i\varphi}, \\ \widetilde \Theta_{(1,0,1)}(x) =-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\biggl(\frac{1-x}{2}\biggr)^{1/2}, \qquad \Theta_{(1,0,1)}(\theta) =-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sin\biggl(\frac{\theta}{2}\biggr), \\ Y^{(1)}_{(1,0,1)}(\theta,\varphi) =-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sin\frac{\theta}{2}\,e^{i\varphi}, \qquad Y^{(2)}_{(1,0,1)}(\theta,\varphi) =-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sin\frac{\theta}{2}\,. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Мы видим, что $Y^{(1)}_{(1,0,0)}(\theta,\varphi)$ и $Y^{(1)}_{(1,0,1)}(\theta,\varphi)$ с точностью до нормировки (деления на $\sqrt{2\pi}$) и сопряжения совпадают с решениями (2.3). Согласно (2.2) сопряжение связано с тем, что эти решения описывают частицы с зарядами $e$ и $-e$ в одном и том же магнитном поле. Авторы благодарят С. Ю. Доброхотова, обратившего их внимание на эту задачу и на работы [5], [6], где предложено упрощение формул для канонического оператора Маслова около простейших особенностей лагранжевых многообразий. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KorTai23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|