| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Квазиклассическое приближение монопольных гармоник Ю. А. Кордюковa, И. А. Таймановbc a Институт математики с вычислительным центром — обособленное структурное подразделение Федерального государственного бюджетного научного учреждения Уфимского федерального исследовательского центра Российской академии наук, г. Уфа b Новосибирский национальный исследовательский государственный университет c Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, г. Новосибирск
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623110597 
Реферативные базы данных:
 1. ВведениеВ [1] (см. также [2]) мы предложили обобщение многомерного метода ВКБ (метода канонического оператора Маслова [3], [4]) на магнитные лапласианы, отвечающие монополям. Этот подход применим к общим дифференциальным операторам, действующим на сеченияx нетривиальных расслоений. В [1] квазиклассический параметр ℏ квантуется: Для каждого заданного значения ℏ строятся почти собственные функции магнитного лапласиана ΔLN, N=ℏ−1, отвечающего магнитному полю NF, пропорциональному исходному полю F.Недавно для вычисления канонического оператора около фокальных точек, которые устроены достаточно просто, были получены существенные упрощения. Они, в частности, позволяют моделировать канонический оператор в стандартных пакетах программ и эффективно применять его ко многим прикладным задачам [5], [6]. В этой работе мы демонстрируем (одновременное) применение этих методов к тестовой задаче – выводу явных формул для квазиклассических приближений монопольных гармоник, т.е. собственных сечений, отвечающих монополю Дирака [7]. Точные решения для них были получены в [8], [9]. 2. Магнитный монополь ДиракаПусть M – риманово многообразие с метрикой gjk и замкнутой 2-формой F(0), описывающей магнитное поле. В достаточно малой окрестности каждой точки выберем “вектор-потенциал” A(0)=(A(0)k) этой формы (магнитный потенциал) из условия где {xj} – локальные координаты в этой окрестности. Магнитный потенциал, вообще говоря, определен только локально.Рассмотрим частицу с зарядом q на многообразии M. В [9] полагается, что q=Ze, где Z∈Z и e – элементарный электрический заряд: e>0 и равен по модулю заряду электрона. Рассмотрим на M замкнутую 2-форму Если F удовлетворяет условию квантования Дирака: то форма F является формой кривизны комплексного линейного расслоения L со структурной группой U(1), вектор-потенциал A=qA(0) задает связность ∇=d−iA в этом расслоении и первый класс Черна расслоения L равен В этом случае магнитному полю F, а точнее, системе из внешнего магнитного поля F(0) и частицы с зарядом q, можно сопоставить магнитный лапласиан, действующий на сечениях расслоения L: Здесь g=det(gjk), gjkgkm=δjm и, как обычно, по повторяющимся верхним и нижним индексам подразумевается суммирование.Монополь Дирака [7] описывает движение электрона в трехмерном пространстве в однородном магнитном поле Стационарное уравнение Шрёдингера на собственные функции Ψ(r,θ,φ) квантованной системы после разделения переменных на сферическую и радиальную составляющие: Ψ=f(r)S(θ,φ) распадается в систему двух дифференциальных уравнений. Сферическая составляющая S(θ,φ) является сечением некоторого нетривиального линейного U(1)-расслоения L над единичной двумерной сферой с координатами θ и φ. Уравнение на S(θ,φ) имеет видИз построения связности A=qA(0) и определения магнитного лапласиана видно, что замена знака заряда на противоположный приводит к сопряжению расслоения L и собственных сечений В своей работе Дирак детально рассмотрел случай, когда т.е. магнитный заряд gD монополя, расположенного в начале координат, принимает минимально возможное положительное значение, чтобы выполнялось условие квантования, и частица имеет заряд q=−e (электрон). Здесь мы полагаем ℏ=c=1, где ℏ – постоянная Планка и c – скорость света в вакууме. Собственные сечения, отвечающие наименьшему собственному значению E=1/2, были найдены Таммом [8]: при 0⩽.Единичная двумерная сфера S^2 в \mathbb R^3 с центром в начале координат наделена римановой метрикой, индуцированной вложением в евклидово пространство \mathbb R^3. В сферических координатах
\begin{equation*}
x=\sin\theta\cos\varphi,\quad y=\sin\theta\sin\varphi,\quad z=\cos\theta,\qquad \theta\in(0,\pi),\quad \varphi\in(0,2\pi),
\end{equation*}
\notag
риманова метрика g задана формулой Пусть F_B – замкнутая 2-форма магнитного поля, задаваемая формулой где d\mathrm{vol} обозначает риманову форму объема метрики g: Условие квантования (2.1) означает, что Обозначим в дальнейшем через L расслоение с формой кривизны отвечаюшей значению B=1/2. Его первый класс Черна равен
\begin{equation*}
c_1(L)=\biggl[\frac{F}{2\pi}\biggr]=1\in H^2(S^2;\mathbb Z)=\mathbb Z.
\end{equation*}
\notag
В алгебраической геометрии оно рассматривается как расслоение над \mathbb CP^1=S^2 и обозначается через L=\mathscr O(1). Формула (2.3) задает сечения сопряженного к нему расслоения \overline L=L^{-1}=\mathscr O(-1), так как отвечает частице с отрицательным зарядом. При B=N/2 форма F_B=NF является формой кривизны линейного расслоения L^N, где L^N – N-я тензорная степень расслоения L при N>0, тривиальное расслоение при N=0 и N-я тензорная степень расслоения \overline L=L^\ast при N<0. Очевидно, что c_1(L^N)=N. Рассмотрим покрытие сферы двумя координатными окрестностями U_1 и U_2:
\begin{equation*}
U_1=\{0\leqslant\theta<\pi,\,0\leqslant\varphi<2\pi\},\qquad U_2=\{0<\theta\leqslant\pi,\,0\leqslant\varphi<2\pi\}.
\end{equation*}
\notag
Так как над каждой из этих областей ограничение любого линейного расслоения \mathscr L тривиально:
\begin{equation*}
\mathscr L|_{U_1}=U_1\times\mathbb C,\qquad \mathscr L|_{U_2}=U_2\times\mathbb C,
\end{equation*}
\notag
то расслоение однозначно задается функцией сцепления g_{12}, которая определена на U_1\cap U_2 и связывает линейные координаты \lambda и \mu в слоях над U_1 и U_2: В частности, при \mathscr L=L^N, N=2B, имеем
\begin{equation*}
g_{12}(\theta,\varphi)=e^{-2iB\varphi},\qquad (\theta,\varphi)\in U_1\cap U_2.
\end{equation*}
\notag
Магнитные потенциалы формы F_B задаются формулами
\begin{equation}
A_1=B(1-\cos\theta)\,d\varphi\quad \text{на }U_1,\qquad A_2=-B(1+\cos\theta)\,d\varphi\quad \text{на }U_2.
\end{equation}
\tag{2.7}
На U_1\cap U_2 они связаны калибровочным преобразованием Магнитный лапласиан \Delta^{L^N} принимает вид
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} \Delta^{L^N} &=-\frac{1}{\sin\theta}\, \frac{\partial}{\partial\theta}\sin\theta\,\frac{\partial}{\partial\theta} -\frac{1}{\sin^2\theta}\biggl(\frac{\partial}{\partial\varphi} -iB(1-\cos\theta)\biggr)^2 &\qquad &\text{на }U_1, \\ \Delta^{L^N} &=-\frac{1}{\sin\theta}\,\frac{\partial}{\partial\theta} \sin\theta\,\frac{\partial}{\partial\theta} -\frac{1}{\sin^2\theta} \biggl(\frac{\partial}{\partial\varphi}+iB(1+\cos\theta)\biggr)^2 &\qquad &\text{на }U_2, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{2.8}
где B=N/2. Спектр магнитного лапласиана \Delta^{L^N} вычислен в [8], [9]. Он состоит из собственных значений кратности Соответствующие собственные функции известны как монопольные гармоники (monopole harmonics). Явные формулы для них приведены в [9].Заметим, что формула (2.3) дает представление S_a и S_b как сечений L^{-1} над U_1 и согласно (2.6) над U_2 они задаются сечениями
\begin{equation*}
S_a=\cos\frac{\theta}{2}\,e^{i\varphi},\qquad S_b=\sin\frac{\theta}{2}\,,
\end{equation*}
\notag
т.е. как сечения они нигде не имеют особенностей. Введем на пространстве сечений U(1)-расслоения \mathscr L эрмитово скалярное произведение
\begin{equation}
\langle\phi\mid\psi\rangle=\int_{S^2}\overline\phi\psi\,d\mathrm{vol}.
\end{equation}
\tag{2.11}
Сечения S_a и S_b ортогональны относительно (2.11): \langle S_a\mid S_b\rangle =0. Более детальное обсуждение приведенных в п. 2 утверждений и конструкций дано в [2]. 3. ВКБ-приближение для монопольных гармоникМагнитный геодезический поток задается гамильтонианом
\begin{equation}
H(\theta,\varphi,p_\theta,p_\varphi) =p_\theta^2+\frac{1}{\sin^2\theta}\,p^2_\varphi
\end{equation}
\tag{3.1}
по отношению к скрученной симплектической форме \Omega на T^*M:
\begin{equation*}
\Omega=dp_\theta\wedge d\theta+dp_\varphi\wedge d\varphi +B\sin\theta\,d\theta\wedge d\varphi.
\end{equation*}
\notag
Так как магнитный лапласиан (2.8) является квантованием именно этого выражения, то мы опускаем привычный множитель 1/2 перед правой частью в (3.1). Таким образом, значение E гамильтониана имеет смысл удвоенной кинетической энергии частицы. Соответствующие уравнения Гамильтона имеют вид
\begin{equation*}
\dot\theta=2p_\theta,\qquad \dot\varphi=\frac{2}{\sin^2\theta}\,p_\varphi,\qquad \dot p_\theta=-\frac{2\cos\theta}{\sin^3\theta}\,p^2_\varphi +B\sin\theta p_\varphi,\qquad \dot p_\varphi=-B\sin\theta p_\theta.
\end{equation*}
\notag
Магнитный геодезический поток является суперинтегрирумым. Поэтому разбиение фазового пространства на инвариантные торы неоднозначно и определяется, например, выбором двух коммутирующих первых интегралов I_1 и I_2. В качестве одного из них естественно взять гамильтониан: В качестве дополнительного первого интеграла возьмем Легко проверить, что функция I_2 всюду определена. Соответствующие инвариантные торы \Lambda параметризуются двумя параметрами E и P и задаются уравнениями
\begin{equation*}
p_\theta^2+\frac{1}{\sin^2\theta}\,p^2_\varphi=E,\qquad p_\varphi-B\cos\theta=P.
\end{equation*}
\notag
Тор \Lambda(E,P) не пуст тогда и только тогда, когда Положим Магнитный лапласиан действует на сечениях расслоения L = \mathscr O(1). Это отвечает положительному заряду частицы (в отличие от случая Дирака), т.е. позитрону.Согласно [1] квазиклассические собственные сечения оператора \Delta^{L^N} строятся по инвариантным лагранжевым торам \Lambda(E,P). Эти торы должны удовлеворять условиям квантования типа Бора–Зоммерфельда, которые выполняются при
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} E=\lambda_{N,j} &=\frac{j(j+1)+(N/2)(2j+1)+1/4}{N^2}\,, &\qquad j &=0,1,2,\dots\,. \\ P &=\frac{k}{N}-\frac{1}{2}\,, &\qquad -j &\leqslant k\leqslant N+j, \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
где \hbar^{-1}=N\in\mathbb N и условие квантования зависит от \hbar. Используя связь почти собственных значений \widehat E_{N,j} оператора \Delta^{L^N} с допустимыми значениями параметра E, получаем
\begin{equation}
\widehat E_{N,j}=\lambda_{N,j}N^2 =j(j+1)+\frac{N}{2}(2j+1)+\frac{1}{4}\,,\qquad j=0,1,\dots\,.
\end{equation}
\tag{3.2}
Кратность почти собственного значения \widehat E_{N,j} равна Если сравнить их с формулами (2.9) и (2.10) для точных собственных значений, мы видим, что формула (3.2) описывает точные собственные значения магнитного лапласиана с точностью до постоянной поправки \Delta\lambda_{N,j}=1/4, а формула (3.3) дает правильный ответ для кратностей этих собственных значений. Почти собственные функции U_{N,j,k}\in C^\infty(M,L^N) оператора \Delta^{L^N}, соответствующие почти собственному значению \widehat E_{N,j}=\lambda_{N,j}N^2, задаются формулой
\begin{equation}
U_N=U_{N,j,k}=K_{\Lambda(E,P)}^{1/N}u\in C^\infty(M,L^N),\qquad u(\theta,\varphi)\equiv u_0,
\end{equation}
\tag{3.4}
где
\begin{equation*}
K_{\Lambda(E,P)}^{1/N}\colon C^\infty(\Lambda(E,P))\to C^\infty(M,L^N)
\end{equation*}
\notag
– канонический оператор, построенный в работе [1]. Для краткости будем опускать индексы j и k там, где это возможно. Тор \Lambda=\Lambda(E,P) состоит из всех точек (\theta,\varphi,p_\theta,p_\varphi) таких, что
\begin{equation}
\begin{aligned} \, p_\theta &=P_\theta(\theta):=\biggl(E-\frac{1}{\sin^2\theta} \biggl(P+\frac{1}{2}\cos\theta\biggr)^2\biggr)^{1/2} =\frac{(a+b\cos\theta+c\cos^2\theta)^{1/2}}{\sin\theta}\,, \\ p_\varphi &=P_\varphi(\theta):=P+\frac{1}{2}\cos\theta, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.5}
где
\begin{equation*}
a=E-P^2,\qquad b=-P, \qquad c=-\biggl(E+\frac{1}{4}\biggr),
\end{equation*}
\notag
\theta\in [\theta_2,\theta_1], \varphi\in[0,2\pi) и
\begin{equation}
\theta_j:=\arccos z_j,\quad j=1,2,\qquad z_{1,2}=\frac{-b\mp\sqrt{\Delta}}{2c} =\frac{-P/2\mp\sqrt{E^2+E(1/4-P^2)}}{E+1/4}\,,
\end{equation}
\tag{3.6}
z_{1,2} – корни квадратного уравнения a+bz+cz^2=0, \Delta=b^2-4ac>0. Особые точки ограничения проекции \pi на \Lambda получаются при \theta=\theta_1 или \theta=\theta_2. Поэтому, цикл особенностей \Sigma(\Lambda) состоит из двух окружностей
\begin{equation*}
\biggl\{p_\theta=0,\,p_\varphi=P+\frac{1}{2}\cos\theta_j,\, \theta=\theta_j,\,\varphi\in[0,2\pi)\biggr\},\qquad j=1,2.
\end{equation*}
\notag
Особые точки имеют тип складки. Тор \Lambda представляет собой объединение двух неособых канонических карт \mathscr U^\pm с координатами
\begin{equation}
\sigma_{\pm}\colon (\theta,\varphi)\in U :=\bigl\{\theta\in[\theta_2,\theta_1],\,\varphi\in[0,2\pi)\bigr\} \mapsto\bigl(\theta,\varphi,\pm P_\theta(\theta),P_\varphi(\theta)\bigr) \in\mathscr U^\pm\subset\Lambda
\end{equation}
\tag{3.7}
и цикла особенностей \Sigma(\Lambda): Образ тора \Lambda=\Lambda(E,P) при канонической проекции \pi\colon T^*S^2\to S^2 имеет вид
\begin{equation*}
\pi(\Lambda)=\overline U =\bigl\{(\theta,\varphi)\colon \theta\in[\theta_2,\theta_1],\,\varphi\in[0,2\pi)\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
Напомним (см. [1; формула (22)]), что если \mathscr U – неособая карта на лагранжевом многообразии \Lambda с координатным отображением \sigma\colon U\to\mathscr U, то ассоциированный с ней канонический оператор K^h_{\Lambda,\mathscr U}\colon C^\infty(\mathscr U)\to C^\infty(U) задается формулой
\begin{equation}
K^h_{\Lambda,\mathscr U}u(x) =\exp\biggl(\frac ih\tau(\sigma (x))-\pi i\frac{m_{\mathscr U}}2\biggr) \sqrt{\biggl|\frac{d\mu(\sigma(x))}{d\mathrm{vol}}\biggr|}u(\sigma(x)), \qquad x\in U,
\end{equation}
\tag{3.8}
где \tau – функция эйконала, m_{\mathscr U} – индекс Маслова карты \mathscr U, \mu – гладкая положительная плотность на \Lambda, инвариантная относительно магнитного геодезического потока, d\mathrm{vol} – риманова форма объема. Поскольку расслоение L нетривиально, все наши конструкции зависят также от выбора тривиализации расслоения L, от которого зависит вид функции эйконала \tau. Как следствие, при h=1/N результаты применения оператора K^h_{\Lambda,\mathscr U} к функции u на \Lambda при различных выборах карты \mathscr U и тривиализации расслоения L задают корректно определенное сечение расслоения L^N. В рассматриваемом случае проекция \pi(\mathscr U^\pm)=U неособой канонической карты (\mathscr U^\pm,\sigma_\pm) на \Lambda содержится в двух различных тривиализующих окрестностях U_1 и U_2. Соответствующие выражения для магнитного потенциала задаются формулами (2.7) с B=1/2. В зависимости от выбора тривиализации получаем разные выражения для функции эйконала \tau^\pm_{U_1} и \tau^\pm_{U_2} на \mathscr U^\pm, полученные в [1]. Если рассматривать \pi(\mathscr U^\pm) как подмножество U_1, то
\begin{equation*}
\tau^\pm_{U_1}(\sigma_{\pm}(\theta,\varphi)) =\pm I(\theta)+\biggl(P+\frac{1}{2}\biggr)\varphi+\tau_1,\qquad (\theta,\varphi)\in U.
\end{equation*}
\notag
Если рассматривать \pi(\mathscr U^\pm) как подмножество U_2, то
\begin{equation*}
\tau^\pm_{U_2}(\sigma_\pm(\theta,\varphi)) =\pm I(\theta)+\biggl(P-\frac{1}{2}\biggr)\varphi+\tau_2,\qquad (\theta,\varphi)\in U.
\end{equation*}
\notag
Здесь функция I(\theta) задается формулой
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I(\theta) &=\frac{1}{2}\biggl|P+\frac{1}{2}\biggr| \arcsin\frac{2a+b+(b+2c)\cos\theta}{(\cos\theta-1)\sqrt{\Delta}} +\frac{1}{2}\biggr|P-\frac{1}{2}\biggr| \arcsin\frac{2a-b+(b-2c)\cos\theta}{(\cos\theta+1)\sqrt{\Delta}} \\ &\qquad{}+\sqrt{E+\frac{1}{4}}\arcsin\frac{2c\cos\theta+b}{\sqrt{\Delta}}\,, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
и \tau_1, \tau_2 – произвольные постоянные. Найдем меру \mu на инвариантном торе \Lambda(E,P), инвариантную относительно магнитного геодезического потока. Запишем ее в карте \mathscr U^\pm в виде Ограничение генератора магнитного геодезического потока на тор \Lambda (E,P) имеет вид
\begin{equation*}
X=\pm 2P_\theta(\theta)\,\frac{\partial}{\partial\theta} +\frac{2}{\sin^2\theta}\,P_\varphi(\theta)\,\frac{\partial}{\partial\varphi}\,,
\end{equation*}
\notag
где P_\theta и P_\varphi задаются формулами (3.5). Условие инвариантности меры \mu относительно потока задается формулой
\begin{equation*}
\pm\frac{\partial}{\partial\theta}(2P_\theta(\theta)f_\pm(\theta,\varphi)) +\frac{\partial}{\partial\varphi} \biggl(\frac{2}{\sin^2\theta}\,P_\varphi(\theta)f(\theta,\varphi)\biggr)=0.
\end{equation*}
\notag
Полагая f_\pm(\theta,\varphi)=f_\pm(\theta), получаем, что
\begin{equation*}
\frac{\partial}{\partial\theta}(2P_\theta(\theta)f_\pm(\theta,\varphi))=0.
\end{equation*}
\notag
Поэтому в качестве решения можно взять Тем самым, в качестве инвариантной меры \mu можно взять меру
\begin{equation*}
\mu_\pm=\frac{\sin\theta}{(a+b\cos\theta+c\cos^2\theta)^{1/2}}\,d\theta\,d\varphi.
\end{equation*}
\notag
Легко проверить, что \mu – гладкая положительная плотность на торе \Lambda. Напомним, что риманова форма объема d\mathrm{vol} задается формулой (2.4). Вычислим индексы карт. Прежде всего, напомним, что кокасательное расслоение T^*S^2 наделено скрученной симплектической формой \Omega. Поэтому, чтобы применить известные формулы для индекса Маслова, необходимо перейти к стандартной симплектической форме \Omega_0. Такой переход задается выбором тривиализации линейного расслоения L и соответственно выбором магнитного потенциала. Рассматривая тривиализацию над U_1, получаем отображение
\begin{equation*}
f_{U_1}(\theta,\varphi,p_\theta,p_\varphi) =\biggl(\theta,\varphi,p_\theta,p_\varphi +\frac{1}{2}(1-\cos\theta)\biggr),
\end{equation*}
\notag
которое переводит (T^*S^2|_{U_1},\Omega) в (T^*S^2|_{U_1},\Omega_0). При этом отображении инвариантный тор \Lambda (E,P) переходит в тор \Lambda_0(E,P), задающийся уравнениями
\begin{equation*}
p_\theta^2+\frac{1}{\sin^2\theta} \biggl(p_\varphi-\frac{1}{2}(1-\cos\theta)\biggr)^2=E,\qquad p_\varphi=P+\frac{1}{2}\,,
\end{equation*}
\notag
а канонические карты \mathscr U^\pm – в неособые канонические карты \mathscr U^\pm_0 с координатами
\begin{equation*}
\sigma_{\pm,0}\colon(\theta,\varphi)\in U \mapsto\biggl(\theta,\varphi,\pm P_\theta(\theta),P+\frac{1}{2}\biggr) \in\mathscr U_0^\pm\subset\Lambda_0.
\end{equation*}
\notag
Рассмотрим якобиан
\begin{equation*}
\mathscr J(\sigma_\pm(\theta,\varphi)) =f^{-1}(\sigma_\pm(\theta,\varphi))=P_\theta(\theta),\qquad (\theta,\varphi)\in\mathscr U^\pm.
\end{equation*}
\notag
Выберем центральную точку \sigma_{+,0}(\theta_+,\varphi_+)\in\mathscr U^+_0, скажем, \sigma_{+,0}(\theta_+,\varphi_+)=\sigma_{+,0}(\pi/2,0) и точку \sigma_{-,0}(\theta_-,\varphi_-)\in \mathscr U^-_0, скажем, \sigma_{-,0}(\theta_-,\varphi_-)=\sigma_{0,-}(\pi/2,0). Выберем и зафиксируем аргумент якобиана в центральной точке \arg\mathscr J(\sigma_{0,+}(\theta_+,\varphi_+))=0. Соответственно, индексы карт \mathscr U^+_0 и \mathscr U^+ равны нулю: Индекс карты \mathscr U^-_0 задается формулой
\begin{equation*}
m_{\mathscr U^-_0} =\frac{1}{\pi}\arg\mathscr J(\sigma_{+.0}(\theta_+,\varphi_+)) +\operatorname{ind}\gamma,
\end{equation*}
\notag
где \gamma\colon[0,1]\to\Lambda_0 – такой гладкий путь, что
\begin{equation*}
\gamma(0)=\sigma_{+,0}(\theta_+,\varphi_+), \qquad \gamma(1)=\sigma_{-,0}(\theta_-,\varphi_-),
\end{equation*}
\notag
и \operatorname{ind}\gamma – индекс Маслова пути \gamma. Справедлива формула (см., например, [10; формулы (1.1) и (1.2)])
\begin{equation*}
\operatorname{ind}\gamma =\lim_{\varepsilon\to +0}\underset{\gamma}{\operatorname{var}} \operatorname{arg}\mathscr J^{\varepsilon},
\end{equation*}
\notag
где для любого \varepsilon>0 якобиан \mathscr J^\varepsilon имеет вид
\begin{equation*}
\mathscr J^\varepsilon(\sigma_\pm(\theta,\varphi)) =P_\theta(\theta) \biggl(1\mp i\varepsilon\,\frac{\partial P_\theta}{\partial\theta}\biggr),\qquad (\theta,\varphi)\in \mathscr U^\pm.
\end{equation*}
\notag
Используя эту формулу, нетрудно вычислить, что
\begin{equation*}
\operatorname{ind}\gamma_-=-1,\qquad m_{\mathscr U^-_0}=m_{\mathscr U^-}=-1.
\end{equation*}
\notag
Согласно (3.8) в области \{(\theta,\varphi)\colon\theta_2+\varepsilon<\theta<\theta_1-\varepsilon,\, 0\leqslant\varphi<2\pi\} с произвольным \varepsilon>0 имеем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag K^{h,1}_{\Lambda,\mathscr U}u(\theta,\varphi) &=\frac{u_+(\sigma_+(\theta,\varphi)) \exp\bigl((i/h)\tau^+_{U_1}(\sigma_+(\theta,\varphi))\bigr)} {(a+b\cos\theta+c\cos^2\theta)^{1/4}} \\ &\qquad +i\frac{u_-(\sigma_-(\theta,\varphi)) \exp\bigl((i/h)\tau^-_{U_1}(\sigma_-(\theta,\varphi))\bigr)} {(a+b\cos\theta+c\cos^2\theta)^{1/4}}\,, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.9}
где мы рассматриваем \pi(\mathscr U^\pm) как подмножество U_1 и u_\pm обозначает ограничения функции u на \mathscr U^\pm. Формулу (3.9) можно переписать в виде
\begin{equation}
\begin{aligned} \, K^{h,1}_{\Lambda,\mathscr U}u(\theta,\varphi) &=\exp\biggl(\frac{3\pi i}4\biggr) \exp\biggl(i\frac{\tau^+_{U_1}+\tau^-_{U_1}}{2h}\biggr) \nonumber \\ &\qquad{}\times \biggl[\frac{u_--u_+}{(a+b\cos\theta+c\cos^2\theta)^{1/4}} \cos\biggl(\frac{\tau^+_{U_1}-\tau^-_{U_1}}{2h}+\frac{\pi}{4}\biggr) \nonumber \\ &\qquad\qquad{}-i\frac{u_-+u_+}{(a+b\cos\theta+c\cos^2\theta)^{1/4}} \sin\biggl(\frac{\tau^+_{U_1}-\tau^-_{U_1}}{2h} +\frac{\pi}{4}\biggr)\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.10}
Положим Тогда
\begin{equation*}
\tau^+_{U_1}+\tau^-_{U_1}=2\biggl(P+\frac{1}{2}\biggr)\varphi,\qquad \tau^+_{U_1}-\tau^-_{U_1}=2(I(\theta)-I(\theta_2))
\end{equation*}
\notag
и формула (3.10) принимает вид
\begin{equation}
\begin{aligned} \, K^{h,1}_{\Lambda,\mathscr U}u(\theta,\varphi) &=\exp\biggl(\frac{3\pi i}4\biggr) \exp\biggl(\frac{i(P+1/2)\varphi}h\biggr) \nonumber \\ &\qquad{}\times \biggl[\frac{u_--u_+}{(a+b\cos\theta+c\cos^2\theta)^{1/4}} \cos\biggl(\frac{I(\theta)-I(\theta_2)}{h}+\frac{\pi}{4}\biggr) \nonumber \\ &\qquad\qquad{}-i\frac{u_-+u_+}{(a+b\cos\theta+c\cos^2\theta)^{1/4}} \sin\biggl(\frac{I(\theta)-I(\theta_2)}{h} +\frac{\pi}{4}\biggr)\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.11}
В частности, полагая u(\theta,\varphi)\equiv u_0, получаем формулу для почти собственной функции U_N \in C^\infty(M,L^N) оператора \Delta^{L^N} с соответствующим собственным значением \widehat\lambda_N:
\begin{equation}
U^{(1)}_N(\theta,\varphi) =\frac{2\exp(\pi i/4)u_0}{(a+b\cos\theta+c\cos^2\theta)^{1/4}}\, \exp\biggl(i\biggl(P+\frac12\biggr)N\varphi\biggr)\sin\biggl((I(\theta)-I(\theta_2))N +\frac{\pi}{4}\biggr),
\end{equation}
\tag{3.12}
где мы рассматриваем \pi(\mathscr U^\pm) как подмножество U_1. Аналогично получаем
\begin{equation}
U^{(2)}_N(\theta,\varphi) =\frac{2\exp(\pi i/4)u_0}{(a+b\cos\theta+c\cos^2\theta)^{1/4}}\, \exp\biggl(i\biggl(P-\frac12\biggr)N\varphi\biggr) \sin\biggl((I(\theta)-I(\theta_2))N +\frac{\pi}{4}\biggr),
\end{equation}
\tag{3.13}
где мы рассматриваем \pi(\mathscr U^\pm) как подмножество U_2. Формулы (3.12) и (3.13) справедливы в области
\begin{equation*}
\{(\theta,\varphi)\colon\theta_2+\varepsilon<\theta<\theta_1-\varepsilon,\, 0\leqslant\varphi<2\pi\}
\end{equation*}
\notag
с произвольным \varepsilon>0. Воспользуемся методом, предложенным в [5], для описания канонического оператора в окрестности складки лагранжева многообразия. Запишем функцию U^{(1)}_N(\theta,\varphi) в терминах функции Эйри \mathrm{Ai}, пользуясь известным асимптотическим представлением в виде тригонометрических функций для функции \mathrm{Ai}:
\begin{equation*}
\mathrm{Ai}(-x)=\frac{1}{\sqrt{\pi}x^{1/4}} \sin\biggl(\frac{2}{3}\,x^{3/2}+\frac{\pi}{4}\biggr)(1+O(x^{-1})),\qquad x\to +\infty.
\end{equation*}
\notag
Получаем
\begin{equation*}
U^{(1)}_N(\theta,\varphi) \asymp\sqrt{\pi} \exp\biggl(\frac{\pi i}4\biggr) \exp\biggl(i\biggl(P+\frac12\biggr)N\varphi\biggr) A(\theta)N^{1/6}\mathrm{Ai}(-N^{2/3}\Phi(\theta)),
\end{equation*}
\notag
где \asymp означает равенство с точностью до слагаемых порядка O(1/N) в амплитуде,
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Phi(\theta) &=\biggl(\frac{3}{2}(I(\theta)-I(\theta_2))\biggr)^{2/3}, \\ A(\theta) &=\frac{2u_0}{(a+b\cos\theta+c\cos^2\theta)^{1/4}} \biggl(\frac{3}{2}(I(\theta)-I(\theta_2))\biggr)^{1/6}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Найдем асимптотику амплитуды и фазы в формуле при \theta\to\theta_2+0, чтобы продолжить эти асимптотические формулы в некоторую окрестность (\theta_2-\varepsilon,\theta_2]. Заметим, что при \theta\to\theta_2+0
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, a+b\cos\theta+c\cos^2\theta =c(\cos\theta-\cos\theta_1)(\cos\theta-\cos\theta_2) \sim c(\cos\theta_1-\cos\theta_2)\sin\theta_2(\theta-\theta_2), \\ \frac{(a+b\cos\theta+c\cos^2\theta)^{1/2}}{\sin\theta} \sim\frac{(c(\cos\theta_1-\cos\theta_2))^{1/2}}{(\sin\theta_2)^{1/2}} (\theta-\theta_2)^{1/2} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
и потому
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I(\theta)-I(\theta_2) &=\int_{\theta_2}^\theta \frac{(a+b\cos\theta+c\cos^2\theta)^{1/2}}{\sin\theta}\,d\theta \\ &\asymp\int_{\theta_2}^\theta \frac{(c(\cos\theta_1-\cos\theta_2))^{1/2}}{(\sin\theta_2)^{1/2}} (\theta-\theta_2)^{1/2}\,d\theta \\ &=\frac{2}{3}\,\frac{(c(\cos\theta_2-\cos\theta_1))^{1/2}}{(\sin\theta_2)^{1/2}} (\theta-\theta_2)^{3/2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Получаем асимптотики фазы при \theta\to\theta_2+0
\begin{equation*}
\Phi(\theta) \asymp\frac{(c(\cos\theta_2-\cos\theta_1))^{1/3}}{(\sin\theta_2)^{1/3}}(\theta-\theta_2)
\end{equation*}
\notag
и амплитуды
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A(\theta) &\asymp\frac{2u_0}{(c(\cos\theta_1-\cos\theta_2)\sin\theta_2 (\theta-\theta_2))^{1/4}}\, \frac{(c(\cos\theta_2-\cos\theta_1))^{1/12}}{(\sin\theta_2)^{1/12}} (\theta-\theta_2)^{1/4} \\ &=\frac{2u_0}{(c(\cos\theta_1-\cos\theta_2))^{1/6}(\sin\theta_2)^{1/3}}\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Из соотношений (3.6) находим
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \sin\theta_{1,2}=\frac{P\sqrt{E}\mp 1/2\sqrt{E+1/4-P^2}}{E+1/4}\,, \\ c(\cos\theta_1-\cos\theta_2)=\sqrt{\Delta}=\sqrt{E^2+E\biggl(\frac14-P^2\biggr)}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Таким образом, мы видим, что функции \Phi(\theta) и A(\theta) являются гладкими на полуинтервале [\theta_2,\theta_2+\varepsilon), включая точку \theta_2, причем \Phi'(\theta_2)\ne 0. Мы продолжим их на полуинтервал (\theta_2-\varepsilon,\theta_2), используя приведенные выше асимптотики при \theta\to\theta_2+0. Используя рассуждения, аналогичные тем, которые приведены в доказательстве теоремы 2 работы [5], получаем следующее утверждение. Теорема. Функция U^{(1)}_{N,j,k}(\theta,\varphi), задаваемая формулой (3.4), представляется в виде
\begin{equation*}
U^{(1)}_N(\theta,\varphi) \asymp\sqrt{\pi} \exp\biggl(\frac{\pi i}4\biggr) \exp\biggl(i\biggl(P+\frac12\biggr)N\varphi\biggr) A(\theta)N^{1/6} \mathrm{Ai}\biggl(-\biggl(\frac{3}{2}\,N\biggr)^{2/3}\Phi(\theta)\biggr)
\end{equation*}
\notag
в области \{(\theta,\varphi)\colon\theta_2-\varepsilon<\theta<\theta_1-\varepsilon,\,0\leqslant\varphi<2\pi\} с некоторым \varepsilon>0, где мы рассматриваем \pi(\mathscr U^\pm) как подмножество U_1 и
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Phi(\theta) &=\begin{cases} (I(\theta)-I(\theta_2))^{2/3}, &\textit{если }\theta\in[\theta_2,\theta_2+\varepsilon), \\ \dfrac{2}{3}\dfrac{(c(\cos\theta_2-\cos\theta_1))^{1/3}}{(\sin\theta_2)^{1/3}}(\theta-\theta_2), &\textit{если }\theta\in(\theta_2-\varepsilon,\theta_2), \end{cases} \\ A(\theta) &=\begin{cases} \dfrac{2u_0}{(a+b\cos\theta+c\cos^2\theta)^{1/4}} \biggl(\dfrac{3}{2}(I(\theta)-I(\theta_2))\biggr)^{1/6}, &\textit{если }\theta\in[\theta_2,\theta_2+\varepsilon), \\ \dfrac{2u_0}{(c(\cos\theta_1-\cos\theta_2))^{1/6}(\sin\theta_2)^{1/3}}\,, &\textit{если }\theta\in(\theta_2-\varepsilon,\theta_2). \end{cases} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
При N=1, j=0, k=1,2 мы получаем квазиклассические приближения собственных сечений \overline S_a и \overline S_b вида (2.3) (напомним, что мы рассматриваем случай частицы отличающегося знаком заряда, что приводит к сопряжению расслоений и их сечений). Вообще, сравнение данных квазиклассических ответов с классическими (см. приложение) показывает, что они являются почти локализованными на проекциях соответствующих лагранжевых торов. Легко видеть, что при любом N сечения U_{N,j,k}, j=0,1,2,\dots, -j\leqslant k\leqslant N+j, почти ортогональны относительно скалярного произведения (2.11):
\begin{equation*}
\langle U_{N,j_1,k_1}\mid U_{N,j_2,k_2}\rangle\asymp 0,\qquad (j_1,k_1)\ne(j_2,k_2).
\end{equation*}
\notag
Действительно, при разных j они почти ортогональны, поскольку являются почти собственными сечениями, отвечающими различным почти собственным значениям оператора \Delta^{L^N}, в то время как при одинаковых j и различных k они почти ортогональны, поскольку имеют вид S(\theta)e^{ik\varphi}. Более того, если мы выберем постоянную u_0 таким образом, что выполнено условие нормировки:
\begin{equation*}
\int_{\Lambda(E,P)}u^2_0\,d\mu=1 \quad\Longleftrightarrow\quad u_0=\frac{1}{\sqrt{\mu(\Lambda(E,P))}} =\frac{1}{2\pi}\biggl(E+\frac14\biggr)^{-1/4},
\end{equation*}
\notag
то соответствующее почти собственное сечение U_{N,j,k} асимптотически нормировано:
4. Монопольные гармоникиСогласно [9] для собственного значения E_{N,j}, j=0,1,\dots, оператора \Delta^{L^N}, заданного формулой (2.9), соответствующие собственные сечения Y_{N,j,k}, k=-j,\dots,N+j, имеют вид
\begin{equation*}
Y^{(1)}_{N,j,k}(\theta,\varphi) =\Theta_{N,j,k}(\theta)e^{ik\varphi}\quad \text{на}\ \ U_1,\qquad Y^{(2)}_{N,j,k}(\theta,\varphi) =\Theta_{N,j,k}(\theta)e^{i(k-N)\varphi}\quad \text{на}\ \ U_2,
\end{equation*}
\notag
где функция \Theta_{N,j,k}(\theta) имеет вид
\begin{equation*}
\Theta_{N,j,k}(\theta)=\widetilde\Theta_{N,j,k}(\cos\theta),
\end{equation*}
\notag
где
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\widetilde\Theta_{N,j,k}(x) \\ &=\biggl[\frac{N+2j+1}{4\pi}\,\frac{(N+j+k)!\,(j+k)!}{(N+j)!\,j!}\biggr]^{1/2} \biggl(\frac{1-x}{2}\biggr)^{-k/2} \biggl(\frac{1+x}{2}\biggr)^{(N-k)/2}\widetilde P_{N,j,k}(x), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
многочлен \widetilde P_{N,j,k}(x) представляет собой многочлен Якоби P^{\alpha,\beta}_n(x) с параметрами и имеет вид
\begin{equation*}
\widetilde P_{N,j,k}(x) =j!\,(j+N)!\sum_s\frac{(-1)^{j+k-s}}{s!\,(j-s)!\,(N-k+s)!\,(j+k-s)!} \biggl(\frac{1-x}{2}\biggr)^{j+k-s}\biggl(\frac{1+x}{2}\biggr)^s,
\end{equation*}
\notag
где сумма берется по всем целым значениям s, для которых аргументы факториалов неотрицательны. Легко видеть, что
\begin{equation*}
Y^{(1)}_{N,j,k}(\theta,\varphi)=e^{iN\varphi}Y^{(2)}_{N,j,k}(\theta,\varphi).
\end{equation*}
\notag
Сечения Y_{N,j,k} являются собственными функциями оператора углового момента L_z, заданного формулами
\begin{equation*}
L_zY^{(1)}=\biggl(-i\,\partial_\varphi-\frac{N}{2}\biggr)Y^{(1)}\quad \text{на}\ \ U_1,\qquad L_zY^{(2)}=\biggl(-i\,\partial_\varphi+\frac{N}{2}\biggr)Y^{(2)}\quad \text{на}\ \ U_2.
\end{equation*}
\notag
Легко видеть, что В частности, при N=1, j=0 имеем
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \widetilde\Theta_{(1,0,0)}(x) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\biggl(\frac{1+x}{2}\biggr)^{1/2}, \qquad \Theta_{(1,0,0)}(\theta) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cos\biggl(\frac{\theta}{2}\biggr), \\ Y^{(1)}_{(1,0,0)}(\theta,\varphi) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cos\frac{\theta}{2}\,, \qquad Y^{(2)}_{(1,0,0)}(\theta,\varphi) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cos\frac{\theta}{2}\,e^{-i\varphi}, \\ \widetilde \Theta_{(1,0,1)}(x) =-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\biggl(\frac{1-x}{2}\biggr)^{1/2}, \qquad \Theta_{(1,0,1)}(\theta) =-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sin\biggl(\frac{\theta}{2}\biggr), \\ Y^{(1)}_{(1,0,1)}(\theta,\varphi) =-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sin\frac{\theta}{2}\,e^{i\varphi}, \qquad Y^{(2)}_{(1,0,1)}(\theta,\varphi) =-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sin\frac{\theta}{2}\,. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Мы видим, что Y^{(1)}_{(1,0,0)}(\theta,\varphi) и Y^{(1)}_{(1,0,1)}(\theta,\varphi) с точностью до нормировки (деления на \sqrt{2\pi}) и сопряжения совпадают с решениями (2.3). Согласно (2.2) сопряжение связано с тем, что эти решения описывают частицы с зарядами e и -e в одном и том же магнитном поле. Авторы благодарят С. Ю. Доброхотова, обратившего их внимание на эту задачу и на работы [5], [6], где предложено упрощение формул для канонического оператора Маслова около простейших особенностей лагранжевых многообразий. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KorTai23}
Эта публикация цитируется в следующих 2 статьяx:
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|