| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Краткие сообщения Связь наилучших Т. А. Гармановаab, И. А. Шейпакab a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623090304 
Реферативные базы данных:
 1. ВведениеПри изучении точных констант вложения пространства Соболева $\mathring{W}^n_p[0,1]$ в пространство $\mathring{W}^k_\infty[0,1]$, $n\in \mathbb{N}$, $k=0,1,\dots,n-1$, $1\leqslant p\leqslant \infty$, возникает задача о нахождении наименьших возможных величин $A_{n,k,p}(a)$ в неравенствах вида
$$
\begin{equation}
|y^{(k)}(a)|\leqslant A_{n,k,p}(a)\cdot\|y^{(n)}\|_{L_p[0,1]}, \qquad a\in(0,1).
\end{equation}
\tag{1}
$$
Точные константы вложения пространства $\mathring{W}^n_p[0,1]$ в пространство $\mathring{W}^k_\infty[0,1]$ можно определить следующим образом: На данный момент наиболее полная информация получена для $A_{n,k,2}$. В работе [1] получено представление для $A^2_{n,k,2}(a)$ в виде ряда по первообразным полиномов Лежандра и получены значения $\Lambda_{n,k,2,\infty}$ при $k=0,1,2$. В [2] для величин $A^2_{n,k,2}(a)$ найдено представление через гипергеометрические функции типа ${}_3F_2$. Рассмотрим сплайны $Q_{n,k}(x,a)$, которые задают функционалы $f\mapsto f^{(k)}(a)$ в пространствах $\mathring{W}^n_p[0,1]$, $a\in(0,1)$. Задача нахождения величин $A_{n,k,p}(a)$ непосредственно связана с минимизацией нормы сплайнов $Q^{(n)}_{n,k}(x,a)$ в $L_{p'}[0,1]$, $1/p+1/p'=1$. В свою очередь задача о минимизации $\|Q^{(n)}_{n,k}\|_{L_{p'}[0,1]}$ приводит к задаче о наилучшем приближении алгебраическими многочленами в пространстве $L_{p'}[0,1]$ сплайна
$$
\begin{equation*}
S_{n,k}(x,a)=\frac{(-1)^{n-k-1}(x-a)^{n-k-1}_-}{(n-k-1)!}=\begin{cases} \dfrac{(-1)^{n-k-1}(x-a)^{n-k-1}}{(n-k-1)!},& x\in(0,a], \\ 0,& x\in[a,1]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что отдельное место занимает случай $k=n-1$, так как сплайн $S_{n,n-1}(x,a)=\chi_{[0,a]}$ разрывен. Структура работы следующая: в п. 2 получено интегральное представление функционала $y\mapsto y^{(k)}(a)$ для функций $y\in\mathring{W}^n_p[0,1]$; в п. 3 установлена связь задачи о нахождении наилучших величин $A_{n,k,p}(a)$ в неравенствах (1) c нахождением сплайнов специального вида, наименее уклоняющихся от нуля в $L_{p'}[0,1]$, $1/p+1/p'=1$, а также с задачей о наилучшем приближении сплайнов $S_{n,k}$ многочленами степени не выше $n-1$. 2. Функционал $y\mapsto y^{(k)}(a)$ в пространстве $\mathring{W}^n_p[0,1]$Рассмотрим в $L_{p'}[0,1]$ функции
$$
\begin{equation}
Q^{(n)}_{n,k}(x,a):=\begin{cases} \displaystyle\sum_{l=0,\,l\ne k}^{n-1} \dfrac{(-1)^{n-l-1}(x-a)^{n-1-l}\nu_l}{(n-1-l)!}& \\ \qquad+\dfrac{(-1)^{n-1-k}(x-a)^{n-1-k}(\nu_k+1)}{(n-1-k)!}, & x\in [0,a), \\ \displaystyle\sum_{l=0}^{n-1} \dfrac{(-1)^{n-l-1}(x-a)^{n-1-l}\nu_l}{(n-1-l)!}, & x\in (a,1], \end{cases}
\end{equation}
\tag{2}
$$
где $\nu_l=\nu_l(a)$ – некоторые коэффициенты, зависящие от $a$, $l=0,1,\dots,n-1$. Доказательство. Справедливость утверждения следует из формулы (2) и интегрирования по частям интегралов $\int_{0}^a y^{(n)}Q^{(n)}_{n,k}(x,a)\,dx$ и $\int_{a}^1y^{(n)}Q^{(n)}_{n,k}(x,a)\,dx$. Пользуясь представлением (3) получаем оценку для $k$-й производной функции $y$:
$$
\begin{equation}
|y^{(k)}(a)|\leqslant \|y^{(n)}\|_{L_p[0,1]}\cdot \|Q^{(n)}_{n,k}\|_{L_{p'}[0,1]}.
\end{equation}
\tag{4}
$$
Для получения точной оценки в неравенстве (1) необходимо решить две задачи:
Покажем, что это связанные друг с другом задачи. Утверждение 2. Пусть $1<p<\infty$, и пусть $\widehat Q_{n,k}$ – функция вида (2), для которой Тогда она удовлетворяет соотношениям Доказательство. Так как надо минимизировать норму по параметрам $\nu_0,\nu_1,\dots,\nu_{n-1}$, то необходимо выполнены условия
Так как то из равенств $(\partial/\partial \nu_j) \|\widehat Q^{(n)}_{n,k}\|^{p'}_{L_{p'}[0,1]}=0$ при $j=0,1,\dots,n-1$ следует утверждение леммы.Замечание 1. Условия (5) являются и достаточными. Рассматриваемый класс сплайнов $Q^{(n)}_{n,k}$ образует конечномерное подпространство, которое является множеством существования (см. [3; следствие 1.3]). Утверждение 3. Пусть $1<p<\infty$, и пусть функция $h\in L_p[0,1]$ удовлетворяет соотношениям Тогда существует решение уравнения принадлежащее пространству $\mathring{W}^{n}_p[0,1]$. Доказательство. Положим
Краевые условия в нуле выполнены в силу интеграла по отрезку $[0,x]$, а в единице – в силу свойств функции $h$. Введем функцию
$$
\begin{equation}
w^{(n)}_{n,k}(x):=|\widehat Q^{(n)}_{n,k}(x)|^{p'-1}\cdot \operatorname{sgn}\widehat Q^{(n)}_{n,k}(x).
\end{equation}
\tag{6}
$$
Поскольку $\widehat Q^{(n)}_{n,k}$ является сплайном, то $w^{(n)}_{n,k}\in L_p[0,1]$. А тогда из утверждений 2 и 3 следует, что существует ее первообразная $w_{n,k}\in\mathring{W}^n_p[0,1]$, для которой достигается равенство в неравенстве (1) с наименьшей возможной величиной $A_{n,k,p}(a)$, т.е. для которой выполнено
$$
\begin{equation}
w^{(k)}_{n,k}(a)=A_{n,k,p}(a)\cdot\|w^{(n)}_{n,k}\|_{L_p[0,1]}.
\end{equation}
\tag{7}
$$
Заметим, что при $1<p<\infty$ экстремальная функция, для которой выполнено равенство (7), существует и единственна. Предельным переходом можно найти функции, для которых равенство (7) выполнено при $p=1$ и $p=\infty$. При $p=\infty$ экстремальная функция, вообще говоря, не единственна. При $p=1$ экстремальная функций не принадлежит пространству $\mathring{W}^n_1[0,1]$ (см. также [4]). 3. Связь задачи о минимизации нормы $Q^{(n)}_{n,k}$ с наилучшими приближениями многочленамиНапомним необходимые сведения о полиномах Лежандра на отрезке $[0,1]$. Сдвинутый на $[0,1]$ полином Лежандра определяется как Первообразную порядка $m\geqslant j\geqslant 0$ определим следующим образом: Система полиномов Лежандра образует ортогональный базис в $L_2[0,1]$ c нормойЗадача о нахождении $\min_{\nu_0,\nu_1,\dots, \nu_{n-1}}\|Q^{(n)}_{n,k}\|_{L_{p'}[0,1]}$ тесно связана со следующей задачей. Известно (см. [5]), что при $p=2$ функционал $f\mapsto f^{(k)}(a)$ в $\mathring{W}^n_2[0,1]$ задан в соответствии с теоремой Рисса единственной функцией $g_{n,k}(x,a)$, которая имеет вид
$$
\begin{equation}
g_{n,k}(x,a)=\begin{cases} \dfrac{(-1)^{n-k-1}}{(2n-k-1)!}(1-a)^{n-k}x^n h_{n,k}(1-x,1-a),& x\in [0,a], \\ \dfrac{(-1)^{n-1}}{(2n-k-1)!}a^{n-k}(1-x)^{n} h_{n,k}(x,a), & x\in [a,1], \end{cases}
\end{equation}
\tag{8}
$$
где
$$
\begin{equation*}
h_{n,k}(x,a)=\sum_{l=0}^{n-1}(-1)^{n-1-l}C_{2n-1-k}^{n-1-l} x^{n-1-l}a^l\sum_{m=0}^{l}C_{n-1+m}^{m}x^{m}.
\end{equation*}
\notag
$$
То есть
$$
\begin{equation*}
f^{(k)}(a)=\int_0^1 f^{(n)}(x)g^{(n)}_{n,k}(x,a)\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 1. Функции $\widehat Q^{(n)}_{n,k}$ и $g^{(n)}_{n,k}$ отличаются на многочлен степени не выше $n-1$, т.е. Доказательство.
1) Из вида (2) следует, что $Q^{(n)}_{n,k}\in L_2[0,1]$, поэтому $Q^{(n)}_{n,k}$ можно разложить в ряд по ортогональной системе полиномов Лежандра:
Заметим, что при $m\geqslant n\geqslant 0$ выполнено $P^{(-n)}_m\in\mathring{W}^n_p[0,1]$. Поэтому в соответствии с (3) получаем, что
$$
\begin{equation*}
\int_0^1 Q^{(n)}_{n,k} P_m(x)\,dx= \int_0^1 Q^{(n)}_{n,k} (P^{(-n)}_m(x))^{(n)}\,dx= P^{(k-n)}_m(a), \qquad m\geqslant n\geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, из представления (9) следует, что
$$
\begin{equation*}
\int_0^1 Q^{(n)}_{n,k}P_m(x)\,dx=\frac{\alpha_m(a)}{2m+1}, \qquad m=0,1,\dots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
Q^{(n)}_{n,k}(x,a)=\sum_{m=0}^{n-1} \alpha_m(a) P_m(x)+ \sum_{m=n}^{\infty} (2m+1)P^{(k-n)}_m(a) P_m(x).
\end{equation*}
\notag
$$
2) Функции $g_{n,k}$ удовлетворяют условиям Дирихле, поэтому разложение $g^{(n)}_{n,k}$ в ряд по полиномам Лежандра имеет вид
$$
\begin{equation*}
g^{(n)}_{n,k}(x,a)=\sum_{m=n}^\infty \beta_m(a) P_m(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Как и пункте 1) доказательства получаем, что $\beta_m(a)=(2m+1)P^{(k-n)}_m(a)$, откуда и следует утверждение теоремы. Определим $\mathcal{P}_m$ – пространство вещественных многочленов степени не выше $m$
$$
\begin{equation*}
\mathcal{P}_m=\biggl\{\,\sum_{j=0}^m c_jx^j,\, x,c_j\in\mathbb{R}, 0 \leqslant j\leqslant m\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, теорема 1 утверждает, что
$$
\begin{equation}
\min_{\nu_0,\nu_1,\dots,\nu_{n-1}}\|Q^{(n)}_{n,k}\|_{L_{p'}[0,1]}= \min_{u\in\mathcal{P}_{n-1}}\|g^{(n)}_{n,k}-u\|_{L_{p'}[0,1]}.
\end{equation}
\tag{10}
$$
На основе предельного перехода при $p\to 1$ и $p\to \infty$ получаем следующий результат. Доказательство. Для каждого натурального $n$ и $k=0,1,\dots,n-1$ рассмотрим функции
$$
\begin{equation*}
\mathcal{Q}_1(x,a):=\mathcal{Q}_{n,k,1}= Q^{(n)}_{n,k}(x,a)|_{[0,a]}, \qquad \mathcal{Q}_2(x,a):=\mathcal{Q}_{n,k,2}=Q^{(n)}_{n,k}(x,a)|_{[a,1]}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из формул (2) следует, что $\mathcal{Q}_1(x,a)$ и $\mathcal{Q}_2(x,a)$ отличаются на многочлен степени не выше $n-1$, при этом
$$
\begin{equation}
\mathcal{Q}_1(x,a)-\mathcal{Q}_2(x,a)= \frac{(-1)^{n-k-1}(x-a)^{n-k+1}_-}{(n-k-1)!}.
\end{equation}
\tag{11}
$$
Из теорем 1, 2 и формулы (11) следует справедливость утверждения. Замечание 2. Константу $1/((n-k-1)!)$ также можно включить в многочлен, но в теории аппроксимаций часто встречаются сплайны именно c такой нормировкой. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GarShe23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|