| Математические заметки |
|
|
|
|
|
О простых конечномерных алгебрах с бесконечными базисами тождеств А. В. Кислицинab a Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского b Алтайский государственный педагогический университет, г. Барнаул
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623110196 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеПусть $F$ – некоторое поле, $F\langle X\rangle$ – свободная ассоциативная алгебра над полем $F$ от множества свободных образующих $X$. Определение 1. Базисом тождеств $F$-алгебры $A$ называется такое множество $G\subseteq F\langle X\rangle$ многочленов, являющихся тождествами $A$, из которого следуют все тождества этой алгебры. Базис тождеств называется неприводимым (или независимым), если никакое его тождество не следует из других тождеств базиса. Базис тождеств линейной алгебры может оказаться как конечным так и бесконечным, в связи с чем вводится следующее определение. Определение 2. Если для алгебры $A$ существует конечный базис тождеств $G$, то алгебру $A$ называют конечно базируемой с базисом тождеств $G$. Если же конечного базиса тождеств для $A$ не существует, то алгебру $A$ называют бесконечно базируемой или не конечно базируемой (сокращенно НКБ-алгебра). В 1970 г. Воон-Ли построил алгебру Ли над бесконечным полем характеристики 2, тождества которой не эквивалентны никакой конечной системе тождеств [1]. Дренски доказал, что если $F$ – бесконечное поле характеристики $p>0$, то найдется алгебра Ли, которая не имеет конечного базиса тождеств [2]. В 1976 г. Полин для любого конечного поля $F$ построил пример конечной неассоциативной линейной НКБ-алгебры над полем $F$, удовлетворяющей тождеству $x(yz)=0$ [3]. Этот результат показывает, что теорема Львова–Крузе [4], [5] о конечной базируемости тождеств конечного ассоциативного кольца не выполняется для неассоциативных колец (конечных линейных алгебр). В 1977 г. Мальцевым и Парфеновым был построен пример неассоциативной пятимерной алгебры над полем нулевой характеристики и явно указан ее бесконечный неприводимый базис тождеств [6]. Позже, в 1978 г. Львов построил пример шестимерной неассоциативной бесконечно базируемой алгебры $\overline V = V \oplus E$, удовлетворяющей тождеству $x(yz)=0$, где $V$ – конечномерное векторное пространство, $E$ – пространство (подпространство) линейных преобразований пространства $V$ [7]. В [8] указан пример четырехмерной неассоциативной алгебры, удовлетворяющей тождеству $x(yz)=0$ и не имеющей конечного базиса тождеств. Исаев, исследуя алгебры типа $\overline V = V \oplus E$, показал, что многообразие, порожденное неассоциативной пятимерной алгеброй $\overline V = V \oplus E$ (здесь $V= \langle v_1,v_2 \rangle_F$ – векторное пространство, $E= \langle e_{11},e_{12},e_{22} \rangle_F$, $F$ – конечное поле), удовлетворяющей тождеству $x(yz)=0$, является существенно бесконечно базируемым (т.е. таким локально конечным многообразием, что любое локально конечное многообразие его содержащее не задается конечным набором тождеств) [9]. В работе [10] для любого конечного поля строится линейная алгебра над этим полем, которая не имеет неприводимого базиса тождеств. Вопросы, связанные с конечной базируемостью тождеств алгебр и их многообразий, изучаются в различных классах линейных алгебр. В 1950 г. Шпехт сформулировал вопрос, впоследствии названный проблемой Шпехта [11], [12]: будет ли всякая ассоциативная алгебра над полем нулевой характеристики иметь конечный базис тождеств? В 1987 г. Кемер решил проблему Шпехта положительно [13]. Однако, существуют примеры ассоциативных бесконечно базируемых алгебр над бесконечным полем характеристики $p>0$, альтернативных разрешимых алгебр над полем характеристики 2, йордановых алгебр над полем характеристики 3. Подробный обзор вопросов шпехтовости можно найти в работе Белова [14]. Шестаков в 1993 г. поставил вопрос о существовании центральной простой конечномерной алгебры над полем нулевой характеристики, тождества которой не задаются конечным набором [15]. Стоит отметить, что любая конечномерная простая алгебра над алгебраически замкнутым полем с точностью до изоморфизма однозначно определяется своим базисом тождеств [16]. В 2012 г. Исаев и автор построили пример семимерной неассоциативной центральной простой НКБ-алгебры над произвольным полем [17], [18]. В 2015 г. в работе [19] построен пример семимерной центральной простой коммутативной НКБ-алгебры. В 2017 г. построен пример семимерной простой антикоммутативной НКБ-алгебры [20]. В настоящей работе построен пример шестимерной центральной простой алгебры над полем нулевой характеристики, которая не имеет конечного базиса тождеств, а именно, доказано следующее утверждение. Теорема 1. Пусть $A=\langle 1,v_1,v_2,e_{11}+e_{12},e_{22},p\rangle_F$ – алгебра над полем $F$ нулевой характеристики, где $1$ – единица и ненулевые произведения базисных элементов, отличных от единицы, с учетом дистрибутивности определяются следующими правилами: $v_ie_{ij}=v_j$, $v_2p=1$. Алгебра $A$ является простой центральной $F$-алгеброй, не имеющей конечного базиса тождеств. 2. Вспомогательные результатыРассмотрим неассоциативную алгебру $B=\langle v_1, v_2, e_{11}, e_{11}+e_{12}\rangle_F$ над полем $F$. Ненулевые произведения базисных элементов алгебры $B$ определяются правилом: $v_ie_{ij}=v_j$, $1\leqslant i\leqslant j\leqslant 2$. Алгебру $B$ также можно определить как прямую сумму $B=V\oplus E$, где $V=\langle v_1, v_2\rangle_F$ – векторное пространство над полем $F$, $E=\langle e_{11}+e_{12}, e_{22}\rangle_F$ – подпространство пространства линейных преобразований пространства $V$. Если $u_1, u_2\in V$, $e_1, e_2\in E$, то умножение в $B$ определяется правилом: $(u_1+e_1)(u_2+e_2)=e_2(u_1)$, где $e_2(u_1)$ – результат действия преобразования $e_2$ на вектор $u_1$. Это умножение эквивалентно умножению, определенному выше. Легко проверить, что алгебра $B$ удовлетворяет тождеству $x(yz)=0$. Заметим, что любое неассоциативное слово по модулю тождества $x(yz)=0$ можно считать правонормированным. Поэтому здесь и далее расстановка скобок на словах предполагается правонормированной, а скобки будут опускаться для краткости. Таким образом, запись $x_1x_2\dots x_n$ обозначает одночлен $((\dots ((x_1x_2)x_3)\dots)x_{n-1})x_n$, а запись $x[y, z]$ – выражение $x[y, z] = (xy)z - (xz)y$. В работе [21] найден бесконечный неприводимый базис тождеств алгебры $B$. Теорема 2. Пусть $F$ – поле нулевой характеристики, и пусть $B=\langle v_1, v_2, e_{11}, e_{11}+ e_{12}\rangle_F$ – алгебра над полем $F$. Алгебра $B$ является НКБ-алгеброй с базисом тождеств где $\mathrm{St}_3(x,y,t)$ – стандартный многочлен третьей степени, и расстановка скобок в словах всех многочленов, кроме первого, предполагается правонормированной. 3. Доказательство основной теоремыПокажем вначале, что алгебра $A$ является центральной $F$-алгеброй. Ясно, что если $\alpha\in F$, то $[b,\alpha ]=0$ для любого элемента $b\in A$, т.е. $F\subseteq Z(A)$, где $Z(A)$ – центр алгебры $A$. Пусть теперь
$$
\begin{equation*}
a=\alpha_1+\alpha_2v_1+\alpha_3v_2+\alpha_4(e_{11}+e_{12})+\alpha_5e_{22}+\alpha_6p\in Z(A).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
0=[a,p]=ap-pa=\alpha_3p, \qquad a=\alpha_1+\alpha_2v_1+\alpha_4(e_{11}+e_{12})+\alpha_5e_{22}+\alpha_6p.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, $0=[a,e_{11}]=ae_{11}-e_{11}a=\alpha_2v_1$, т.е. $\alpha_2=0$ и $a=\alpha_1+\alpha_4(e_{11}+e_{12})+\alpha_5e_{22}+\alpha_6p$. Аналогично $0=[a,v_1]=av_1-v_1a=-\alpha_4v_1-\alpha_4v_2$, откуда $\alpha_4=0$ в виду линейной независимости векторов $v_1$ и $v_2$. Тогда $a=\alpha_1+\alpha_5e_{22}+\alpha_6p$. Наконец, $0=[a,v_2]=av_2-v_2a=-\alpha_5v_2-\alpha_6$, откуда $\alpha_5=\alpha_6=0$ и $a=\alpha_1\in F$, т.е. $Z(A)\subseteq F$. Таким образом, $Z(A)=F$, т.е., $A$ – центральная $F$-алгебра. Покажем, что $A$ – простая алгебра. Поскольку $1\in A$, то $A^2\ne 0$. Пусть $(0)\ne I\triangleleft A$. Ни один из базисных элементов не может лежать в $I$. Действительно, если $1\in I$, то $I=A$. Если $p\in I$, то $1=v_2p\in I$. Если $v_2\in I$, то $1=v_2p\in I$. Если $v_1\in I$, то $v_2=v_1(e_{11}+e_{12})-v_1\in I$, но $v_2\not\in I$. Если $e_{11}+e_{12}\in I$, то $v_2=v_1(e_{11}+e_{12})-v_1\in I$, но $v_2\not\in I$. Наконец, если $e_{22}\in I$, то $v_2=v_2e_{22}\in I$, но $v_2\not\in I$. Пусть теперь
$$
\begin{equation*}
0\ne a=\alpha_1+\alpha_2v_1+\alpha_3v_2+\alpha_4(e_{11}+e_{12})+\alpha_5e_{22}+\alpha_6p\in I.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $I\ni av_1=\alpha_1v_1$, откуда
$$
\begin{equation*}
\alpha_1=0, \qquad a=\alpha_2v_1+\alpha_3v_2+\alpha_4(e_{11}+e_{12})+\alpha_5e_{22}+\alpha_6p.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, $I\ni ae_{22}=\alpha_3v_2$, что влечет $\alpha_3=0$ и $a=\alpha_2v_1+\alpha_4(e_{11}+e_{12})+\alpha_5e_{22}+\alpha_6p$. Аналогично, $I\ni ae_{11}=\alpha_2v_1$. Тогда $\alpha_2=0$ и $a=\alpha_4(e_{11}+e_{12})+\alpha_5e_{22}+\alpha_6p$. Далее, $I\ni (v_2a)v_1=\alpha_6v_1$, откуда вытекает, что $\alpha_6=0$ и $a=\alpha_4(e_{11}+e_{12})+\alpha_5e_{22}$. Тогда $I\ni v_2a=\alpha_5v_2$, что влечет $\alpha_5=0$. Но тогда $I\ni a=\alpha_4(e_{11}+e_{12})$ и $\alpha_4=0$. В силу произвольности $a\in I$, получаем, что либо $I=(0)$, либо $I=A$, т.е. $A$ – простая алгебра. Наконец, покажем, что $A$ – НКБ-алгебра. Предположим, что алгебра $A$ конечно базируема и $\{ f_1,f_2,\dots ,f_r\}$ – базис ее тождеств. Поскольку $B$ – подалгебра $A$, то любое тождество $A$ верно в $B$, и можно считать, что все тождества $A$ следуют из базиса тождеств $B$. Ввиду теоремы 2 множество многочленов
$$
\begin{equation*}
\bigl\{ z(xy), z\mathrm{St}_3(x,y,t), z[x,y][u,v],z[x,y]z_1z_2\dots z_m[u,v]\mid m=1,2,\dots\bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
образует базис тождеств алгебры $B$. Тогда, обозначив
$$
\begin{equation*}
G_l=\bigl\{ z(xy), z\mathrm{St}_3(x,y,t), z[x,y][u,v],z[x,y]z_1z_2\dots z_m[u,v]\mid m=1,2,\dots ,l\bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
получим, что $f_1\in T(G_{k_1})$, $f_2\in T(G_{k_2})$, $\dots$, $f_r\in T(G_{k_r})$, и, если обозначить $k=\max\{ k_1,k_2,\dots ,k_r\}$, то $f_1,f_2,\dots ,f_r\in T(G_k)$. Таким образом, любое тождество алгебры $A$ следует из совокупности $G_k$. Рассмотрим тождество
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, f&=f(x_1,x_2,\dots,x_7,y_1,y_2,\dots,y_{k+3}) \\ &=\sum_{\sigma\in S_7}(-1)^\sigma x_{\sigma (1)}y_1y_2\dots y_{k+3}x_{\sigma (2)}y_1y_2\dots y_{k+3} x_{\sigma (3)}y_1y_2\dots y_{k+3}\dots x_{\sigma (7)}=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\operatorname{dim}_FA=6$, то тождество $f=0$ выполняется в алгебре $A$. Покажем, что оно не следует из множества $G_k$. Пусть $Y=\{w_1,w_2,\dots ,w_7,u_1,u_2,\dots, u_{k+3}\}$ – множество букв и $W=\langle Y\rangle_F$ – $F$-алгебра, порожденная множеством $Y$, удовлетворяющая тождеству $x(yz)=0$, с определяющими соотношениями
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, vu_iw_ju_k=vu_kw_ju_i, \qquad vw_iw_j=0, \qquad vu_iu_j=vu_ju_i, \qquad v w_iu_{i_1}u_{i_2}\dots u_{i_s}w_j=0 \\ s\leqslant k+2, \qquad u_i\ne u_j, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $v$ – произвольное (возможно, пустое) правонормированное слово, состоящее из букв множества $Y$. Легко проверить, что все тождества множества $G_k$ выполняются в алгебре $W$. Для этого достаточно проверить справедливость тождеств в том случае, когда вместо переменных $x$, $y$, $t$, $u$, $v$, $z_i$, $i=1,2,\dots,k+3$, подставляются только буквы множества $Y$, т. к. при подстановке вместо указанных переменных слов длины большей $1$ любой многочлен множества $G_k$ обращается в нуль. Если же в многочлен $f$ подставить $x_i\to w_i$, $1\leqslant i\leqslant 7$, $y_j\to u_j$, $1\leqslant j\leqslant k+3$, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & f(w_1,w_2,\dots,w_7,u_1,u_2,\dots,u_{k+3}) \\ &\qquad =\sum_{\sigma\in S_7}(-1)^\sigma w_{\sigma(1)}u_1u_2\dots u_{k+3}w_{\sigma(2)}u_1u_2\dots u_{k+3}w_{\sigma(3)}u_1u_2\dots u_{k+3}\dots w_{\sigma(7)}\ne0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку элемент $f(w_1,w_2,\dots,w_7,u_1,u_2,\dots,u_{k+3})$ не лежит в идеале, порожденном определяющими соотношениями алгебры $A$. Следовательно, тождество $f = 0$ не следует из тождеств множества $G_k$. Полученное противоречие показывает, что алгебра $A$ не имеет конечного базиса тождеств. Теорема доказана. Заметим, что доказательство бесконечной базируемости тождеств алгебры $A$ можно было провести, используя строение $B=V\oplus E$ алгебры $B$, указанное в п. 2, сведя вопрос о базисе тождеств алгебры $B$ к вопросу о базисе тождеств мультипликативного векторного пространства $E$, как это сделано, например, в [22]. Однако, во избежание введения большого числа вспомогательных определений и утверждений, доказательство было проведено непосредственно для алгебры $B$. 4. ЗаключениеДоказательство основной теоремы опирается на теорему 2, поэтому для построения примера центральной простой НКБ-алгебры, имеющей размерность ниже 6, в рамках данной конструкции нужно понизить размерность алгебры
$$
\begin{equation*}
B=V\oplus E=\langle v_1, v_2\rangle_F\oplus\langle e_{11}+e_{12}, e_{22}\rangle_F,
\end{equation*}
\notag
$$
не теряя при этом бесконечной базируемости ее тождеств. Однако, если пространство $V$ одномерно, то алгебра $B$ будет конечно базируемой с базисом тождеств $\{x(yz), (xy)z-(xz)y\}$ [7]. Если же вместо $E$ взять одномерное подпространство пространства линейных преобразований двумерного векторного пространства $V$, то $E$ будет иметь конечный базис тождеств как мультипликативное векторное пространство [22], откуда следует, что алгебра $B$ обладает конечным базисом тождеств [7]. Таким образом, описанная схема доказательства не подходит для построения примера центральной простой конечномерной НКБ-алгебры, имеющей размерность меньшую 6. При этом само существование такого примера не опровергается.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kis23} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|