| Математические заметки |
|
|
|
|
|
О существовании решений задачи Дирихле для С. М. Бакиев, А. А. Коньков Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623110056 
Реферативные базы данных:
  1. Введение и постановка задачиПусть $M$ – ориентированное полное риманово многообразие с краем. Будем рассматривать решения задачи
$$
\begin{equation}
\Delta_p u=0 \qquad\text{в}\quad M \setminus \partial M,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где $\Delta_p u=\nabla_i(g^{ij}|\nabla u|^{p-2}\nabla_j u)$ – оператор $p$-Лапласа и $h \in W_{p,\mathrm{loc}}^1 (M)$, $p > 1$. В качестве условия на бесконечности будем предполагать ограниченность интеграла Дирихле Как это принято, через $g_{ij}$ мы обозначаем метрический тензор, согласованный с римановой связностью, а через $g^{ij}$ – тензор, дуальный к метрическому, причем $|\nabla u|=(g^{ij} \nabla_i u \nabla_j u)^{1/2}$. Следуя [1], под $W_{p,\mathrm{loc}}^1(\omega)$, где $\omega \subset M$ – открытое множество, мы подразумеваем пространство измеримых функций, принадлежащих $W_p^1 (\omega' \cap \omega)$ для любого открытого множества $\omega' \subset M$, имеющего компактное замыкание. Аналогично определяется пространство $L_{p, \mathrm{loc}}(\omega)$. Решением уравнения (1.1) называется функция $u \in W_{p,\mathrm{loc}}^1 (M)$ такая, что
$$
\begin{equation}
\int_M g^{ij}|\nabla u|^{p-2}\nabla_j u\nabla_i \varphi\,dV=0
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
для всех $\varphi \in C_0^\infty (M \setminus \partial M)$, где $dV$ – элемент объема многообразия $M$. Условие (1.2) означает, что $(u-h) \psi\in\mathring{W}_p^1(M \setminus \partial M)$ для любого $\psi \in C_0^\infty (M)$. Краевые задачи для дифференциальных уравнений в областях произвольной геометрии и на гладких многообразиях исследовались рядом авторов [1]–[12]. В случае, когда $M$ представляет из себя область в ${\mathbb R}^n$, ограниченную поверхностью вращения, критерий существования решений задачи (1.1)–(1.3) получен в работе [11]. Однако метод, который был использован в [11], не допускает обобщения на случай произвольного риманова многообразия. Теорема 1, доказанная в нашей статье, лишена этого недостатка. Пусть $K \subset M$ – компакт. Через $C_0^\infty(M,K)$ обозначим множество функций из $C^\infty(M)$, равных нулю в окрестности $K$. В свою очередь, через $\mathring{W}_p^1(\omega,K)$, где $\omega$ – открытое подмножество $M$, будем обозначать замыкание $C_0^\infty(M,K) \cap W_p^1(\omega)$ в $W_p^1(\omega)$. Говорим, что функция $\varphi \in W_{p,\mathrm{loc}}^1 (M)$ удовлетворяет условию где $f \in W_{p, \mathrm{loc}}^1 (M)$, если $\varphi-f\in\mathring{W}_p^1(\omega,K)$ для некоторого открытого множества $\omega$, содержащего $K$.Несложно увидеть, что если выполнено (1.5), то $\varphi-f\in\mathring{W}_p^1(\omega',K)$ для любого предкомпактного открытого множества $\omega'$, содержащего $K$. Действительно, пусть $\varphi-f\in\mathring{W}_p^1(\omega,K)$ для некоторого открытого множества $\omega$ такого, что $K \subset \omega$. Другими словами, пусть найдется последовательность $\varphi_i \in C_0^\infty(M,K) \cap W_p^1(\omega)$, $i=1,2,\dots$, такая, что
$$
\begin{equation*}
\|\varphi-f-\varphi_i\|_{W_p^1 (\omega)}\to 0 \qquad\text{при}\quad i \to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим также, что $\omega'$ – предкомпактое открытое множество, причем $K \subset \omega'$. Возьмем функцию $\tau \in C_0^\infty(\omega)$, равную единице в окрестности $K$. Имеем, очевидно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|(\varphi-f)\tau-\varphi_i \tau\|_{W_p^1 (\omega')}&= \|(\varphi-f)\tau-\varphi_i \tau\|_{W_p^1 (\omega \cap \omega')} \\ &\leqslant\|\tau\|_{C^1 (\omega)} \|\varphi-f-\varphi_i\|_{W_p^1(\omega)}\to 0 \qquad\text{при}\quad i \to \infty, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует, что $(\varphi-f) \tau\in\mathring{W}_p^1(\omega',K)$. Тем самым, принимая во внимание включение $(\varphi-f)(1-\tau)\in \mathring{W}_p^1(\omega',K)$, получим
$$
\begin{equation*}
\varphi-f=(\varphi-f)\tau+(\varphi-f)(1-\tau)\in \mathring{W}_p^1(\omega',K).
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение 1. Функция $u \in W_{p,\mathrm{loc}}^1(\Omega)$ удовлетворяет условию (1.2) тогда и только тогда, когда для любого компакта $K \subset \partial M$. Доказательство. Предположим сначала, что справедливо (1.2), и пусть $K$ – компактное подмножество $\partial M$. Возьмем открытое предкомпактное множество $\omega$, содержащее $K$, и функцию $\psi \in C_0^\infty(M)$ такую, что Принимая во внимание (1.2), будем иметь, что $(u-h)\psi$ принадлежит замыканию множества $C_0^\infty(M\setminus\partial M)$ в пространстве $W_p^1(M \setminus \partial M)$. Считая функции из $C_0^\infty (M \setminus \partial M)$ продолженными нулем на $\partial M$, немедленно получим $u-h\in\mathring{W}_p^1(\omega,K)$.
Предположим теперь, что выполнено условие (1.6), и пусть $\psi \in C_0^\infty (M)$. Рассмотрим компакт $K=\operatorname{supp} \psi \cap \partial M$. Согласно (1.6) существует открытое множество $\omega$ такое, что $K \subset \omega$ и при этом $u-h\in\mathring{W}_p^1(\omega,K)$ или, другими словами,
$$
\begin{equation}
\|u-h-\varphi_i\|_{W_p^1(\omega)}\to 0 \qquad\text{при}\quad i \to \infty
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
для некоторой последовательности функций $\varphi_i \in C_0^\infty(M,K) \cap W_p^1(\omega)$, $i=1,2,\dots$ . Обозначим $\widetilde K=\operatorname{supp} \psi \setminus \omega$. Поскольку $\widetilde K$ – компактное множество, принадлежащее $M \setminus \partial M$, найдется функция $\tau \in C_0^\infty(M \setminus \partial M)$, равная единице в окрестности $\widetilde K$. Несложно увидеть, что $(1-\tau)\psi\varphi_i\in C_0^\infty(\omega \setminus \partial M)$, $i=1,2,\dots$ . В то же время, согласно (1.7) имеем поэтому можно утверждать, что $(1-\tau)\psi(u-h)\in\mathring{W}_p^1(M \setminus \partial M)$. Очевидно также, что $\tau\psi(u-h)\in\mathring{W}_p^1(M \setminus \partial M)$. Таким образом, получим Пусть $\Omega$ – открытое подмножество $M$. Емкостью компакта $K \subset M$, ассоциированной с функцией $f \in W_{p,\mathrm{loc}}^1(M)$, будем называть величину
$$
\begin{equation*}
\operatorname{cap}_f(K,\Omega)=\inf_\varphi\int_\Omega |\nabla \varphi|^p\,dV,
\end{equation*}
\notag
$$
где инфимум в правой части берется по всем функциям $\varphi\in\mathring{W}_p^1(\Omega)$, для которых справедливо (1.5). При этом считаем, что функции из $\mathring{W}_p^1(\Omega)$ продолжены нулем за пределы $\Omega$. В случае произвольного замкнутого множества $E \subset M$ положим
$$
\begin{equation*}
\operatorname{cap}_f(E,\Omega)= \sup_K\,\operatorname{cap}_f(K,\Omega),
\end{equation*}
\notag
$$
где супремум берется по всем компактам $K \subset E$. Если $\Omega=M$, пишем $\operatorname{cap}_f(K)$ вместо $\operatorname{cap}_f(K,\Omega)$. В случае $f=1$ и $p=2$ емкость $\operatorname{cap}_f(K)$ совпадает с хорошо известной винеровской емкостью [12]. Не представляет труда убедиться, что введенная выше емкость обладает следующими естественными свойствами.
Говорим, что $u \in W_{p,\mathrm{loc}}^1(M)$ – решение (1.1), удовлетворяющее условию
$$
\begin{equation}
\frac{\partial u}{\partial \nu}\bigg|_{\partial M}=0,
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
если интегральное тождество (1.4) выполнено для всех $\varphi \in C_0^\infty(M)$. Множество решений (1.1), (1.8) с ограниченным интегралом Дирихле (1.3) обозначим через $\mathfrak{H}$.
2. Основной результатТеорема 1. Задача (1.1)–(1.3) имеет решение тогда и только тогда, когда для некоторой функции $w \in \mathfrak{H}$. Доказательство теоремы 1 опирается на две приведенные ниже леммы, известные как неравенства Пуанкаре. Лемма 1. Пусть $G \subset M$ – предкомпактная липшицева область и $\omega$ – подмножество $G$ ненулевой меры. Тогда для всех $u \in W_p^1(G)$, где постоянная $C>0$ не зависит от $u$. Лемма 2. Пусть $\omega \subset M$ – предкомпактная липшицева область. Тогда для всех $\varphi \in W_p^1(\omega)$, где а постоянная $C > 0$ не зависит от $\varphi$. Лемма 2, очевидно, следует из леммы 1, где $G=\omega$ и $u=\varphi-\alpha$. В свою очередь, лемма 1 может быть получена из теоремы п. 1.1.5 монографии [13]. Доказательство теоремы 1. Покажем, что из существования решения задачи (1.1)–(1.3) вытекает справедливость условия (2.1). Рассмотрим последовательность функций $\varphi_i \in C_0^\infty (M)$, $i=1,2,\dots$, такую, что
$$
\begin{equation*}
\int_M|\nabla(u-\varphi_i)|^p\,dV\to\inf_{\varphi\in C_0^\infty (M)} \int_M|\nabla(u-\varphi)|^p\,dV \qquad\text{при}\quad i \to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку последовательность градиентов $\nabla\varphi_i$, $i=1,2,\dots$, ограничена в $L_p(M)$, найдется подпоследовательность $\nabla\varphi_{i_j}$, $j=1,2,\dots$, этой последовательности, сходящаяся слабо в $L_p(M)$ к некоторой вектор-функции ${\mathbf r} \in L_p(M)$. Пусть $R_m$ – выпуклая оболочка множества $\{\varphi_{i_j}\}_{j \geqslant m}$. По теореме Мазура [14; гл. 5, ч. 1] найдется последовательность $r_m \in R_m$, $m=1,2,\dots$, такая, что
$$
\begin{equation}
\|\nabla r_m-{\mathbf r}\|_{L_p (M)}\to 0 \qquad\text{при}\quad m \to \infty.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Ввиду выпуклости функционала
$$
\begin{equation*}
\varphi\mapsto\int_M|\nabla(u-\varphi)|^p\,dV, \qquad \varphi \in \mathring{W}_p^1(M),
\end{equation*}
\notag
$$
имеем
$$
\begin{equation*}
\int_M|\nabla(u-r_m)|^p\,dV\leqslant \sup_{j \geqslant m}\int_M|\nabla(u-\varphi_{i_j})|^p\,dV,
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому
$$
\begin{equation*}
\int_M|\nabla(u-r_m)|^p\,dV\to\inf_{\varphi \in C_0^\infty(M)} \int_M|\nabla (u-\varphi)|^p\,dV \qquad\text{при}\quad m \to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\omega \subset M$ – предкомпактная липшицева область. Обозначая
$$
\begin{equation*}
\alpha_m=\frac{1}{\operatorname{mes}\omega}\int_\omega r_m\,dV,
\end{equation*}
\notag
$$
получим согласно лемме 2, что последовательность $r_m-\alpha_m$, $m=1,2,\dots$, фундаментальна в $W_p^1(\omega)$. В силу леммы 1 эта последовательность будет также фундаментальна в $W_p^1 (G)$ для любой предкомпактной липшицевой области $G \subset M$.
Предположим сначала, что последовательность $\alpha_m$, $m=1,2,\dots$, ограничена. Выделяя из нее сходящуюся подпоследовательность $\alpha_{i_j}$, $j=1,2,\dots$, будем иметь, что последовательность функций $r_{m_j}$, $j=1,2,\dots$, фундаментальна в $W_p^1(G)$ для любой предкомпактной липшицевой области $G \subset M$. Таким образом, найдется $v \in W_{p,\mathrm{loc}}^1 (M)$ такое, что
$$
\begin{equation*}
\|r_{m_j}-v\|_{W_p^1(G)}\to 0 \qquad\text{при}\quad j \to \infty
\end{equation*}
\notag
$$
для любой предкомпактной области $G \subset M$. Ввиду (2.2) имеем $\nabla v={\mathbf r}$, причем
$$
\begin{equation}
\int_M|\nabla (u-v)|^p\,dV=\inf_{\varphi \in C_0^\infty(M)} \int_M|\nabla (u-\varphi)|^p\,dV.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Тем самым, по вариационному принципу функция $w=u-v$ принадлежит $\mathfrak{H}$.
Покажем справедливость неравенства (2.1). Пусть $K \subset \partial \Omega$ – некоторый компакт. Несложно увидеть, что Возьмем функцию $\tau \in C_0^\infty(M)$, равную единице в окрестности $K$. Полагая получим последовательность функций из $\mathring{W}_p^1 (M)$, удовлетворяющих условию При этом будем, очевидно, иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_M|\nabla(v-\psi_j)|^p\,dV&= \int_M|\nabla((1-\tau)(v-r_{m_j}))|^p\,dV \\ &\leqslant 2^p \int_{\operatorname{supp}\tau} |\nabla\tau(v-r_{m_j})|^p\,dV \\ &\qquad+2^p\int_M|(1-\tau)\nabla(v-r_{m_j})|^p\,dV \to 0 \qquad\text{при}\quad j \to \infty, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда немедленно следует, что
$$
\begin{equation}
\operatorname{cap}_{h-w}(K)\leqslant\lim_{j \to \infty} \int_M|\nabla\psi_j|^p\,dV=\int_M|\nabla v|^p\,dV.
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Последняя формула ввиду произвольности компакта $K \subset \partial\Omega$ влечет оценку
$$
\begin{equation}
\operatorname{cap}_{h-w}(\partial M)\leqslant \int_M|\nabla v|^p\,dV<\infty.
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Предположим теперь, что последовательность $\alpha_m$, $m=1,2,\dots$, не ограничена. Без потери общности можно считать, что $|\alpha_m| \to \infty$ при $m \to \infty$. Если это не так, то заменим $\alpha_m$, $m=1,2,\dots$, на соответствующую подпоследовательность. Применяя лемму 2, приходим к неравенству
$$
\begin{equation*}
\int_\omega|r_m-\alpha_m|^p\,dV\leqslant C\int_\omega|\nabla r_m|^p\,dV
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $m=1,2,\dots$, где постоянная $C > 0$ не зависит от $m$, откуда, в свою очередь, будем иметь
$$
\begin{equation*}
\int_\omega\biggl|\frac{r_m}{\alpha_m}-1\biggr|^p\,dV\leqslant \frac{C}{|\alpha_m|^p}\int_\omega|\nabla r_m|^p\,dV \to 0 \qquad\text{при}\quad m \to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Для каждого натурального числа $m$ возьмем натуральное число $s_m \geqslant m$ такое, что
$$
\begin{equation}
\int_\omega\biggl|\alpha_m- \frac{\alpha_mr_{s_m}}{\alpha_{s_m}}\biggr|^p\,dV= |\alpha_m|^p\int_\omega\biggl|\frac{r_{s_m}}{\alpha_{s_m}}- 1\biggr|^p\,dV<\frac{1}{2^m}
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
$$
\begin{equation}
\biggl|\frac{\alpha_m}{\alpha_{s_m}}\biggr|<\frac{1}{2^m}\,.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Полагая, далее,
$$
\begin{equation*}
v_m=r_m-\frac{\alpha_mr_{s_m}}{\alpha_{s_m}}\,, \qquad m=1,2,\dots,
\end{equation*}
\notag
$$
получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_\omega|v_m-v_l|^p\,dV&\leqslant 2^p\int_\omega|r_m-r_l-\alpha_m+\alpha_l|^p\,dV \\ &\qquad+2^p\int_\omega\biggl|\alpha_m- \frac{\alpha_m r_{s_m}}{\alpha_{s_m}}- \alpha_l+\frac{\alpha_lr_{s_l}}{\alpha_{s_l}}\biggr|^p\,dV, \qquad m,l=1,2,\dots\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно лемме 2 справедлива оценка
$$
\begin{equation*}
\int_\omega|r_m-r_l-\alpha_m+\alpha_l|^p\,dV\leqslant C\int_\omega|\nabla (r_m-r_l)|^p\,dV, \qquad m,l=1,2,\dots,
\end{equation*}
\notag
$$
где постоянная $C > 0$ не зависит от $m$ и $l$. В то же время, условие (2.7) позволяет утверждать, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_\omega\biggl|\alpha_m-\frac{\alpha_mr_{s_m}}{\alpha_{s_m}}- \alpha_l+\frac{\alpha_lr_{s_l}}{\alpha_{s_l}}\biggr|^p\,dV\leqslant 2^p\int_\omega\biggl|\alpha_m- \frac{\alpha_mr_{s_m}}{\alpha_{s_m}}\biggr|^p\,dV \\ &\qquad+2^p\int_\omega\biggl|\alpha_l- \frac{\alpha_lr_{s_l}}{\alpha_{s_l}}\biggr|^p\,dV< \frac{2^p}{2^m}+\frac{2^p}{2^l}\,, \qquad m,l=1,2,\dots\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, последовательность $v_m$, $m=1,2,\dots$, фундаментальна в $L_p(\omega)$. В соответствии с леммой 1 эта последовательность также фундаментальна в $W_p^1(G)$ для любой предкомпактной области $G \subset M$. Обозначим за $v$ предел этой последовательности. Ввиду (2.2) и (2.8) имеем
$$
\begin{equation*}
\|\nabla v_m-{\mathbf r}\|_{L_p(M)}\to 0 \qquad\text{при}\quad m \to \infty,
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому $v$ удовлетворяет соотношению (2.3), а функция $w=u-v$ согласно вариационному принципу принадлежит $\mathfrak{H}$. При этом для всякого компакта $K \subset \partial M$, очевидно, выполнено условие (2.4). Тем самым, рассматривая последовательность где $\tau \in C_0^\infty (M)$ – некоторая функция, равная единице в окрестности $K$, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_M|\nabla (v-\psi_j)|^p\,dV= \int_M|\nabla ((1-\tau)(v-v_j))|^p\,dV \leqslant 2^p\int_{\operatorname{supp}\tau} |\nabla\tau(v-v_j)|^p\,dV \\ &\qquad\qquad+2^p\int_M|(1-\tau) \nabla (v-v_j)|^p\,dV\to 0 \qquad\text{при}\quad j \to \infty, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда снова приходим к соотношению (2.5), из которого следует (2.6).
Покажем, что из условия (2.1) следует существование решения задачи (1.1)–(1.3). Пусть для некоторого $w \in \mathfrak{H}$ справедливо (2.1). Возьмем предкомпактные липщицевы области $\Omega_i \subset \Omega_{i+1}$, $i=1,2,\dots$, объединение которых совпадает со всем многообразием $M$. Рассмотрим функции $\varphi_i\in\mathring{W}_p^1(M)$ такие, что
$$
\begin{equation*}
\varphi_i|_{\overline{\Omega}_i\cap\partial M}=h-w \quad\text{и}\quad \int_M|\nabla \varphi_i|^p\,dV< \operatorname{cap}_{h-w}(\overline{\Omega}_i\cap\partial M)+ \frac{1}{2^i}\,,\qquad i=1,2,\dots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно (2.1) последовательность $\nabla\varphi_i$, $i=1,2,\dots$, ограничена в норме пространства $L_p(M)$. Тем самым, существует подпоследовательность $\nabla\varphi_{i_j}$, $j=1,2,\dots$, этой последовательности, сходящаяся слабо в $L_p(M)$ к некоторой вектор-функции ${\mathbf r} \in L_p(M)$. Как и выше, будем обозначать через $R_m$ выпуклую оболочку множества $\{\varphi_{i_j}\}_{j \geqslant m}$. По теореме Мазура найдется последовательность $r_m \in R_m$, $m=1,2,\dots$, такая, что имеет место (2.2). Ввиду выпуклости функционала
$$
\begin{equation*}
\varphi\mapsto\int_M|\nabla \varphi|^p\,dV, \qquad \varphi\in\mathring{W}_p^1 (M),
\end{equation*}
\notag
$$
получим
$$
\begin{equation}
\int_M|\nabla r_m|^p\,dV<\operatorname{cap}_{h-w}(\partial M)+ \frac{1}{2^m}\,, \qquad m=1,2,\dots\,.
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Несложно также увидеть, что
$$
\begin{equation}
r_m|_{\overline{\Omega}_m\cap\partial M}=h-w, \qquad m=1,2,\dots\,.
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Можно, очевидно, считать без ограничения общности, что $\Omega_1 \cap \partial M \ne \varnothing$. Таким образом, будем иметь
$$
\begin{equation*}
\int_{\Omega_1}|\varphi|^p\,dV\leqslant C\int_{\Omega_1}|\nabla \varphi|^p\,dV
\end{equation*}
\notag
$$
для любой функции $\varphi\in\mathring{W}_p^1(\Omega_1,\overline{\Omega}_1 \cap \partial M)$, где постоянная $C > 0$ не зависит от $\varphi$. В частности,
$$
\begin{equation*}
\int_{\Omega_1}|r_i-r_j|^p\,dV\leqslant C\int_{\Omega_1}|\nabla (r_i-r_j)|^p\,dV
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $i,j=1,2,\dots$, откуда следует, что последовательность $r_i$, $i=1,2,\dots$, фундаментальна в $L_p(\Omega_1)$. Применяя лемму 1, получим, что эта последовательность также фундаментальна в $W_p^1(G)$ для любой предкомпактной области $G \subset M$. Обозначим предел этой последовательности за $u_1$. Ввиду (2.9) и (2.10) получим
$$
\begin{equation}
\int_M|\nabla u_1|^p\,dV<\operatorname{cap}_{h-w}(\partial M)
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Перейдем к построению решения задачи (1.1)–(1.3). Пусть теперь $\varphi_i$, $i\,{=}\,1,2,\dots$, – последовательность функций из $C_0^\infty (M \setminus \partial M)$ такая, что
$$
\begin{equation*}
\int_M|\nabla (u_1+w-\varphi_i)|^p\,dV\to \inf_{\varphi\in C_0^\infty (M \setminus \partial M)} \int_M|\nabla (u_1+w-\varphi)|^p\,dV \qquad\text{при}\quad i \to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно (2.11) последовательность $\nabla\varphi_i$, $i=1,2,\dots$, ограничена в $L_p(\Omega)$. Таким образом, у нее существует подпоследовательность $\nabla\varphi_{i_j}$, $j=1,2,\dots$, сходящаяся слабо в $L_p(M)$ к некоторой вектор-функции ${\mathbf r} \in L_p(M)$. Применяя, далее, теорему Мазура, получим последовательность $r_m \in R_m$, $m=1,2,\dots$, удовлетворяющую соотношению (2.2). Ввиду того, что $r_m \in C_0^\infty (M \setminus \partial M)$, $m=1,2,\dots$, эта последовательность фундаментальна в $W_p^1(G)$ для любой предкомпактной области $G \subset M$. Как и ранее, под $R_m$ мы подразумеваем выпуклую оболочку множества $\{\varphi_{i_j}\}_{j \geqslant m}$. Обозначая через $u_0$ предел последовательности $r_m$, $m=1,2,\dots$, получим и $\nabla u_0={\mathbf r}$. Функционал
$$
\begin{equation*}
\varphi\to \int_M|\nabla(u_1+w-\varphi)|^p\,dV, \qquad \varphi \in C_0^\infty(M \setminus \partial M),
\end{equation*}
\notag
$$
очевидно, является выпуклым, поэтому
$$
\begin{equation*}
\int_M|\nabla(u_1+w-r_m)|^p\,dV\leqslant \sup_{j \geqslant m}\int_M|\nabla(u_1+w-\varphi_{i_j})|^p\,dV,
\end{equation*}
\notag
$$
и мы можем утверждать, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{m \to \infty}\int_M|\nabla(u_1+w-r_m)|^p\,dV= \inf_{\varphi\in C_0^\infty (M \setminus \partial M)} \int_M|\nabla (u_1+w-\varphi)|^p\,dV,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда, в свою очередь, будем иметь
$$
\begin{equation*}
\int_M|\nabla(u_1+w-u_0)|^p\,dV= \inf_{\varphi\in C_0^\infty(M \setminus \partial M)} \int_M|\nabla (u_1+w-\varphi)|^p\,dV.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, для завершения доказательства остается заметить, что согласно условиям (2.12), (2.13) и вариационному принципу функция $u=u_1+w-u_0$ является решением задачи (1.1)–(1.3). 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BakKon23} |
|
||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|