| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Гладкость обобщенных собственных функций дифференциально-разностных операторов на конечном интервале Р. Ю. Воротников, А. Л. Скубачевский Российский университет дружбы народов, г. Москва
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623110329 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеВпервые обобщенные решения краевых задач для дифференциально-разностных уравнений на конечном интервале рассматривались в работах [1], [2]. Было показано, что гладкость обобщенных решений может нарушаться во внутренних точках интервала даже для бесконечно дифференцируемой правой части уравнения. Краевые задачи для функционально-дифференциальных уравнений возникают в теории управления и, в частности, в задаче об успокоении системы управления с последействием [3]–[5]. В работах [6]–[10] получены условия на правые части дифференциально-разностных уравнений, которые гарантируют существование обобщенных решений, сохраняющих гладкость на всем интервале. Возникает также вопрос: “При каких условиях на коэффициенты разностного оператора гладкость обобщенных решений краевых задач для дифференциально-разностных уравнений сохраняется на всем интервале для любых правых частей уравнений?” Исследованию этого вопроса посвящены работы [11], [12]. Однако, при этом возникает следующая нерешенная задача: “Будут ли обобщенные собственные функции дифференциально-разностных операторов сохранять свою гладкость на всем интервале или нет?” Исследованию данной задачи посвящена настоящая работа. Во разделе 2 рассматриваются свойства разностных операторов. В разделе 3 изучается задача на собственные функции и собственные значения для дифференциально-разностных операторов. Получены необходимые и достаточные условия сохранения гладкости обобщенных собственных функций на всем интервале. В разделе 4, используя результаты раздела 3, мы построим пример дифференциально-разностного оператора, имеющего счетное множество собственных функций, гладкость которых нарушается внутри интервала, и счетное множество собственных функций, гладкость которых сохраняется. 2. Свойства разностных операторов на конечном интервалеОпределим разностный оператор $R\colon L_2(\mathbb R)\to L_2(\mathbb R)$ по формуле где $\alpha_j\in\mathbb C$.Обозначим через $Q$ интервал $(0,d)$, где $d=n+\Theta$, $n\in\mathbb N$, $0<\Theta\leqslant 1$. Сдвиги аргументов $x\to x+j$ оператора $R$ могут отображать точки интервала $Q$ в $\mathbb R\setminus Q$. С учетом этих отображений краевые условия для оператора $-d^2R/dx^2$, рассматриваемого на $Q$, следует задавать не только на границе $\partial Q$, но и на множестве $\mathbb R\setminus Q$. Для рассмотрения однородных краевых условий вводится оператор $I_Q\colon L_2(Q)\to L_2(\mathbb R)$, который является оператором продолжения нулем функции из $L_2(Q)$ в $L_2(\mathbb R\setminus Q)$. Для изучения дифференциально-разностного оператора не на всем множестве $\mathbb R$, а лишь на интервале $Q=(0,d)$, вводится оператор $P_Q\colon L_2(\mathbb R)\to L_2(Q)$, являющийся оператором сужения функции из $L_2(\mathbb R)$ на $Q$. Введем также оператор $R_Q\colon L_2(Q)\to L_2(Q)$ по формуле Доказательство следует из определения операторов $I_Q$ и $P_Q$. Лемма 2.2. Операторы $R\colon L_2(\mathbb R)\to L_2(\mathbb R)$ и $R_Q\colon L_2(Q)\to L_2(Q)$ ограниченные; Доказательство следует из леммы 2.1. Лемма 2.3. Если оператор $R\colon L_2(\mathbb R)\to L_2(\mathbb R)$ самосопряженный, то самосопряженным является и оператор $R_Q\colon L_2(Q)\to L_2(Q)$. Доказательство следует из леммы 2.2. Введенные операторы используются для изучения свойств обобщенных собственных функций оператора $-d^2R_Q/dx^2$. Строгие определения оператора $-d^2R_Q/dx^2$ и его обобщенных собственных функций будут даны в разделе 3. Рассмотрим разбиение интервала $Q=(0,d)$ на подынтервалы, которые образуются из этого интервала выбрасыванием орбит его концов, порождаемых группой целочисленных сдвигов. Другими словами, указанные подынтервалы являются связными компонентами множества $(0,d)\setminus(\{j\}_1^n\cup\{d-j\}_1^n)$. В зависимости от значения $\Theta$ получим один или два класса непересекающихся подынтервалов. Если $\Theta=1$, то получим один класс непересекающихся подынтервалов $Q_{1k}=(k-1,k)$ при $k=1,\dots,n+1$; если же $0<\Theta<1$, то мы рассматриваем два класса непересекающихся подынтервалов $Q_{1k}=(k-1,k-1+\Theta)$ при $k=1,\dots,n+1$ и $Q_{2k}=(k-1+\Theta,k)$ при $k=1,\dots,n$. Отметим, что все подынтервалы одного класса получаются друг из друга сдвигом на некоторое целое число. Через $L_2(\bigcup_kQ_{sk})$ обозначим подпространство функций в $L_2(Q)$, равных нулю вне $\bigcup_kQ_{sk}$, $k=1,\dots,N(s)$, где $N(1)=n+1$, $N(2)=n$ ($s=1,2$, если $0<\Theta<1$, и $s=1$, если $\Theta=1$). Очевидно, $L_2(\bigcup_kQ_{sk})=L_2(Q)$, если $\Theta=1$. Обозначим через $P_s\colon L_2(Q)\to L_2(\bigcup_kQ_{sk})$ оператор ортогонального проектирования функций на $L_2(\bigcup_kQ_{sk})$ в пространстве $L_2(Q)$. Очевидно, что Заметим, что при $\Theta=1$ оператор $P_1\colon L_2(Q)\to L_2(\bigcup_kQ_{1k})$ является единичным оператором. Здесь, как и ранее, $Q_{1k}=(k-1,k)$, $k=1,\dots,n+1$. Из определений введенных операторов и подынтервалов вытекает следующая лемма Лемма 2.4. Пространство функций $L_2(\bigcup_kQ_{sk})$ есть инвариантное подпространство оператора $R_Q$. Построим изоморфизм гильбертовых пространств
$$
\begin{equation*}
U_s\colon L_2\biggl(\bigcup_kQ_{sk}\biggr)\to L_2^N(Q_{s1}),
\end{equation*}
\notag
$$
определив вектор-функцию $(U_su)(x):=(u_1^s,\dots,u_N^s)^T$ равенством
$$
\begin{equation}
u_s^k(x)=u(x+k-1), \qquad x\in Q_{s1}, \quad k=1,\dots,N,
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
где $L_2^N(Q_{s1})=\prod_{k=1}^NL_2(Q_{s1})$, $N=n+1$ при $s=1$ и $N=n$ при $s=2$. Обозначим через $R_s$ матрицу порядка $N(s)\times N(s)$ с элементами Таким образом, матрица $R_1$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
R_1=\begin{pmatrix} \alpha_0 &\alpha_1 &\dots &\alpha_n \\ \alpha_{-1} &\alpha_0 &\dots &\alpha_{n-1} \\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ \alpha_{-n} &\alpha_{-n+1} &\dots &\alpha_0 \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
а матрица $R_2$ вид
$$
\begin{equation*}
R_2=\begin{pmatrix} \alpha_0 &\alpha_1 &\dots &\alpha_{n-1} \\ \alpha_{-1} &\alpha_0 &\dots &\alpha_{n-2} \\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ \alpha_{-n+1} &\alpha_{-n+2} &\dots &\alpha_0 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, матрица $R_2$ может быть получена из матрицы $R_1$ вычеркиванием последней строки и последнего столбца. Доказательство см. в [7; гл. I, раздел 2]. Пусть $A\colon H\to H$ – ограниченный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве $H$. Назовем оператор $A$ положительным, если $(Ax,x)>0$ для любых $x\in H$, $x\ne 0$. Назовем оператор $A$ положительно определенным, если $(Ax,x)\geqslant c_1(x,x)$ для всех $x\in H$, где $c_1>0$ – некоторая константа, не зависящая от $x$. Из лемм 2.4, 2.5 вытекает следующий результат. Лемма 2.6. Оператор $R_Q+R^*_Q\colon L_2(Q)\to L_2(Q)$ является положительно определенным тогда и только тогда, когда матрица $R_1+R^*_1$ положительно определена, где $R^*_1$ – эрмитово сопряженная матрица. Определение 2.1. Будем говорить, что дифференциально-разностный оператор $-d^2R_Q/dx^2$ удовлетворяет условию сильной эллиптичности, если матрица $R_1+ R^*_1$ положительно определена. Очевидно, условие сильной эллиптичности для оператора $-d^2R_Q/dx^2$ эквивалентно выполнению неравенства для всех $s$ и $Y\in\mathbb C^{N(s)}$ ($s=1$ при $\Theta=1$ и $s=1,2$ при $0<\Theta<1$), $c>0$ не зависит от $Y$, а $\|\cdot\|$ и $(\,\cdot\,,\,\cdot\,)$ – норма и скалярное произведение в $\mathbb C^{N(s)}$ соответственно. Далее мы будем полагать, что оператор $-d^2R_Q/dx^2$ удовлетворяет условию сильной эллиптичности.Замечание 2.1. Если оператор $R_Q$ является оператором умножения на вещественную гладкую функцию $k(x)\ne 0$ и не содержит сдвигов по переменной $x$, то оператор $-d^2R_Q/dx^2$ превращается в обыкновенный дифференциальный оператор, а его спектр будет дискретным и полуограниченным. Если же оператор $R_Q$ содержит сдвиги по переменной $x$, его коэффициенты – вещественные числа, а матрицы $R_s$, $s=1,2$, – симметричные, невырожденные, но не знакоопределенные, то соответствующий дифференциально-разностный оператор будет самосопряженным, а его спектр вещественным и дискретным, но не полуограниченным (см. [7; пример 23.2]). Таким образом, краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений с полуограниченными операторами по своим свойствам и методам исследования находятся ближе к краевым задачам для сильно эллиптических систем дифференциальных уравнений, чем к краевым задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений (см. также раздел 3). Пусть $W_2^k(Q)$ – пространство Соболева комплекснозначных функций из $L_2(Q)$, имеющих все обобщенные производные вплоть до $k$-го порядка из $L_2(Q)$. Скалярное произведение для $u,v\in W_2^k(Q)$ вводится по формуле
$$
\begin{equation*}
(u,v)_{W_2^k(Q)}=\sum_{i=0}^k\int_0^du^{(i)}\overline{v^{(i)}}\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $W_2^{k,N(s)}(Q_{s1})$ декартово произведение $N(s)$ пространств $W_2^k(Q_{s1})$, где $s=1$, если $\Theta=1$, и $s=1,2$, если $0<\Theta<1$. Лемма 2.7. Пусть $u\in W_2^k(Q_{sj})$, где $s=1,2$, $j=1,\dots,N(s)$ при $0<\Theta<1$ и $s=1$, $j=1,\dots,N(1)$ при $\Theta=1$. Тогда $R_Qu\in W_2^k(Q_{si})$ и где $c_1>0$ не зависит от $u$. Лемма 2.8. Пусть $\operatorname{det}R_s\ne 0$, где $s=1,2$, $j=1,\dots,N(s)$ при $0<\Theta<1$ и $s=1$, $j=1,\dots,N(1)$ при $\Theta=1$. Пусть, кроме того, $w\in W_2^k(Q_{sj})$, где $s=1,2$, $j=1,\dots,N(s)$ при $0<\Theta<1$ и $s=1$, $j=1,\dots,N(1)$ при $\Theta=1$. Тогда $R_Q^{-1}w\in W_2^k(Q_{si})$ и где $c_2>0$ не зависит от $w$. Доказательство аналогично доказательству леммы 2.12 из [7; гл. I, раздел 2]. Обозначим
$$
\begin{equation*}
\mathring W_2^k(Q)=\bigl\{u\in W_2^k(Q)\colon u^{(i)}(0)=u^{(i)}(d)=0,\, i=0,1,\dots,k-1\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 2.9. Оператор $R_Q\colon\mathring W_2^k(Q)\to W_2^k(Q)$ является непрерывным, при этом для всех $v\in\mathring W_2^k(Q)$ Доказательство см. в [7; гл. I, раздел 2]. 3. Собственные функции и собственные значения дифференциально-разностных операторовВведем дифференциально-разностный оператор
$$
\begin{equation*}
\mathscr A_R\colon L_2(0,d)\supset D(\mathscr A_R)\to L_2(0,d)
\end{equation*}
\notag
$$
по формуле
$$
\begin{equation}
\mathscr A_Ru=-\frac{d^2R_Qu}{dx^2}\,,\qquad u\in D(\mathscr A_R)=\{u\in\mathring W_2^1(Q)\colon R_Qu\in W_2^2(Q)\}.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Определение 3.1. Функция $0\ne u\in D(\mathscr A_R)$ называется обобщенной собственной функцией оператора $\mathscr A_R$, соответствующей собственному значению $\lambda$, если Это определение эквивалентно следующему. Определение 3.2. Функция $0\ne u\in D(\mathscr A_R)$ называется обобщенной собственной функцией оператора $\mathscr A_R$, соответствующей собственному значению $\lambda$, если для любого $w\in\mathring W_2^1(Q)$ выполняется интегральное тождество Теорема 3.1. Пусть оператор $\mathscr A_R$ сильно эллиптический. Тогда спектр $\sigma(\mathscr A_R)$ дискретный и Если при этом $a_j=\overline a_{-j}$, $|j|\leqslant n$, то оператор $\mathscr A_R$ самосопряженный и Доказательство см. в [7; гл. I, раздел 3]. Теорема 3.2. Пусть $\operatorname{det}R_s\ne 0$, где $s=1,2$ при $0<\Theta<1$ и $s=1$ при $\Theta=1$, и пусть $0\ne u$ – обобщенная собственная функция оператора $\mathscr A_R$, соответствующая собственному значению $\lambda$. Тогда $u\in W_2^2(j-1,j)$, $j=1,\dots,n+1$, если $\Theta=1$, и $u\in W_2^2(j-1,j-1+\Theta)$, $j=1,\dots,n+1$, $u\in W_2^2(j-1+\Theta,j)$, $j=1,\dots,n$, если $0<\Theta<1$. Доказательство см. в [7; гл. I, раздел 3]. Замечание 3.1. Если оператор $\mathscr A_R$ сильно эллиптический, то $\operatorname{det}R_s\ne 0$, где $s=1,2$ при $0<\Theta<1$ и $s=1$ при $\Theta=1$. Таким образом, для обобщенных собственных функций сильно эллиптического оператора $\mathscr A_R$ выполняется заключение теоремы 3.2 о гладкости обобщенных собственных функций на подынтервалах $Q_{sj}$. Однако, возникает вопрос: “Сохранится ли гладкость обобщенных собственных функций на всем интервале $(0,d)$?” Для ответа на этот вопрос сведем задачу (3.2) к системе обыкновенных дифференциальных уравнений со спектральным параметром $\lambda$ и нелокальными краевыми условиями. Определение 3.3. Линейный оператор $T$ в гильбертовом пространстве $H$ называется $m$-аккретивным, если при $\operatorname{Re}\lambda>0$ выполняются следующие условия: существует ограниченный обратный оператор при этом имеет место оценка В дальнейшем нам понадобится следующий вспомогательный результат. Лемма 3.1. Пусть $R_1+R_1^*>0$. Тогда существует единственный $m$-аккретивный квадратный корень $\sqrt{R_s^{-1}}$ такой, что $(\sqrt{R_s^{-1}})^2=R_s^{-1}$, где $s=1,2$ при $0<\Theta<1$ и $s=1$ при $\Theta=1$. Доказательство. 1. Докажем, что для всех $0\ne x\in\mathbb C^N$ Действительно, полагая $x=R_sy$, в силу условия $R_s+R_s^*>0$ получим
2. Докажем, что оператор $R_s^{-1}$ является $m$-аккретивным. Действительно, для $\operatorname{Re}\lambda>0$ и $0\ne x\in\mathbb C^N$ из (3.6) следует, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Re}\bigl((R_s^{-1}+\lambda I)x,x\bigr)>\operatorname{Re}(R_s^{-1}x,x)>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому Таким образом, существует обратная матрица $(R_s^{-1}+\lambda I)^{-1}$, т.е. выполняется условие (3.4).
Кроме того, в силу неравенства Коши–Буняковского и неравенства (3.6) для любых $x\in\mathbb C^{N}$ имеем
$$
\begin{equation*}
\|(R_s^{-1}+\lambda I)x\|\,\|x\| \geqslant|(R_s^{-1}+\lambda I)x,x)| \geqslant\operatorname{Re}\bigl((R_s^{-1}+\lambda I)x,x\bigr) \geqslant\operatorname{Re}\lambda\|x\|^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $(R_s^{-1}+\lambda I)x=y$. Тогда получим $\|(R_s^{-1}+\lambda I)^{-1}y\|\leqslant\|y\|/\operatorname{Re}\lambda$ для любых $y\in\mathbb C^{N}$, т.е. справедливо неравенство (3.5). Таким образом, оператор умножения на матрицу $R_s^{-1}$ является $m$-аккретивным. Поэтому в силу теоремы 3.35 из [13; гл. 5, § 3] существует единственный $m$-аккретивный квадратный корень $\sqrt{R_s^{-1}}$ такой, что $(\sqrt{R_s^{-1}})^2=R_s^{-1}$. Конструктивный способ построения квадратного корня из матрицы можно найти в [14; гл. VIII, § 6]. Рассмотрим вначале случай $\Theta=1$, т.е. $d=n+1$. Пусть $0\ne u\in D(\mathscr A_R)$ – обобщенная собственная функция оператора $\mathscr A_R$, соответствующая собственному значению $\lambda$. Тогда для любого $w\in\dot C^\infty(\bigcup_{k=1}^{n+1}(k-1,k))$ справедливо интегральное тождество (3.3), где $\dot C^\infty(\bigcup_{k=1}^{n+1}(k-1,k))$ – множество финитных бесконечно дифференцируемых функций на множестве $\bigcup_{k=1}^{n+1}(k-1,k)$. Отсюда и из определения изоморфизма $U_1\colon L_2(0,n+1)\to L_2^{n+1}(0,1)$ получим
$$
\begin{equation}
\int_0^1\bigl((U_1R_QU_1^{-1}U_1u)'(x),(U_1w)'(x)\bigr)\,dx =\lambda\int_0^1\bigl((U_1u)(x),(U_1 w)(x)\bigr )\,dx.
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
По теореме 3.2 В силу (3.8) мы можем произвести интегрирование по частям в левой части (3.7). Тогда, используя лемму 2.5, получим
$$
\begin{equation*}
-\int_0^1\bigl((R_1(U_1)u)''(x),(U_1w)(x))\bigr)\,dx =\lambda\int_0^1\bigl((U_1u)(x),(U_1w)(x)\bigr)\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Из условия $R_1+R_1^*>0$ следует, что существует обратная матрица $R_1^{-1}$. А поскольку $\dot C^\infty(0,1)$ всюду плотно в $L_2(0,1)$, из последнего интегрального тождества следует, что
$$
\begin{equation}
-R_1(U_1u)''(x)=\lambda(U_1u)(x), \qquad x\in (0,1),
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
т.е. где $V(x)=(U_1u)(x)$. Лемма 3.2. Общее решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений (3.10) имеет вид где $C_o=(C_1,C_3,\dots,C_{2n+1})^T$, $C_e=(C_2,C_4,\dots,C_{2n+2})^T$ – произвольные $(n+1)$-мерные векторы в $\mathbb C^{n+1}$. В силу теоремы 3.1 $\operatorname{Re}\lambda>0$. Поэтому мы можем считать, что
$$
\begin{equation*}
\sqrt{\lambda}\in\biggl\{\mu\in\mathbb C\colon \operatorname{Re}\mu>0,\,|\operatorname{arg}\mu|<\frac\pi4\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Существование $m$-аккретивного оператора $\sqrt{R_1^{-1}}$ гарантируется леммой 3.1. Доказательство. Очевидно, равенство (3.11) определяет решение однородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений (3.10). Остается доказать, что столбцы матрицы порядка $(n+1)\times 2(n+1)$ линейно независимы.
Действительно, пусть
$$
\begin{equation}
e^{i\sqrt{\lambda}\sqrt{R_1^{-1}}x}C_o +e^{-i\sqrt{\lambda}\sqrt{R_1^{-1}}x}C_e\equiv 0,\qquad x\in[0,1].
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Докажем, что $C_o=C_e=(0,\dots,0)^T$.
Дифференцируя (3.12) по $x$, получим
$$
\begin{equation}
i\sqrt{\lambda}\sqrt{R_1^{-1}}e^{i\sqrt{\lambda}\sqrt{R_1^{-1}}x}C_o -i\sqrt{\lambda}\sqrt{R_1^{-1}}e^{-i\sqrt{\lambda}\sqrt{R_1^{-1}}x}C_e=0,\qquad x\in[0,1].
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
Полагая $x=0$ в (3.12), (3.13), получим систему Отсюда следует, что $C_o=C_e=(0,\dots,0)^T$. Запишем теперь краевые условия, которым должна удовлетворять вектор-функция $V(x)=(v_1,\dots,v_{n+1})^T$. Из условия $u\in\mathring W_2^1(Q)$ следует, что $u(0)=0$, $u(n+1)=0$. Отсюда и из равенств
$$
\begin{equation}
v_k(x)=u(x+k-1), \qquad x\in(0,1), \quad k=1,\dots,n+1
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
(ср. (2.4)) следует, что В силу $\mathring W_2^1(Q)\subset C(\overline Q)$ функция $u$ должна быть непрерывна в точках $1,2,\dots,n$, т.е. В силу (3.14) эти условия можно записать в виде Из условия $u\in D(\mathscr A_R)$ следует, что $R_Qu\in W_2^2(Q)$, т.е. В силу формулы (2.4) из (3.18) получим Отсюда, а также из леммы 2.5 и соотношения $V=U_1u$ вытекает равенствоТаким образом, если при $\Theta=1$ $u(x)$ является обобщенной собственной функцией сильно эллиптического оператора $\mathscr A_R$, удовлетворяющего собственному значению $\lambda$, то вектор-функция $V=U_1u\in W_2^{2,n+1}(0,1)$ и удовлетворяет системе обыкновенных дифференциальных уравнений (3.10) и ($2n+2$) краевым условиям (3.15)–(3.17), (3.19). Подставляя (3.11) в краевые условия (3.15)–(3.17), (3.19), получим систему линейных алгебраических уравнений где $C=(C_1,C_2,\dots,C_{2n+1},C_{2n+2})^T\ne 0$, $\mathbb C\ni\lambda\mapsto A_1(\lambda)$ – функция со значениями в пространстве матриц порядка $(2n+2)\times(2n+2)$ с комплексными элементами.Справедливо и обратное утверждение. Если $C\ne 0$ – решение системы уравнений (3.20), то функция $u=U_1^{-1}V$ является обобщенной собственной функцией оператора $\mathscr A_R$, соответствующей собственному значению $\lambda$, где $V(x)$ определяется по формуле (3.11), а константы $C_1,\dots,C_{2n+2}$ удовлетворяют системе (3.20). Для того, чтобы система (3.20) имела нетривиальное решение необходимо и достаточно, чтобы $\operatorname{det}A_1(\lambda)=0$. Таким образом, множество собственных значений оператора $\mathscr A_R$ совпадает с множеством корней определителя $\operatorname{det}A_1(\lambda)$. Если мы дополнительно требуем, чтобы обобщенные собственные функции сохраняли гладкость на всем интервале $(0,n+1)$, т.е. $u\in W_2^2(0,n+1)$, мы к условиям (3.15)–(3.17), (3.19) должны добавить дополнительно условия Тогда общее решение системы (3.10) в виде (3.11) нужно подставить в ($3n+2$) краевых условий (3.15)–(3.17), (3.19)), (3.21). Получим систему $3n+2$ уравнений относительно $2n+2$ неизвестных где $\mathbb C\ni\lambda\mapsto B_1(\lambda)$ – функция со значениями в пространстве матриц порядка $(3n+ 2)\times(2n+2)$ с комплексными элементами.Теорема 3.3. Пусть оператор $\mathscr A_R$ сильно эллиптический. Предположим также, что $\Theta=1$ и $\operatorname{det}A_1(\lambda)=0$. В этом случае существует обобщенная собственная функция $u\in\mathring W_2^1(0,d)\setminus W_2^2(0,d)$, соответствующая собственному значению $\lambda$, в том и только в том случае, когда $\operatorname{rang}B_1(\lambda)>\operatorname{rang}A_1(\lambda)$. Доказательство. Выше было доказано, что число $\lambda$ является собственным значением оператора $\mathscr A_R$ тогда и только тогда, когда $\operatorname{det}A_1(\lambda)=0$. При этом соответствующие собственные функции определяются по формуле $u=U_1^{-1}V$, где $V$ имеет вид (3.11), а постоянные $C_1,C_2,\dots,C_{2n+1},C_{2n+2}$ удовлетворяют системе линейных алгебраических уравнений (3.20). При этом существует обобщенная собственная функция $u\in\mathring W_2^{1}(0,d)\setminus W_2^2(0,d)$, соответствующая собственному значению $\lambda$ тогда и только тогда, когда найдется решение ($C_1,C_2,\dots,C_{2n+1},C_{2n+2}$) системы уравнений (3.20), которое не является решением системы уравнений (3.22). Последнее условие выполняется в том и только в том случае, когда $\operatorname{rang}B_1(\lambda)>\operatorname{rang}A_1(\lambda)$. Пусть теперь $\Theta<1$. Напомним, что в этом случае мы получим разбиение интервала $(0,d)$ на два класса непересекающихся подынтервалов
$$
\begin{equation*}
Q_{1k}=(k-1,k-1+\Theta), \quad k=1,\dots,n+1, \qquad Q_{2k}=(k-1+\Theta,k), \quad k=1,\dots,n.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $0\ne u\in D(\mathscr A_R)$ – обобщенная собственная функция оператора $\mathscr A_R$, соответствующая собственному значению $\lambda$. Тогда для любого $w=w_1+w_2$ такого, что
$$
\begin{equation*}
w_1\in\dot C^\infty\biggl(\bigcup_{k=1}^{n+1}(k-1,k-1+\Theta)\biggr), \qquad w_2\in\dot C^\infty\biggl(\bigcup_{k=1}^n(k-1+\Theta,k)\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
справедливо интегральное тождество (3.3). Отсюда и из определения изоморфизма $U_s\colon L_2(\bigcup_k Q_{sk})\to L_2^{N(s)}(Q_{s1})$ получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_0^\Theta\bigl((U_1R_QU_1^{-1}U_1u)'(x),(U_1w)'(x)\bigr)\,dx +\int_\Theta^1\bigl((U_2R_QU_2^{-1}U_2u)'(x),(U_2w)'(x)\bigr)\,dx \nonumber \\ &\qquad=\lambda\int_0^\Theta\bigl((U_1u)(x),(U_1w)(x)\bigr)\,dx +\lambda\int_\Theta^1\bigl((U_2u)(x),(U_2w)(x)\bigr)\,dx. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.23}
$$
По теореме 3.2
$$
\begin{equation}
(U_1u)_k \in W_2^2(0,\Theta), \qquad k =1,\dots,n+1,
\end{equation}
\tag{3.24}
$$
В силу (3.24), (3.25) мы можем произвести интегрирование по частям в каждом слагаемом левой части (3.23). Тогда, используя лемму 2.5, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &-\int_0^\Theta\bigl((R_1(U_1)u)''(x),(U_1w)(x)\bigr)\,dx -\int_\Theta^1\bigl((R_2(U_2)u)''(x),(U_2w)(x)\bigr)\,dx \\ &\qquad=\lambda\int_0^\Theta\bigl((U_1u)(x),(U_1w)(x)\bigr)\,dx +\lambda\int_\Theta^1\bigl((U_2u)(x),(U_2w)(x)\bigr)\,dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Последнее тождество очевидным образом распадается на два:
$$
\begin{equation}
-\int_0^\Theta\bigl((R_1(U_1)u)''(x),(U_1w_1)(x)\bigr)\,dx =\lambda\int_0^\Theta\bigl((U_1u)(x),(U_1w_1)(x)\bigr)\,dx,
\end{equation}
\tag{3.26}
$$
$$
\begin{equation}
-\int_\Theta^1\bigl((R_2(U_2)u)''(x),(U_2w_2)(x)\bigr)\,dx =\lambda\int_\Theta^1\bigl((U_2u)(x),(U_2w_2)(x)\bigr)\,dx.
\end{equation}
\tag{3.27}
$$
Так как $R_1+R_1^*>0$, то $R_2+R_2^*>0$. Из условий $R_s+R_s^*>0$ следует существование обратных матриц $R_s^{-1}$ ($s=1,2$). А поскольку $\dot C^\infty(Q_{sk})$ всюду плотно в $L_2(Q_{sk})$, из интегральных тождеств (3.26), (3.27) следует, что
$$
\begin{equation}
-R_1(U_1u)''(x) =\lambda(U_1u)(x), \qquad x \in(0,\Theta),
\end{equation}
\tag{3.28}
$$
$$
\begin{equation}
-R_2(U_2u)''(x) =\lambda(U_2u)(x), \qquad x \in(\Theta,1),
\end{equation}
\tag{3.29}
$$
или
$$
\begin{equation}
-V''_1(x) =\lambda R_1^{-1}V_1(x), \qquad x \in(0,\Theta),
\end{equation}
\tag{3.30}
$$
$$
\begin{equation}
-V''_2(x) =\lambda R_2^{-1}V_2(x), \qquad x \in(\Theta,1),
\end{equation}
\tag{3.31}
$$
где $V_s(x)=(U_su)(x)$, $s=1,2$. Таким образом, мы получили две независимые системы обыкновенных дифференциальных уравнений (3.30) и (3.31). Однако, как мы увидим далее, они оказываются связанными между собой краевыми условиями. Лемма 3.3. Общее решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений (3.30) и (3.31) имеет вид где $C_o^1=(C_1^1,C_3^1,\dots,C_{2n+1}^1)^T$, $C_e^1=(C_2^1,C_4^1,\dots,C_{2n+2}^1)^T$ – произвольные $(n+1)$-мерные векторы в $\mathbb C^{n+1}$, а $C_o^2=(C_1^2,C_3^2,\dots,C_{2n-1}^2)^T$, $C_e^1=(C_2^2,C_4^2,\dots,C_{2n}^2)^T$ – произвольные $n$-мерные векторы в $\mathbb C^n$. В силу теоремы 3.1 $\operatorname{Re}\lambda>0$ и мы можем считать, что
$$
\begin{equation*}
\sqrt{\lambda}\in\biggl\{\mu\in\mathbb C\colon \operatorname{Re}\mu>0,\, |\operatorname{arg}\mu|<\frac \pi4\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Существование $m$-аккретивных операторов $\sqrt{R_s^{-1}}$, $s=1,2$, гарантируется леммой 3.1. Доказательство леммы 3.3 повторяет доказательство леммы 3.2 для каждого из уравнений (3.30), (3.31). Запишем теперь краевые условия, которым должны удовлетворять вектор-функции $V_1(x)=(v_1^1,\dots,v_{n+1}^1)^T$ и $V_2(x)=(v_1^2,\dots,v_n^2)^T$. Из условия $u\in\mathring W_2^1(Q)$ следует, что $u(0)=0$, $u(n+\Theta)=0$. Отсюда и из равенств
$$
\begin{equation}
v_k^1(x) =u(x+k-1), \qquad x \in(0,\Theta), \quad k =1,\dots,n+1,
\end{equation}
\tag{3.34}
$$
$$
\begin{equation}
v_k^2(x) =u(x+k-1), \qquad x \in(\Theta,1), \quad k =1,\dots,n
\end{equation}
\tag{3.35}
$$
следует, что В силу $\mathring W_2^1(Q)\subset C(\overline Q)$ функция $u$ должна быть непрерывна в точках $1,2,\dots,n$, а также в точках $\Theta,\Theta+1,\dots,n-1+\Theta$, т.е.
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} u(k-0) &=u(k+0), &\qquad k &=1,\dots,n, \\ u(k-1+\Theta-0) &=u(k-1+\Theta+0), &\qquad k &=1,\dots,n. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу (3.34), (3.35) эти условия можно записать в виде Из условия $u\in D(\mathscr A_R)$ следует, что $R_Qu\in W_2^2(Q)$, т.е.
$$
\begin{equation}
(R_Qu)'(k-1+\Theta-0) =(R_Qu)'(k-1+\Theta+0),\qquad k=1,\dots,n.
\end{equation}
\tag{3.41}
$$
В силу формулы (2.4) из (3.40)–(3.41) получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (U_2R_Qu')_k(1) &=(U_1R_Qu')_{k+1}(0), \\ (U_1R_Qu')_k(\Theta) &=(U_2R_Qu')_k(\Theta). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, а также из леммы 2.5 и соотношения $V_s=U_s u$ вытекают равенства Таким образом, если при $\Theta<1$ $u(x)$ является обобщенной собственной функцией сильно эллиптического оператора $\mathscr A_R$, удовлетворяющего собственному значению $\lambda$, то для вектор-функций $V_1$ и $V_2$ справедливо
$$
\begin{equation*}
V_1=U_1u\in W_2^{2,n+1}(0,\Theta), \qquad V_2=U_2u\in W_2^{2,n}(\Theta,1)
\end{equation*}
\notag
$$
и они удовлетворяют системе обыкновенных дифференциальных уравнений (3.30), (3.31) и $4n+2$ краевым условиям (3.36)–(3.39), (3.42), (3.43). Подставляя (3.32), (3.33) в краевые условия (3.36)–(3.39), (3.42), (3.43), получим систему линейных алгебраических уравнений где
$$
\begin{equation*}
C=(C_1^1,C_2^1,\dots,C_{2n+1}^1,C_{2n+2}^1, C_1^2,C_2^2,\dots,C_{2n-1}^2,C_{2n}^2)^T\ne 0,
\end{equation*}
\notag
$$
$\mathbb C\ni\lambda\mapsto A_2(\lambda)$ – функция со значениями в пространстве матриц порядка $(4n+2)\times(4n+2)$ с комплексными элементами. Справедливо и обратное утверждение. Если $C\ne 0$ – решение системы уравнений (3.44), то функция $u=U_1^{-1}V_1+U_2^{-1}V_2$ является обобщенной собственной функцией оператора $\mathscr A_R$, соответствующей собственному значению $\lambda$, где $V_s(x)$ определяются по формулам (3.32), (3.33). Для того, чтобы система (3.44) имела нетривиальное решение необходимо и достаточно, чтобы $\operatorname{det}A_2(\lambda)=0$. Таким образом, множество собственных значений оператора $\mathscr A_R$ совпадает с множеством корней определителя $\operatorname{det}A_2(\lambda)$. Если мы требуем, чтобы обобщенные собственные функции сохраняли гладкость на всем интервале $(0, n+\Theta)$, т.е. $u\in W_2^2(0,n+\Theta)$, мы к условиям (3.36)–(3.39), (3.42), (3.43) должны добавить дополнительно условия
$$
\begin{equation}
(v^1_k)'(\Theta) =(v^2_k)'(\Theta), \qquad k =1,\dots,n.
\end{equation}
\tag{3.46}
$$
Общее решение системы (3.30), (3.31) в виде (3.32), (3.33) в этом случае нужно подставить в $6n+2$ краевых условий (3.36)–(3.39), (3.42), (3.43), (3.45), (3.46). Получим систему $6n+2$ уравнений относительно $4n+2$ неизвестных где $\mathbb C\ni\lambda\mapsto B_2(\lambda)$ – функция со значениями в пространстве матриц порядка $(6n+ 2)\times(4n+2)$ с комплексными элементами.Теорема 3.4. Пусть оператор $\mathscr A_R$ сильно эллиптический. Предположим также, что $\Theta<1$ и $\operatorname{det}A_2(\lambda)=0$. В этом случае существует обобщенная собственная функция $u\in\mathring W_2^1(0,d)\setminus W_2^2(0,d)$, соответствующая собственному значению $\lambda$, в том и только в том случае, когда $\operatorname{rang}B_2(\lambda)>\operatorname{rang}A_2(\lambda)$. Доказательство. Ранее было доказано, что $\lambda$ является собственным значением оператора $\mathscr A_R$ тогда и только тогда, когда $\operatorname{det}A_2(\lambda)=0$. При этом соответствующие собственные функции определяются по формуле $u=U_1^{-1}V_1+U_2^{-1}V_2$, где $V_s$ имеют вид (3.32), (3.33), а постоянные $C_1^1,C_2^1,\dots,C_{2n+1}^1$, $C_{2n+2}^1,C_1^2,C_2^2,\dots,C_{2n-1}^2,C_{2n}^2$ удовлетворяют системе линейных алгебраических уравнений (3.44). При этом существует обобщенная собственная функция $u\in\mathring W_2^1(0,d)\setminus W_2^2(0,d)$, соответствующая собственному значению $\lambda$ тогда и только тогда, когда найдется решение
$$
\begin{equation*}
C=(C_1^1,C_2^1,\dots,C_{2n+1}^1,C_{2n+2}^1,C_1^2,C_2^2,\dots,C_{2n-1}^2,C_{2n}^2)^T
\end{equation*}
\notag
$$
системы уравнений (3.44), которое не является решением системы уравнений (3.47). Последнее условие выполняется в том и только в том случае, когда $\operatorname{rang}B_2(\lambda)>\operatorname{rang}A_2(\lambda)$. 4. Пример нарушения гладкости собственных функцийПример 4.1. Зададим разностный оператор $R\colon L_2(\mathbb R)\to L_2(\mathbb R)$ по формуле Обозначим $Q=(0,2)$. Введем оператор $R_Q\colon L_2(Q)\to L_2(Q)$ по формуле (2.2) и оператор $\mathscr A_R$ по формуле (3.1). Матрица $R_1$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
R_1=\begin{pmatrix} 1 &\alpha \\ \alpha &1 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Будем предполагать, что $\alpha$ – иррациональное число такое, что $|\alpha|<1$. Тогда матрица $R_1$ положительно определена. Таким образом, оператор $\mathscr A_R$ является сильно эллиптическим, а в силу теоремы 3.1 он также является самосопряженным и $\sigma(\mathscr A_R)\subset\mathbb R_+$. Рассмотрим задачу на собственные функции и собственные значения для оператора $\mathscr A_R$ Полагая $v_k(x)=u(x+k-1)$, $x\in(0,1)$, $k=1,\dots,n+1$, мы можем переписать задачу (4.2) в виде
$$
\begin{equation}
-v''_1(x)-\alpha v''_2(x) =\lambda v_1(x), \qquad x \in(0,1),
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
$$
\begin{equation}
-\alpha v''_1(x)-v''_2(x) =\lambda v_2(x), \qquad x \in(0,1),
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
ср. (3.9), (3.15)–(3.17), (3.19). Складывая уравнения (4.3) и (4.4), а также вычитая уравнение (4.4) из (4.3), будем иметь Отсюда получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, v_1+v_2 &=\widetilde{C_1}e^{\sqrt{-\lambda/(1+\alpha)}x} +\widetilde{C_2}e^{-\sqrt{-\lambda/(1+\alpha)}x}, \\ v_1-v_2 &=\widetilde{C_3}e^{\sqrt{-\lambda/(1-\alpha)}\,x} +\widetilde{C_4}e^{-\sqrt{-\lambda/(1-\alpha)}\,x}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\widetilde{C_1},\dots,\widetilde{C_4}$ – произвольные постоянные. Таким образом, общее решение системы (4.3), (4.4) будет иметь вид
$$
\begin{equation}
v_1 =C_1e^{\sqrt{-\lambda/(1+\alpha)}x} +C_2e^{-\sqrt{-\lambda/(1+\alpha)}x} +C_3e^{\sqrt{-\lambda/(1-\alpha)}\,x} +C_4e^{-\sqrt{-\lambda/(1-\alpha)}\,x},
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
$$
\begin{equation}
v_2 =C_1e^{\sqrt{-\lambda/(1+\alpha)}x} +C_2e^{-\sqrt{-\lambda/(1+\alpha)}x} -C_3e^{\sqrt{-\lambda/(1-\alpha)}x} -C_4e^{-\sqrt{-\lambda/(1-\alpha)}x},
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
где
$$
\begin{equation*}
C_1=\frac{\widetilde{C_1}}2, \quad\dots,\quad C_4=\frac{\widetilde{C_4}}2.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя (4.11), (4.12) в краевые условия (4.5)–(4.8), получим
$$
\begin{equation}
C_1e^{\sqrt{-\lambda/(1+\alpha)}} +C_2e^{-\sqrt{-\lambda/(1+\alpha)}} -C_3e^{\sqrt{-\lambda/(1-\alpha)}} -C_4e^{-\sqrt{-\lambda/(1-\alpha)}}=0,
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{split} &C_1\bigl(e^{\sqrt{-\lambda/(1+\alpha)}}-1\bigr) +C_2\bigl(e^{-\sqrt{-\lambda/(1+\alpha)}}-1\bigr) \\ &\qquad\qquad +C_3\bigl(e^{\sqrt{-\lambda/(1-\alpha)}}+1\bigr) +C_4\bigl(e^{-\sqrt{-\lambda/(1-\alpha)}}+1\bigr)=0, \end{split}
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{split} &C_1\sqrt{\lambda(1+\alpha)}\bigl(e^{\sqrt{-\lambda/(1+\alpha)}}-1\bigr) +C_2\sqrt{\lambda(1+\alpha)}\bigl(-e^{-\sqrt{-\lambda/(1+\alpha)}}+1\bigr) \\ &\qquad\qquad+C_3\sqrt{\lambda(1-\alpha)} \bigl(e^{\sqrt{-\lambda/(1-\alpha)}}+1\bigr) +C_4\sqrt{\lambda (1-\alpha)}\bigl(-e^{-\sqrt{-\lambda/(1-\alpha)}}-1\bigr)=0. \end{split}
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
Из уравнения (4.14) вычтем (4.13) и прибавим (4.15). Далее из уравнения (4.14) вычтем уравнения (4.13) и (4.15). Имеем
$$
\begin{equation}
C_1\bigl(e^{\sqrt{-\lambda/(1+\alpha)}}-1\bigr) +C_2\bigl(e^{-\sqrt{-\lambda/(1+\alpha)}}-1\bigr)=0,
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
$$
\begin{equation}
C_3\bigl(e^{\sqrt{-\lambda/(1-\alpha)}}+1\bigr) +C_4\bigl(e^{-\sqrt{-\lambda/(1-\alpha)}}+1\bigr)=0.
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
Из уравнения (4.16) вычтем (4.18), умноженное на $\sqrt{\lambda(1+\alpha)}$, а затем к полученному выражению прибавим уравнение (4.19), умноженное на $\sqrt{\lambda(1-\alpha)}$. Получим
$$
\begin{equation}
C_2\sqrt{\lambda(1+\alpha)}\bigl(-e^{-\sqrt{-\lambda/(1+\alpha)}}+1\bigr) +C_3\sqrt{\lambda(1-\alpha)}\bigl(e^{\sqrt{-\lambda/(1-\alpha)}}+1\bigr)=0.
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
Для того, чтобы система (4.17)–(4.20) имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель $\Delta(\lambda)$ был равен 0, т.е.
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \Delta(\lambda) &=e^{-\sqrt{-\lambda/(1+\alpha)}}e^{-\sqrt{-\lambda/(1-\alpha)}} \bigl(e^{\sqrt{-\lambda/(1-\alpha)}}+1\bigr) \bigl(e^{\sqrt{-\lambda/(1+\alpha)}}-1\bigr) \\ \notag &\qquad\times \bigl[\sqrt{\lambda(1-\alpha)}\bigl(e^{\sqrt{-\lambda/(1-\alpha)}}+1\bigr) \bigl(e^{\sqrt{-\lambda/(1+\alpha)}}+1\bigr) \\ &\qquad\qquad\times \sqrt{\lambda (1+\alpha)}\bigl(e^{\sqrt{-\lambda/(1+\alpha)}}-1\bigr) \bigl(e^{\sqrt{-\lambda/(1-\alpha)}}-1\bigr)\bigr]=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.21}
$$
Существуют три возможности выполнения равенства (4.21):
$$
\begin{equation}
\begin{split} & \sqrt{ (1-\alpha)}\bigl(e^{\sqrt{-\lambda/(1-\alpha)}}+1\bigr) \bigl(e^{\sqrt{-\lambda/(1+\alpha)}}+1\bigr) \\ &\qquad\qquad +\sqrt{(1+\alpha)} \bigl(e^{\sqrt{-\lambda/(1+\alpha)}}-1\bigr) \bigl(e^{\sqrt{-\lambda/(1-\alpha)}}-1\bigr)=0. \end{split}
\end{equation}
\tag{4.24}
$$
Рассмотрим отдельно каждую из них. $\boldsymbol{1.}$ Пусть справедливо равенство (4.22). Из него следует, что
$$
\begin{equation}
\lambda_n=(1-\alpha)(\pi+2\pi n)^2,\qquad n\in\mathbb N\cup\{0\}.
\end{equation}
\tag{4.25}
$$
Подставляя найденные собственные значения в уравнения (4.17)–(4.20), получим Последнее уравнение в (4.26) дает нам 2 возможных варианта. 1a. Пусть Тогда $C_2=0$; следовательно, из второго уравнения системы (4.26) получим $C_1=0$. Таким образом, $C_3=-C_4$, т.е. мы получим следующее семейство решений:
$$
\begin{equation*}
v_{1n}(x)=\sin(\pi(1+2n)x),\quad v_{2n}=-\sin(\pi(1+2n)x),\qquad x\in(0,1),\quad n=0,1,2,\dots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} v_{1n}(x) &=u_n(x), &\qquad x& \in(0,1),\quad n=0,1,2,\dots, \\ v_{2n}(x) &=u_n(x+1), &\qquad x &\in(0,1), \quad n=0,1,2,\dots, \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
получим
$$
\begin{equation}
u_n(x)=\sin(\pi(1+2n)x),\qquad x\in(0,2),\quad n=0,1,2,\dots\,.
\end{equation}
\tag{4.27}
$$
Очевидно, $u_n\in C^\infty[0,2]$. 1b. Пусть теперь Это равенство в точности совпадает с равенством (4.23), которое будет рассмотрено ниже.2. Пусть справедливо равенство (4.23). В силу теоремы 3.1
$$
\begin{equation*}
\sigma(\mathscr A_R)\subset\{\lambda\in\mathbb R\colon \lambda>0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому из (4.23) следует, что
$$
\begin{equation}
\lambda_k=(1+\alpha)4\pi^2k^2,\qquad k\in\mathbb N.
\end{equation}
\tag{4.28}
$$
Вновь подставляя найденные собственные значения в условия (4.17)–(4.20), получим
$$
\begin{equation}
\begin{cases} C_1+C_2+C_3+C_4=0, \\ C_3\bigl(e^{\sqrt{-\lambda/(1-\alpha)}}+1\bigr) +C_4\bigl(e^{-\sqrt{-\lambda/(1-\alpha)}}+1\bigr)=0, \\ C_3\bigl(e^{\sqrt{-\lambda/(1-\alpha)}}+1\bigr)=0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.29}
$$
Последнее уравнение в (4.29) вновь даст нам 2 возможности. 2a. Пусть Тогда из последнего уравнения системы (4.29) получим $C_3=0$, следовательно, $C_4= 0$ и $C_1=-C_2$. Мы получим семейство решений
$$
\begin{equation*}
v_{1k}(x)=\sin(2\pi kx),\quad v_{2k}=\sin(2\pi kx),\qquad x\in(0,1),\quad k=1,2,\dots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая, что
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} v_{1k}(x) &=u_k(x), &\qquad x &\in(0,1),\quad k=1,2,\dots, \\ v_{2k}(x) &=u_k(x+1), &\qquad x &\in(0,1),\quad k=1,2,\dots, \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
мы получим
$$
\begin{equation}
u_k(x)=\sin(2\pi kx),\qquad x\in(0,2),\quad k=1,2,\dots\,.
\end{equation}
\tag{4.30}
$$
Очевидно, $u_k\in C^\infty[0,2]$. 2b. Пусть теперь т.е. выполняется равенство (4.25). Из (4.25), (4.28) следует, что при некоторых $k\in\mathbb N$ и $n\in\mathbb N\cup\{0\}$ справедливо соотношение т.е. Это противоречит предположению, что $\alpha$ – иррациональное число.3. Умножив (4.24) на выражение
$$
\begin{equation*}
\sqrt{\frac1{1-\alpha}}\exp\biggl(-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{-\lambda}{1-\alpha}}\biggr) \exp\biggl(-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{-\lambda}{1+\alpha}}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\biggl(\exp\biggl(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{-\lambda}{1-\alpha}}\biggr) +\exp\biggl(-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{-\lambda}{1-\alpha}}\biggr)\biggr) \biggl(\exp\biggl(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{-\lambda}{1+\alpha}}\biggr) +\exp\biggl(-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{-\lambda}{1+\alpha}}\biggr)\biggr) \nonumber \\ &\qquad{}+\sqrt{\frac{(1+\alpha)}{(1-\alpha)}} \biggl(\exp\biggl(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{-\lambda}{1+\alpha}}\biggr) -\exp\biggl(-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{-\lambda}{1+\alpha}}\biggr)\biggr) \nonumber \\ &\qquad\qquad\times \biggl(\exp\biggl(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{-\lambda}{1-\alpha}}\biggr) -\exp\biggl(-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{-\lambda}{1-\alpha}}\biggr)\biggr)=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.31}
$$
Поскольку $\lambda>0$, уравнение (4.31) можно переписать в виде
$$
\begin{equation}
\cos\biggl(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\lambda}{1-\alpha}}\biggr) \cos\biggl(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\lambda}{1+\alpha}}\biggr) -\sqrt{\frac{1+\alpha}{1-\alpha}} \sin\biggl(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\lambda}{1-\alpha}}\biggr) \sin\biggl(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\lambda}{1+\alpha}}\biggr)=0.
\end{equation}
\tag{4.32}
$$
Пусть
$$
\begin{equation*}
\cos\biggl(\frac12\sqrt{\frac{\lambda}{1-\alpha}}\biggr)=0;
\end{equation*}
\notag
$$
тогда из основного тригонометрического тождества следует, что
$$
\begin{equation*}
\biggl|\sin\biggl(\frac12\sqrt{\frac{\lambda}{1-\alpha}}\biggr)\biggr|=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя последнее равенство в (4.32), получим
$$
\begin{equation*}
\sin\biggl(\frac12\sqrt{\frac{\lambda}{1+\alpha}}\biggr)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Обратно, полагая
$$
\begin{equation*}
\sin\biggl(\frac12\sqrt{\frac{\lambda}{1+\alpha}}\biggr)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
придем к условию
$$
\begin{equation*}
\cos\biggl(\frac12\sqrt{\frac{\lambda}{1-\alpha}}\biggr)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Однако, как мы убедились в п. 2b, в случае если $\alpha$ – иррациональное число, то равенства
$$
\begin{equation*}
\cos\biggl(\frac12\sqrt{\frac{\lambda}{1-\alpha}}\biggr)=0\qquad\text{и}\qquad \sin\biggl(\frac12\sqrt{\frac{\lambda}{1+\alpha}}\biggr)=0
\end{equation*}
\notag
$$
не могут выполняться одновременно ни при каком $\lambda$. Таким образом, при выполнении равенства (4.32) или, что то же, равенства (4.24) получаем, что
$$
\begin{equation*}
\cos\biggl(\frac12\sqrt{\frac{\lambda}{1-\alpha}}\biggr)\ne 0, \qquad \sin\biggl(\frac12\sqrt{\frac{\lambda}{1+\alpha}}\biggr)\ne 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть теперь
$$
\begin{equation*}
\cos\biggl(\frac12\sqrt{\frac{\lambda}{1+\alpha}}\biggr)=0;
\end{equation*}
\notag
$$
тогда из основного тригонометрического тождества следует, что
$$
\begin{equation*}
\biggl|\sin\biggl(\frac12\sqrt{\frac{\lambda}{1+\alpha}}\biggr)\biggr|=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя последнее равенство в (4.32), получим
$$
\begin{equation*}
\sin\biggl(\frac12\sqrt{\frac{\lambda}{1-\alpha}}\biggr)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Обратно, полагая
$$
\begin{equation*}
\sin\biggl(\frac12\sqrt{\frac{\lambda}{1-\alpha}}\biggr)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
придем к условию
$$
\begin{equation*}
\cos\biggl(\frac12\sqrt{\frac{\lambda}{1+\alpha}}\biggr)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Решая уравнение
$$
\begin{equation*}
\cos\biggl(\frac12\sqrt{\frac{\lambda}{1+\alpha}}\biggr)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
находим, что $\lambda_n=(1+\alpha)(\pi+2\pi n)^2$, $n\in\mathbb N\cup\{0\}$. Корнями уравнения
$$
\begin{equation*}
\sin\biggl(\frac12\sqrt{\frac{\lambda}{1-\alpha}}\biggr)=0
\end{equation*}
\notag
$$
являются значения $\lambda_k=(1-\alpha)4\pi^2k^2$, $k\in\mathbb N$. Если при некоторых $n\in \mathbb{N} \cup \{0\}$ и $k\in \mathbb{N}$ имеем $\lambda_n=\lambda_k$, то $\alpha$ представимо в виде (ср. со случаем 2b). Это противоречит предположению, что $\alpha$ – иррациональное число и, следовательно, данные равенства не могут выполняться одновременно ни при каком $\lambda$. Таким образом, при выполнении равенства (4.32) или, что то же, равенства (4.24) получаем, что
$$
\begin{equation*}
\cos\biggl(\frac12\sqrt{\frac{\lambda}{1+\alpha}}\biggr)\ne 0, \qquad \sin\biggl(\frac12\sqrt{\frac{\lambda}{1-\alpha}}\biggr)\ne 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь, разделив равенство (4.32) на
$$
\begin{equation*}
\cos\biggl(\frac12\sqrt{\frac{\lambda}{1-\alpha}}\biggr) \cos\biggl(\frac12\sqrt{\frac\lambda{1+\alpha}}\biggr)\ne 0,
\end{equation*}
\notag
$$
мы можем переписать его в виде
$$
\begin{equation}
1-\sqrt{\frac{1+\alpha}{1-\alpha}} \operatorname{tg}\biggl(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\lambda}{1-\alpha}}\biggr) \operatorname{tg}\biggl(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\lambda}{1+\alpha}}\biggr)=0.
\end{equation}
\tag{4.33}
$$
Покажем, что уравнение (4.33) имеет счетное множество корней. Пусть вначале $0<\alpha<1$. Обозначим
$$
\begin{equation*}
\frac12\sqrt{\frac{\lambda}{1+\alpha}}=y\geqslant 0, \qquad \sqrt{\frac{1+\alpha}{1-\alpha}}=\beta>1.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда уравнение (4.33) можно записать в виде
$$
\begin{equation}
\operatorname{tg}(y)\operatorname{tg}(\beta y)=\frac{1}{\beta}\,.
\end{equation}
\tag{4.34}
$$
Рассмотрим функцию $f(y)=\operatorname{tg}(y)\operatorname{tg}(\beta y)$. Введем также обозначения $f_1(y)=\operatorname{tg}(y)$, $f_2(y)=\operatorname{tg}(\beta y)$. Функция $f_1(y)$ обращается в нуль в точках $y_{1k}^0=\pi k$, $k=0,1,2,\dots$, терпит разрывы в точках $y_{1k}^*=\pi/2+\pi k$, $k=0,1,2,\dots$ . Функция $f_2(y)$ обращается в нуль в точках $y_{2n}^0=\pi n/\beta$, $n=0,1,2,\dots$, терпит разрывы в точках $y_{2n}^*=\pi/(2\beta)+\pi n/\beta$, $n=0,1,2,\dots$ . Через $I_k$, $I_n$ обозначим интервалы $I_k=(y_{1k}^0,y_{1k}^*)$ и $I_n=(y_{2n}^0,y_{2n}^*)$. Покажем теперь, что
$$
\begin{equation*}
\forall\,k\geqslant 0 \quad \exists\,n>0\colon I_k\cap I_n\ne\varnothing.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, выполнение этого условия равносильно одному из следующих неравенств:
$$
\begin{equation}
\pi k <\frac{\pi}{2\beta}+\frac{\pi n}{\beta} <\frac{\pi}{2}+\pi k.
\end{equation}
\tag{4.36}
$$
Первое неравенство означает, что внутрь интервала $I_k$ попадает точка $y_{2n}^0$, а второе – что внутрь интервала $I_k$ попадает точка $y_{2n}^*$. Разделим неравенства (4.35), (4.36) на $\pi/(2\beta)$. Получим Длина промежутка в неравенствах (4.37), (4.38) составляет $\beta>1$. Тогда на интервале $(2k\beta,(1+2k)\beta)$ найдется целое число $z$ такое, что Если $z$ четное, то $n:=z/2\in\mathbb N$ и оказывается выполненным неравенство (4.37). Если же $z$ нечетное, то $n:=(z-1)/2\in\mathbb N$ и выполняется неравенство (4.38). Таким образом, мы показали, что $\forall\,k\geqslant 0$ $\exists\,n>0\colon I_k\cap I_n\ne\varnothing$. Поскольку при $\beta>1$ интервал $I_k$ оказывается длиннее интервала $I_n$, то внутри $I_k$ может оказаться либо точка $y_{2n}^0$, либо точка $y_{2n}^*$, либо обе вместе. Рассмотрим возможные случаи:
Во всех вышеперечисленных случаях функция $f(y)$ является непрерывной на интервале $I$, причем предел функции на левом конце равен $0$, а предел на правом конце равен $+\infty$. Тогда найдется точка $y'\in I$ такая, что $f(y')=1/\beta$ и уравнение (4.34) имеет на интервале $I\subset I_k$ корень. Из приведенных рассуждений вытекает, что множество корней уравнения (4.34) является счетным. При $-1<\alpha<0$ обозначим
$$
\begin{equation*}
\frac12\sqrt{\frac{\lambda}{1-\alpha}}=y\geqslant 0, \qquad \sqrt{\frac{1-\alpha}{1+\alpha}}=\beta>1.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда уравнение (4.33) примет вид
$$
\begin{equation}
\operatorname{tg}(y)\operatorname{tg}(\beta y)=\beta.
\end{equation}
\tag{4.40}
$$
Дальнейшие рассуждения полностью аналогичны случаю $0<\alpha<1$ и показывают, что множество корней уравнения (4.40) также является счетным. В конце концов, приходим к выводу, что уравнение (4.33) имеет счетное множество корней. Добавим теперь к условиям (4.5)–(4.8) условие сохранения гладкости решения в точке $1$, которая является внутренней точкой интервала $(0,2)$. Оно имеет вид Подставляя общее решение задачи в виде (4.11), (4.12) в краевые условия (4.5)–(4.8), (4.41), получим систему линейных алгебраических уравнений
$$
\begin{equation}
C_1e^{\sqrt{-\lambda/(1+\alpha)}}+C_2e^{-\sqrt{-\lambda/(1+\alpha)}} -C_3e^{\sqrt{-\lambda/(1-\alpha)}}-C_4e^{-\sqrt{-\lambda/(1-\alpha)}}=0,
\end{equation}
\tag{4.43}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{split} &C_1\bigl(e^{\sqrt{-\lambda/(1+\alpha)}}-1\bigr) +C_2\bigl(e^{-\sqrt{-\lambda/(1+\alpha)}}-1\bigr) \\ &\qquad\qquad +C_3\bigl(e^{\sqrt{-\lambda/(1-\alpha)}}+1\bigr) +C_4\bigl(e^{-\sqrt{-\lambda/(1-\alpha)}}+1\bigr)=0, \end{split}
\end{equation}
\tag{4.44}
$$
$$
\begin{equation}
C_1\sqrt{\lambda(1+\alpha)}\bigl(e^{\sqrt{-\lambda/(1+\alpha)}}-1\bigr) +C_2\sqrt{\lambda(1+\alpha)}\bigl(-e^{-\sqrt{-\lambda/(1+\alpha)}}+1\bigr) \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad+C_3\sqrt{\lambda(1-\alpha)} \bigl(e^{\sqrt{-\lambda/(1-\alpha)}}+1\bigr) +C_4\sqrt{\lambda (1-\alpha)}\bigl(-e^{-\sqrt{-\lambda/(1-\alpha)}}-1\bigr)=0,
\end{equation}
\tag{4.45}
$$
$$
\begin{equation}
C_1\sqrt{\frac{\lambda}{1+\alpha}}\bigl(e^{\sqrt{-\lambda/(1+\alpha)}}-1\bigr) +C_2\sqrt{\frac{\lambda}{1+\alpha}}\bigl(-e^{-\sqrt{-\lambda/(1+\alpha)}}+1\bigr) \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad+C_3\sqrt{\frac{\lambda}{ 1-\alpha}} \bigl(e^{\sqrt{-\lambda/(1-\alpha)}}+1\bigr) +C_4\sqrt{\frac{\lambda}{1-\alpha}}\bigl(-e^{-\sqrt{-\lambda/(1-\alpha)}}-1\bigr)=0.
\end{equation}
\tag{4.46}
$$
Проверим теперь выполнение условий теоремы 3.3. Для этого рассмотрим определитель $\Delta_1(\lambda)$ системы, образованной равенствами (4.42)–(4.44), (4.46) и покажем, что если $\lambda$ является корнем уравнения (4.24), то $\Delta_1(\lambda)\ne 0$ и ранг системы (4.42)–(4.46) равен 4. Пусть выполнено равенство (4.24). Положим также, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Delta_1(\lambda) &=e^{-\sqrt{-\lambda/(1+\alpha)}}e^{-\sqrt{-\lambda/(1-\alpha)}} \bigl(e^{\sqrt{-\lambda/(1-\alpha)}}+1\bigr)\bigl(e^{\sqrt{-\lambda/(1+\alpha)}}-1\bigr) \nonumber \\ &\qquad{}\times \biggl(\sqrt{\frac{\lambda}{1-\alpha}}\bigl(e^{\sqrt{-\lambda/(1-\alpha)}}+1\bigr) \bigl(e^{\sqrt{-\lambda/(1+\alpha)}}+1\bigr) \nonumber \\ &\qquad\qquad +\sqrt{\frac{\lambda} {1+\alpha}}\bigl(e^{\sqrt{-\lambda/(1+\alpha)}}-1\bigr) \bigl(e^{\sqrt{-\lambda/(1-\alpha)}}-1\bigr)\biggr)=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.47}
$$
Разделив равенство (4.21) на $\sqrt{\lambda(1-\alpha)}$, а равенство (4.47) – на $-\sqrt{\lambda/(1-\alpha)}$, сложим получившиеся выражения. Тогда будем иметь
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &e^{-\sqrt{-\lambda/(1+\alpha)}} e^{-\sqrt{-\lambda/(1-\alpha)}} \bigl(e^{\sqrt{-\lambda/(1-\alpha)}}+1\bigr) \bigl(e^{\sqrt{-\lambda/(1+\alpha)}}-1\bigr) \biggl(\sqrt{\frac{1+\alpha}{1-\alpha}} -\sqrt{\frac{1-\alpha}{1+\alpha}}\biggr) \nonumber \\ &\qquad{}\times\bigl(e^{\sqrt{-\lambda/(1+\alpha)}}-1\bigr) \bigl(e^{\sqrt{-\lambda/(1-\alpha)}}-1\bigr)=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.48}
$$
Последнее выражение можно переписать в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\biggl(\exp\biggl(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{-\lambda}{1-\alpha}}\biggr) +\exp\biggl(-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{-\lambda}{1-\alpha}}\biggr)\biggr) \biggl(\exp\biggl(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{-\lambda}{1+\alpha}}\biggr) -\exp\biggl(-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{-\lambda}{1+\alpha}}\biggr)\biggr) \nonumber \\ &\qquad{}\times \biggl(\sqrt{\frac{1+\alpha}{1-\alpha}} -\sqrt{\frac{1-\alpha}{1+\alpha}}\biggr) \biggl(\exp\biggl(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{-\lambda}{1+\alpha}}\biggr) -\exp\biggl(-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{-\lambda}{1+\alpha}}\biggr)\biggr) \nonumber \\ &\qquad{}\times\biggl(\exp\biggl(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{-\lambda}{1-\alpha}}\biggr) -\exp\biggl(-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{-\lambda}{1-\alpha}}\biggr)\biggr)=0 \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.49}
$$
или
$$
\begin{equation}
\cos\biggl(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\lambda}{1-\alpha}}\biggr) \sin^2\biggl(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\lambda}{1+\alpha}}\biggr) \sin\biggl(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\lambda}{1-\alpha}}\biggr) \biggl(\sqrt{\frac{1+\alpha}{1-\alpha}} -\sqrt{\frac{1-\alpha}{1+\alpha}}\biggr)=0.
\end{equation}
\tag{4.50}
$$
Ранее было показано (см. случай 3), что если выполнено равенство (4.24), то
$$
\begin{equation*}
\cos\biggl(\frac12\sqrt{\frac{\lambda}{1-\alpha}}\biggr)\ne 0, \qquad \sin\biggl(\frac12\sqrt{\frac{\lambda}{1+\alpha}}\biggr)\ne 0, \qquad \sin\biggl(\frac12\sqrt{\frac{\lambda}{1-\alpha}}\biggr)\ne 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим выражение
$$
\begin{equation}
\sqrt{\frac{1+\alpha}{1-\alpha}}-\sqrt{\frac{1-\alpha}{1+\alpha}}=0.
\end{equation}
\tag{4.51}
$$
Обозначим $\beta=\sqrt{(1+\alpha)/(1-\alpha)}$. Тогда (4.51) можно записать в виде Решениями уравнения (4.52) являются значения $\beta=\pm 1$. В силу неотрицательности значения квадратного корня, получим, что откуда следует, что $\alpha=0$. Последнее равенство означает, что оператор $\mathscr A_R$ становится обыкновенным дифференциальным оператором. В этом случае все собственные значения $\lambda$, являющиеся корнями уравнения (4.24), отвечают обобщенным собственным функциям, гладкость которых сохраняется.В случае же $\alpha\ne 0$ равенство (4.50) перестает быть верным. Приходим к противоречию. Следовательно, $\Delta_1(\lambda)\ne 0$ и ранг системы (4.42)–(4.46) равен 4. Тогда из теоремы 3.3 вытекает, что собственные значения $\lambda$ оператора $\mathscr A_R$, являющиеся корнями уравнения (4.24), отвечают обобщенным собственным функциям $u(x)\in\mathring W_2^1(0,2)\setminus W_2^2(0,2)$. Таким образом, мы показали, что дифференциально-разностный оператор $\mathscr A_R$, порожденный разностным оператором $R$, заданным по формуле (4.1), имеет счетное множество обобщенных собственных функций, гладкость которых нарушается внутри интервала и счетное множество обобщенных собственных функций, гладкость которых сохраняется. Авторы благодарят Л. Е. Россовского за ряд советов, способствовавших улучшению работы. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{VorSku23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|