| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Об операторных оценках усреднения для эллиптических систем высокого порядка С. Е. Пастухова МИРЭА — Российский технологический университет, г. Москва
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623090055 
Реферативные базы данных:
  1. Введение1.1.Рассмотрим операторы $L_\varepsilon$ четного порядка $2m\geqslant 4$ с $\varepsilon$-периодическими коэффициентами при малых $\varepsilon>0$, действующие формально на функции $u\colon\mathbb R^d\to\mathbb C^n$ ($d\geqslant 2$) как
$$
\begin{equation}
(L_\varepsilon u)_j=(-1)^m\sum_{k=1}^n \sum_{|\alpha|=|\beta|=m}D^\alpha\biggl(A^{jk}_{\alpha\beta} \biggl(\frac{x}{\varepsilon}\biggr)D^\beta u_k\biggr),\qquad j=1,\dots,n.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Здесь $\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_d)$ – мультииндекс длины $|\alpha|=\alpha_1+\dotsb+\alpha_d$ с компонентами $\alpha_j\in\mathbb Z_{\geqslant 0}$; $D^\alpha=D_1^{\alpha_1}\dotsb D_d^{\alpha_d}$, $D_j=\partial/\partial x_j$, $j=1,\dots,d$; коэффициенты $\mathbf A=\{A^{jk}_{\alpha\beta}(y)\}$ для целых индексов $1\leqslant j\leqslant n$, $1\leqslant k\leqslant n$ и мультииндексов $\alpha$, $\beta$, $|\alpha|=|\beta|=m$, суть измеримые $1$-периодические функции с комплексными значениями. Введем $(n\times n)$-матрицы $A_{\alpha\beta}=\{A^{jk}_{\alpha\beta}\}_{j,k=1}^n$ для фиксированных $\alpha$ и $\beta$. Тогда (1.1) можно записать короче:
$$
\begin{equation}
L_\varepsilon u=(-1)^m\sum_{|\alpha|=|\beta|=m} D^\alpha\biggl(A_{\alpha\beta} \biggl(\frac{x}{\varepsilon}\biggr)D^\beta u\biggr).
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Предполагаем, что коэффициенты в (1.1) удовлетворяют оценке
$$
\begin{equation}
\|\mathbf A\|_{L^\infty(\mathbb R^d)}\leqslant\lambda_1
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
и строгому неравенству Гординга
$$
\begin{equation}
\operatorname{Re}\sum_{|\alpha|=|\beta|=m} (D^\alpha\varphi,A_{\alpha\beta}D^\beta\varphi) \geqslant\lambda_0\sum_{|\alpha|=m}\|D^\alpha\varphi\|^2\qquad \forall\,\varphi\in C_0^\infty(\mathbb R^d;\mathbb C^n)
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
для некоторых положительных констант $\lambda_1$ и $\lambda_0$. Здесь и далее используем упрощенное обозначение для скалярного произведения и нормы в пространстве $L^2(\mathbb R^d;\mathbb C^n)$, а именно,
$$
\begin{equation*}
(F,G)=(F,G)_{L^2(\mathbb R^d;\mathbb C^n)} =\sum_{j=1}^n\int_{\mathbb R^d}\overline{F_j}G_j\,dx,\qquad \|F\|=\|F\|_{L^2(\mathbb R^d;\mathbb C^n)}=(F,F)^{1/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из (1.4) гомотетией получаем аналогичное неравенство для $\varepsilon$-периодических коэффициентов $\mathbf A^\varepsilon$ при всех $\varepsilon\in(0,1)$, т.е.
$$
\begin{equation}
\operatorname{Re}\sum_{|\alpha|=|\beta|=m} (D^\alpha\varphi,A^\varepsilon_{\alpha\beta}D^\beta\varphi) \geqslant\lambda_0\sum_{|\alpha|=m}\|D^{\alpha}\varphi\|^2\qquad \forall\,\varphi\in C_0^\infty(\mathbb R^d;\mathbb C^n).
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
Здесь и далее используем обозначение $b^\varepsilon$ или $(b)^\varepsilon$ для $\varepsilon$-периодических функций переменной $x$, полученных из $1$-периодической функции $b(y)$ подстановкой $y=x/\varepsilon$, т.е.
$$
\begin{equation*}
b^\varepsilon(x)=b\biggl(\frac{x}{\varepsilon}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Например, $\mathbf A^\varepsilon(x)=\mathbf A(x/\varepsilon)$, $(N^k_\alpha)^\varepsilon(x)=N^k_\alpha(x/\varepsilon)$, $(D^\beta G_{\gamma\alpha})^\varepsilon(x) =(D^\beta G_{\gamma\alpha}(y))|_{y=x/\varepsilon}$ и т.д. 1.2.Рассмотрим уравнение
$$
\begin{equation}
L_\varepsilon u^\varepsilon+u^\varepsilon=f,\qquad u^\varepsilon\in H^m(\mathbb R^d),
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
с правой частью $f\in L^2(\mathbb R^d)=L^2(\mathbb R^d;\mathbb C^n)$, где $H^m(\mathbb R^d)=H^m(\mathbb R^d;\mathbb C^n)$ – пространство Соболева порядка $m$. Известно, что в $H^m(\mathbb R^d)$ плотно множество $C_0^\infty(\mathbb R^d)$ гладких финитных вектор-функций, а норму можно ввести равенством
$$
\begin{equation*}
\|u\|^2_{H^m(\mathbb R^d)}=\sum_{|\alpha|=m}\|D^\alpha u\|^2+\|u\|^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Решение уравнения (1.6) понимаем в смысле распределений на $\mathbb R^d$, т.е. в смысле интегрального тождества
$$
\begin{equation*}
\sum_{|\alpha|=|\beta|=m} (D^\alpha\varphi,A^\varepsilon_{\alpha\beta}D^\beta u^\varepsilon) +(\varphi,u^\varepsilon)=(\varphi,f),\qquad \varphi\in C^\infty_0(\mathbb R^d),
\end{equation*}
\notag
$$
которое по замыканию распространяется на пробные функции из $H^m(\mathbb R^d)$. В частности, полагая здесь $\varphi=u^\varepsilon$, выводим, в силу (1.5), равномерную по $\varepsilon$ оценку
$$
\begin{equation*}
\|u^\varepsilon\|_{H^m(\mathbb R^d)}\leqslant c\|f\|_{L^2(\mathbb R^d)},
\end{equation*}
\notag
$$
которая означает равномерную ограниченность резольвенты оператора $L_\varepsilon$ в энергетической операторной норме:
$$
\begin{equation*}
\|(L_\varepsilon+I)^{-1}\|_{L^2(\mathbb R^d)\to H^m(\mathbb R^d)}\leqslant c.
\end{equation*}
\notag
$$
Хорошо известно [1], [2], что оператору (1.1) соответствует усредненный оператор $\widehat L$ того же класса (1.3) и (1.4), но существенно более простой с постоянными коэффициентами,
$$
\begin{equation}
\hat L=(-1)^m \sum_{|\alpha|=|\beta|=m}D^\alpha\widehat A_{\alpha\beta}D^\beta,
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
где $(n\times n)$-матрицы коэффициентов $\widehat A_{\alpha\beta}$ находятся с помощью вспомогательных задач на ячейке периодичности (см. (2.2) и (2.4)). Усредненным будет уравнение Согласно [1], [2], решения задач (1.6) и (1.8), связаны сходимостью
$$
\begin{equation*}
\lim_{\varepsilon\to 0}\|u^\varepsilon-u\|_{L^2(\mathbb R^d)}=0
\end{equation*}
\notag
$$
для любой правой части $f\in L^2(\mathbb R^d)$, что означает сильную резольвентную сходимость оператора $L_\varepsilon$ к $\widehat L$ в $L^2(\mathbb R^d)$. Не так давно [3] была доказана равномерная резольвентная сходимость оператора $L_\varepsilon$ к $\widehat L$ в $L^2(\mathbb R^d)$ с оценкой скорости сходимости, а именно,
$$
\begin{equation}
\|(L_\varepsilon+I)^{-1}-(\widehat L+I)^{-1}\|_{L^2(\mathbb R^d)\to L^2(\mathbb R^d)} \leqslant C\varepsilon,
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
где постоянная $C$ зависит от размерности $d$ и констант $\lambda_0$, $\lambda_1$ из (1.3) и (1.4). На самом деле, в [3] была получена оценка в более сильной операторной норме
$$
\begin{equation}
\|(L_\varepsilon+I)^{-1}-(\widehat L+I)^{-1} -\varepsilon^m\mathscr K_\varepsilon\|_{L^2(\mathbb R^d)\to H^m(\mathbb R^d)} \leqslant C\varepsilon,\qquad C=\mathrm{const}(d,\lambda_0,\lambda_1).
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
Здесь по сравнению с (1.9) аппроксимация резольвенты оператора $L_\varepsilon$ содержит дополнительное слагаемое – корректор $\varepsilon^m\mathscr K_\varepsilon$, который определен соотношениями
$$
\begin{equation}
\mathscr K_\varepsilon f(x)=\sum_{k=1}^n\sum_{|\gamma|=m} N^k_\gamma\biggl(\frac{x}{\varepsilon}\biggr) S^\varepsilon D^\gamma u_k(x),\qquad u(x)=(\widehat L+I)^{-1}f(x),
\end{equation}
\tag{1.11}
$$
где $1$-периодические вектор-функции $N^k_\gamma(y)$ с индексами $k$, $1\leqslant k\leqslant n$, и мультииндексами $\gamma$, $|\gamma|=m$, являются решениями упомянутых уже задач на ячейке (2.2), через которые опеределяется коэффициенты оператора $\widehat L$; $S^\varepsilon$ – оператор сглаживания по Стеклову, определенный равенством
$$
\begin{equation}
(S^\varepsilon\varphi)(x)=\int_{[-1/2,1/2)^d}\varphi(x-\varepsilon\omega)\,d\omega
\end{equation}
\tag{1.12}
$$
для любой $\varphi\in L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb R^d)$. Заметим, что выполнены оценки
$$
\begin{equation}
\|\varepsilon^m\mathscr K_\varepsilon\|_{L^2(\mathbb R^d)\to H^m(\mathbb R^d)}\leqslant c,\qquad \|\mathscr K_\varepsilon\|_{L^2(\mathbb R^d)\to L^2(\mathbb R^d)}\leqslant c.
\end{equation}
\tag{1.13}
$$
Таким образом, в силу (1.13)$_2$ оценка (1.9) следует из (1.10) простым огрублением. В самосопряженном случае оценки типа (1.9) и (1.10) были доказаны в [4]–[6]. 1.3.Оценки (1.9), (1.10) демонстрируют аппроксимации резольвенты $(L_\varepsilon+I)^{-1}$ в указанных операторных нормах с погрешностью порядка $\varepsilon$. Наша цель – найти аппроксимацию резольвенты $(L_\varepsilon+I)^{-1}$ с погрешностью $\varepsilon^2$ в $(L^2(\mathbb R^d)\to L^2(\mathbb R^d))$-норме. Это будет сумма резольвенты $(\widehat L+I)^{-1}$ и некоторого корректора $\varepsilon\mathscr K_1$, так что
$$
\begin{equation}
(L_\varepsilon+I)^{-1}=(\widehat L+I)^{-1}+\varepsilon\mathscr K_1+O(\varepsilon^2)
\end{equation}
\tag{1.14}
$$
в указанной норме. Точно результат сформулирован в теореме 5.1 и доказан в п. 5. Для получения асимптотики (1.14) существенно опираемся на оценку (1.10) и используем оператор $\mathscr K_\varepsilon$ из (1.11). В п. 4 воспроизводится доказательство оценки (1.10) для матричных операторов, поскольку многие его моменты задействованы при выводе (1.14). Как видно из (1.11), для регуляризации корректоров применено сглаживание по Стеклову, его свойства играют ключевую роль в нашем методе. Свойствам сглаживания посвящен п. 3. В п. 2 вводятся необходимые задачи на ячейке периодичности. Для скалярных операторов (когда $n=1$ и в (1.2) имеем числовые, а не матричные коэффициенты $A_{\alpha\beta}$) асимптотика (1.14) в операторной $L^2$-норме получена в [7] и [8] немного разными методами (но оба основаны на идеях из [9] и [10] и являются модицикациями так называемого метода сдвига). Там же показано, что в “скалярном симметричном вещественном” случае (когда числовые коэффициенты $A_{\alpha\beta}(y)$ вещественны и симметричны, т.е. $A_{\alpha\beta}=A_{\beta\alpha}$ для всех мультииндексов $\alpha$ и $\beta$) для корректора из (1.14) имеем равенство $\mathscr K_1=0$. Как следствие, в этом случае мажоранта в (1.9) уточняется и становится порядка $\varepsilon^2$. Отдельно для операторов четвертого порядка обоснование подобных асимптотик проделано в [11] и [12] с использованием особого формализма, связанного с представлением второго градиента скалярной функции в виде квадратной $(d\times d)$-матрицы, что делает анализ более обозримым и прозрачным. В настоящей работе результаты из [7] и [8] переносятся на случай матричных операторов с комплексными коэффициентами, что требует некоторых технических новшеств и привязок. Традиция искать улучшенные приближения резольвенты по операторной $L^2$-норме с учетом корректоров была начата в работе [13], где изучались самосопряженные периодические матричные операторы второго порядка с помощью теоретико-операторного (спектрального) подхода, разработанного в [14]. Некоторое обсуждение и сравнение разных методов получения операторных оценок усреднения, в том числе улучшенных с учетом корректоров в операторной $L^2$-норме, дано в конце п. 5. 1.4.В последующем часто применяем формулу дифференцирования произведения
$$
\begin{equation}
D^\alpha(wv)= \sum_{\gamma\leqslant\alpha}c_{\alpha,\gamma}D^\gamma wD^{\alpha-\gamma}v= (D^\alpha w)v+\sum_{\gamma<\alpha}c_{\alpha,\gamma} D^\gamma wD^{\alpha-\gamma}v
\end{equation}
\tag{1.15}
$$
с константами $c_{\alpha,\gamma}$. Каждая из констант $c_{\alpha,\gamma}$ равна числу сочетаний из $\alpha$ по $\gamma$, т.е., используя стандартные обозначения, имеем $c_{\alpha,\gamma}:=C_\alpha^\gamma=C_{\alpha_1}^{\gamma_1}\dotsb C_{\alpha_d}^{\gamma_d}$. В частности, $c_{\alpha, \alpha}=1$. Суммирование в (1.15) ведется по всем мультииндексам $\gamma$ таким, что $\gamma\leqslant\alpha$ или $\gamma<\alpha$. По соглашению считаем $\gamma\leqslant\alpha$, если $\gamma_i\leqslant\alpha_i$ для всех $1\leqslant i\leqslant d$; более того, уточняем: $\gamma<\alpha$, если среди указанных неравенств для компонент мультииндексов имеем строгое неравенство $\gamma_i<\alpha_i$, по крайней мере, для одного индекса $i$.
2. Задачи на ячейкеВ этом разделе вводятся вспомогательные периодические задачи на единичном кубе $Y=[-1/2,1/2)^d$. Скалярное произведение и норму в пространстве $L^2(Y)$ обозначаем через $(\,\cdot\,,\,\cdot\,)_Y$ и $ \|\cdot\|_Y$, не различая в обозначениях случаи скалярных и векторных функций. 2.1.На множестве гладких $1$-периодических вектор-функций $u\in C_{\mathrm{per}}^\infty(Y,\mathbb C^n)$ с нулевым средним введем норму $\|\nabla^m u\|_Y^{1/2}$, где градиент $m$-го порядка $\nabla^mu$ представляет собой массив всех производных $\{D^\alpha u_j\}$ таких, что $1\leqslant j\leqslant d$ и $|\alpha|=m$. Пусть $\mathscr W$ есть пополнение этого множества по указанной норме. Известно (см. лемму 3.1 в [3]), что неравенство (1.4) на гладких финитных функциях влечет аналогичное неравенство на гладких $1$-периодических функциях
$$
\begin{equation}
\operatorname{Re}(\nabla^m\varphi,\mathbf A\nabla^m\varphi)_Y \geqslant\lambda_0\|\nabla^m\varphi\|^2_Y\qquad \forall\,\varphi\in C_{\mathrm{per}}^\infty(Y,\mathbb C^n),
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
которое может быть продолжено по замыканию на все функции $\varphi\in\mathscr W$. Здесь $\mathbf A\nabla^m\varphi$ есть массив $\{\sum_{k,\beta}A^{jk}_{\alpha\beta}D^\beta u_k\}_{j,\alpha}$, где ведется суммирование по всем $1\leqslant k\leqslant n$ и всем $\beta$ длины $|\beta|=m$. Благодаря (2.1), оператор
$$
\begin{equation*}
L=(-1)^m\sum_{|\alpha|=|\beta|=m}D^\alpha(A_{\alpha\beta}(y)D^\beta),
\end{equation*}
\notag
$$
действующий из $\mathscr W$ в сопряженное пространство $\mathscr W'$, коэрцитивен. Введем $n$-мерные векторы $e^k=\{\delta_{jk}\}_j$, $1\leqslant k\leqslant n$, где $\delta_{jk}$ – символ Кронекера, и рассмотрим задачи
$$
\begin{equation}
N^k_\gamma\in\mathscr W,\qquad \sum_{|\alpha|=|\beta|=m}D^\alpha \bigl(A_{\alpha\beta}(y)D^\beta N^k_\gamma(y)\bigr) =-\sum_{|\alpha|=m}D^\alpha(A_{\alpha\gamma}(y)e^k),
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
для произвольных мультииндекса $\gamma$ длины $|\gamma|=m$ и целого индекса $k$, $1\leqslant k\leqslant n$. Уравнение (2.2) коротко записывается как $LN^k_\gamma=F^k_\gamma$, где $F^k_\gamma$ есть некоторый функционал на $\mathscr W$. По теореме Лакса–Мильграма утверждаем существование единственного решения задачи (2.2), при этом для него выполнена оценка
$$
\begin{equation}
\|N^k_\gamma\|_{\mathscr W}\leqslant c,\qquad c=\mathrm{const}(\lambda_0,\lambda_1).
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Решение задач типа (2.2) можно понимать в смысле интегрального тождества на гладких $1$-периодических функциях или в смысле распределений на $\mathbb R^d$. Такая двойная точка зрения распространяется и на другие соотношения для периодических функций (см., например, (2.9)$_2$, (2.10)$_2$, (2.11)$_2$, (2.16)). Определим матрицу коэффициентов $\widehat A_{\alpha\beta}$ для любых фиксированных $\alpha$ и $\beta$, $|\alpha|=|\beta|=m$, усредненного оператора $\widehat L$ из (1.7) следующими соотношениями:
$$
\begin{equation}
\widehat A_{\alpha\beta}e^k= \biggl\langle A_{\alpha\beta}(\,\cdot\,)e^k+\sum_{|\gamma|=m} A_{\alpha\gamma}(\,\cdot\,)D^\gamma N^k_\beta(\,\cdot\,)\biggr\rangle,\qquad 1\leqslant k\leqslant n,
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
что, полагая
$$
\begin{equation}
e_{\alpha\beta}=\begin{cases} 1, &\text{если }\alpha=\beta, \\ 0, &\text{если }\alpha\ne\beta, \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
можно записать по-другому:
$$
\begin{equation}
\widehat A_{\alpha\beta}e^k= \biggl\langle\sum_{|\gamma|=m}A_{\alpha\gamma}(\,\cdot\,) \bigl(e_{\gamma\beta}e^k+D^\gamma N^k_\beta(\,\cdot\,)\bigr)\biggr\rangle,\qquad 1\leqslant k\leqslant n.
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Усредненные коэффициенты $\widehat{\mathbf A}=\{\widehat A^{jk}_{\alpha\beta}\}$, $1\leqslant j\leqslant n$, $1\leqslant k\leqslant n$ и $|\alpha|=|\beta|=m$, наследуют свойства (1.3) и (1.4) (см. лемму 3.2 в [3]), что гарантирует разрешимость задачи (1.8), при этом с эллиптической оценкой для решения
$$
\begin{equation}
\|u\|_{H^{2m}(\mathbb R^d)}\leqslant C\|f\|_{L^2(\mathbb R^d)}.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Полагая
$$
\begin{equation}
g^k_{\alpha\beta}(y)=\sum_{|\gamma|=m} A_{\alpha\gamma}(y)\bigl(e_{\gamma\beta}e^k+D^{\gamma}N^k_\beta(y)\bigr) -\widehat A_{\alpha\beta}e^k
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
для всех допустимых $\alpha$, $\beta$ и $k$, имеем соотношения
$$
\begin{equation}
\langle g^k_{\alpha\beta}\rangle=0\quad \forall\,\alpha,\beta,k\qquad \text{и}\qquad \sum_{|\alpha|=m}D^\alpha g^k_{\alpha\beta}=0\quad \forall\,\beta,k.
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
2.2.В [3] (см. также [5]) доказана Лемма 2.1. Пусть $\{g_\alpha\}_{|\alpha|=m}\in L_{\mathrm{per}}^2(Y)^{\overline m}$ ($\overline m$ – число всех мультииндексов длины $m$), Рассмотрим для любых фиксированных допустимых $\beta$ и $k$ зависящее от мультииндекса $\alpha$ семейство $n$-мерных векторов $\{g^k_{\alpha\beta}\}_{|\alpha|=m}$, определенных в (2.8), где $g^k_{\alpha\beta}=\{g^{kj}_{\alpha\beta}\}_{j=1}^n$. По каждой компоненте $j$ семейство $\{g^{kj}_{\alpha\beta}\}_{|\alpha|=m}$ удовлетворяет условиям леммы 2.1, в силу (2.9). Следовательно, найдется массив $n$-мерных векторов $\{G^k_{\gamma\alpha\beta}\}_{\gamma,\alpha}$, $|\alpha|=|\gamma|=m$, такой, что выполнены равенства вида (2.11):
$$
\begin{equation}
G^k_{\alpha\gamma\beta}=-G^k_{\gamma\alpha\beta}\quad \forall\,\alpha,\gamma\qquad \text{и}\qquad g^k_{\alpha\beta}=\sum_{|\gamma|=m}D^\gamma G^k_{\gamma\alpha\beta}\quad \forall\,\alpha;
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
кроме того, для $G^k_{\gamma\alpha\beta}$ имеет место $H^m$-оценка типа (2.12). Следствием леммы 2.1 является Лемма 2.2. Рассмотрим вектор $\{g_\alpha(y)\}$ и матрицу $\{G_{\gamma\alpha}(y)\}$ из леммы 2.1. Тогда Доказательство. По условию
$$
\begin{equation*}
g_\alpha(y)=\sum_{|\gamma|=m}D^\gamma G_{\gamma\alpha}(y),\qquad g_\alpha\biggl(\frac{x}{\varepsilon}\biggr)\Phi(x)= \sum_{|\gamma|=m}D^\gamma\biggl(\varepsilon^mG_{\gamma\alpha} \biggl(\frac{x}{\varepsilon}\biggr)\biggr)\Phi(x),
\end{equation*}
\notag
$$
откуда (2.14) следует по формуле (1.15). Свойство (2.16) подразумевает тождество
$$
\begin{equation*}
\biggl(\varphi,\sum_{|\alpha|=m}D^\alpha M_\alpha\biggr)=0\qquad \forall\,\varphi\in c^\infty_0(\mathbb R^d),
\end{equation*}
\notag
$$
которое справедливо, так как
$$
\begin{equation*}
\biggl(\varphi,\sum_{|\alpha|=m}D^\alpha M_\alpha\biggr)\overset{(2.15)}= \sum_{|\gamma|=|\alpha|=m}(\varphi,D^\alpha D^\gamma (G^\varepsilon_{\gamma\alpha}\Phi)) =\sum_{|\gamma|=|\alpha|=m} (D^\gamma D^\alpha\varphi,G^\varepsilon_{\gamma\alpha}\Phi),
\end{equation*}
\notag
$$
где последняя сумма равна нулю ввиду кососимметричности $G_{\gamma\alpha}$ (см. (2.11)$_1$). 3. Свойства сглаживанияОценки усреднения будем доказывать методом, идущим от [9] и [10] (см. также обзор [15]), согласно которому трудности, связанные с минимальной регулярностью данных задачи, преодолеваются с помощью $\varepsilon$-сглаживающих операторов, в числе которых оператор сглаживания по Стеклову $S^\varepsilon$ (см. определение в (1.12)). Хорошо известны его свойства:
$$
\begin{equation}
\|S^\varepsilon\varphi\|\leqslant\|\varphi\|\qquad \forall\,\varphi\in L^2(\mathbb R^d),
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
$$
\begin{equation}
\|S^\varepsilon\varphi-\varphi\| \leqslant\biggl(\frac{\sqrt{d}}{2}\biggr)\varepsilon\|\nabla\varphi\|\qquad \forall\,\varphi\in H^1(\mathbb R^d),
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
$$
\begin{equation}
S^\varepsilon(D^\alpha\varphi)=D^\alpha(S^\varepsilon\varphi). \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
Здесь и далее $\|\cdot\|=\|\cdot\|_{L^2(\mathbb R^d)}$ и $(\,\cdot\,,\,\cdot\,)=(\,\cdot\,,\,\cdot\,)_{L^2(\mathbb R^d)}$. Ключевую роль играют доказанные в [10] леммы о взаимодействии оператора $S^\varepsilon$ и $\varepsilon$-периодического мультипликатора. Лемма 3.1. Если $\varphi\in L^2(\mathbb R^d)$, $b\in L^2_{\mathrm{per}}(Y)$ и $b^\varepsilon(x)=b(x/\varepsilon)$, то $b^\varepsilon S^\varepsilon\varphi\in L^2(\mathbb R^d)$ и Лемма 3.2. Если $b\in L^2_{\mathrm{per}}(Y)$, $\langle b\rangle=0$, $b^\varepsilon(x)=b(x/\varepsilon)$, $\varphi\in L^2(\mathbb R^d)$ и $\psi\in H^1(\mathbb R^d)$, то Приведенные выше оценки уточняются в условиях большей регулярности. Например, наряду с (3.2) имеем
$$
\begin{equation}
\|S^\varepsilon\varphi-\varphi\| \leqslant C\varepsilon^2\|\nabla^2\varphi\|\quad \forall\,\varphi\in H^2(\mathbb R^d),\qquad C=\mathrm{const}(d),
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
откуда по двойственности получаем
$$
\begin{equation*}
\|S^\varepsilon\varphi-\varphi\|_{H^{-2}(\mathbb R^d)} \leqslant C\varepsilon^2\|\varphi\|_{L^2(\mathbb R^d)}\quad \forall\,\varphi\in L^2(\mathbb R^d),\qquad C=\mathrm{const}(d),
\end{equation*}
\notag
$$
и, значит, при $m\geqslant 2$
$$
\begin{equation}
\|S^\varepsilon\varphi-\varphi\|_{H^{-m}(\mathbb R^d)} \leqslant C\varepsilon^2\|\varphi\|_{L^2(\mathbb R^d)}\quad \forall\,\varphi\in L^2(\mathbb R^d),\qquad C=\mathrm{const}(d).
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Малость $L^2$-формы в (3.6) уточняется в следующей ситуации. Лемма 3.3. Если $b\in L^2_{\mathrm{per}}(Y)$, $\langle b\rangle=0$, $b^\varepsilon(x)=b(x/\varepsilon)$ и $\varphi,\psi\in H^1(\mathbb R^d)$, то Леммы 3.2 и 3.3 имеют обобщение в плане осциллирующего множителя. Лемма 3.4. Если $a,b\in L^2_{\mathrm{per}}(Y)$, $(a,b)_Y=0$, $a^\varepsilon(x)=a(x/\varepsilon)$, $b^\varepsilon(x)=b(x/\varepsilon)$ и $\varphi,\psi\in H^1(\mathbb R^d)$, то Лемма 3.5. Если $a,b\in L^2_{\mathrm{per}}(Y)$, $a^\varepsilon(x)=a(x/\varepsilon)$, $b^\varepsilon(x)=b(x/\varepsilon)$, $\varphi\in L^2(\mathbb R^d)$ и $\psi\in H^1(\mathbb R^d)$, то В предыдущих леммах $(a,b)_Y$ обозначает скалярное произведение в $L^2_{\mathrm{per}}(Y)$; кроме того, $a$ и $b$ могут быть вектор-функциями. Свойства (3.5)–(3.9) доказаны, например, в [16]–[18]. 4. Анализ невязки приближения4.1.В качестве аппроксимации к решению $u^\varepsilon$ уравнения (1.6) рассмотрим функцию
$$
\begin{equation}
\widetilde u^\varepsilon(x)=u(x)+\varepsilon^m \sum_{k=1}^n \sum_{|\gamma|=m}N^k_\gamma\biggl(\frac{x}{\varepsilon}\biggr)D^\gamma u_k(x),
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
составленную из решений задач (1.8) и (2.2), и попытаемся доказать, что
$$
\begin{equation}
\|u^\varepsilon-\widetilde u^\varepsilon\|_{H^m(\mathbb R^d)} \leqslant c\varepsilon\|f\|_{L^2(\mathbb R^d)},\qquad c=\mathrm{const}(d,\lambda_0,\lambda_1).
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Предположим сначала, что в (1.6) и (1.8) имеем правую часть $f\in C_0^\infty(\mathbb R^d)$. Как следствие, вектор-функция $u$ в (4.1) бесконечно дифференцируема и вместе со всеми своими производными убывает на бесконечности достаточно быстро, так что $\widetilde u^\varepsilon\in H^m(\mathbb R^d)$ и можно формальными вычислениями найти невязку $\widetilde u^\varepsilon$ в уравнении (1.6), а именно, величину $(L_\varepsilon+I)\widetilde u^\varepsilon-f$. Прежде всего имеем представление
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, (L_\varepsilon+I)\widetilde u^\varepsilon-f &=(L_\varepsilon+I)\widetilde u^\varepsilon-(\widehat L+I)u =L_\varepsilon\widetilde u^\varepsilon -\widehat Lu+(\widetilde u^\varepsilon-u) \nonumber \\ &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\overset{(1.2),\,(1.7)}{=} (-1)^m\sum_{|\alpha|=m} D^\alpha\bigl(\Gamma_\alpha(\widetilde u^\varepsilon,L_\varepsilon) -\Gamma_\alpha(u,\widehat L)\bigr)+(\widetilde u^\varepsilon-u), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
где введены обобщенные градиенты
$$
\begin{equation}
\Gamma_\alpha(\widetilde u^\varepsilon,L_\varepsilon)= \sum_{|\beta|= m}A^\varepsilon_{\alpha\beta} D^\beta\widetilde u^\varepsilon,\qquad \Gamma_\alpha(u,\widehat L) =\sum_{|\beta|=m}\widehat A_{\alpha\beta}D^\beta u
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
для мультииндексов $\alpha$, $|\alpha|=m$. Согласно формуле дифференцирования (1.15),
$$
\begin{equation*}
D^\beta(\varepsilon^m(N^k_\gamma)^\varepsilon D^\gamma u_k) =(D^\beta N^k_\gamma)^\varepsilon D^\gamma u_k +\sum_{\mu<\beta}\varepsilon^{m-|\mu|}c_{\beta,\mu} (D^\mu N^k_\gamma)^\varepsilon D^{\beta+\gamma-\mu}u_k.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, в силу (4.4)$_1$ и (4.1), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Gamma_\alpha(\widetilde u^\varepsilon,L_\varepsilon) &=\sum_{|\beta|=m}A^\varepsilon_{\alpha\beta}D^\beta \biggl(u+\varepsilon^m\sum_{k=1}^n\sum_{|\gamma|=m} (N^k_\gamma)^\varepsilon D^\gamma u_k\biggr) \\ &=\sum_{|\beta|=m}\biggl(A^\varepsilon_{\alpha\beta}D^\beta u +\sum_{k=1}^n\sum_{|\gamma|=m}A^\varepsilon_{\alpha\gamma} (D^\gamma N^k_\beta)^\varepsilon D^\beta u_k\biggr) \\ &\qquad{}+\sum_{k=1}^n\sum_{|\gamma|=|\beta|=m}\, \sum_{\mu<\gamma}\varepsilon^{m-|\mu|}A^\varepsilon_{\alpha\gamma} c_{\gamma,\mu}(D^\mu N^k_\beta)^\varepsilon D^{\beta+\gamma-\mu}u_k. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая (2.6) и (2.8), преобразуем первую сумму в представлении $\Gamma_\alpha(\widetilde u^\varepsilon,L_\varepsilon)$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{|\beta|=m}\biggl(A^\varepsilon_{\alpha\beta}D^\beta u +\sum_{k=1}^n\sum_{|\gamma|=m}A^\varepsilon_{\alpha\gamma} (D^\gamma N^k_\beta)^\varepsilon D^\beta u_k\biggr) \\ &\quad\ =\sum_{k=1}^n\sum_{|\beta|=|\gamma|=m}\!\!A^\varepsilon_{\alpha\gamma} \bigl(e_{\gamma\beta}e^k+(D^\gamma N^k_\beta)^\varepsilon\bigr)D^\beta u_k \overset{(4.4)_2}{=}\Gamma_\alpha(u,\widehat L) +\sum_{k=1}^n\sum_{|\beta|=m}(g^k_{\alpha\beta})^\varepsilon D^\beta u_k, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и записываем это представление в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Gamma_\alpha(\widetilde u^\varepsilon,L_\varepsilon) &=\Gamma_\alpha(u,\widehat L)+\sum_{k=1}^n\sum_{|\beta|=m} (g^k_{\alpha\beta})^\varepsilon D^\beta u_k \nonumber \\ &\qquad{}+\sum_{k=1}^n\sum_{|\gamma|=|\beta|=m}\,\sum_{\mu<\gamma} \varepsilon^{m-|\mu|}A^\varepsilon_{\alpha\gamma}c_{\gamma,\mu} (D^\mu N^k_\beta)^\varepsilon D^{\beta+\gamma-\mu}u_k. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Применяя лемму 2.2 к произведению $(g^k_{\alpha\beta})^\varepsilon D^\beta u_k$ (заметим, что вектор $\{g^k_{\alpha\beta}\}_\alpha$ с фиксированными $\beta$ и $k$ удовлетворяет условиям леммы 2.2), получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &(g^k_{\alpha\beta})^\varepsilon D^\beta u_k =\sum_{|\gamma|=m} (D^\gamma G^k_{\gamma\alpha\beta})^\varepsilon D^\beta u_k \nonumber \\ &\qquad=\sum_{|\gamma|=m}D^\gamma (\varepsilon^m(G^k_{\gamma\alpha\beta})^\varepsilon D^\beta u_k) -\sum_{|\gamma|=m}\sum_{\mu<\gamma}\varepsilon^{m-|\mu|} c_{\gamma,\mu}(D^\mu G^k_{\gamma\alpha\beta})^\varepsilon D^{\gamma-\mu}D^\beta u_k. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Полагая
$$
\begin{equation*}
M^k_{\alpha\beta}:=\sum_{|\gamma|=m}D^\gamma ((G^k_{\gamma\alpha\beta})^\varepsilon D^\beta u_k),
\end{equation*}
\notag
$$
имеем вектор $\{M^k_{\alpha\beta}\}_{|\alpha|=m}$ со свойством (2.16). Поэтому
$$
\begin{equation}
\sum_{|\alpha|=m}D^\alpha\sum_{k=1}^n(g^k_{\alpha\beta})^\varepsilon D^\beta u_k\overset{(4.6)}{=} -\sum_{k=1}^n\sum_{|\alpha|=|\gamma|=m}D^\alpha \sum_{\mu<\gamma}\varepsilon^{m-|\mu|}c_{\gamma,\mu} (D^\mu G^k_{\gamma\alpha\beta})^\varepsilon D^{\beta+\gamma-\mu}u_k.
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Из (4.5) и (4.7) следует равенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{|\alpha|=m}D^\alpha (\Gamma_\alpha(\widetilde u^\varepsilon,L_\varepsilon) -\Gamma_\alpha(u,\widehat L)) \nonumber \\ &\qquad=\sum_{k=1}^n\sum_{|\alpha|=|\beta|=|\gamma|=m} D^\alpha \sum_{\mu<\gamma}\varepsilon^{m-|\mu|} A^\varepsilon_{\alpha\gamma}c_{\gamma,\mu} (D^\mu N^k_\beta)^\varepsilon D^{\beta+\gamma-\mu}u_k \nonumber \\ &\qquad\qquad-\sum_{k=1}^n\sum_{|\alpha|=|\beta|=|\gamma|=m} D^\alpha\sum_{\mu<\gamma}\varepsilon^{m-|\mu|}c_{\gamma,\mu} (D^\mu G^k_{\gamma\alpha\beta})^\varepsilon D^{\beta+\gamma-\mu}u_k, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
в правой части которого каждое слагаемое содержит множитель $\varepsilon^j$, $j\geqslant 1$. То же верно для всей правой части (4.3), так как
$$
\begin{equation*}
\widetilde u^\varepsilon-u\overset{(4.1)}{=} \varepsilon^m\sum_{k=1}^n\sum_{|\gamma|=m}(N^k_\gamma)^\varepsilon D^\gamma u_k,\qquad m\geqslant 2.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, невязка функции (4.1) в уравнении (1.6) представлена в виде суммы
$$
\begin{equation}
(L_\varepsilon+I)\widetilde u^\varepsilon{-}f =\sum_j\varepsilon^{n_j}b_j\biggl(\frac{x}{\varepsilon}\biggr)\Phi_j(x) +\sum_{|\alpha|=m}D^\alpha\sum_j\varepsilon^{n_j}\widetilde b_j \biggl(\frac{x}{\varepsilon}\biggr)\widetilde\Phi_j(x),\qquad n_j\geqslant 1,
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
где осциллирующие множители $b_j(x/\varepsilon)$ и $\widetilde b_j(x/\varepsilon)$ сформированы из $1$-периодических функций
$$
\begin{equation}
N^k_\gamma, \quad A_{\alpha\beta}D^\mu N^k_\gamma, \quad G^k_{\gamma\alpha\beta}, \quad D^\mu G^k_{\gamma\alpha\beta},
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
а функции $\Phi_j$ и $\widetilde\Phi_j$ совпадают с компонентами $u_k$, $1\leqslant k\leqslant n$, вектор-функции $u$ или их производными $D^\nu u_k$ до порядка $2m$. Поскольку $(L_\varepsilon+I)u^\varepsilon=f$, из (4.9) получаем $(L_\varepsilon+I)(\widetilde u^\varepsilon-u^\varepsilon)=O(\varepsilon)$, откуда по энергетической оценке выводим соотношение
$$
\begin{equation}
\|\widetilde u^\varepsilon-u^\varepsilon\|_{H^m(\mathbb R^d)}=O(\varepsilon),
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
которое нельзя записать в виде неравенства (4.2). Напомним также, что проведенные выше вычисления предполагали завышенную регулярность правой части $f$. Далее будет объяснено, как снять это предположение и придти к оценке (4.2) вместо (4.11). 4.2.Возьмем аппроксимацию к решению уравнения (1.6) в виде
$$
\begin{equation}
\widetilde u^\varepsilon(x) =w^\varepsilon(x)+\varepsilon^m U_m^\varepsilon(x),
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
$$
\begin{equation}
U_m^\varepsilon(x) =\sum_{k=1}^n\sum_{|\gamma|=m}N^k_\gamma \biggl(\frac{x}{\varepsilon}\biggr) D^\gamma w^\varepsilon_k(x),
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
где $S^\varepsilon$ – оператор сглаживания (1.12), $u(x)$ и $N^k_\gamma(y)$ для $\gamma$, $|\gamma|=m$, и $1\leqslant k\leqslant n$ – решения задач (1.8) и (2.2). Функция (4.12) принадлежит $H^m(\mathbb R^d)$, так как каждый член корректора $\varepsilon^mU_m^\varepsilon(x)$ вместе со всеми своими производными до порядка $m$ принадлежит $L^2(\mathbb R^d)$, причем $L^2(\mathbb R^d)$-нормы их равномерно ограничены по $\varepsilon$. Например, любая производная порядка $m$ от корректора $\varepsilon^mU_m^\varepsilon(x)$ состоит из слагаемых
$$
\begin{equation}
\varepsilon^{m-|\mu|}(D^\mu N^k_\gamma)^\varepsilon D^{\gamma+\alpha-\mu}w_k^{\varepsilon},\qquad 0\leqslant|\mu|\leqslant m,\quad |\alpha|=|\gamma|=m,
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
к каждому из которых применима лемма 3.1. В самом деле, $w^\varepsilon=S^\varepsilon u$ и $u\in H^{2m}(\mathbb R^d)$ с оценкой (2.7); кроме того, $D^\mu N^k_\gamma\in L^2_{\mathrm{per}}(Y)$, $|\mu|\leqslant m$, и верна оценка (2.3). Отсюда
$$
\begin{equation}
\|(D^\mu N^k_\gamma)^\varepsilon D^{\gamma+\alpha-\mu}w_k^\varepsilon\| \overset{(3.3)}{\leqslant}\|D^\mu N^k_\gamma\|_Y\|D^{\gamma+\alpha-\mu}u_k\| \overset{(2.3),\,(2.7)}\leqslant C\|f\|.
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
Невязка функции (4.12) в уравнении (1.7) представляется в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, L_\varepsilon\widetilde u^\varepsilon+\widetilde u^\varepsilon-f &=(L_\varepsilon+I)\widetilde u^\varepsilon -(\widehat L+I)w^\varepsilon+(S^\varepsilon f-f) \nonumber \\ &=(L_\varepsilon\widetilde u^\varepsilon-\widehat Lw^\varepsilon) +(\widetilde u^\varepsilon-w^\varepsilon)+(S^\varepsilon f-f), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
где учтено равенство $(\widehat L+I)w^\varepsilon=S^\varepsilon f$, полученное применением оператора $S^\varepsilon$ к обеим частям уравнения (1.8), поскольку $S^\varepsilon u=w^\varepsilon$ в силу (4.14). Сравнивая (4.12) с (4.1) и (4.17) с (4.3), видим, что $\widetilde u^\varepsilon$ соотносится с $w^\varepsilon$ в (4.12) так же, как $\widetilde u^\varepsilon$ соотносится с $u$ в (4.1), но структура невязки (4.17) несколько сложнее, чем (4.3). Вычисления пункта 4.1, проделанные для функции $\widetilde u^\varepsilon$ из (4.1), можно повторить для функции $\widetilde u^\varepsilon$ из (4.12). Все выражения и переходы в этих вычислениях имеют смысл по лемме 3.1. Обоснование здесь такое же, как в рассуждениях, показывающих принадлежность функций (4.15) пространству $L^2(\mathbb R^d)$. Таким образом, аналогом (4.9) будет
$$
\begin{equation}
(L_\varepsilon+I)\widetilde u^\varepsilon-(\widehat L+I) w^\varepsilon =\sum_j\varepsilon^{n_j}b_j\biggl(\frac{x}{\varepsilon}\biggr)\Phi_j(x) +\sum_{|\alpha|=m}D^\alpha\sum_j\varepsilon^{n_j}\widetilde b_j \biggl(\frac{x}{\varepsilon}\biggr)\widetilde\Phi_j(x) =:F_\varepsilon,
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
где $n_j\geqslant 1$, $b_j$ и $\widetilde b_j$ сформированы из функций (4.10), а $\Phi_j$ и $\widetilde\Phi_j$ совпадают с функцией $w^\varepsilon=S^\varepsilon u$ или ее производными порядка не более $2m$. По лемме 4.1 правая часть в (4.18), обозначенная целиком через $F_\varepsilon$, имеет оценку с допустимой мажорантой
$$
\begin{equation}
\|F_\varepsilon\|_{H^{-m}(\mathbb R^d)} \leqslant C\varepsilon\|f\|_{L^2(\mathbb R^d)}.
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
Остается оценить последнее слагаемое в правой части (4.17). В силу (3.6),
$$
\begin{equation}
\|S^{\varepsilon}f-f\|_{H^{-m}(\mathbb R^d)} \leqslant C\varepsilon^2\|f\|_{L^2(\mathbb R^d)}.
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
Теперь запишем
$$
\begin{equation*}
L_\varepsilon\widetilde u^\varepsilon+\widetilde u^\varepsilon-f =L_\varepsilon\widetilde u^\varepsilon+\widetilde u^\varepsilon -(L_\varepsilon u^\varepsilon+u^\varepsilon) =(L_\varepsilon+I)(\widetilde u^\varepsilon-u^\varepsilon),
\end{equation*}
\notag
$$
или ввиду (4.17) и (4.18), $(L_\varepsilon+I)(\widetilde u^\varepsilon-u^\varepsilon) =F_\varepsilon+(S^\varepsilon f-f)$. Отсюда по энергетической оценке, учитывая (4.19) и (4.20), выводим (4.2). Лемма 4.1 доказана. 4.3.Из неравенства (4.2) с функцией $\widetilde u^\varepsilon$, определенной в (4.12)–(4.14), по свойствам сглаживания следует операторная оценка (1.10). Кроме того, проделанные для вывода (4.2) вычисления позволяют уточнить правую часть в (4.18). Лемма 4.2. (i) Пусть функция $\widetilde u^\varepsilon=w^\varepsilon+\varepsilon^mU^\varepsilon_m$ определена в (4.12)–(4.14). Тогда (ii) Правая часть $F^\varepsilon$ в (4.21) удовлетворяет оценке
$$
\begin{equation}
\|F^\varepsilon\|_{H^{-m}(L^2(\mathbb R^d))} \leqslant C\varepsilon\|f\|_{L^2(\mathbb R^d)},\qquad C=\mathrm{const}(d,\lambda_0,\lambda_1),
\end{equation}
\tag{4.24}
$$
а для одной из ее компонент $w_\alpha^\varepsilon$ (см. (4.23)) имеет место более точная оценка Проведенный здесь анализ для невязки приближения будет использован для вывода основного результата в следующем разделе. 5. Улучшенные $L^2$-аппроксимацииВ этом разделе докажем основной результат об $L^2$-аппроксимации резольвенты $(L_\varepsilon+I)^{-1}$ с погрешностью порядка $\varepsilon^2$. Точная формулировка результата приведена в теореме 5.1. Непосредственное доказательство его дано в п. 5.2. 5.1.Введем сопряженную к (1.6) задачу, а также атрибуты ее усреднения. Сопряженной к (1.6) является задача
$$
\begin{equation}
L^*_\varepsilon v^\varepsilon+v^\varepsilon=h,\qquad v^\varepsilon\in H^m(\mathbb R^d).
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Коэффициенты сопряженного оператора $L^*_\varepsilon$ получаются $\varepsilon$-гомотетией из $1$-периодических коэффициентов $\mathbf A^*=\{A^{*jk}_{\alpha\beta}(y)\}$, связанных с коэффициентами $\mathbf A=\{A^{jk}_{\alpha\beta}(y)\}$ исходного оператора (1.1) соотношениями $A^{*jk}_{\alpha\beta}(y)=\overline{A^{kj}_{\beta\alpha}}(y)$ (черта обозначает комплексное сопряжение). Известно, что для оператора $L_\varepsilon$ коммутируют операции перехода к сопряженному и усреднения, что отражается в формуле для коэффициентов $(\mathbf A^*)^{\mathrm{hom}}{=}(\mathbf A^{\mathrm{hom}})^*$, где $\mathbf A^{\mathrm{hom}}=\widehat{\mathbf A}$. Таким образом, усредненной для (5.1) будет задача где $\widehat L^*$ – сопряженный к оператору (1.7). Введем соответствующие (5.1) задачи на ячейке
$$
\begin{equation}
\sum_{|\alpha|=|\beta|=m}D^\alpha\bigl(A^*_{\alpha\beta}(y)D^\beta N^{*k}_\gamma(y)\bigr) =-\sum_{|\alpha|=m}D^\alpha(A^*_{\alpha\gamma}(y)e^k),\qquad N^{*k}_\gamma\in\mathscr W,
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
для мультииндексов $\gamma$ длины $|\gamma|=m$ и целых $k$, $1\leqslant k\leqslant n$. Через решения задач (5.3) получаются коэффициенты усредненного оператора в (5.2) по формулам, аналогичным (2.4), а также порождаются векторы $g^{*k}_{\alpha\beta}$ аналогично, как в (2.8). А именно,
$$
\begin{equation}
A_{\alpha\beta}^{*\mathrm{hom}}e^k =\biggl\langle\sum_{|\gamma|=m}A^*_{\alpha\gamma}(\,\cdot\,) \bigl(e_{\gamma\beta}e^k+D^\gamma N^{*k}_\beta(\,\cdot\,)\bigr)\biggr\rangle,
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
$$
\begin{equation}
g^{*k}_{\alpha\beta}(y) =\sum_{|\gamma|=m}A^*_{\alpha\gamma}(y) \bigl(e_{\gamma\beta}e^k+D^{\gamma}N^{*k}_\beta(y)\bigr) -A_{\alpha\beta}^{*\mathrm{hom}}e^k
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
для всех допустимых $\alpha$, $\beta$ и $k$, откуда следуют соотношения
$$
\begin{equation}
\langle g^{*k}_{\alpha\beta}\rangle=0\quad \forall\,\alpha,\beta,k,\qquad \sum_{|\alpha|=m}D^\alpha g^{*k}_{\alpha\beta}=0\quad \forall\,\beta,k.
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
Аналогично, как в (4.12)-(4.14), строим приближение для решения задачи (5.1) в виде
$$
\begin{equation}
\widetilde v^\varepsilon(x) =z^\varepsilon(x)+\varepsilon^mV_m^\varepsilon(x),\qquad V_m^\varepsilon(x)=\sum_{k=1}^n\sum_{|\gamma|=m} N^{*k}_\gamma\biggl(\frac{x}{\varepsilon}\biggr) D^\gamma z^\varepsilon_k(x),\qquad z^\varepsilon(x)=S^\varepsilon v(x),
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
где $v$ и $ N^{*k}_\gamma$ – решения задач (5.2) и (5.3). По лемме 4.1 выполнена оценка
$$
\begin{equation}
\|v^\varepsilon-\widetilde v^\varepsilon\|_{H^m(\mathbb R^d)} \leqslant c\varepsilon\|h\|_{L^2(\mathbb R^d)}.
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
Отметим эллиптическую оценку для решения задачи (5.2)
$$
\begin{equation}
\|v\|_{H^{2m}(\mathbb R^d)}\leqslant c\|h\|_{L^2(\mathbb R^d)},
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
а также оценку для функции из (5.7)
$$
\begin{equation}
\|\widetilde v^\varepsilon\|_{H^m(\mathbb R^d)} \leqslant c\|h\|_{L^2(\mathbb R^d)},
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
которая доказывается теми же рассуждениями, что (4.16). Здесь и всюду далее имеем константы $c=\mathrm{const}(d,\lambda_0,\lambda_1)$. 5.2.Приступим к непосредственному построению асимптотики (1.14) для резольвенты $(L_\varepsilon+I)^{-1}$. В качестве первого шага найдем приближение в $L^2$-норме с погрешностью $\varepsilon^2$ для решения $u^\varepsilon$ уравнения (1.6). Для этого изучим $L^2$-форму
$$
\begin{equation*}
(h,\widetilde u^\varepsilon-u^\varepsilon),\qquad h\in L^2(\mathbb R^d),
\end{equation*}
\notag
$$
где в качестве стартового приближения взята функция $\widetilde u^\varepsilon$ из (4.12)–(4.14). Представляя $h$ через решение сопряженной задачи (5.1), т.е. $h=(L^*_\varepsilon+I)v^\varepsilon$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (h,\widetilde u^\varepsilon-u^\varepsilon) &=\bigl(v^\varepsilon,(L_\varepsilon+I)(\widetilde u^\varepsilon-u^\varepsilon)\bigr) \overset{(1.6)}{=}\bigl(v^\varepsilon,(L_\varepsilon+I)\widetilde u^\varepsilon-f\bigr) \\ &\!\!\!\overset{(4.21)}{=}(v^\varepsilon,F^\varepsilon) =(v^\varepsilon-\widetilde v^\varepsilon,F^\varepsilon) +(\widetilde v^\varepsilon,F^\varepsilon), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где функция $\widetilde v^\varepsilon$ определена в (5.7). В силу (5.8) и (4.24), имеем
$$
\begin{equation*}
(v^\varepsilon-\widetilde v^\varepsilon,F^\varepsilon)\simeq 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь и далее знак $\simeq$ означает приближенное равенство, полученное из точного отбрасыванием слагаемых $T$, допускающих оценку
$$
\begin{equation}
|T|\leqslant c\varepsilon^2\|f\|_{L^2(\mathbb R^d)}\|h\|_{L^2(\mathbb R^d)};
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
сами такие слагаемые $T$ называем несущественными. Таким образом,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, (h,\widetilde u^\varepsilon-u^\varepsilon) &\simeq(\widetilde v^\varepsilon,F^\varepsilon) \overset{(4.21)}{=}\biggl(\widetilde v^\varepsilon,(-1)^m\sum_{|\alpha|= m} D^\alpha r^\alpha_\varepsilon+r^0_\varepsilon+(S^\varepsilon f-f)\biggr) \nonumber \\ &=\sum_{|\alpha|=m}(D^\alpha\widetilde v^\varepsilon,r^\alpha_\varepsilon) +(\widetilde v^\varepsilon,r^0_\varepsilon) +(\widetilde v^\varepsilon,S^\varepsilon f-f)=:I_1+I_2+I_3. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.12}
$$
Здесь $I_3:=(\widetilde v^\varepsilon,S^\varepsilon f-f)$, при этом
$$
\begin{equation*}
|I_3|\leqslant\|\widetilde v^\varepsilon\|_{H^m(\mathbb R^d)} \|S^\varepsilon f-f\|_{H^{-m}(\mathbb R^d)} \overset{(5.10),\,(3.6)}{\leqslant}c\varepsilon^2 \|h\|_{L^2(\mathbb R^d)}\|f\|_{L^2(\mathbb R^d)},
\end{equation*}
\notag
$$
и $I_2:=(\widetilde v^\varepsilon,r^0_\varepsilon)$, а
$$
\begin{equation*}
|I_2|\leqslant\|\widetilde v^\varepsilon\|_{L^2(\mathbb R^d)} \|r^0_\varepsilon\|_{L^2(\mathbb R^d)} \overset{(5.10),\,(4.22)}{\leqslant} c\varepsilon^2 \|h\|_{L^2(\mathbb R^d)}\|f\|_{L^2(\mathbb R^d)},
\end{equation*}
\notag
$$
так как $m\geqslant 2$ и $\|r^0_\varepsilon\|_{L^2(\mathbb R^d)} \leqslant c\varepsilon^m\|f\|_{L^2(\mathbb R^d)}$, что доказывается по лемме 3.1 в силу (2.3) и (2.7). В итоге в (5.12) слагаемые $I_2$, $I_3$ несущественные и остается оценить форму
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, I_1 &:=\sum_{|\alpha|= m}(D^\alpha\widetilde v^\varepsilon,r^\alpha_\varepsilon) \overset{(4.23)}{\simeq}\sum_{|\alpha|= m} \biggl(D^\alpha\widetilde v^\varepsilon,\sum_{k=1}^n \sum_{|\beta|=m}(g^k_{\alpha\beta})^\varepsilon D^\beta w^\varepsilon_k\biggr) \nonumber \\ \nonumber &\qquad{}+\varepsilon\sum_{|\alpha|=m} \biggl(D^\alpha\widetilde v^\varepsilon,\sum_{k=1}^n\sum_{|\gamma|=|\beta|=m}\, \sum_{\mu<\gamma,\,|\mu|=m-1}A^\varepsilon_{\alpha\gamma} c_{\gamma,\mu}(D^\mu N^k_\beta)^\varepsilon D^{\beta+\gamma-\mu}w^\varepsilon_k\biggr) \\ &=:I_{11}+I_{12}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.13}
$$
где отброшено несущественное в силу оценки (4.25) слагаемое с $w_\alpha^\varepsilon$, идущее из (4.23). По правилу дифференцирования (1.15)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, D^\alpha\widetilde v^\varepsilon &\overset{(5.7)}{=}D^\alpha\biggl(z^\varepsilon +\varepsilon^m\sum_{j=1}^n\sum_{|\gamma|=m} (N^{*j}_\gamma)^\varepsilon D^\gamma z^\varepsilon_j\biggr) \nonumber \\ \nonumber &=\sum_{j=1}^n\sum_{|\gamma|=m} \bigl(e^je_{\alpha\gamma}+(D^\alpha N^{*j}_\gamma)^\varepsilon\bigr) D^\gamma z^\varepsilon_j \\ &\qquad\qquad+\sum_{j=1}^n\,\sum_{|\alpha|=|\gamma|=m}\, \sum_{\mu<\alpha}\varepsilon^{m-|\mu|}c_{\alpha,\mu} (D^\mu N^{*j}_\gamma)^\varepsilon D^{\gamma+\alpha-\mu}z^\varepsilon_j, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.14}
$$
откуда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_{11} &:=\sum_{|\alpha|=m}\biggl(D^\alpha\widetilde v^\varepsilon, \sum_{k=1}^n\sum_{|\beta|=m}(g^k_{\alpha\beta})^\varepsilon D^\beta w^\varepsilon_k\biggr) \\ &\!\!\overset{(5.14)}{\simeq}\sum_{j,k=1}^n \sum_{|\alpha|=|\beta|=|\gamma|=m} \bigl((e^j e_{\alpha\gamma}+D^\alpha N^{*j}_\gamma)^\varepsilon D^\gamma z^\varepsilon_j,(g^k_{\alpha\beta})^\varepsilon D^\beta w^\varepsilon_k\bigr) \\ &\qquad{}+\varepsilon\sum_{j,k=1}^n\,\sum_{|\alpha|=|\beta|=|\gamma|=m}\, \sum_{\mu<\alpha,\,|\mu|=m-1}c_{\alpha,\mu} \bigl((D^\mu N^{*j}_\gamma)^\varepsilon D^{\gamma+\alpha-\mu}z^\varepsilon_j, (g^k_{\alpha\beta})^\varepsilon D^\beta w^\varepsilon_k\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь на последнем этапе отброшены несущественные слагаемые с множителем $\varepsilon^s$, $s\geqslant 2$, (иными словами, с мультииндексами $\mu$, $|\mu|<m-1$), идущие из последней суммы в (5.14); необходимая для этого оценка (5.11) получается по лемме 3.1. Вся первая сумма в представлении $I_{11}$ тоже уходит в несущественные слагаемые по лемме 3.4 и свойствам (2.9) вектора $g^k_{\alpha\beta}$. В самом деле, индекс $\alpha$ входит здесь лишь в быстро осциллирующие множители, при этом соответствующие им $1$-периодические функции удовлетворяют равенству
$$
\begin{equation*}
\sum_{|\alpha|=m}(e^j e_{\alpha\gamma} +D^\alpha N^{*j}_\gamma,g^k_{\alpha\beta})_Y=0
\end{equation*}
\notag
$$
для любых фиксированных допустимых $\beta$, $\gamma$, $j$ и $k$, так как
$$
\begin{equation*}
(e^je_{\alpha\gamma},g^k_{\alpha\beta})_Y \overset{(2.5)}{=}e^j\cdot\langle g^k_{\gamma\beta}\rangle \overset{(2.9)_1}{=}0,\qquad \sum_{|\alpha|=m}(D^\alpha N^{*j}_\gamma,g^k_{\alpha\beta})_Y \overset{(2.9)_2}{=}0.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим также, что $w^\varepsilon=S^\varepsilon u$ и $z^\varepsilon=S^\varepsilon v$, следовательно; $D^\beta w^\varepsilon_k=S^\varepsilon D^\beta u_k$ и $D^\gamma z^\varepsilon_j=S^\varepsilon D^\gamma v_j$. В силу эллиптических оценок (2.7) и (5.9), функции $\varphi=D^\beta u_k$ и $\psi=D^\gamma v_j$ регулярны достаточно, чтобы примененить к $\varphi$ и $\psi$ оценку (3.8), в результате чего
$$
\begin{equation*}
\sum_{|\alpha|=m} \bigl((e^je_{\alpha\gamma}+D^\alpha N^{*j}_\gamma)^\varepsilon D^\gamma z^\varepsilon_j,(g^k_{\alpha\beta})^\varepsilon D^\beta w^\varepsilon_k\bigr)\simeq 0
\end{equation*}
\notag
$$
для всех допустимых $\beta$, $\gamma$, $j$ и $k$. В итоге
$$
\begin{equation*}
I_{11}\simeq\varepsilon\sum_{j,k=1}^n\, \sum_{|\alpha|=|\beta|=|\gamma|=m}\, \sum_{\mu<\alpha,\,|\mu|=m-1}c_{\alpha,\mu} \bigl((D^\mu N^{*j}_\gamma)^\varepsilon D^{\gamma+\alpha-\mu}z^\varepsilon_j, (g^k_{\alpha\beta})^\varepsilon D^\beta w^\varepsilon_k\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
что можно далее упростить по лемме 3.5:
$$
\begin{equation}
I_{11}\simeq\varepsilon\sum_{j,k=1}^n\, \sum_{|\alpha|=|\beta|=|\gamma|=m}\, \sum_{\mu<\alpha,\,|\mu|=m-1}c_{\alpha,\mu} (D^\mu N^{*j}_\gamma,g^k_{\alpha\beta})_Y (D^{\gamma+\alpha-\mu}v_j,D^\beta u_k).
\end{equation}
\tag{5.15}
$$
Аналогично преобразуем второе слагаемое в представлении (5.13):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_{12} &:=\varepsilon\sum_{|\alpha|= m} \biggl(D^\alpha\widetilde v^\varepsilon,\sum_{k=1}^n\,\sum_{|\gamma|=|\beta|=m}\, \sum_{\mu<\gamma,\,|\mu|=m-1}A^\varepsilon_{\alpha\gamma}c_{\gamma,\mu} (D^{\mu}N^k_\beta)^\varepsilon D^{\beta+\gamma-\mu}w^\varepsilon_k\biggr) \\ &=\varepsilon\biggl(\sum_{|\alpha|=m}(A^*_{\gamma\alpha})^\varepsilon D^\alpha\widetilde v^\varepsilon,\sum_{k=1}^n\,\sum_{|\gamma|=|\beta|=m}\, \sum_{\mu<\gamma,\,|\mu|=m-1}c_{\gamma,\mu} (D^\mu N^k_\beta)^\varepsilon D^{\beta+\gamma-\mu}w^\varepsilon_k\biggr) \\ &=\varepsilon\sum_{k=1}^n\sum_{|\gamma|=|\beta|=m} \biggl(\Gamma_\gamma(\widetilde v^\varepsilon,L_\varepsilon^*), \sum_{\mu<\gamma,\,|\mu|=m-1}c_{\gamma,\mu}(D^\mu N^k_\beta)^\varepsilon D^{\beta+\gamma-\mu}w^\varepsilon_k\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где на последнем этапе ввели обобщенный градиент $\Gamma_\gamma(\widetilde v^\varepsilon,L_\varepsilon^*) =\sum_{|\alpha|=m}(A^*_{\gamma\alpha})^\varepsilon D^\alpha\widetilde v^\varepsilon$ таким же образом, как в (4.4)$_1$. Справедлива формула типа (4.5))для оператора $L_\varepsilon^*$, а именно,
$$
\begin{equation}
\Gamma_\gamma(\widetilde v^\varepsilon,L^*_\varepsilon) =\Gamma_\gamma(z^\varepsilon,(L^*)^{\mathrm{hom}}) +\sum_{j=1}^n\sum_{|\alpha|=m}(g^{*j}_{\gamma\alpha})^\varepsilon D^\alpha z^\varepsilon_j+O(\varepsilon),
\end{equation}
\tag{5.16}
$$
где $\Gamma_\gamma(z^\varepsilon,(L^*)^{\mathrm{hom}}) =\sum_{|\alpha|= m}(A^*_{\gamma\alpha})^{\mathrm{hom}}D^\alpha z^\varepsilon$ и в остаточный член $O(\varepsilon)$ включены слагаемые (аналоги их в последней сумме в (4.5)), которые в конечном счете уходят в несущественные члены. После подстановки (5.16) в представление для $I_{12}$ обобщенный градиент $\Gamma_\gamma(z^\varepsilon,(L^*)^{\mathrm{hom}})$ тоже порождает несущественные члены (по лемме 3.2, так как $\langle D^\mu N^k_\beta\rangle=0$). Окончательно получено представление
$$
\begin{equation*}
I_{12}\simeq\varepsilon\sum_{j,k=1}^n\,\sum_{|\gamma|=|\beta|=|\alpha|=m}\, \sum_{\mu<\gamma,\,|\mu|=m-1}c_{\gamma,\mu} ((g^{*j}_{\gamma\alpha})^\varepsilon D^\alpha z^\varepsilon_j, (D^\mu N^k_\beta)^\varepsilon D^{\beta+\gamma-\mu}w^\varepsilon_k),
\end{equation*}
\notag
$$
которое упрощаем по лемме 3.5 так же, как $I_{11}$ в (5.15). В итоге имеем
$$
\begin{equation*}
I_{12}\simeq\varepsilon\sum_{j,k=1}^n\,\sum_{|\gamma|=|\beta|=|\alpha|=m}\, \sum_{\mu<\gamma,\,|\mu|=m-1}c_{\gamma,\mu} (g^{*j}_{\gamma\alpha},D^{\mu}N^k_\beta)_Y(D^\alpha v_j, D^{\beta+\gamma-\mu}u_k),
\end{equation*}
\notag
$$
или после интегрирования по частям (здесь $|\gamma-\mu|=1$)
$$
\begin{equation*}
I_{12}\simeq -\varepsilon\sum_{j,k=1}^n\,\sum_{|\gamma|=|\beta|=|\alpha|=m}\, \sum_{\mu<\gamma,\,|\mu|=m-1}c_{\gamma,\mu} (g^{*j}_{\gamma\alpha},D^\mu N^k_\beta)_Y (D^{\alpha+\gamma-\mu} v_j, D^\beta u_k).
\end{equation*}
\notag
$$
Чтобы представления для $I_{12}$ и $I_{11}$ больше походили друг на друга, в последней формуле поменяем местами индексы $\alpha$ и $\gamma$, в результате чего
$$
\begin{equation}
I_{12}\simeq -\varepsilon\sum_{j,k=1}^n\,\sum_{|\gamma|=|\beta|=|\alpha|=m}\, \sum_{\mu<\alpha,\,|\mu|=m-1} c_{\alpha,\mu}(g^{*j}_{\alpha\gamma},D^{\mu}N^k_\beta)_Y (D^{\alpha+\gamma-\mu}v_j,D^\beta u_k).
\end{equation}
\tag{5.17}
$$
Из (5.12), (5.13), (5.15), (5.17), учитывая несущественность слагаемых $I_2$ и $I_3$ в (5.12), выводим представление
$$
\begin{equation}
(h,\widetilde u^\varepsilon-u^\varepsilon) \simeq\varepsilon\sum_{j,k=1}^n\,\sum_{|\gamma|=|\beta|=|\alpha|=m}\, \sum_{\mu<\alpha,\,|\mu|=m-1}b_{\alpha\beta\gamma\mu}^{jk} (D^{\alpha+\gamma-\mu}v_j,D^\beta u_k)
\end{equation}
\tag{5.18}
$$
с коэффициентами
$$
\begin{equation}
b_{\alpha\beta\gamma\mu}^{jk}:=c_{\alpha,\mu} (D^\mu N^{*j}_\gamma,g^k_{\alpha\beta})_Y -c_{\alpha,\mu}(g^{*j}_{\alpha\gamma},D^\mu N^k_\beta)_Y.
\end{equation}
\tag{5.19}
$$
Теперь упростим саму форму $(h,\widetilde u^\varepsilon-u^\varepsilon)$, привлекая те же аргументы, что и раньше:
$$
\begin{equation}
(h,\widetilde u^\varepsilon-u^\varepsilon) \overset{(4.12)}{=}(h,w^\varepsilon-u^\varepsilon) +(h,\varepsilon^mU_m^\varepsilon) \overset{(4.13)}{\simeq}(h,w^\varepsilon-u^\varepsilon) \overset{(4.14),\,(3.5)}{\simeq}(h,u-u^\varepsilon).
\end{equation}
\tag{5.20}
$$
Из (5.18) и (5.20) выводим
$$
\begin{equation}
(h,u-u^\varepsilon) \simeq\varepsilon(-1)^{m+1}\sum_{j,k=1}^n\, \sum_{|\gamma|=|\beta|=|\alpha|=m}\, \sum_{\mu<\alpha,\,|\mu|=m-1}b_{\alpha\beta\gamma\mu}^{jk} (v_j,D^{\alpha+\beta+\gamma-\mu}u_k),
\end{equation}
\tag{5.21}
$$
где при “интегрировании по частям” в обобщенном смысле учли $|\alpha+\gamma-\mu|=m+1$. В (5.21) имеем производные $D^\delta u_k$ порядка $|\delta|=2m+1$ и рассматриваем их как элементы из пространства Соболева с отрицательным показателем. Отдавая в этом отчет, тем не менее, не меняем обозначение для формы $(v_j,D^\delta u_k)$. Введем матричный дифференциальный оператор $M$, который действует на функции $\varphi\colon\mathbb R^d\to\mathbb C^n$ по формуле
$$
\begin{equation}
M\varphi=(-1)^m\sum_{|\gamma|=|\beta|=|\alpha|=m}\, \sum_{\mu<\alpha,\,|\mu|=m-1}B_{\alpha\beta\gamma\mu} D^{\alpha+\beta+\gamma-\mu}\varphi,\qquad B_{\alpha\beta\gamma\mu}=\{b_{\alpha\beta\gamma\mu}^{jk}\}_{j,k=1}^n,
\end{equation}
\tag{5.22}
$$
и перепишем (5.21) коротко как $(h,u-u^\varepsilon)\simeq-\varepsilon(v,Mu)$. Перейдем в этой записи к резольвентам через равенства $u=(\widehat L+I)^{-1}f$, $u^\varepsilon=(L_\varepsilon+I)^{-1}f$ и $v=(\widehat L^*+I)^{-1}h$, в результате чего
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl(h,(\widehat L+I)^{-1}f-(L_\varepsilon+I)^{-1}f\bigr) \simeq -\varepsilon\bigl((\widehat L^*+I)^{-1}h,M(\widehat L+I)^{-1}f\bigr) \\ &\qquad=-\varepsilon\bigl(h,(\widehat L+I)^{-1}M(\widehat L+I)^{-1}f\bigr); \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и окончательно
$$
\begin{equation*}
\bigl(h,(\widehat L+I)^{-1}f+\varepsilon\mathscr K_1f -(L_\varepsilon+I)^{-1}f\bigr)\simeq 0,
\end{equation*}
\notag
$$
где ввели оператор
$$
\begin{equation}
\mathscr K_1=(\widehat L+I)^{-1}M(\widehat L+I)^{-1}.
\end{equation}
\tag{5.23}
$$
Вспоминая соглашение о символе $\simeq$ (см. комментарий перед формулой (5.11)), представим полученный результат последовательно в виде неравенств:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \bigl|(h,(\widehat L+I)^{-1}f+\varepsilon\mathscr K_1f -(L_\varepsilon+I)^{-1}f)\bigr| \leqslant c\varepsilon^2\|f\|_{L^2(\mathbb R^d)} \|h\|_{L^2(\mathbb R^d)}, \\ \bigl\|(\widehat L+I)^{-1}f+\varepsilon\mathscr K_1f -(L_\varepsilon+I)^{-1}f\bigr\|_{L^2(\mathbb R^d)} \leqslant c\varepsilon^2\|f\|_{L^2(\mathbb R^d)}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует асимптотика (1.14) в операторной $L^2(\mathbb R^d)$-норме. Итак, доказана Теорема 5.1. Пусть $\mathscr K_1$ – оператор, определеный равенствами (5.23), (5.22) и (5.19). Тогда имеет место оценка 5.3.В кратких сообщениях [19] и [20] указаны подобные (1.14) аппроксимации в операторной $L^2$-норме для резольвенты матричного самосопряженного оператора четвертого порядка с комплексными коэффициентами с погрешностью $\varepsilon^2$; там же указаны аппроксимации с погрешностью $\varepsilon^3$ и $\varepsilon^4$ в той же операторной норме. В свежей работе [21] получены аппроксимации в операторной $L^2$-норме для резольвенты $(L_\varepsilon+I)^{-1}$ оператора (1.1) в самосопряженном случае с погрешностью $O(\varepsilon^J)$ при $\varepsilon\to 0$, $J=2,\dots,2m$. В [19], [20] и недавней работе [21] применяется спектральный метод, основанный на преобразовании Флоке–Блоха и аналитической теории возмущений. Этот подход, ведущий свое начало от [14], (ранее применялся к операторам высокого порядка в [4] и [5]) получил дальнейшее развитие в части теоретико-операторной схемы в [22]. При таком подходе условие самосопряженности оператора существенно. Кроме того, в аппроксимациях из [17]–[19], промежуточных и многих окончательных, естественно появляется сглаживающий оператор типа псевдодифференциального оператора, т.е. иной природы, чем оператор Стеклова $S^\varepsilon$, что отличает эти аппроксимации от тех, что приведены в настоящей работе, [7] или [8]. В резольвентной аппроксимации из (5.24), возникшей на заключительном этапе рассуждений, сглаживание исключено, хотя по всему ходу доказательства в п. 5.2 вплоть до получения равенства (5.21) встречались аппроксимации со встроенным оператором сглаживания $S^\varepsilon$; присутствие оператора сглаживания придавало смысл формулам и помогало проводить нужные оценки. Окончательная аппроксимация $(\widehat L+I)^{-1}+\varepsilon\mathscr K_1$ из (5.24) полностью совпадает по своей структуре с аналогичными аппроксимациями из [17]–[19], хотя методы получения результата разные. При выводе оценки (5.24) существенны соображения двойственности. Их применение для получения неспектральным методом улучшенных резольвентных аппроксимаций в $L^2$-операторной норме на примере операторов второго порядка, несамосопряженных и локально периодических, впервые продемонстрировано в [23]. Для операторов высокого порядка улучшенные резольвентные $L^2$-аппроксимации можно получать неспектральным методом, минуя соображения двойственности, а именно, через улучшенные аппроксимации решения уравнения в энергетической норме. Например, в [8], [24], [25] сначала cтроится приближение $\widetilde u^\varepsilon$ к решению $u^\varepsilon$ уравнения (1.6) такое, что $\|u^\varepsilon-\widetilde u^\varepsilon\|_{H^m}\leqslant C\varepsilon^2\|f\|_{L^2}$ с константой $C=\mathrm{const}(d,\lambda_0,\lambda_1)$, из которой, ослабляя норму, выводим $\|u^\varepsilon-\widetilde u^\varepsilon\|_{L^2}\leqslant C\varepsilon^2\|f\|_{L^2}$. После перехода в левой части оценки к более слабой $L^2$-норме часть корректоров в аппроксимации $\widetilde u^\varepsilon$ можно отнести к остаточному члену, что упрощает $L^2$-аппроксимацию. На заключительном этапе оценка усреднения записывается в операторных терминах. Так получается операторная асимптотика вида (1.14). Этот метод реализован уже в ряде ситуаций (скалярная задача, самосопряженный случай, оператор четвертого порядка, вещественные коэффициенты). В ближайших планах автора реализовать описанную схему в самом общем случае. Неспектральным методом аппроксимация резольвенты при $\varepsilon\to 0$ в операторной $L^2$-норме с погрешностью $O(\varepsilon^3)$ построена в [25], где охвачен случай скалярных самосопряженных операторов четвертого порядка с вещественными коэффициентами, хотя метод позволяет перенести результат [25], с одной стороны, на операторы того же класса, но произвольного четного порядка, а с другой стороны, получить аналогичную аппроксимацию резольвенты с погрешностью $O(\varepsilon^4)$. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Pas23} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|