Математические заметки, 2023, том 114, выпуск 3, страницы 474–476 DOI: https://doi.org/10.4213/mzm14043 (Mi mzm14043)

DOI: https://doi.org/10.4213/mzm14043

Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 3, Pages 412–414
DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623090134

Реферативные базы данных:

1. Мотивация

Индекс Маслова строится как гомологический инвариант на лагранжевом подмногообразии некоторого симплектического многообразия. В простейшем случае лагранжево подмногообразие $\Lambda\subset \mathbb{R}^{2n}\approx\mathbb{R}^{n}\oplus\mathbb{R}^{n}$ – это подмногообразие в симплектическом пространстве $\mathbb{R}^{n}\oplus\mathbb{R}^{n}$, симплектическая структура в котором задается невырожденной формой $\omega=\sum_{i=1}^n dx^{i}\wedge dy^{i}$, а $\Lambda\subset\mathbb{R}^{2n}$ – это подмногообразие, $\dim\Lambda=n$, на котором форма $\omega$ тривиальна. В общем случае рассматривается симплектическое многообразие $(W, \omega)$ и расслоение лагранжевых грассманианов $(\mathbb{T}W)$.

Вопрос, который нас интересует заключается в следующем: когда индекс Маслова, заданный на индивидуальном лагранжевом подмногообразии как одномерный класс когомологий, является образом некоторого одномерного класса когомологий тотального пространства $(\mathbb{T}W)$ расслоения лагранжевых грассманианов. Ответ был приведен в моей работе (2022) [1] для различных классов расслоений лагранжевых грассманианов в максимально возможной общей ситуации. И хотя с нашей точки зрения классы Маслова приведены (и вычислены) для максимально возможного класса лагранжевых многообразий, мы считаем ответ не совсем убедительным, поскольку не прояснен категорный смысл приведенных геометрических конструкций.

2. Характеристические числа как инварианты бордизмов

Вопрос о категорном подходе к описанию инвариантов лагранжевых многообразий подымался еще первооткрывателями геометрической природы лагранжевых подмногообразий в симплектических многообразиях Арнольдом (1980) [2], [3], и Васильевым (1981) [4], (2000) [5].

Вопрос можно сформулировать следующим образом: какие классы когомологий лагранжева подмногообразия $\Lambda\subset W$ являются характеристическими классами структуры лагранжева подмногообразия $\Lambda\subset W$, а какие таковыми не являются.

Авторы этих работ считали, что достаточным аргументом для присвоения классу когомологий лагранжева подмногообразия ярлык “характеристический”, если “Соответствующие этим классам характеристические числа являются инвариантами лагранжева кобордизма” (см., например, работу Васильева (1981) [4; с. 10]).

Или еще: “Для описания таких ограничений особенностям каустик и фронтов сопоставляются классы когомологий на лагранжевых и лежандровых многообразиях (так называемые лагранжевы и лежандровы характеристические классы). Характеристическими эти классы являются в том смысле, что соответствующие им характеристические числа (определяемые числами особенностей того или иного класса на многообразии) одинаковы у лагранжево (лежандрово) кобордантных многообразий” (там же, с. 7).

“Лагранжевы и лежандровы характеристические классы – это классы когомологий лагранжевых (лежандровых) многообразий, определяющие инварианты таких кобордизмов” (там же, с. 7).

“Первый из таких классов – это класс Маслова, определенный первоначально для нужд квантовой механики. Этот класс имеет размерность 1 и задается индексом пересечения со всем критическим множеством лагранжевой проекции” (там же, с. 7).

“Лагранжевы и лежандровы характеристические классы – это классы когомологии лагранжевых (лежандровых) многообразий, которые сохраняются при переходе к лагранжеву (лежандрову) краю, а следовательно, определяют инварианты кобордизма” (там же, с. 60).

“Лагранжев характеристический класс – это класс когомологий, определенный на любом лагранжевом многообразии (возможно с лагранжевым краем), причем если многообразие является лагранжевым краем, $N_1 = \partial N$, то этот класс на $N_1$ равен индуцированному из аналогичного класса на $N$ при естественном вложении $N_1N$” (там же, с. 64).

3. Подход Трофимова об использовании групп голономии

Мы не будем обсуждать метод построения бордизмов лагранжевых многообразий, поскольку он требует более тщательного категорного анализа конструкции бордизмов. Обратимся к оригинальной идеи Трофимова (1991) [6], (1995) [7], которая и подвигла нас к развитию идей Трофимова.

Пусть $W$ – симплектическое многообразие размерности $2n$, $\omega$ – симплектическая дифференциальная форма, задающая на многообразии $W$ симплектического структуру. Пусть $\Lambda$ – лагранжево подмногообразие вместе с вложением $h\colon \Lambda\to W$. Дифференциал $Dh$ задает послойное вложение тотального пространства $T\Lambda$ касательного расслоения лагранжева многообразия $\Lambda$ в тотальное пространство $TW$ касательного расслоения $\mathbb{T}W$ к многообразию $W$. Получаем диффренциал отображения $Dh\colon T\Lambda\to TW$, коммутирующий с естественными проекциями: $\pi_{TW}\circ Dh=h\circ\pi_{T\Lambda}$.

Лагранжево подмногообразие $h\colon \Lambda\to W$ – это такое подмногообразие, для которого $Dh(T_x\Lambda)\subset T_{h(x)}W$ является лагранжевой плоскостью. Дифференциал $Dh$ порождает послойное отображение $Lh$ лагранжева многообразия в тотальное пространство расслоения лагранжевых грассманианов: $Lh\colon \Lambda\to G^{L}(\mathbb{T}W)$.

Если на симплектическом многообразии задана аффинная связность $\nabla$, для которой операторы $\nabla_{\gamma}$ параллельного перенесения вдоль пути $\gamma$ сохраняют симплектическую структуру, то вдоль произвольного пути $\gamma\colon [0,1]W$ переносятся не только касательные пространства $\nabla_{\gamma}\colon T_{\gamma(0)}(W)\to T_{\gamma(1)}(W)$, но и лагранжевы грассманианы, т.е. многообразия всех лагранжевых подпространств в слое касательного расслоения. В каждой точке $x_0\in W$ получается действие группы голономии $H^{\mathrm{ol}}_{\nabla}$, $H^{\mathrm{ol}}_{\nabla}\times (\mathbb{T}_{x_0}W)\to(\mathbb{T}_{x_0}W)$, которое порождается операторами $\nabla_{\gamma}$ по всем замкнутым путям

В частности, взяв лагранжево подмногообразие $h\colon \Lambda\subset W$ и множество $\Pi(W,\Lambda,x_0)$ всех путей, которые начинаются в точках лагранжева подмногообразия $\Lambda$ и заканчиваются в точке $x_0\in L$, с помощью операторов параллельного перенесения $\nabla_{\gamma}, \gamma\in \Pi(W,L,x_0)$, мы корректно строим отображение лагранжева подмногообразия $L$, но не в грассманиан $G^L(\mathbb{T}_{x_0}W)$, а всего лишь в фактор пространство $(\mathbb{T}_{x_0}W)\diagup H^{\mathrm{ol}}_{\nabla}$, так называемый приведенный грассманиан $H^{\mathrm{ol}}_{\nabla}(G^L(\mathbb{T}_{x_0}W))$: $P_{\nabla}\colon \Lambda\to H^{\mathrm{ol}}_{\nabla}(G^L(\mathbb{T}_{x_0}W))$. Отображение $P_{\nabla}$ на самом деле разлагается в композицию $Lh\colon \Lambda\to G^L(\mathbb{T}W)$, $P_\nabla\colon G^L(\mathbb{T}W)\to H^{\mathrm{ol}}_{\nabla}(G^L(\mathbb{T}_{x_0}W)$. Первое отображение, которое не зависит от выбора связности $\nabla$, порождает новый тип класса Маслова, который мы назовем категорным классом Маслова: Любой класс когомологий $\alpha\in H^{*}(G^L(\mathbb{T}W))$ задает категорный класс Маслова

4. Инфинитезимальный подход к описанию категории лагранжевых многообразий

Этот категорный подход позволяет использовать метод Трофимома еще раз. Судя по своей работе (1994) [8] Трофимов был не удовлетворен своим обобщением классов Маслова, поскольку при большой группе голономии теряются классы Маслова. Мы предлагаем и здесь сформулировать задачу на категорном языке. Объектом служит пара $h\colon \Lambda\subset W$, лагранжево подмногообразие $\Lambda$ в симплектическом многообразии $W$.

Предлагается заменить симплектическое многообразие $W$ на меньшее симплектическое подмногообразие $h'\colon \Lambda\subset W'\subset W$. Получим более широкое множество характеристических классов, к которому старые класса сводятся. Заметим, что при определении характеристических классов мы используем только структуру касательного расслоения $(\mathbb{T}W)$ к симплектическому многообразия $W$; возникает естественная идея заменить пару $h\colon \Lambda\subset W$ на само лагранжево многообразие $\Lambda$, которое оснащено структурой лагранжевости при помощи двух векторных расслоений.

5. Заключительные замечания

1. Каждое инфинитезимальное лагранжево многообразие может быть реализовано как лагранжево подмногообразие некоторого симплектического многообразия, структурная группа которого редуцируется к подгруппе $\mathbb{O}(n)$. Этого достаточно, чтобы описать одномерные классы Маслова для инфинитезимального лагранжева многообразия.

2. Симплектическое многообразие из предыдущего пункта можно выбрать как тотальное пространство кокасательного расслоения некоторого $n$-мерного многообразия. Неясно, можно ли вложить инфинитезимальное лагранжево многообразие в компактное симплектическое многообразие.

3. Проблема применения инфинитезимальных лагранжевых многообразий к асимптотическим методам в уравнениях математической физики ожидает своего решения.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1.	А. С. Мищенко, Матем. заметки, 112:5 (2022), 718–732
2.	В. И. Арнольд, Функц. анализ и его прил., 14:3 (1980), 1–13
3.	В. И. Арнольд, Функц. анализ и его прил., 14:4 (1980), 8–17
4.	В. А. Васильев, Функц. анализ и его прил., 15:3 (1981), 10–22
5.	В. А. Васильев, Лагранжевы и лежандровы характеристические классы, МЦНМO, М., 2000
6.	В. В. Трофимов, Матем. заметки, 49:2 (1991), 113–123
7.	В. В. Трофимов, А. Т. Фоменко, Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых дифференциальных уравнений, Факториал, М., 1995
8.	В. В. Трофимов, Новые результаты в теории топологической классификации интегрируемых систем, Сборник статей, Тр. МИАН, 205, Наука, М., 1994, 172–199

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{Mis23}
\by А.~С.~Мищенко
\paper Заметки о категорном определении
классов Маслова лагранжева многообразия
\jour Матем. заметки
\yr 2023
\vol 114
\issue 3
\pages 474--476
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/mzm14043}
\crossref{https://doi.org/10.4213/mzm14043}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4658793}
\transl
\jour Math. Notes
\yr 2023
\vol 114
\issue 3
\pages 412--414
\crossref{https://doi.org/10.1134/S0001434623090134}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85174578821}