| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Краткие сообщения Индексы дефекта блочных якобиевых матриц, не удовлетворяющих условию Карлемана, и операторы с точечными взаимодействиями В. С. Будыкаa, М. М. Маламудbc, И. Л. Покровскийd a Донецкая академия управления и государственной службы b Российский университет дружбы народов, г. Москва c Санкт-Петербургский государственный университет d Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623110378 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеОсновной объект заметки – бесконечная блочная якобиева матрица
$$
\begin{equation}
\mathbf{J}=\begin{pmatrix} \mathcal A_0 & \mathcal B_0 & \mathbb O_m & \mathbb O_m & \mathbb O_m & \dots \\ \mathcal B_0^* & \mathcal A_1 & \mathcal B_1 & \mathbb O_m & \mathbb O_m & \dots \\ \mathbb O_m & \mathcal B_1^* & \mathcal A_2 & \mathcal B_2 & \mathbb O_m & \dots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{1}
$$
с $(m\times m)$-матричными элементами $\mathcal A_n=\mathcal A_n^*$, $\mathcal B_n \in \mathbb C^{m\times m}$ и $\det\mathcal B_n \ne 0$, $n\in\mathbb N_0$, $\mathbb O_m$ – нулевой оператор. Следуя Крейну (см. [1]), матрицу $\mathbf{J}$ называют также якобиевой матрицей с матричными элементами. Пусть $l_0^2(\mathbb N_0;\mathbb C^m)$ – подмножество финитных последовательностей в $l^2(\mathbb N;\mathbb C^m)$. Отображение $l_0^2(\mathbb N_0;\mathbb C^m) \ni f \to \mathbf{J}f$ определяет линейный симметрический, но незамкнутый оператор $\mathbf{J}^0$. Его замыкание определяет минимальный (замкнутый) симметрический оператор $\mathbf{J}_{\min}$ в $l^2(\mathbb N_0;\mathbb C^m)$. В дальнейшем мы отождествляем минимальный оператор $\mathbf{J}_{\min}$ с матрицей $\mathbf{J}$. Положим также $\mathbf{J}_{\max}=\mathbf{J}^*$. Хотя $\mathbf{J}$ симметричный, $\mathbf{J} \subset \mathbf{J}^*$, он не обязательно самосопряжен. Его индексы дефекта $n_\pm(\mathbf{J}):=\dim\frak N_{\pm i}(\mathbf{J}):= \dim\ker(\mathbf{J}^* \mp iI)$ удовлетворяют оценкам $0\leqslant n_\pm(\mathbf{J})\leqslant m$. Более того, согласно [2], для каждой пары чисел $\{n_+,n_-\}\in\mathbb N_0\times\mathbb N_0$ с $0\leqslant n_\pm\leqslant m-1$ найдется матрица $\mathbf{J}$ с $n_\pm(\mathbf{J})=n_\pm$. При этом, $n_-(\mathbf{J})=m$ и $n_+(\mathbf{J})=m$ лишь одновременно. Наиболее простым условием самосопряженности $\mathbf{J}$ ($\Leftrightarrow n_\pm(\mathbf{J})=0$), является матричная версия теста Карлемана (см. [3], [4], а также [5], [6]). Теорема 1 [3; теорема VII.2.9]. (Тест Карлемана). Якобиев оператор $\mathbf{J}$, ассоциированный с матрицей (1), самосопряжен, т.е. $\mathbf{J}=\mathbf{J}^*$ ($\Leftrightarrow n_\pm(\mathbf{J})=0$), если Березанский в [3; теорема VII.1.1] (см. также [4]) показал, что при $m=1$ и дополнительных предположениях на элементы матрицы $\mathbf{J}$, условие (2) является необходимым для самосопряженности $\mathbf{J}$. Матричные версии этого результата получены в [5], [6]. В работах [7], [8] в скалярном случае обнаружена связь операторов Шрёдингера ${\mathbf H}_{X,\alpha}$ и Дирака ${\mathbf D}_{X,\alpha}$ с точечными взаимодействиями и якобиевыми матрицами специальных классов ${\mathcal J}_{X,\alpha}(\mathbf{H})$ и ${\mathcal J}_{X,\alpha}(\mathbf{D})$. В работах [9]–[15] эта связь была распространена на случай операторов Шрёдингера и Дирака с матричными точечными взаимодействиями. В настоящей заметке, отказавшись от условия (2), мы указываем новые условия минимальности и максимальности индексов дефекта якобиевых матриц из классов ${\mathcal J}_{X,\alpha}(\mathbf{H},m)$ и ${\mathcal J}_{X,\alpha}(\mathbf{D},m)$ (см. определения (5) и (12) ниже). При этом, условия соответствующих теорем о максимальности индексов дефекта из [3], [5] и [6] здесь не выполнены. Продемонстрируем (при $m=1)$ обнаруженные нами эффекты для матриц $\mathbf{J}$ из классов ${\mathcal J}_{X,\alpha}(\mathbf{H})$ и ${\mathcal J}_{X,\alpha}(\mathbf{D})$ при условиях $\{d_n\}_1^\infty\in l^2(\mathbb N)$ и $\{d_n\}_1^\infty\in l^1(\mathbb N)$, соответственно:
$$
\begin{equation}
d_{n+1} |\alpha_n|\leqslant a<1 \Longrightarrow n_\pm(\mathbf{J}_{X,\alpha}(\mathbf{H}))=1 \qquad\text{и}\qquad d_{n+1}|\alpha_n|> 4 \Longrightarrow n_\pm(\mathbf{J}_{X,\alpha}(\mathbf{H}))=0,
\end{equation}
\tag{3}
$$
$$
\begin{equation}
|\alpha_n|\leqslant ac,\ a<1 \Longrightarrow n_\pm(\mathbf{J}_{X,\alpha}(\mathbf{D}))=1 \qquad \text{и} \qquad |\alpha_n|>4c \Longrightarrow n_\pm(\mathbf{J}_{X,\alpha}(\mathbf{D}))=0.
\end{equation}
\tag{4}
$$
В частности, импликации (3) и (4) показывают, что при фиксированной последовательности $\{d_n\}_1^\infty\in l^1(\mathbb N)$ индексы дефекта матриц из классов ${\mathcal J}_{X,\alpha}(\mathbf{H})$ и ${\mathcal J}_{X,\alpha}(\mathbf{D})$ максимальны при малых $|\alpha_n|$ и минимальны – при больших $|\alpha_n|$. Используя отмеченную выше связь, мы получаем новые условия самосопряженности и максимальности индексов дефекта операторов Шрёдингера ${\mathbf H}_{X,\alpha}$ (на конечном интервале и полуоси) и Дирака ${\mathbf D}_{X,\alpha}$ (на конечном интервале) с точечными взаимодействиями. Также найдены новые условия дискретности их спектров. 2. Класс якобиевых матриц ${\mathcal J}_{X,\alpha}(\mathbf{H},m)$. Максимальность индексов дефектаОтнесем блочную якобиеву матрицу вида
$$
\begin{equation}
\mathbf{J}_{X,\alpha}(\mathbf{H})=\begin{pmatrix} \mathbb O_m & \dfrac{1}{d_1^{2}}\mathbb I_m & \mathbb O_m & \mathbb O_m & \mathbb O_m & \dots \\ \dfrac{1}{d_1^{2}}\mathbb I_m & \dfrac{1}{d_1^{2}}\mathbb I_m & \dfrac{1}{d_1^{3/2}d_2^{1/2}}\mathbb I_m & \mathbb O_m & \mathbb O_m & \dots \\ \mathbb O_m & \dfrac{1}{d_1^{3/2}d_2^{1/2}}\mathbb I_m & -\dfrac{\alpha_1}{d_2} & \dfrac{1}{d_2^{2}}\mathbb I_m & \mathbb O_m & \dots \\ \mathbb O_m & \mathbb O_m & \dfrac{1}{d_2^{2}}\mathbb I_m & \dfrac{1}{d_2^{2}}\mathbb I_m & \dfrac{1}{d_2^{3/2}d_3^{1/2}}\mathbb I_m & \dots \\ \mathbb O_m & \mathbb O_m & \mathbb O_m & \dfrac{1}{d_2^{3/2}d_3^{1/2}}\mathbb I_m & -\dfrac{\alpha_2}{d_3} & \dots \\ \dots& \dots&\dots&\dots&\dots&\dots \end{pmatrix}
\end{equation}
\tag{5}
$$
к классу ${\mathcal J}_{X,\alpha}(\mathbf{H},m)$. Полагаем ${\mathcal J}_{X,\alpha}(\mathbf{H}):= {\mathcal J}_{X,\alpha}(\mathbf{H},1)$. Здесь $\alpha:=\{\alpha_n\}_1^\infty\subset\mathbb{C}^{m\times m}$, $\alpha_n=\alpha_n^*$, и $d_n>0$, $n\in\mathbb N$. В этом разделе, считая $\{d_n\}_1^\infty\in l^1(\mathbb N)$, мы находим условия, обеспечивающие максимальность индексов дефекта матрицы $\mathbf{J}_{X,\alpha}(\mathbf{H})$. Всюду далее, $\|\cdot\|_m$ обозначает матричную норму в пространстве $\mathbb{C}^{m\times m}$ и $|\alpha_n|=\sqrt{\alpha_n^2}$ . Теорема 2. Пусть $\alpha_n=\alpha_n^*$, $n\in\mathbb{N}$. Если выполнено условие то индексы дефекта $\mathbf{J}_{X,\alpha}(\mathbf{H})$ максимальны, т.е. $n_{\pm}(\mathbf{J}_{X,\alpha}(\mathbf{H}))=m$. Следствие 1. Оператор $\mathbf{J}_{X,\alpha}(\mathbf{H})$ симметрический с $n_{\pm}(\mathbf{J}_{X,\alpha}(\mathbf{H}))=m$, если выполнено одно из условий: (i) $\{\alpha_n\}_1^\infty\in l^1(\mathbb{N};\mathbb{C}^{m\times m});$ (ii) $\limsup_{n\to\infty}(d_{n+1}/d_{n}) (1+\|\alpha_{n}\|_m)^{2}<1$. Теорема 3. Пусть $\{d_n\}_1^\infty\in l^1(\mathbb N)$ и $\alpha_n=\alpha_n^*$, $n\in\mathbb{N}$. Пусть также при некоторых $0\leqslant a<1$ и $N\in\mathbb N$ выполнены условия Тогда $n_{\pm}(\mathbf{J}_{X,\alpha}(\mathbf{H}))=m$. Следствие 2. Пусть $\{d_n\}_1^\infty\in l^1(\mathbb N)$ и $\alpha_n=\alpha_n^*$, $n\in\mathbb{N}$. Тогда $n_\pm(\mathbf{J}_{X,\alpha}(\mathbf{H}))=m$, если при некоторых $0\leqslant a<1$ и $N\in\mathbb N$ выполнены условия Замечание 1. Выбирая $\alpha_n$ такими, что $\|\alpha_n\|_m=ad_{n+1}^{-1}$, $a<1$, и подставляя эти выражения в (6), приходим к ряду Сравним полученные результаты с известными, и частично упомянутыми во введении, результатами о максимальности индексов дефекта. Для этого напомним классический результат Березанского из [3]. Теорема 4 [3; теорема VII.1.1]. Пусть $m=1$ и $\mathbf{J}$ – якобиева матрица вида (1) с $a_n=\mathcal A_n\in \mathbb R$, $b_n=\mathcal B_n>0$. Пусть также $\{a_n\}_1^\infty \in l^{\infty}(\mathbb N)$ и $b_{n-1}\cdot b_{n+1}\leqslant b_n^2$, $n\in \mathbb N$. Тогда $n_\pm(\mathbf{J})=1$, если условие (2) нарушается, т.е. $\sum_{n=1}^\infty b_n^{-1}<+\infty$. Замечание 2 (сравнение с результатами работ [3] и [6]). (i) Пусть $m=1$ и $\liminf_{n\to\infty} d_n= 0$. Тогда для матрицы $\mathbf{J}_{X,\alpha}(\mathbf{H})$ вида (5) нарушается условие $|a_n|\leqslant C$ теоремы 4. Кроме того, условие $b_{n-1}\cdot b_{n+1}\leqslant b_n^2$, принимает вид (ii) При $m\geqslant 1$ для матрицы (5) условие $\|\mathcal B_{n-1}\|\cdot\|\mathcal B_{n+1}\|\leqslant \|\mathcal B_n^{-1}\|^{-2}$ из [6; следствие 1] также принимает вид (9). Поэтому, второе из условий (9) также противоречит условию $\liminf_{n\to\infty} d_n=0$. Таким образом, в случае $\liminf_{n\to\infty} d_n=0$ результаты работы Костюченко, Мирзоева [6] также не применимы к операторам $\mathbf{J}_{X,\alpha}(\mathbf{H})$ при $m\geqslant 1$. 3. Класс якобиевых матриц ${\mathcal J}_{X,\alpha}(\mathbf{H},m)$. Самосопряженность и дискретностьЗдесь указывается подкласс класса ${\mathcal J}_{X,\alpha}(\mathbf{H},m)$ блочно якобиевых матриц, оказывающихся самосопряженными и при условии $\{d_n\}_1^\infty\in l^2(\mathbb N)$, т.е. при нарушении теста Карлемана (2). Теорема 5. Пусть $\mathbf{J}_{X,\alpha}(\mathbf{H})\in {\mathcal J}_{X,\alpha}(\mathbf{H},m)$ и ${\mathcal A}$ – блочная диагональ якобиевой матрицы $\mathbf{J}_{X,\alpha}(\mathbf{H})$ с $\ker{\mathcal A}=\{0\}$. Если к тому же $\alpha_n<0$, $n\in\mathbb N$, и $\alpha_n$ допускают оценку то оператор $\mathbf{J}_{X,\alpha}(\mathbf{H})$ самосопряжен в $l^2(\mathbb N_0;\mathbb C^m)$. Следствие 3. Пусть $\mathbf{J}_{X,\alpha}(\mathbf{H})\in {\mathcal J}_{X,\alpha}(\mathbf{H},m)$ и ${\mathcal A}$ – блочная диагональ якобиевой матрицы $\mathbf{J}_{X,\alpha}(\mathbf{H})$ с $\ker{\mathcal A}=\{0\}$. Пусть также $\alpha_n<0$, $n\in\mathbb N$. Если к тому же минимальные собственные значения матриц $|\alpha_n|$ допускают оценку снизу: то оператор $\mathbf{J}_{X,\alpha}(\mathbf{H})$ самосопряжен в $l^2(\mathbb N_0;\mathbb C^m)$. Следствие 4. Пусть в условиях следствия 3 $\{d_n\}_1^\infty$ монотонно стремится к нулю ($d_n\downarrow0$). Тогда $n_\pm(\mathbf{J}_{X,\alpha}(\mathbf{H}))=0$, если при некоторых $N\in\mathbb N$ справедливы неравенства Замечание 3. Сопоставляя следствие 2 и теорему 5 при $\{d_n\}_1^\infty\in l^1(\mathbb N)$ и $\{d_n\}_1^\infty\downarrow0$, приходим к следующим импликациям: Дополним теорему 5 условиями дискретности спектра матрицы $\mathbf{J}_{X,\alpha}(\mathbf{H})$. Теорема 6. Пусть выполнены условия теоремы 5 и $\mathcal A':=\operatorname{diag}\{\alpha_1/d_2,\alpha_2/d_3,\ldots\}$ – часть диагонали ${\mathcal A}$ матрицы $\mathbf{J}_{X,\alpha}(\mathbf{H})$. Если $\mathcal A'$ имеет дискретный спектр, то спектр матрицы $\mathbf{J}_{X,\alpha}(\mathbf{H})= \mathbf{J}_{X,\alpha}^*(\mathbf{H})$ также дискретен. Более того, если $\mathcal A^{-1}\in\mathcal S_p(l^2(\mathbb N_0;\mathbb C^m))$, $p\in(1,\infty]$, то $(\mathbf{J}_{X,\alpha}(\mathbf{H})-i\mathbb I)^{-1}\in \mathcal S_p(l^2(\mathbb N_0;\mathbb C^m))$. В доказательстве результатов о самосопряженности и дискретности спектра в теоремах 5 и 6 используются, соответственно, теоремы 2.6 и 3.3 из [15]. 4. Применение к оператору Шрёдингера с точечными взаимодействиямиЗдесь мы применим результаты разделов 2 и 3 к операторам Шрёдингера с точечными взаимодействиями на конечном и бесконечном интервалах. Пусть $X=\{x_n\}_{n=0}^\infty\subset \mathcal I=(0,b)$, $b\leqslant \infty$ и $x_{n+1}>x_{n}$, $x_{0}=0$, $x_n\to b$, $n\in \mathbb{N}_0$. Пусть также $d_n:=x_{n}-x_{n-1}>0$ и $\alpha:=\{\alpha_n\}_1^\infty\subset\mathbb{C}^{m\times m}$, $\alpha_n=\alpha_n^*$, $n\in\mathbb N$. Следуя [7], [10], напомним определение матричных операторов Шрёдингера с $\delta$-взаимодействиями в $L^2(\mathcal I;\mathbb{C}^m)$. Пусть
$$
\begin{equation*}
{\mathbf H}^0_{X,\alpha}:=-\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}\otimes \mathbb I_m+\sum_{n=1}^{\infty}\alpha_n\delta(x-x_n),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \operatorname{dom}({\mathbf H}^0_{X,\alpha})= \biggl\{f\in W^{2,2}_{\mathrm{comp}}(\mathcal{I}\setminus X;\mathbb{C}^{m})\colon \begin{array}{c} f'(0+)=0,\ f(x_n+)=f(x_n-) \\ f'(x_n+)-f'(x_n-)=\alpha_n f(x_n) \end{array}\biggr\}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{11}
$$
Его замыкание обозначают ${\mathbf H}_{X,\alpha}$, ${\mathbf H}_{X,\alpha}:=\overline{{\mathbf H}^0_{X,\alpha}}$. В работах [7] ($m=1$) и [10], [15] ($m> 1$) показано, что многие спектральные свойства матричного оператора ${\mathbf H}_{X,\alpha}$ идентичны соответствующим свойствам блочного якобиевого оператора, ассоциированного в $l^2(\mathbb{N};\mathbb{C}^{m})$ с матрицей $\mathbf{J}_{X,\alpha}({\mathbf H})$. В частности, $n_{\pm}({\mathbf H}_{X,\alpha})= n_{\pm}(\mathbf{J}_{X,\alpha}({\mathbf H}))$. Предложение 1. Пусть $|\mathcal I|<\infty$, т.е. $\{d_n\}_1^\infty\in l^1(\mathbb N)$. Тогда индексы дефекта оператора ${\mathbf H}_{X,\alpha}$ в $L^2(\mathcal I;\mathbb{C}^m)$ максимальны, т.е. $n_\pm({\mathbf H}_{X,\alpha})=m$, если выполнено хотя бы одно из условий (6) или (7). Предложение 2. Пусть $|\mathcal I|\leqslant \infty$ и $\alpha_n<0$, $n\in\mathbb N$. Если выполнены условия (10), то ${\mathbf H}_{X,\alpha}={\mathbf H}_{X,\alpha}^*$. Если к тому же выполнены условия теоремы 6, то оператор ${\mathbf H}_{X,\alpha}$ самосопряжен, имеет дискретный спектр и $({\mathbf H}_{X,\alpha}-i\mathbb I)^{-1}\in \mathcal S_p(l^2(\mathbb N_0;\mathbb C^m))$, $p\in(1,\infty]$. Замечание 4. При $\{d_n\}_1^\infty\in l^2(\mathbb N)\setminus l^1(\mathbb N)$ предложение 2 дополняет результаты о самосопряженности из [7; предложение 5.7] ($m=1$), а также из [11; теорема 11], [10; теорема 2], [15; теорема 7.2] ($m\geqslant 1$) и дискретности спектра из [10; теорема 2], [15; теорема 7.2] операторов Шрёдингера ${\mathbf H}_{X,\alpha}$ на полуоси. 5. Класс якобиевых матриц ${\mathcal J}_{X,\alpha}(\mathbf{D},m)$Отнесем блочную якобиеву матрицу
$$
\begin{equation}
\mathbf{J}_{X,\alpha}(\mathbf{D})=\begin{pmatrix} \mathbb O_m & \dfrac{\nu(d_{1})}{d_1^{2}}\mathbb I_m & \mathbb O_m & \mathbb O_m & \mathbb O_m & \dots \\ \dfrac{\nu(d_{1})}{d_1^{2}}\mathbb I_m & \dfrac{\nu(d_{1})}{d_1^{2}}\mathbb I_m & \dfrac{\nu(d_{1})}{d_1^{3/2}d_2^{1/2}}\mathbb I_m & \mathbb O_m & \mathbb O_m & \dots \\ \mathbb O_m & \dfrac{\nu(d_{1})}{d_1^{3/2}d_2^{1/2}}\mathbb I_m & -\dfrac{\alpha_1}{d_2} & \dfrac{\nu(d_{2})}{d_2^{2}}\mathbb I_m & \mathbb O_m & \dots \\ \mathbb O_m & \mathbb O_m & \dfrac{\nu(d_{2})}{d_2^{2}}\mathbb I_m & \dfrac{\nu(d_{2})}{d_2^{2}}\mathbb I_m & \dfrac{\nu(d_{2})}{d_2^{3/2}d_3^{1/2}}\mathbb I_m & \dots \\ \mathbb O_m & \mathbb O_m & \mathbb O_m & \dfrac{\nu(d_{2})}{d_2^{3/2}d_3^{1/2}}\mathbb I_m & -\dfrac{\alpha_2}{d_3} & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \end{pmatrix}
\end{equation}
\tag{12}
$$
к классу ${\mathcal J}_{X,\alpha}(\mathbf{D},m)$. Полагаем ${\mathcal J}_{X,\alpha}(\mathbf{D}):= {\mathcal J}_{X,\alpha}(\mathbf{D},1)$. Здесь $\nu(x):=cx/\sqrt{1+c^2x^2}$ . Аналог теоремы 2 для матриц $\mathbf{J}_{X,\alpha}(\mathbf{D})$ получен в работах [8] ($m=1$) и [15] ($m\geqslant1$). Теорема 7. Пусть $\{d_n\}_1^\infty\in l^1(\mathbb N)$ и $\alpha_n=\alpha_n^*$, $n\in\mathbb{N}$. Тогда $n_{\pm}(\mathbf{J}_{X,\alpha}(\mathbf{D}))=m$, если при некоторых $0\leqslant a<1$ и $N\in\mathbb N$ выполнено условие Следствие 5. Пусть $\{d_n\}_1^\infty\in l^1(\mathbb N)$ и $\alpha_n=\alpha_n^*$, $n\in\mathbb{N}$. Тогда $n_\pm(\mathbf{J}_{X,\alpha}(\mathbf{D}))=m$, если при некоторых $0\leqslant a<1$ и $N\in\mathbb N$ выполнена оценка Замечание 5. (Сравнение с результатами работ [3] и [6].) (i) Пусть $m=1$ и $\lim_{n\to\infty} d_n =0$. Тогда для матрицы $\mathbf{J}_{X,\alpha}(\mathbf{D})$ вида (12) нарушается условие $|a_n|\leqslant C$ теоремы 4. Кроме того, условие $b_{n-1}\cdot b_{n+1}\leqslant b_n^2$, принимает вид
$$
\begin{equation}
\frac{\nu(d_{j+2})}{d_{j+1}^{1/2}d_{j+2}^{3/2}}\leqslant1 \Longrightarrow \frac{c d_{j+2}}{d_{j+1}^{1/2}d_{j+2}^{3/2}}= \frac{c}{d_{j+1}^{1/2}d_{j+2}^{1/2}}\leqslant 1 + \varepsilon \qquad \text{при} \quad n=2j+1,\quad j\geqslant N(\varepsilon)(\in\mathbb N).
\end{equation}
\tag{15}
$$
Но оценка (15) противоречит условию $\lim_{n\to\infty} d_n=0$ в теореме 7. Таким образом, теорема 4 Березанского не применима к операторам $\mathbf{J}_{X,\alpha}(\mathbf{D})$ класса ${\mathcal J}_{X,\alpha}(\mathbf{D})$ при $\lim_{n\to\infty} d_n= 0$. (ii) При $m\geqslant 1$ для матрицы (12) условие $\|\mathcal B_{n-1}\|\cdot\|\mathcal B_{n+1}\|\leqslant \|\mathcal B_n^{-1}\|^{-2}$ из [6; следствие 1] также принимает вид (15). Поэтому, при условии $\lim_{n\to\infty}d_n=0$ результаты Костюченко, Мирзоева [6] не применимы к операторам $\mathbf{J}_{X,\alpha}(\mathbf{D})$ класса ${\mathcal J}_{X,\alpha}(\mathbf{D},m)$. Далее, приведем, зависящие от $\alpha_n$, условия самосопряженности блочных якобиевых матриц $\mathbf{J}_{X,\alpha}(\mathbf{D})$ вида (12) при нарушении условия Карлемана (2). Теорема 8. Пусть $\{d_n\}_1^\infty\in l^1(\mathbb N)$ и $\mathbf{J}_{X,\alpha}(\mathbf{D})\in {\mathcal J}_{X,\alpha}(\mathbf{D},m)$. Пусть также $\alpha_n<0$ и $\ker {\mathcal A}=\{0\}$, где ${\mathcal A}$ – диагональ матрицы $\mathbf{J}_{X,\alpha}(\mathbf{D})$. Тогда оператор $\mathbf{J}_{X,\alpha}(\mathbf{D})$ самосопряжен в $l^2(\mathbb N_0;\mathbb C^m)$, если Замечание 6. Пусть $\{d_n\}_1^\infty\in l^1(\mathbb N)$ и $\mathbf{J}_{X,\alpha}(\mathbf{D})\in {\mathcal J}_{X,\alpha}(\mathbf{D},m)$. Сопоставляя результаты следствия 5 и теоремы 8, приходим к следующим импликациям при $m\geqslant1$: Теорема 9. Пусть выполнены условия теоремы 8 и $\mathcal A':=\operatorname{diag}\{\alpha_1/d_2, \alpha_2/d_3,\dots\}$ – часть диагонали матрицы $\mathbf{J}_{X,\alpha}(\mathbf{D})$. Если $\mathcal A'$ имеет дискретный спектр, то спектр $\mathbf{J}_{X,\alpha}(\mathbf{D})= \mathbf{J}_{X,\alpha}^*(\mathbf{D})$ также дискретен. Более того, если $(\mathcal A')^{-1}\in \mathcal S_p(l^2(\mathbb N_0;\mathbb C^{2m}))$, $p\in(1;\infty]$, то $(\mathbf{J}_{X,\alpha}(\mathbf{D})-i\mathbb I)^{-1}\in \mathcal S_p(l^2(\mathbb N_0;\mathbb C^{2m}))$. 6. Применение к оператору Дирака с точечными взаимодействиямиЗдесь мы применим результаты раздела 5 к операторам Дирака с точечными взаимодействиями. Следуя [8], [12], [15], напомним определение операторов, описывающих матричные операторы Дирака с $\delta$-взаимодействиями в $L^{2}(\mathcal{I};\mathbb C^{2m})$. Пусть ${\mathrm {\mathbf D}}_{X,\alpha}$ – замыкание оператора $\mathrm{\mathbf D}_{X,\alpha}^0$ вида
$$
\begin{equation}
\mathrm{\mathbf D}_{X,\alpha}^0 :=-i\,c\, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\otimes \begin{pmatrix} \mathbb O_m & \mathbb I_m \\ \mathbb I_m & \mathbb O_m \end{pmatrix}+\frac{c^{2}}{2}\begin{pmatrix} \mathbb I_m & \mathbb O_m \\ \mathbb O_m & -\mathbb I_m \end{pmatrix}+\sum_{n=1}^{\infty}\alpha_n\delta(x-x_n),
\end{equation}
\tag{17}
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber \operatorname{dom}(\mathrm{\mathbf D}_{X,\alpha}^0) = \biggl\{f\in W^{1,2}_{\mathrm{comp}}(\mathcal{I} \setminus X; \mathbb{C}^{2m})\colon f_{\mathrm{I}}\in \mathrm{AC}_{\mathrm{loc}}(\mathcal{I}),\, f_{\mathrm{II}}\in \mathrm{AC}_{\mathrm{loc}}(\mathcal{I}\setminus X);
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad f_{\mathrm{II}}(0+)=0,\, f_{\mathrm{II}}(x_{n}+)-f_{\mathrm{II}}(x_{n}-)= -\frac{i\alpha_{n}}{c}f_{\mathrm{I}}(x_{n}),\, n\in\mathbb{N}\biggr\}.
\end{equation}
\tag{18}
$$
Здесь $\alpha_n=\alpha_n^*\subseteq\mathbb{C}^{m\times m}$, $n\in\mathbb N$, $f=\begin{pmatrix} f_{\mathrm{I}} & f_{\mathrm{II}} \end{pmatrix}^\top$. В работах [8] ($m=1$) и [12], [15] ($m>1$) показано, что многие спектральные свойства матричного оператора Дирака с $\delta$-взаимодействиями ${\mathbf D}_{X,\alpha}$ идентичны соответствующим свойствам блочного якобиевого оператора, ассоциированного в $l^2(\mathbb{N};\mathbb{C}^{2m})$ с матрицей $\mathbf{J}_{X,\alpha}({\mathbf D})$. В частности, $n_{\pm}({\mathbf D}_{X,\alpha})= n_{\pm}(\mathbf{J}_{X,\alpha}({\mathbf D}))$. В работах [16], [17] исследуются спектральные свойства одномерных операторов Дирака с сингулярными потенциалами на всей оси. Предложение 3. Пусть $|\mathcal I|<\infty$, т.е. $\{d_n\}_1^\infty\in l^1(\mathbb N)$. Тогда индексы дефекта оператора ${\mathbf D}_{X,\alpha}$ в $L^2(\mathcal I;\mathbb{C}^{2m})$ максимальны, если выполнено условие (13). Предложение 4. Пусть $|\mathcal I|<\infty$ и $\alpha_n<0$, $n\in\mathbb N$. Если выполнены условия (16), то ${\mathbf D}_{X,\alpha}={\mathbf D}_{X,\alpha}^*$. Если к тому же выполнены условия теоремы 9, то оператор ${\mathbf D}_{X,\alpha}$ самосопряжен, имеет дискретный спектр и $({\mathbf D}_{X,\alpha}- i\mathbb I)^{-1}\in\mathcal S_p(l^2(\mathbb N_0;\mathbb C^{2m}))$, $p\in(1,\infty]$. Предложение 4 дополняет результат теоремы 7.7 из [15].
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BudMalPok23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|