| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Краткие сообщения Классы Райдемайстера, сплетения и разрешимость Е. В. Троицкийab a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623110779 
Реферативные базы данных:
  Классы Райдемайстера, или классы крученной сопряженности автоморфизма $\varphi$ группы $\Gamma$ – это классы эквивалентности по отношению $x\sim yx\varphi(y^{-1})$. Их число $R(\varphi)$ (конечное или бесконечное ) называется числом Райдемайстера. Следующие три направления образуют сердцевину современного изучения классов Райдемайстера. 1. Доказательство или опровержение так называемой гипотезы $\mathrm{TBFT}$ (twisted Burnside–Frobenius theory): число Райдемайстера $R(\varphi)$ (при условии его конечности) совпадает с числом тех классов эквивалентности неприводимых унитарных представлений $\Gamma$, которые неподвижны при действии индуцированного гомеоморфизма $\widehat{\varphi}$ унитарного двойственного пространства $\widehat{\Gamma}$. Также изучается ее конечномерная версия $\mathrm{TBFT}_f$ (где рассматриваются только конечномерные неподвижные представления). Можно рассматривать это свойство и для индивидуального автоморфизма. Наиболее значительными классами групп, для которых $\mathrm{TBFT}_f$ верна, являются почти-полициклические группы [1] и финитно-аппроксимируемые группы конечного ранга Прюфера [2]. С другой стороны, в [3] мы нашли пример бесконечно порожденной финитно-аппроксимируемой группы, которая не удовлетворяет ни $\mathrm{TBFT}$, ни $\mathrm{TBFT}_f$. 2. В качестве противоположного случая, ищутся классы групп, у которых любой автоморфизм имеет бесконечное число Райдемайстера (это свойство называется $R_\infty$). И тут список результатов является весьма длинным, так что мы упомянем только обзорные и самые недавние работы: [2], [4]–[8]. 3. Изучение рациональности и других свойств дзета-функции Райдемайстера, построенной по $R(\varphi^n)$ (последние продвижения см., например, в [9]). В настоящей работе мы будем иметь дело с первыми двумя направлениями. Развивая результаты [10], мы сформулировали в [5] следующую гипотезу: Гипотеза R. Пусть $\Gamma$ – конечно-порожденная финитно-аппроксимируемая группа. Тогда или $\Gamma$ обладает свойством $R_\infty$, или $\Gamma$ является почти-разрешимой. Эта гипотеза обсуждалась в нескольких работах, в частности, в [11]. Поддерживающий ее недавний результат [2] утверждает: любая финитно-аппроксимируемая группа конечного верхнего ранга, допускающая автоморфизм $\varphi$ с конечным числом Райдемайстера $R(\varphi)$, является почти-разрешимой. Основными результатами настоящей работы являются следующие. A. Гипотеза $\mathrm{TBFT}_f$ верна для автоморфизмов конечного порядка ограниченного сплетения $G\wr \mathbb{Z}^k$, где $G$ – произвольная конечная группа (теорема 3). Для доказательства потребовалось техническое ограничение (4), которое типично выполняется автоматически (см., например, [12], [13]). B. Вышеуказанная гипотеза (R) верна в этой ситуации. Точнее, предположим, что ограниченное сплетение $\Gamma=G\wr \mathbb{Z}^k$, где $G$ – произвольная конечная группа, допускает автоморфизм $\varphi$ конечного порядка с $R(\varphi)<\infty$. Тогда (при том же ограничении) $\Gamma$ почти разрешима (и даже разрешима) (теорема 4). Утверждение A обобщает часть результатов [12], [13]. Напомним некоторые факты, которые будут использоваться в доказательствах, а также выведем некоторые их подходящие модификации. Пусть $\mathbf{F}(\varphi):=\{g\in \Gamma \colon \varphi(g)=g\}$ – подгруппа неподвижных элементов $\varphi$. Мы будем использовать обозначение $\tau_g(x)=gxg^{-1}$ для внутреннего автоморфизма, равно как и для его ограничения на нормальную подгруппу. Из равенства
$$
\begin{equation*}
yg\varphi(y^{-1})x= ygx x^{-1}\varphi (y^{-1})x= y(gx) (\tau_{x^{-1}} \circ \varphi )(y^{-1}),
\end{equation*}
\notag
$$
вытекает очень полезное утверждение (см., например, [1]):
Лемма 1. Сдвиги классов Райдемайстера $\varphi$ – это классы Райдемайстера $\tau_{x^{-1}} \circ \varphi$: $\{g\}_\varphi x= \{gx\}_{\tau_{x^{-1}} \circ \varphi}$. Таким образом, $R(\tau_g\circ \varphi)=R(\varphi)$. Лемма 2 [10]. Пусть $\Gamma$ – финитно-аппроксимируемая группа, а $\varphi\colon \Gamma\to\Gamma$ – ее автоморфизм конечного порядка с $R(\varphi)<\infty$. Тогда $|\mathbf{F}({\varphi})|< \infty$. Лемма 3 [14; предложение 3.4]. Пусть $\Gamma$ является конечно-порожденной финитно-аппроксимируемой группой, а $\varphi\colon \Gamma\,{\to}\,\Gamma$ – ее автоморфизмом с $R(\varphi)\,{<}\,\infty$. Тогда $|\mathbf{F}({\varphi})|\,{<}\,\infty$. Лемма 4 [15], [16], а также [1]. Пусть $\varphi\colon \Gamma\to \Gamma$ – автоморфизм, $H$ – нормальная $\varphi$-инвариантная подгруппа $\Gamma$, так что $\varphi$ индуцирует автоморфизмы Следующее утверждение было получено в [17] с использованием классификации простых конечных групп. Теорема 1. Конечная группа с автоморфизмом без неподвижных элементов (т.е. регулярным) является разрешимой. Напомним также следующее фольклорное наблюдение. Лемма 5. Для произвольного автоморфизма $f\colon F\to F$ конечной группы выполняется $R(f)>1$ тогда и только тогда, когда $\mathbf{F}(f)\ne \{e\}$. Доказательство. Действительно, рассмотрим класс Райдемайстера $\{e\}_f$ как орбиту скрученного действия $G$ на себе: $g\colon x \mapsto gx f(g^{-1})$. Тогда по теореме об орбите и стабилизаторе $R(f)=1$, т.е. $\{e\}_f=G$, тогда и только тогда, когда стабилизатор $e$ при скрученном действии тривиален. Но $x e f(x^{-1}) =e$ тогда и только тогда, когда $x\in \mathbf{F}(f)$.
Мы говорим, что классы Райдемайстера ${\varphi}\colon \Gamma \,{\to}\,\Gamma$ разделяются эпиморфизмом $f\colon \Gamma \,{\to}\, F$ на конечную группу $F$, если $f$ индуцирует биекцию классов Райдемайстера. Следующее утверждение может быть извлечено из [1], [14]. Лемма 6. Пусть ${\varphi}\colon \Gamma \to \Gamma$ имеет $R(\varphi)<\infty$. Тогда $\mathrm{TBFT}_f$ верна для $\varphi$ тогда и только тогда, когда классы Райдемайстера ${\varphi}$ разделяются некоторым эпиморфизмом $f\colon \Gamma \to F$ на конечную группу $F$. Доказательство. Действительно, каждый класс эквивалентности неприводимого унитарного конечномерного представления $[\rho]$, который неподвижен при действии $\widehat{\varphi}$, порождает функцию $g\mapsto \mathrm{Trace} (V \rho(g))$, где $V$ – унитарный сплетающий оператор между $\rho$ и $\rho\circ\varphi$. Эта функция постоянна на классах Райдемайстера. Она является матричным коэффициентом и такие функции являются единственными матричными коэффициентами, которые постоянны на классах Райдемайстера. Чтобы увидеть это, достаточно представить произвольный матричный коэффициент как подкрученный след и получить, что подкрутка должна задаваться сплетающим оператором. Для различных классов представлений эти матричные элементы линейно независимы. Значит, число классов скрученной сопряженности $R(\varphi)$ не меньше числа $\mathrm{Fix}(\widehat{\varphi})$ классов унитарных неприводимых конечномерных представлений, неподвижных при действии $\widehat{\varphi}$ (здесь мы обозначаем через $\widehat{\varphi}$ индуцированный гомеоморфизм на конечномерной части унитарного двойственного пространства).
Если классы Райдемайстера разделяются $f$, то $R(\varphi)=R(\varphi_F)$, где $\varphi_F\colon F\to F$ – индуцированный автоморфизм. Тогда
$$
\begin{equation*}
\mathrm{Fix}(\widehat{\varphi}) \leqslant R(\varphi)=R(\varphi_F) = \mathrm{Fix}(\widehat{\varphi_F}) \leqslant \mathrm{Fix}(\widehat{\varphi}).
\end{equation*}
\notag
$$
Обратно, пусть $R(\varphi)=|\mathrm{Fix}(\widehat{\varphi})|$ и $\mathrm{Fix}(\widehat{\varphi})= \{\rho_1,\dots,\rho_r\}$. Поскольку $R(\varphi)$ конечно, то каждое $\rho_i$ конечно, т.е. пропускается через $f_i\colon \Gamma \to F_i$, $\rho_i=\widetilde{\rho}_i \circ f_i$, для некоторой конечной группы $F_i$. Тогда отображение $f=f_1\oplus\cdots \oplus f_r; \Gamma \to F_1\oplus\cdots \oplus F_r=F$ разделяет классы Райдемайстера, поскольку для канонических проекций $p_i \colon F\to F_i$ представления $ \widetilde{\rho}_i \circ p_i$ of $F$ неподвижны и неэквивалентны. Значит, $R( \varphi)\geqslant R(\varphi_F)\geqslant r = R( \varphi)$, т.е. $f$ разделяет классы. Это завершает доказательство. Теперь перейдем к рассмотрению (ограниченных) сплетений. По определению имеем $F\wr \mathbb{Z}^k = \Sigma \rtimes_\alpha \mathbb{Z}^k$, где $\Sigma$ обозначает $\bigoplus_{x\in \mathbb{Z}^k} F_x$, а $\alpha(x)(g_y) =g_{x+y}$. Здесь через $g_x$ обозначен $g$ как элемент $F \cong F_x$. Нам понадобится описание автоморфизмов полупрямого произведения $H \rtimes K$, где $H$ – характеристическая, в виде матриц где $a \in \operatorname{Aut}(H)$, $d \in \operatorname{Aut}(K)$, а $b\colon K\to H$ удовлетворяет
Таким образом, поскольку $\Sigma$ – характеристическая в $\Gamma$ (как подгруппа кручения), то мы видим, что автоморфизм $\varphi$ может быть определен $a=\varphi'\colon \Sigma \to \Sigma$, $d=\overline{\varphi}\colon \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ и $b\colon {\mathbb Z}^k \to \Sigma$, удовлетворяющими, в частности,
$$
\begin{equation}
\varphi'(\alpha(m)(h))=b(m)[\alpha(\overline{\varphi}(m))(\varphi'(h))] b(-m), \qquad h\in\Sigma, \quad m\in {\mathbb Z}^k.
\end{equation}
\tag{1}
$$
Тогда
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag (\varphi')^2(\alpha(m)(h))=\varphi'(b(m)) b(m) \bigl[\alpha(\overline{\varphi}^2(m))((\varphi')^2 (h))\bigr] b(-m) \varphi'(b(-m)), \\ (\varphi')^q (\alpha(m)(h))=\tau_{\beta(q)} \bigl[\alpha(\overline{\varphi}^q(m))((\varphi')^q (h))\bigr], \qquad\text{где}\quad \beta(q):=(\varphi')^{q-1}(b(m)) \cdots\varphi'(b(m)) b(m). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2}
$$
Определение 1. Для $\omega = \sum_m g_m \in \Sigma$ определим носитель $\omega$ в ${\mathbb Z}^k$ как $\operatorname{supp}_{\mathbb{Z}^k} (\omega)= \{m\in \mathbb{Z}^k \colon g_m \ne e\}$. Поскольку $\tau_g(g')=e$ тогда и только тогда, когда $g'=e$, $g,g'\in F$, имеем
$$
\begin{equation}
\operatorname{supp}_{\mathbb{Z}^k} \bigl(\tau_{\beta(q)} [\alpha(\overline{\varphi}^q(m))((\varphi')^q (h))]\bigr) =\operatorname{supp}_{\mathbb{Z}^k} \bigl(\alpha(\overline{\varphi}^q(m))((\varphi')^q (h))\bigr).
\end{equation}
\tag{3}
$$
В абелевом случае следующее утверждение обсуждалось в [19], [6]. Лемма 7. Автоморфизм $\varphi\colon F\wr \mathbb{Z}^k \to F \wr \mathbb{Z}^k$, где $|F|<\infty$, имеет $R(\varphi)<\infty$ тогда и только тогда, когда $R(\overline{\varphi})< \infty$ и $R(\tau_m \circ \varphi')<\infty$ для всякого $m \in \mathbb{Z}^k$, где $\varphi'\colon \bigoplus_m F_m \to \bigoplus_m F_m$ и $\overline{\varphi}\colon \mathbb{Z}^k \to \mathbb{Z}^k$ индуцированы $\varphi$ (на самом деле, достаточно проверить это для представителей классов Райдемайстера $\overline{\varphi}$). Доказательство. Пусть $R(\varphi)<\infty$. Из леммы 4 получаем $R(\overline{\varphi})<\infty$. Тогда по лемме 3 получаем, что $|\mathbf{F}(\overline{\varphi})|<\infty$ (на самом деле, $|\mathbf{F}(\overline{\varphi})|=1$, поскольку автоморфизм $\mathbb{Z}^k$ не может иметь конечное число неподвижных элементов, за исключением только $0$). Так что по лемме 4 получаем, что $R(\varphi')<\infty$. Рассматривая $\tau_z \circ \varphi$, для которого имеем $R(\tau_z \circ \varphi)=R(\varphi)<\infty$, вместо $\varphi$, получаем таким же образом, что $R(\tau_z \circ \varphi')<\infty$.
Обратно, при $|\mathbf{F}(\overline{\varphi})|=1$ можно применить лемму 4 (формулу из последнего пункта) и воспользоваться равенством $R(\tau_{\sigma s} \varphi')=R(\tau_{s} \varphi')$, где $\sigma \in \bigoplus_m F_m$, $s\in \mathbb{Z}^k$, см. лемму 1. Чтобы доказать основные утверждения, нужно наложить следующее требование:
$$
\begin{equation}
\operatorname{order}(\varphi')=\operatorname{order}(\overline{\varphi})=:s.
\end{equation}
\tag{4}
$$
Во многих случаях доказано, что это условие выполняется автоматически [12], [13].
Теорема 2. Пусть $\varphi$ – автоморфизм конечного порядка ограниченного сплетения $G\wr {\mathbb Z}^k=\bigoplus_{m\in {\mathbb Z}^k} G_m \rtimes_\alpha {\mathbb Z}^k$, где $G$ – конечная группа, причем выполнено (4). Если $R(\varphi')<\infty$, то $R(\varphi')=1$. Доказательство. Предположим, что $R(\varphi')>1$. Тогда имеется такой элемент $\sigma\in \Sigma$, что $\sigma\not \in \{ e\}_{\varphi'}$. Значит, $\sigma\not \in \{ e\}_{\varphi'_\sigma}$, где $\varphi'_\sigma$ – ограничение $\varphi'$ на $\varphi'$-инвариантную подгруппу $\Sigma_\sigma$, порожденную $\sigma$. Это следует из очевидного наблюдения
$$
\begin{equation*}
\{ e\}_{\varphi'_\sigma}=\{g (\varphi'_\sigma)^{-1} (g) \colon g \in \Sigma_\sigma\} =\{g (\varphi')^{-1} (g) \colon g \in \Sigma_\sigma\} \subseteq \{g (\varphi')^{-1} (g) \colon g \in \Sigma \}= \{ e\}_{\varphi'}.
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, $R(\varphi'_\sigma)>1$. Тогда по определению $\Sigma_\sigma$ – конечная группа с образующими $\sigma,\varphi'(\sigma),\dots,(\varphi')^s(\sigma)$ (поскольку $\Sigma$ локально конечная). Значит, $\varphi'_\sigma$ имеет нетривиальный неподвижный элемент $\sigma_0$, $\varphi'_\sigma(\sigma_0)=\sigma_0$ и $\sigma_0\ne 0$ (см. лемму 5). Рассмотрим элемент $m\in{\mathbb Z}^k$, принадлежащий орбите максимальной длины $s$, т.е. $\overline{\varphi}^s(m)=m$ и $\overline{\varphi}^j(m)$ попарно различны для $j=0,\dots,s-1$. Переходя при необходимости от $m$ к $n_1 m$, $n_1 \in {\mathbb Z}$, $m\in {\mathbb Z}^k$, мы можем считать, что носители $\operatorname{supp}_{\mathbb{Z}^k}(\alpha(\overline{\varphi}^j(n_1 m))\sigma_0)$, $j=0,\dots,t$, не пересекаются. Действительно, поскольку элементы $\overline{\varphi}^j(m) \in \mathbb{Z}^k$ различны, $j=0,\dots,s-1$, то мы можем взять настолько большое $n_1$, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\overline{\varphi}^j(n_1 m) - \overline{\varphi}^l (n_1 m)\| &=\|n_1 \overline{\varphi}^j(m) - n_1 \overline{\varphi}^l (m)\| \\ &=|n_1| \cdot \|\overline{\varphi}^j(m) - \overline{\varphi}^l (m)\| > 2 \operatorname{diam} (\operatorname{supp}_{\mathbb{Z}^k}( \sigma_0)), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\|\cdot\|$ – евклидова норма на $\mathbb{Z}^k \subset\mathbb{R}^k$. Тогда в силу равенств (2) и (3) носители $\operatorname{supp}_{\mathbb{Z}^k}( (\varphi')^j(\alpha(n_1 m)\sigma_0)$ не пересекаются, $j=0,\dots,s-1$. В частности, эти элементы коммутируют и $\sigma_1=\prod_{j=0}^{s-1} (\varphi')^j(\alpha(n_1 m)\sigma_0$ является неподвижным элементом $\varphi'$. Более того, $\sigma_1\ne e$, $\sigma_1\ne \sigma_0$. Увеличивая $n=n_1,n_2,\dots$ “достаточно быстро”, мы получаем этим же способом бесконечно много различных неподвижных элементов. Тогда по лемме 2 $R(\varphi')=\infty$. Противоречие. Теорема 3. Пусть $\varphi$ – автоморфизм конечного порядка ограниченного сплетения $G\wr {\mathbb Z}^k=\bigoplus_{m\in {\mathbb Z}^k} G_m \rtimes_\alpha {\mathbb Z}^k$, где $G$ – конечная группа, и выполнено (4). Тогда $\varphi$ имеет свойство $\mathrm{TBFT}_f$. Доказательство. По лемме 7 из $R(\varphi)<\infty$ следует $R(\varphi')<\infty$. Тогда из теоремы 2 следует, что $R(\varphi')=1$. Рассматривая $\tau_z \circ \varphi$ вместо $\varphi$ с самого начала, мы видим, что $R(\tau_z \circ \varphi')= 1$ для любого $z\in {\mathbb Z}^k$. Значит, по лемме 4 классы Райдемайстера $\{g\}_\varphi$ автоморфизма $\varphi$ являются прообразами классов Райдемайстера $\{z\}_{\overline{\varphi}}$ автоморфизма $\overline{\varphi}$ при канонической проекции $\pi\colon G\wr {\mathbb Z}^k \to {\mathbb Z}^k$, т.е. $\{g\}_\varphi=\pi^{-1}(\{\pi(g)\}_{\overline{\varphi}})$. Поэтому, если классы $\overline{\varphi}$ разделяются эпиморфизмом $f\colon {\mathbb Z}^k \to A$ на конечную абелеву группу $A$, то классы $\varphi$ разделяются $f\circ\pi$. Значит, по лемме 6 утверждение следует из $\mathrm{TBFT}_f$ для абелевых групп [15] (см. также [1]).
Теорема 4. Предположим, что ограниченное сплетение $\Gamma=G\wr \mathbb{Z}^k$, где $G$ – произвольная конечная группа, допускает автоморфизм $\varphi$ конечного порядка с $R(\varphi)<\infty$, для которого выполняется (4). Тогда $\Gamma$ разрешима. Доказательство. Аналогично доказательству теоремы 3 рассмотрим $\varphi'$-инвариантную подгруппу $\Sigma_0\subset \Sigma$, порожденную $G_0$. Это конечная подгруппа, порожденная $G_0, \varphi' (G_0), \dots, (\varphi')^{s-1} (G_0)$. Тогда ограничение $\varphi'_0\colon \Sigma_0 \to \Sigma_0$ не имеет нетривиальных неподвижных элементов, как показано выше (в качестве ключевого шага доказательства теоремы 3). Тогда по теореме 1 группа $\Sigma_0$ разрешима. При этом $G_0$ – образ композиции $\Sigma_0 \hookrightarrow \Sigma \xrightarrow {p_0} G_0$, где $p_0$ – каноническая проекция. Поэтому $G_0$ разрешима. Тогда $\Sigma$ и $[\Gamma,\Gamma]\subseteq \Sigma$ разрешимы. Значит, $\Gamma$ разрешима.
Замечание. Важным наблюдением, связанным с этими группами, является то, что типично подгруппа $\Sigma$ не удовлетворяет ни TBFT, ни $\mathrm{TBFT}_f$, как показано в [3] (конечно, с нарушением для автоморфизма, отличного от $\varphi'$). Автор благодарен профессору А. А. Клячко за ценную критику первоначальной версии данной работы.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Tro23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|