| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Асимптотика решения одной начально-краевой задачи для одномерного уравнения Клейна–Гордона на полуоси Е. С. Смирнова Балтийский федеральный университет им. И. Канта, г. Калининград
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623090286 
Реферативные базы данных:
 1. ВведениеРассматривается решение одномерного уравнения Клейна–Гордона на полуоси $z \geqslant 0$, $t \geqslant 0$
$$
\begin{equation}
\frac{\partial^2 U}{\partial t^2}-c^2\frac{\partial^2 U}{\partial z^2}+a U=0
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
c граничным и начальными условиями
$$
\begin{equation}
U \big|_{z=0}=F(t), \qquad U \big|_{t=0}=U_t \big|_{t=0}=0,
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где $F(t)$ – быстро убывающая при $t\to\infty$ функция и $a, c$ – положительные параметры. В качестве примера далее будем использовать функцию
$$
\begin{equation}
F(t)= A\lambda^2 te^{-\lambda t} \quad \text{при}\ \ t>0, \qquad F(t)= 0 \quad \text{при}\ \ t\leqslant0.
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
В более общем случае можно рассмотреть случай, когда
$$
\begin{equation}
F^n(t)=\frac{A_n}{(n+1)!} \lambda^{n+2} t^{n+1} e^{-\lambda t} \quad \text{при}\ \ t>0, \qquad F(t)= 0 \quad \text{при}\ \ t\leqslant0,
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
где $A$ – (размерная) константа, представляющая амплитуду возмущения на границе. Условия (1.3), (1.4) нормированы таким образом, что интеграл $\int_0^\infty F(t)\,dt = A_n$. Заметим, что решение $U^n$ задачи с условием (1.4) связано с решением $U$ задачи с условием (1.3) формулой
$$
\begin{equation}
U^n=(-1)^n\frac{A_n \lambda^{n+2}}{(n+1)!}\,\frac{\partial^n}{\partial \lambda^n}\biggl(\frac{U}{A \lambda^2}\biggr).
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
Цель работы – получение достаточно эффективных асимптотических формул для решения. Для решения поставленной задачи будем использовать методы, основанные на преобразовании Лапласа [1] и методе стационарной фазы [2]. Также мы используем некоторые соображения, изложенные в работах [3], [4]. 2. Мотивация рассмотрения начально краевой задачи для уравнения Клейна–ГордонаПостановка и решение начально-краевой задачи для одномерного уравнения Клейна–Гордона на полуоси могут оказаться крайне полезными в рамках рассмотрения задач физики атмосферы. Например, в рамках задачи моделирования вертикальной эволюции возмущения атмосферного газа, индуцированного движением нижней границы среды, которое может быть вызвано такими явлениями как землетрясения или цунами [5]. При постановке задачи используется традиционная система уравнений одномерной гидротермодинамики (система дифференциальных уравнений в частных производных), описывающая вертикальное движение атмосферного газа [6]–[9]:
$$
\begin{equation}
\frac{\partial U}{\partial t}=\frac{1}{\rho_0}\biggl(\frac{\gamma-2}{2\gamma H}-\frac{\partial}{\partial z}\biggr)P+\frac{\Phi}{\gamma H\rho_0},
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{\partial P}{\partial t}=-\gamma g H\rho_0\biggl(\frac{\partial U}{\partial z}\biggr)-g\rho_0\frac{\gamma-2}{2}U,
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{\partial\Phi}{\partial t}=-(\gamma-1)\rho_0gU,
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
где $U, P, \Phi$ – переменные, представляющие скорость потока, возмущения давления и плотности [5]. Продифференцируем уравнение (2.1) по времени $t$ и выразим производные $\partial P / \partial t$ и $\partial\Phi / \partial t$ через функцию $U$ и ее производные. Простые вычисления приводят к уравнению (1.1) с параметрами $c^2=\gamma g H$, $a=g\gamma/(4 H)$. Краевое условие (1.3) означает, что на границе $z=0$ возникает поток, скорость которого со временем уменьшается, параметр $1/\lambda$ определяет характерное время действия источника. В реальной задаче интересны следующие значения: $\gamma=3/2$, $g=9.8\,\mathrm m/\mathrm{sec}^2 $, $H=H(z)$ – параметр стратификации среды, который в общем случае зависит от высоты, но в данной задаче выбрано постоянное значение $H= 8000\,\mathrm m$, тогда
$$
\begin{equation*}
c=346.41\,\frac{\mathrm m}{\mathrm{sec}}, \qquad a=0.00046875\,\frac{1}{\mathrm{sec}^2}, \qquad \lambda=\frac{1}{300}\,\frac{1}{\mathrm{sec}} .
\end{equation*}
\notag
$$
В полученном уравнении разумно перейти к безразмерным временной и пространственной переменным. Именно, пусть $L$ – характерный размер области и $T$ – характерное время, для которых этот процесс изучается. Из дальнейшего будет ясно, что решение рассматриваемой задачи не обращается в нуль, только если $z\leqslant c t$, поэтому разумно считать, что $T= L/c$. Введем новые переменные $\zeta=z/L=z/(c T)$, $\tau=t/T$, перейдем к ним в уравнении (1.1) и граничном условии (1.2), обозначим $\mu=\lambda T=4.81125$ и введем параметр $ h=1/(\sqrt{a}T)=0.032$. Опуская для упрощения обозначений штрихи, мы приходим к задаче в безразмерных переменных
$$
\begin{equation}
h^2\biggl(\frac{\partial^2 U}{\partial \tau^2}-\frac{\partial^2 U}{\partial \zeta^2}\biggr)+ U=0, \qquad \tau> 0, \quad \zeta>0,
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
$$
\begin{equation}
U \big|_{\zeta=0}=f(\tau)=F(tT), \qquad U \big|_{\tau=0}=U_\tau \big|_{\tau=0}=0.
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Функция $f$, отвечающая (1.3), при $\tau>0$ принимает вид
$$
\begin{equation*}
f(\tau)= \frac{A}{T}\mu^2 \tau e^{-\mu \tau}, \qquad \mu=T \lambda.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим реальный пример $L=500000\,\mathrm m$, тогда $T=1443.38\,\mathrm{sec}$ и $ h=0.032$, $\mu=4.81125 $. Таким образом в безразмерных величинах мы имеем задачу (2.4), (2.5) с малым параметром $h$ и c гладкой граничной функцией; при этом нас интересует поведение решения при $\zeta\in [0,1]$ и $t=O(1)$ при $h\ll1$. Заметим также, что формально переход от исходной задачи в размерных переменных к задаче в безразмерных состоит в выборе $c=1$, $a=1/h^2$ и в случае специального граничного условия – в замене $\lambda=\mu$.
3. Решение волнового уравнениеДля проведения аналогий с исследуемой задачей, приведем хорошо известное решение рассматриваемой задачи для одномерного волнового уравнения (случай $a=0$) на полупрямой $z\geqslant 0$:
$$
\begin{equation}
\frac{\partial^2 U}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 U}{\partial z^2},
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
дополненного аналогичными начальными и граничными условиями (1.2). Оно имеет вид [1] :
$$
\begin{equation}
U(t,z) =0 \quad \text{при}\ \ t<\frac{z}{c}, \qquad F\biggl(t-\frac{z}{c}\biggr) \quad\text{при}\ \ t>\frac{z}{c}.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Для дальнейшего полезно записать это в виде преобразования Фурье:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, U(t,z) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\widetilde {F}(p) \exp\biggl(i\biggl(t-\frac{z}{c}\biggr)p\biggr)\,dp= \sqrt\frac{2}{\pi}\operatorname{Re}\int_{0}^{\infty} \widetilde F(p)\exp\biggl(i\biggl(t-\frac{z}{c}\biggr)p\bigr)\,dp, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
где
$$
\begin{equation}
\widetilde {F}(p)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}F(t)e^{-itp}\,dt.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Второе из равенств (3.3) справедливо, поскольку $\widetilde F(-p)=\overline{\widetilde F}(p)$ в силу вещественности $F$. Для граничного режима (1.3) имеем
$$
\begin{equation}
\widetilde F(p)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\frac{A\lambda^2}{(\lambda +i p)^2}.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
4. Точное решение уравнения Клейна–Гордона с помощью преобразования ЛапласаОбозначим через $\mathcal{F}(s)$ преобразование Лапласа от функции $F(t)$: Заметим, что функция $\mathcal{F}(s)$ определена, аналитична и ограничена по крайней мере в полуплоскости $\operatorname{Re} (s) \geqslant 0$. В частности, для примера (1.3)Основной результат работы содержится в следующем утверждении. Теорема 1. Решение задачи (1.1), (1.2) может быть представлено в виде Замечание 1. При $z>ct$ всюду выполняется условие $U \big|_{t=0}=U_t \big|_{t=0}=0$, при $z<ct$ интеграл решения проинтегрируем по частям и получим, что он сходится абсолютно Замечание 2. При $a=0$ полученная формула переходит в точную формулу для решения волнового уравнения. Существенным отличием решения (4.5) от случая волнового уравнения является наличие в ответе интеграла от $0$ до $\sqrt{a}$. Решение волнового уравнения (3.3) c учетом (3.4) и решение (4.5) с учетом (4.1) для $a \to 0$, $h \to 1$ могут быть оба сведены к виду Мы хотим получить более явные (асимптотические) формулы для решения при достаточно больших временах. По существу это означает переход от задачи (1.1), (1.2) к задаче (2.4), (2.5). Понятно, что точные решения последней задачи получаются из решения последней, если заменить $a\to 1/h^2$, $c\to 1$, $\lambda \to \mu$. Кроме того, в интегралах удобно сделать замену $\eta=\eta'/h$. Опуская для упрощения обозначений штрих у переменной $\eta$, перепишем формулу (4.3) в виде
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, U(t,z)=U_1(t,z)+U_2(t,z), \\ U_1(t,z)= \frac{1}{\pi h}\operatorname{Re}\int_{0}^{1}\mathcal{F} \biggr(\frac{i \eta}{h}\biggr)\exp\biggl(\biggl(i\frac{\eta t}{h}-\frac{z}{h}\sqrt{1-\eta^2}\biggr)\biggr)\,d\eta, \\ U_2(t,z)= \frac{1}{\pi h}\operatorname{Re}\int_{1}^{\infty}\mathcal{F}\biggl(\frac{i\eta}h\biggr) \exp\biggl(\frac{i}{h}\Bigl(\eta t -z\sqrt{\eta^2-1}\Bigr)\biggr)\,d\eta. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
И для решения в безразмерных переменных (2.4), (2.5) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, U_1(\tau,\zeta)= \frac{1}{\pi h}\operatorname{Re}\int_{0}^{1}\mathcal{F} \biggl(\frac{i \eta}h\biggr)\exp\biggl(\biggl(i\frac{\eta \tau}{h}-\frac{ \zeta}{h}\sqrt{1-\eta^2}\biggr)\biggr)\,d\eta, \\ U_2(\tau,\zeta)= \frac{1}{\pi h}\operatorname{Re}\int_{1}^{\infty}\mathcal{F}\biggl(\frac{i\eta}h\biggr) \exp\biggl(\frac{i}{h}\Bigl(\eta \tau -\zeta\sqrt{\eta^2-1}\Bigr)\biggr)\,d\eta, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
в частности, для граничного условия (4.2)
$$
\begin{equation}
\mathcal{F}\biggl(\frac{i \eta}h\biggr)=\frac{A}{T}\,\frac{\mu^2}{(\mu +i\eta/h )^2}=\frac{A}{T}\,\frac{\mu^2 h^2}{(\mu h +i\eta )^2}.
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
Фазы в (4.8) являются негладкими функциями, поэтому в первом интеграле проведем замену $\eta=\sin\theta$, а во втором – $\eta=\sqrt{p^2+1}$. Имеем
$$
\begin{equation}
U_1(\tau,\zeta)= \frac{1}{\pi h}\operatorname{Re}\int_{0}^{\pi/2} \mathcal{F}\biggl(\frac{i \sin\theta}{h}\biggr) \exp\biggl(\biggl(\frac{i\tau}{h}\sin\theta -\frac{\zeta}{h}\cos\theta\biggr)\biggr)\cos\theta\,d\theta,
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
$$
\begin{equation}
U_2(\tau,\zeta)= \frac{1}{\pi h}\operatorname{Re}\int_{0}^{\infty}\mathcal{F}\biggl(\frac{i\sqrt{p^2+1}}h\biggr) \exp\biggl(\frac{i}{h}\Bigl(\tau \sqrt{p^2+1} - \zeta p\Bigr)\biggr) \frac{p\,dp}{\sqrt{p^2+1}}.
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
Полученные формулы можно исследовать с помощью асимптотических методов, в частности, с помощью метода стационарной фазы. Это будет сделано в п. 4. Заметим, что в случае волнового уравнения интеграл $U_1=0$, т.е. остается только интеграл $U_2$, для которого $\sqrt{p^2+1}\to p$. Интеграл (4.11) является представлением некоторого решения в виде преобразования Фурье. Доказательство теоремы 1. Для упрощения обозначений без уменьшения общности будем считать $c=1$, в окончательных формулах следует сделать замену $z \longrightarrow z c$. Для функции $U(t,z)$ в уравнении Клейна–Гордона совершим преобразование Лапласа по времени $t$. Имеем
$$
\begin{equation}
V(s,z)={\mathcal {L}}\{U(t,z)\}=\int_{0}^{\infty}U(t,z)e^{-st} \,dt.
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
Тогда уравнение (1.1) и граничное условие принимают вид
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, V_{zz}-(s^2 + a)V=0, \qquad V |_{z=0}=\int_{0}^{\infty}F(t) e^{-st}\,dt\equiv \mathcal{F}(s). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
Общее решение уравнения (4.13) имеет вид
$$
\begin{equation}
V(s,z)=F_1(s)e^{- z\sqrt{s^2 + a}} +F_2(s)e^{z\sqrt{s^2 + a}}.
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
Второе, экспоненциально растущее слагаемое мы отбрасываем, поэтому $F_1= \mathcal{F}(s)$, и мы получаем решение в виде обратного преобразования Лапласа Проведем в этом интеграле замену $t=zt'$. Имеем где $\varphi(s)=st'-\sqrt{s^2 + a}$ – фазовая функция. Будем считать $\sqrt{s^2 + a}$ аналитической функцией в $s$-плоскости с разрезом вдоль отрезка $[-i\sqrt{a},i\sqrt{a}]$, соединяющего ее точки ветвления.
Рассмотрим сначала случай $t'\leqslant1$ и выберем контур так, что $|s| \gg1 $. Тогда
$$
\begin{equation}
\sqrt{s^2 + a}=s\sqrt{1 + \frac{a}{s^2}}=s+O\biggl(\frac{1}{|s|}\biggr).
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
Перепишем фазовую функцию в виде
$$
\begin{equation}
\varphi(s)=st'-\sqrt{s^2 + a}=st'-s+O\biggl(\frac{1}{|s|}\biggr)=s(t'-1)+O\biggl(\frac{1}{|s|}\biggr).
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
При $t'\leqslant1$ и больших $\operatorname{Re} s > 0 $ вещественная часть фазовой функции равномерно ограничена сверху. Тогда при $\sigma \to +\infty $ получим, что
Рассмотрим случай $t'>1$. Сдвигая контур интегрирования, переведем его в новый контур $\Gamma$, совпадающий с мнимой осью всюду, кроме окрестности точек ветвления $\pm i\sqrt{a}$, которые он обходит справа по полуокружностям достаточно малого радиуса $\varepsilon>0$:
$$
\begin{equation*}
\Gamma=\Gamma^\varepsilon_-\cup\Omega^\varepsilon_-\cup\Gamma^\varepsilon_0 \cup\Omega^\varepsilon_+\cup\Gamma^\varepsilon_+,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Gamma^\varepsilon_-=\bigl(-i\infty,\,-i\sqrt{a}-i\varepsilon\bigr], \qquad \Omega^\varepsilon_-=\biggl\{-i\sqrt{a}+\varepsilon e^{i\phi}\biggm|\phi \in \biggl(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\biggr)\biggr\}, \\ \Gamma^\varepsilon_0=\bigl[-i\sqrt{a}+i\varepsilon,\,i\sqrt{a}-i\varepsilon\bigr], \qquad \Omega^\varepsilon_+=\biggl\{i\sqrt{a}+\varepsilon e^{i\phi}\biggm|\phi \in \biggl(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\biggr)\biggr\}, \\ \Gamma^\varepsilon_+=\bigl[i\sqrt{a}+i\varepsilon,\,i\infty\bigr). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В результате получим представление ответа в виде осциллирующего интеграла
$$
\begin{equation}
U(t',z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma}\mathcal{F}(s)e^{z(st'-\sqrt{s^2 + a})}\,ds =\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma}\mathcal{F}(s)e^{z\varphi(s)}\,ds \qquad \text{при} \quad t'>1.
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
Введем также отрезки интегрирования $\gamma^\varepsilon_\pm=\bigl\{\pm i\sqrt{a}-i\varepsilon;\pm i\sqrt{a} +i\varepsilon\bigr\}$. Пусть $\gamma$ – некоторый путь из перечисленных выше, обозначим
$$
\begin{equation*}
\mathbf{I}(\gamma)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\mathcal{F}(s)e^{z\varphi(s)}\,ds.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда интеграл (4.20) можно представить в виде
$$
\begin{equation*}
\mathbf{I}(\Gamma)=\sum_{\mu=(0,\pm)} \mathbf{I} ( \Gamma^\varepsilon_\mu)+\sum_{\mu=(\pm)}\mathbf{I}( \Omega^\varepsilon_\pm)=\sum_{\mu=(0,\pm)} \mathbf{I}( \Gamma^0_\mu)+\sum_{\mu=(\pm)}\bigr(\mathbf{I}( \Omega^\varepsilon_\mu)-\mathbf{I}( \gamma^\varepsilon_\mu)\bigl).
\end{equation*}
\notag
$$
Докажем полезное вспомогательное утверждение. Лемма 1. Справедливы следующие соотношения: (где у корня $\sqrt{\eta^2-a}$ берется арифметическое, т.е. положительное значение) Доказательство. При $s=i\eta \in \Gamma_-\cup\Gamma_+$ (знак совпадает со знаком $\eta$), откуда получается (4.21).
При $s=i\eta \in \Gamma_0$ (т.е. $|\eta|\sqrt{a}-\varepsilon$) на правом берегу разреза имеем $\sqrt{s^2 + a}=\sqrt{a-\eta^2}$ (арифметическое значение, поскольку арифметическое значение выбрано по условию для вещественных $s=\sigma >0$). Таким образом, $\operatorname{Re}\varphi(s,t)=-\sqrt{a-\eta^2}<0$ на $\Gamma_0$. Изучим поведение $\varphi(s,t)$ на полуокружностях $\Omega_-$ и $\Omega_+$. На $\Omega_+$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, s^2+a=-a+2i\sqrt{a}\varepsilon e^{i\phi}+\varepsilon^2 e^{2i\phi}+a =2\sqrt{a}\varepsilon e^{i(\phi+\pi/2)}\biggl(1-\frac{\varepsilon}{2\sqrt{a}}e^{i(\phi+\pi/2)}\biggr), \\ \sqrt{s^2+a}=\sqrt{2\sqrt{a}\varepsilon}e^{i(\phi/2+\pi/4)} \sqrt{1-\frac{\varepsilon}{2\sqrt{a}}e^{i(\phi+\pi/2)}}, \qquad \phi \in \biggl(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\biggr). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь в правой части выбрана ветвь квадратного корня, лежащая в правой полуплоскости. Тогда при $\phi=\pm \pi/2$ этот корень положителен и последняя формула согласуется с полученными выше значениями $\sqrt{s^2+a}$ на $\Gamma_0$ и $\Gamma_+$. Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{Re}\biggl(1-\frac{\varepsilon}{2\sqrt{a}}e^{i(\phi+\pi/2)}\biggr) &=1-\frac{\varepsilon}{2\sqrt{a}}\cos\biggl(\phi+\frac\pi2\biggr) >1-\frac{\varepsilon}{2\sqrt{a}} \\ \operatorname{Im}\biggl(1-\frac{\varepsilon}{2\sqrt{a}}e^{i(\phi+\pi/2)}\biggr) &=-\frac{\varepsilon}{2\sqrt{a}}\sin\biggl(\phi+\frac\pi2\biggr)\leqslant 0, \qquad \phi \in \biggl[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
При таком выборе ветви корня при достаточно малом $\varepsilon>0$
$$
\begin{equation*}
\sqrt{1-\frac{\varepsilon}{2\sqrt{a}}e^{i(\phi+\pi/2)}}=x-iy, \quad \phi \in \biggl[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\biggr], \qquad \text{где} \quad x>\frac12, \quad y \geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, на $\Omega_+$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{Re}\varphi(s,t) &=t \varepsilon \cos\phi - \sqrt{2\sqrt{a}\varepsilon} \biggl(x \cos\biggl(\frac{\phi}{2}+\frac{\pi}{4}\biggr) + y \sin\biggl(\frac{\phi}{2}+\frac{\pi}{4}\biggr)\biggr) \\ & \leqslant \sqrt{\varepsilon}\biggl( t \sqrt{\varepsilon}\cos\phi-\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{2}} \cos\biggl(\frac{\phi}{2}+\frac{\pi}{4}\biggr)\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что существует постоянная $c_0>0$ такая, что
$$
\begin{equation*}
\cos\phi\leqslant c_0 \cos\biggl(\frac{\phi}{2}+\frac{\pi}{4}\biggr), \qquad \phi \in \biggl[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Re}\varphi(s,t)\leqslant \sqrt{\varepsilon} \cos\biggl(\frac{\phi}{2}+\frac{\pi}{4}\biggr) \biggl( t \sqrt{\varepsilon} c_0 -\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{2}}\biggr), \qquad \phi \in \biggl[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\biggr],
\end{equation*}
\notag
$$
и неравенство (4.22) заведомо выполнено на $\Omega_+$, если взять $\varepsilon<a/(2c^2_0t^2)$.
Полуокружность $\Omega_-$ рассматривается аналогичным образом. Лемма доказана. Вернемся к доказательству теоремы. Учитывая определение преобразования Лапласа, свойства граничной функции и доказанную лемму, мы получаем, что на полуокружностях и отрезках $\Omega_\pm$ и $\gamma_\pm $ при $\varepsilon <\varepsilon_0$ подынтегральная функция непрерывна и равномерно ограничена некоторой константой $C(\varepsilon_0)$. Поэтому сумма интегралов
$$
\begin{equation*}
\Sigma_\mu |\mathbf{I}(\Omega^\varepsilon_\mu)|+|\mathbf{I}(\gamma^\varepsilon_\mu)|\leqslant \varepsilon\biggl(1+\frac{1}{\pi}\biggr) C.
\end{equation*}
\notag
$$
Устремляя теперь $\varepsilon$ к нулю, получим $\mathbf{I}(\Gamma)=\sum_{\mu=(0,\pm)} \mathbf{I}( \Gamma^0_\mu)$. Проведем на чисто мнимой оси замену $s=i\eta$ тогда фазовая функция примет вид
$$
\begin{equation*}
\varphi(\eta)=i\eta t' \mp i\sqrt{\eta^2-a} \quad \text{на} \ \ \Gamma^0_\pm , \qquad \varphi(\eta)=i\eta t' -\sqrt{a-\eta^2} \quad \text{на} \ \ \Gamma^0_0
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, U(t',z) &=\frac{1}{2\pi}\int_{\sqrt{a}}^{\infty}\mathcal{F}(i\eta) \exp\Bigl(iz\Bigl(\eta t'-\sqrt{\eta^2-a}\Bigr)\Bigr)\,d\eta \\ &\qquad +\frac{1}{2\pi}\int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}}\mathcal{F}(i\eta) \exp\Bigl(iz\Bigl(\eta t'+i\sqrt{a-\eta^2}\Bigr)\Bigr)\,d\eta \\ &\qquad +\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{-\sqrt{a}}\mathcal{F}(i\eta) \exp\Bigl(iz\Bigl(\eta t'+\sqrt{\eta^2-a}\Bigr)\Bigr)\,d\eta. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая, что интегралы в последней формуле комплексно сопряжены, окончательно получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, U(t',z) &=\operatorname{Re}\frac{1}{\pi} \int_{\sqrt{a}}^{\infty}\mathcal{F}(i\eta) \exp\Bigl(iz\Bigl(\eta t'-\sqrt{\eta^2-a}\Bigr)\Bigr)\,d\eta \\ &\qquad+\operatorname{Re} \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\sqrt{a}}\mathcal{F}(i\eta) \exp\Bigl(iz\Bigl(\eta t'+i\sqrt{a-\eta^2}\Bigr)\Bigr)\,d\eta. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Возвращаясь к исходным переменным, приходим к формуле (4.3). Замечание 4. Согласно вышеупомянутой формуле для связи решений $U^n$ (1.5) для семейства граничных функций $F^n(t)$ (1.4), полученное решение $U$ (4.3) есть случай $n=0$. Для случая $n=1$ граничное условие (1.4) имеет вид 5. Асимптотика решения с помощью метода стационарной фазыИсследуем функцию (4.7) для граничного условия (1.3) в предположении, что $\tau\geqslant\zeta\geqslant \delta$. Теорема 2. При $\tau\leqslant \zeta$ U=0, а при $\tau> \zeta>\delta>0$ и при $h\to0 $, $\tau=O(1)$ справедливо равенство Доказательство. Сначала оценим (4.7) слагаемое $ U_1(\tau,\zeta)$. Разобьем определяющий эту функцию интеграл на два: от $0$ до $\pi/4$ и от $\pi/4$ до $\pi/2$. Легко заметить, что на промежутке $[0,\pi/4]$ подынтегральную функцию можно оценить следующим образом: поэтому
Производная от фазы $\psi_1$ этого интеграла равна
$$
\begin{equation*}
\frac{d \psi_1}{d \theta}=i \tau \cos\theta+\zeta \sin\theta.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, она не равна $0$ при $\zeta>\delta$.
Внося экспоненту под дифференциал и интегрируя по частям, согласно [2; (3.1.3)] получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, U_1(\tau,\zeta) &= \frac{A\mu^2 h}{\pi T}\operatorname{Re}\int_{\pi/4}^{\pi/2}\frac{1}{(\mu h +i \sin\theta)^2} \exp\biggl(\biggl(\frac{i\tau}{h}\sin\theta-\frac{\zeta}{h}\cos\theta\biggr)\biggr) \cos\theta\,d{\theta} +O(h^\infty) \\ &=-\frac{A\mu^2h^2}{\pi T}\operatorname{Re} \,\frac{i\cos\theta }{(\mu h +i\sin\theta)^2}\, \frac{1}{i\tau\cos\theta +\zeta\sin\theta} \exp\biggl(\frac{1}{h}(i\tau\sin\theta-\zeta\cos\theta)\biggr) \bigg|_ {\pi/4}^{\pi/2} \\ &\qquad +\frac{A\mu^2h^2}{\pi T}\operatorname{Re} \int_{\pi/4}^{\pi/2} \frac{\partial}{\partial \theta}\biggl( \frac{i\cos\theta }{(\mu h +i\sin\theta)^2}\,\frac{1}{i\tau\cos\theta +\zeta\sin\theta}\biggr) \\ &\qquad\qquad\times \exp\biggl(\frac{1}{h}(i\tau\sin\theta-\zeta\cos\theta)\biggr)\, d\theta+O(h^\infty). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Первое слагаемое в последнем выражении равно $O(h^\infty)$, а подынтегральная функция в последнем интеграле ограничена на отрезке интегрирования. Поэтому
Рассмотрим теперь интеграл $U_2(t,z)$ (4.11). Применим для его вычисления метод стационарной фазы. Вклад в асимптотику вносят стационарные точки и граничная точка $p=0$. Стационарные точки фазовой функции определяются из уравнения
$$
\begin{equation*}
\frac{d \psi_2(p)}{d p}=\frac{\tau p}{\sqrt{p^2+1}}-\zeta=0,
\end{equation*}
\notag
$$
которое дает стационарную точку Вторая производная от фазы равна
$$
\begin{equation}
\psi_2''(p)=\frac{\tau}{(p^2+1)^{3/2}}, \qquad \psi_2''(p_0)=\frac{(\tau^2-\zeta^2)^{3/2}}{\tau^2},
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
и значение фазовой функции в точке $p_{0}$ есть
Таким образом, при $\delta<\zeta<\tau$ в предположении, что $a=O(1)$, основной вклад $\sim O(\sqrt{h})$ при таких значениях $\zeta$ в асимптотику функции $U_2$, а и следовательно функции $U$ при $p\ll 1$ вносит стационарная точка $p_0$, что (см., например, [2]) и приводит к формуле (5.1). Замечание 5. Для произвольной граничной функции асимптотические формулы для безразмерного и размерного случаев соответственно имеют вид Замечание 6. Асимптотика для решения (4.24) для граничного условия (4.23) может быть получена из (5.1) аналогичным образом с помощью дифференцирования: 6. Графические иллюстрации решенийПроиллюстрируем и сравним ранее полученные результаты. Так как асимптотические формулы получены для случая $\tau> \zeta>\delta>0$ графики приводятся для диапазона $\zeta \in [6.25 h,1]$. Значения параметров асимптотик $\mu=4.8$, $h=0.032$ выбраны согласно разделу 2. На рис. 1 проводится сравнение аналитических решений (4.11) и (4.25) для двух граничных условий (2.5) и (4.23), посчитанных численными методами, и их асимптотик (5.1) и (5.8) соответственно для времени $\tau=1$ (время прихода фронта волны на верхнюю границу области исследования). Мелкие осцилляции аналитического решения вызваны ошибками в вычислении численного интеграла.  Рис. 1.(a) Решение (4.11) (серый) и его асимптотика (5.1) (черный) $\tau=1$, $\zeta \in [0.2,1]$, $A=1$; (b) решение (4.25) (серый) и его асимптотика (5.8) (черный) для $\tau=1$, $\zeta \in [0.2,1]$, $A_1=10$. На рис. 2 и 3 приводится временная эволюция для асимптотик (5.1) и (5.8) для $\tau=0.25,\,0.5,\,1,\,2$. На рис. 2 можно заметить, что сначала решение похоже на решение волнового уравнения, затем начинают проявляться дисперсионные эффекты, при этом пик максимума перемещается из головной волны влево. Затем (рис. 3) можно заметить, что при $\tau>1$ осцилляции уходят за зону наблюдения и амплитуда решения в зоне наблюдения начинает уменьшаться. При сравнении поведения асимптотик (5.1) и (5.8) заметен сдвиг максимума амплитуды колебаний (5.8) по времени. Это связано c большей длительностью действия и меньшей амплитудой возмущения на границе (4.23) по сравнения с (1.4).  Рис. 2.Асимптотика (5.1) (черный) и асимптотика (5.8) (серый) для $\tau\,{=}\,0.25$ (a) и $\tau=0.5$ (b) для $\zeta \in [0.2,1]$, $A=1$, $A_1=10$.  Рис. 3.Асимптотика (5.1) (черный) и асимптотика (5.8) (серый) для $\tau\,{=}\,1$ (a) и $\tau=2$ (b) для $\zeta \in [0.2,1]$, $A=1$, $A_1=10$. Автор благодарен C. Ю. Доброхотову и В. Е. Назайкинскому за постановку задачи и дискуссии. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Smi23} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|