| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Задача Наймарка для обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка Л. Х. Гадзова Институт прикладной математики и автоматизации – филиал Федерального государственного бюджетного научного учреждения "Федеральный научный центр "Кабардино-Балкарский научный центр Российской академии наук", г. Нальчик
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623070179 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеРассмотрим уравнение
$$
\begin{equation}
\partial_{0x}^{\alpha} u(x)+\lambda u(x)=f(x), \qquad x\in(0,1),
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где $n-1<\alpha\leqslant n$, $n\in {\mathbb N}$, $\lambda \in {\mathbb R}$, $\partial_{0x}^{\alpha}{u(x)}$ – производная Герасимова–Капуто [1; c. 11]. Дробное исчисление привлекает внимание исследователей во многих прикладных областях. Многие явления в механике жидкости, вязкоупругости, динамики населения и в других науках можно описать моделями с помощью математического аппарата из теории дробного исчисления. В связи с этим дифференциальные уравнения дробного порядка в настоящее время интенсивно развиваются. Обширный обзор литературы по дробному исчислению и его применению можно найти в монографиях [1]–[12]. В работе [13] Барретт построил в терминах функции Миттаг-Леффлера решение начальной задачи для обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, D_{ax}^{\alpha}u(x)=\lambda u(x)+v(x), \qquad a<x<b, \\ \lim_{x\to a}D_{ax}^{\alpha-i}u(x)=b_i, \quad i=1,2,\dots, n,\qquad \text{где} \quad n-1<\alpha \leqslant n, \quad n \in {\mathbb N}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $D_{ax}^{\alpha}$ – оператор дробного интегро-дифференцирования Римана–Лиувилля. С течением времени уравнения такого вида стали называть уравнениями Барретта [1; c. 98], [9; c. 137], [14; c. 192]. Существенный вклад в изучение теории дробных дифференциальных уравнений внесли авторы работ [15], [16] и [17]. Задаче Коши в нелокальной постановке посвящена работа [15]. В работе [16] была исследована краевая задача для дифференциального оператора дробного порядка типа Штурма–Лиувилля, а работа [17] посвящена видоизмененной задаче Коши для дифференциального уравнения дробного порядка. В работе [18] исследована задача Коши в классической постановке для обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка. Начальная задача для линейного обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка решена в работе [19]. Отметим также работы [9] и [14], в которых можно найти изложение результатов и библиографию работ, связанных с задачей Коши для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка. В работах [20] и [21] исследованы задачи с обобщенными краевыми условиями для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. В работе [22; c. 16] Наймарк предложил задачу определения функции $y$, удовлетворяющую условиям где $L(y)$ – дифференциальное выражение $n$-го порядка, $U_{1}(y),U_{2}(y),\dots,U_{n}(y)$ – линейно независимые линейные непрерывные функционалы. Такие задачи Наймарк называет обобщенными краевыми задачами. В [23; c. 247] приводятся различные виды обобщения краевых условий. Обобщенная краевая задача для уравнения второго порядка с дробной производной Римана–Лиувилля и уравнения с оператором дробного дискретно-распределенного дифференцирования была исследована в работах [24] и [25]. В работе [26] методом функции Грина получено представление решения для уравнения (1.1) при $1<\alpha\leqslant 2$.В настоящей работе для уравнения (1.1) сформулирована и решена задача с краевыми условиями в форме линейных функционалов, которые позволяют охватить достаточно широкий класс линейных локальных и нелокальных условий. В терминах специальных функций найдено представление решения. Получено необходимое и достаточное условие разрешимости исследуемой задачи. Доказана теорема существования и единственности решения. 2. Вспомогательные сведенияОператор $D_{sx}^{\alpha}$ дробного интегро-дифференцирования в смысле Римана–Лиувилля порядка $\alpha$ определяется следующим образом [1; c. 9]:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, D_{sx}^{\alpha}u(x)= \frac{\operatorname{sign}(x-s)}{\Gamma(-\alpha)} \int_{s}^{x}\frac{u(t)\,dt}{|x-t|^{\alpha+1}}\,, \qquad \alpha<0, \\ D_{sx}^{\alpha}u(x)=u(x),\qquad \alpha=0, \\ D_{sx}^{\alpha}u(x)=\operatorname{sign}^{n}(x-s)\, \frac{d^n}{dx^n}D_{sx}^{\alpha-n}u(x), \qquad n-1<\alpha \leqslant n, \quad n \in {\mathbb N}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Gamma(z)$ – гамма-функция Эйлера. Производная Герасимова–Капуто $\partial_{0x}^{\alpha}{u(x)}$, определяется с помощью равенства [14], [27]
$$
\begin{equation}
\partial_{sx}^{\alpha}u(x)=\operatorname{sign}^{n}(x-s) D_{sx}^{\alpha-n}u^{(n)}(x), \qquad n-1<\alpha \leqslant n, \quad n \in {\mathbb N}.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Формула дробного дифференцирования свертки Лапласа двух функций
$$
\begin{equation}
D_{0x}^{\alpha}(f\ast g)(x)=(D_{0x}^{\alpha}g\ast f)(x)+ f(x)\lim_{x \to 0}D_{0x}^{\alpha-1}g(x), \qquad 0<\alpha\leqslant1,
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где Для произвольного $\alpha \in {\mathbb R}$ имеет место закон композиции операторов дробного интегро-дифференцирования [11; c. 15]
$$
\begin{equation}
D_{0x}^{\alpha}D_{0x}^{\beta}g(t)=D_{0x}^{\alpha+\beta}g(t), \qquad \beta\leqslant 0.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Также для оператора дробного интегро-дифференцирования справедлива формула дробного интегрирования по частям [11; c. 15]
$$
\begin{equation}
\int_{a}^{b}g(x)D_{ax}^{\alpha}h(x)\,dx= \int_{a}^{b}h(x)D_{bx}^{\alpha}g(x)\,dx, \qquad \alpha\leqslant0.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Функция (см., например, [9], [11])
$$
\begin{equation*}
E_{\delta,\mu}(x)= \sum_{j=0}^{\infty}\frac{x^j}{\Gamma(\delta j+\mu)}
\end{equation*}
\notag
$$
называется функцией Миттаг-Леффлера. Для функции Миттаг-Леффлера справедлива формула дробного интегрирования и дифференцирования
$$
\begin{equation}
D_{0x}^{\beta}x^{\mu-1}E_{\alpha,\mu}(\lambda x^{\alpha})= x^{\mu-\beta-1}E_{\alpha,\mu -\beta}(\lambda x^{\alpha}),
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
где $\beta \in {\mathbb R}$, $\mu > 0$, если $\beta \notin {\mathbb N}\cup \{0\}$, и $\mu \in {\mathbb R}$, если $\beta \in {\mathbb N}\cup \{0\}$. Решение задачи Коши для уравнения (1.1) имеет вид (см., например, [11])
$$
\begin{equation}
u(x)=\int_{0}^{x}f(t)\mathcal{W}_{\alpha}(x-t)\,dt+ \mathcal{W}(x)\overline{u},
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \nonumber \mathcal{W}(x)=(\mathcal{W}_{n}(x),\mathcal{W}_{n-1}(x),\dots, \mathcal{W}_{1}(x)),\qquad \overline{u}=\begin{pmatrix} u(0)\\ u'(0)\\ \cdots\\ u^{(n-1)}(0) \end{pmatrix}, \\ \mathcal{W}_{\mu}(x)=\begin{cases} x^{\mu-1}E_{\alpha,\mu}(-\lambda x^{\alpha}), & \text{если}\ x >0, \\ 0, & \text{если}\ x\leqslant 0. \end{cases} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Приведем утверждение из [26]. Лемма 1. Пусть $\ell$ – линейный ограниченный функционал в пространстве $C^{p}[0,1]$. Тогда справедливо соотношение Заметим, что в формуле (2.8) функционал $\ell$ применяется к $K(x,t)$ как к функции переменной $x$. Доказательство. В силу условий, наложенных на $K(x,t)$, можем записать 3. Постановка задачи и представление решенийРегулярным решением уравнения (1.1) назовем функцию $u=u(x)$ из класса $AC^{n-1}[0,1]$ (функций, имеющих абсолютно непрерывные производные до порядка $n-1$ на отрезке $[0,1]$), удовлетворяющую этому уравнению во всех точках интервала $(0,1)$. Задача. Найти регулярное решение уравнения (1.1) в интервале $(0,1)$, удовлетворяющее условиям где – заданный вектор-столбец, $b_{k}\in \mathbb{R}$, – вектор-столбец, $\ell_{k}$ – заданные линейные ограниченные функционалы с областью определения $D(\ell_{k})\subset AC^{n-1}[0,1]$, $k=1,\dots,n$. Теорема 1. Пусть $n\geqslant 2$, функция $f(x)\in C(0,1)$ представима в виде и выполняется условие где $A=\|\ell_i[\mathcal{W}_j(x)]\|$ – квадратная матрица, $i,j=1,\dots,n$. Тогда существует единственное регулярное решение задачи (3.1) для уравнения (1.1), определяемое равенством где Доказательство. Применяем условие (3.1) к представлению (2.6) и находим неизвестные константы $\overline{u}$. С учетом леммы 1 получаем систему линейных уравнений следующего вида: где Покажем, что построенное решение является регулярным решением уравнения (1.1). В силу формулы дифференцирования функции Миттаг-Леффлера (2.5) имеем Поэтому с учетом (2.6) и (2.7) остается показать, что
$$
\begin{equation*}
\partial_{0x}^{\alpha}(f\ast\mathcal{W}_{\alpha}(x))+ \lambda(f\ast\mathcal{W}_{\alpha}(x))=f(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая представление (3.2) функции $f(x)$ и определение дробной производной Герасимова–Капуто (2.1), получим
$$
\begin{equation*}
\partial_{0x}^{\alpha}(f\ast\mathcal{W}_{\alpha}(x))= D_{0x}^{\alpha-n}\,\frac{d^n}{dx^n} (D_{0x}^{\alpha-n}g\ast\mathcal{W}_{\alpha}(x)).
\end{equation*}
\notag
$$
Используя свойства свертки (2.2), закон композиции операторов дробного интегро-дифференцирования (2.3) и формулу дробного интегрирования по частям (2.4), будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D_{0x}^{\alpha-n}\,\frac{d^n}{dx^n}(D_{0x}^{\alpha-n} g\ast\mathcal{W}_{\alpha}(x))&=D_{0x}^{\alpha-n}\,\frac{d^n}{dx^n} (g\ast\mathcal{W}_{n}(x)) =D_{0x}^{\alpha-n}\,\frac{d}{dx} (g\ast\mathcal{W}_{1}(x)) \\ &=D_{0x}^{\alpha-n}(g\ast\mathcal{W}_{1}(0)+ g\ast\mathcal{W}_{0}(0)) \\ &=D_{0x}^{\alpha-n}g(x)- D_{0x}^{\alpha-n}g\ast \lambda \mathcal{W}_{\alpha}(x) =f(x)-\lambda(f\ast \mathcal{W}_{\alpha}(x)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом формулы (2.8) покажем, что равенство (3.4) удовлетворяет краевым условиям (3.1): Потому как $A=\ell[\mathcal{W}(x)]$, $AA^{-1}=E$ – единичная матрица. 4. Случай нарушения условия разрешимости (3.3)Покажем, что если условие разрешимости (3.3) нарушается, то решение задачи, вообще говоря, неединственно. Более точно, однородная задача в этом случае имеет нетривиальное решение. Рассмотрим функцию где $\mathcal{W}(x)$ определяется равенством (2.7),
$$
\begin{equation*}
C=\begin{pmatrix} C_1\\ C_2\\ \cdots\\ C_n \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
– произвольные постоянные. Из (2.6) следует, что функция $\widetilde{u}(x)$ является решением уравнения
$$
\begin{equation}
\partial_{0x}^{\alpha}\widetilde{u}(x)+\lambda\widetilde{u}(x)=0.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Так как $\det A=0$, найдется такой ненулевой вектор $\widetilde{C}$, что
$$
\begin{equation*}
\ell[\widetilde{u}(x)]=\ell[\mathcal{W}(x)]\widetilde{C}= A\widetilde{C}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, получено, что функция является решением однородного уравнения (4.1) и удовлетворяет нулевым условиям
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Gad23} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|