| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Краткие сообщения Эрмитова интерполяция с помощью оконных систем, порожденных равномерными сдвигами функции Гаусса М. Л. Жаданова, Е. А. Киселев, И. Я. Новиков, С. Н. Ушаков Воронежский государственный университет
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623110780 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеЗадача эрмитовой интерполяции состоит в построении функции определенного класса, значения которой вместе с несколькими первыми производными в узловых точках совпадают с соответствующими значениями для исследуемой функции. Простейшим примером является интерполяционный многочлен Эрмита [1; гл. 2]. Похожая технология используется в теории сплайн-функций [2; гл. 2], [3], в том числе и в случае экспоненциальных сплайнов [4], [5]. Данная работа посвящена построению интерполяционных формул на основе оконных систем функций. В качестве примера рассмотрены важные в практическом отношении системы, порожденные сдвигами функции Гаусса, однако предлагаемый подход применим и в других ситуациях. Поскольку при измерениях часто используется равномерная сетка отсчетов, узлы для простоты мы выбираем целочисленными. 2. Постановка задачиРассматривается следующее семейство функций, заданных на всей вещественной оси:
$$
\begin{equation}
\varphi_{p,r}(x)=\exp\biggl(-\frac{(x-\omega_1p)^2}{2\sigma^2}\biggr) e^{i\omega_2rx},\qquad p,r\in\mathbb Z,
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $\sigma$, $\omega_1$, $\omega_2$ — некоторые положительные параметры. При $\omega_1\omega_2<2\pi$ система функций (1) образует так называемый фрейм Габора, а если $\omega_1\omega_2>2\pi$, то неполную в $L_2(\mathbb R)$ систему Рисса [6], [7]. Процедура разложения по системам функций подобного рода в первом случае может проводиться на основе двойственного фрейма [8; гл. 3]. Для систем Рисса обычно строится биортогональная система [9], [10; гл. 1]. Для набора функций (1) и двойственный фрейм при $\omega_1\omega_2<2\pi$, и биортогональная система при $\omega_1\omega_2>2\pi$ известны [11], [12]. Наконец, если $\omega_1\omega_2=2\pi$, то система функций (1) уже не является фреймом, для нее не существует устойчивого алгоритма построения биортогональной системы [8; гл. 3], [13]. Некоторым неудобством при использовании указанных выше методов для расчета коэффициентов разложения является то, что на практике необходимо вычислять соответствующие скалярные произведения приближенно по квадратурным формулам. В данной работе мы решаем более слабую задачу – построить из подсистемы фреймов Габора (1) функцию, у которой значения ее и производной до некоторого порядка совпадают с заданными в равномерно отстоящих друг от друга узлах. Этот подход не требует интегрирования, что снижает вычислительные требования к алгоритмам. Пусть имеется исследуемая функция $f(x)$. Рассмотрим набор целочисленных узлов $x_k=k$, $k\in\mathbb Z$, предполагая, что в каждом из них $f(x)$ дифференцируема хотя бы $M_k$ раз. Требуется построить линейную комбинацию функций (1)
$$
\begin{equation}
\widetilde f(x)=\sum_{p,r\in\mathbb Z}c_{p,r}\varphi_{p,r}(x),
\end{equation}
\tag{2}
$$
где $c_{p,r}$ – неопределенные коэффициенты, удовлетворяющие соотношениям
$$
\begin{equation*}
\widetilde f^{(m)}(k)=f^{(m)}(k),\qquad k\in\mathbb Z,\quad m=0,1,2,\dots,M_k.
\end{equation*}
\notag
$$
Замечание 1. Отметим, что на практике, как правило, используется конечное число узлов. В этом случае формулы становятся приближенными, погрешность зависит от скорости убывания коэфффициентов $c_{p,r}$. Для реальных оцифрованных сигналов требуется сохранить 4–5 верных значащих цифр, что достигается за счет сохранения сравнительно небольшого числа ненулевых слагаемых. Интерполяционные задачи удобно решать с помощью построения узловых функций. В теории сплайн-функций обычно используется название кардинальные сплайны. Определение 1. Функция $\widetilde\varphi_{m,k}(x)$, $m,k\in\mathbb Z$, являющаяся линейной комбинацией $\varphi_{p,r}(x)$, называется эрмитовой узловой функцией, если для нее выполнены соотношения Если известен набор эрмитовых узловых функций, то интерполирующая функция (2) строится следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\widetilde f(x)=\sum_{k\in\mathbb Z}\sum_{m=0}^{M_k} f^{(m)}(k)\widetilde\varphi_{m,k}(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Построение эрмитовых узловых функций в явном виде иногда оказывается достаточно трудной задачей, формулы для них могут быть весьма громоздкими. Поэтому мы введем одно вспомогательное понятие, облегчающее в значительной степени запись ключевых соотношений при дальнейшем изложении. Определение 2. Функцию $U_{m,k}(x)$, $m,k\in\mathbb Z$, являющуюся линейной комбинацией $\varphi_{p,r}(x)$ и удовлетворяющую соотношениям назовем эрмитовой узловой функцией порядка $m$. Опишем процедуру интерполяции в терминах $U_{m,k}(x)$. Обозначим $M=\max(M_k)$, $k\in\mathbb Z$, и положим $f^{(m)}(k)=0$, если $m>M_k$. Построим вспомогательную последовательность функций $f_0(x),f_1(x),\dots,f_M(x)$, являющихся линейной комбинацией $\varphi_{p,r}(x)$:
$$
\begin{equation}
f_m(x)=f_{m-1}(x)+\sum_{k\in\mathbb Z}(f^{(m)}(k) -f^{(m)}_{m-1}(k))U_{m,k}(x),\qquad m=1,2,\dots,M.
\end{equation}
\tag{6}
$$
Тогда $f_{M}(x)=\widetilde f(x)$ будет искомой интерполирующей функцией. В этом легко убедиться, воспользовавшись методом математической индукции. Замечание 2. Отметим, что набор функций $f_0(x),f_1(x),\dots,f_{M}(x)$, как и сами $U_{m,k}(x)$, определяется, вообще говоря, неоднозначно. Интерполяционные формулы, записанные с помощью $U_{m,k}(x)$, выглядят сложнее, но, как будет видно в дальнейшем, построить функции $U_{m,k}(x)$ оказывается проще, чем эрмитовы узловые (3). Этим мы и займемся. 3. РезультатыПростые формулы для эрмитовых узловых функций удается получить в случае $\omega_1=1/N$, $N=1,2,3,\dots$ . Ключевую роль будет играть следующий результат. Предложение 1 [7; глава 7]. Функция Важно отметить, что коэффициенты $d_p(\sigma)$ быстро убывают по модулю с ростом $|p|$, поэтому функция $\widetilde\varphi(x, \sigma)$ является бесконечно гладкой [15]. С помощью $\widetilde\varphi(x,\sigma)$ легко построить $U_{m,k}(x)$. Теорема 1. Функции где Доказательство. Заметим, что производные $\sin^m(\pi n_2x)$ порядков, меньших $m$, равны нулю во всех целочисленных точках. По этой причине независимо от поведения функции $\widetilde\varphi(n_1x,n_1\sigma)$.
Прямой подстановкой легко убедиться, что $V^{(m)}_m(k')=\delta_{0k'}$, $k'\in\mathbb Z$. Тогда, если рассмотреть функции $V_m(x-k)$, получающиеся из $V_m(x)$ с помощью операции сдвига, то в целочисленных точках получим
$$
\begin{equation*}
V^{(m')}_m(k'-k)=\delta_{mm'}\delta_{0,k-k'} =\delta_{mm'}\delta_{kk'},\qquad m'=0,1,\dots,m.
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым, функции $U_{m,k}(x)=V_m(x-k)$ удовлетворяют требованиям (4). Теорема доказана. 4. ОбсуждениеВ данной работе построены интерполяционные формулы на основе семейства функций (1) в частном случае, когда $\omega_1=1/n_1$, $\omega_2=\pi n_2$, $n_1,n_2\in\mathbb N$. При этом задействованным оказывается не весь набор функций (1), а некоторое его подмножество. Фактически мы используем для интерполяции подсистему (1) с параметрами, удовлетворяющими условию $\omega_1\omega_2=\pi n_2/n_1$. Действительно, степени синуса в формуле (7) можно представить в виде суммы экспонент $\exp(i\pi n_2qx)$ (например, воспользовавшись формулой Эйлера). Значения $q$ при этом будут ограничены диапазоном от $-M$ до $M$. Это полезно с точки зрения алгоритмов цифровой обработки сигналов, поскольку наличие в интерполяционных суммах компонент с высокими частотами приводит к известным вычислительным трудностям. Изложенный подход применим не только для оконных систем на основе функции Гаусса. Ключевым моментом является только наличие формул для узловой функции (1), порождаемой соответствующей системой целочисленных сдвигов. Такие формулы известны, например, для базисных сплайнов [16; гл. 4], распределения Коши [17], контура Фойгта [18]. В заключение отметим, что с помощью соотношения (6) можно в явном виде построить и сами эрмитовы узловые функции $\widetilde\varphi_{m,k}(x)$. Например, при $M=1$: $\widetilde\varphi_{1,k}(x)=U_{1,k}(x)$, $\widetilde\varphi_{0,k}(x)=\widetilde\varphi_{0,0}(x-k)$, где для $\widetilde\varphi_{0,0}(x)$ будет справедливо соотношение
$$
\begin{equation}
\widetilde\varphi_{0,0}(x)=\widetilde\varphi(n_1x,n_1\sigma) -\frac{n_1}{\pi n_2}\sin(\pi n_2x)\sum_{k\in\mathbb Z}(-1)^{n_2k} \widetilde\varphi'(n_1k,n_1\sigma)\widetilde\varphi(n_1(x-k),n_1\sigma).
\end{equation}
\tag{8}
$$
Формула (8) получается, если в выражения (5) и (6) подставить $f(k)=\delta_{0k}$, $f'(k)=0$, $k\in\mathbb Z$, и использовать теорему 1. Аналогично, если выбрать $f^{(m)}(k)=\delta_{kk'}\delta_{mm'}$, $k,m\in\mathbb Z$, имеется возможность получить формулы для эрмитовых узловых функций и в других случаях, но это приводит к весьма громоздким соотношениям.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{MinKisNov23} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|