| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Краткие сообщения О различных типах представимости С. В. Асташкинab a Самарский национальный исследовательский университет им. академика С. П. Королева b Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623090110 
Реферативные базы данных:
  Пространство $l_r$, $1\leqslant r<\infty$ ($c_0$, если $r=\infty$), решеточно финитно представимо в банаховой решетке $X$, если для любого $\varepsilon>0$ и каждого $n\in\mathbb{N}$ найдутся попарно дизъюнктные элементы $x_k\in X$, $k=1,2,\dots,n$, такие, что для произвольных $a_k\in\mathbb{R}$, $k=1,2,\dots,n$,
$$
\begin{equation}
(1-\varepsilon)\|(a_k)\|_{l_r}\leqslant \biggl\|\sum_{k=1}^n a_kx_k\biggr\|_X\leqslant (1+\varepsilon)\|(a_k)\|_{l_r}.
\end{equation}
\tag{1}
$$
Здесь, как обычно, $\|(a_k)\|_{l_r}:=(\sum_{k=1}^n |a_k|^r)^{1/r}$, $1\leqslant r<\infty$, и $\|(a_k)\|_{l_\infty}:=\max_{k=1,\dots,n} |a_k|$.
Напомним, что банахова решетка $X$ измеримых на $(0,\infty)$ функций называется симметричным (или перестановочно-инвариантным) пространством, если из равноизмеримости функций $x(s)$ и $y(s)$ (т.е. равенства
$$
\begin{equation*}
m\{s>0\colon |x(s)|>\tau\}=m\{s>0\colon |y(s)|>\tau\} \qquad\text{для всех}\quad \tau>0,
\end{equation*}
\notag
$$
где через $m$ обозначается мера Лебега) и того, что $x\in X$, вытекает: $y\in X$ и $\|y\|_X=\|x\|_X$.
В том случае, когда $l_r$ решеточно финитно представимо в симметричном пространстве $X$ и дополнительно для любых $\varepsilon>0$ и $n\in\mathbb{N}$ функции $x_k\in X$, $k=1,2,\dots,n$, удовлетворяющие условию (1), можно выбирать равноизмеримыми, будем говорить, что $l_r$ симметрично финитно представимо в $X$. Пусть $X$ – симметричное пространство. Введем следующие обозначения:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, {\mathcal L}(X):=\{r\geqslant 1\colon l_r\text{ решеточно финитно представимо в }X\}, \\ {\mathcal S}(X):=\{r\geqslant 1\colon l_r\text{ симметрично финитно представимо в }X\}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, пусть ${\mathcal J}(X)$ – множество всех $r\geqslant 1$, для которых $X$ содержит последовательность дизъюнктных функций $\{x_k\}_{k=1}^\infty$, эквивалентную каноническому $l_r$-базису, т.е. существует $C>0$ такое, что для любых $n\in\mathbb{N}$ и $a_k\in\mathbb{R}$, $k=1,2,\dots,n$,
$$
\begin{equation*}
C^{-1}\|(a_k)\|_{l_r}\leqslant \biggl\|\sum_{k=1}^n a_kx_k\biggr\|_X\leqslant C\|(a_k)\|_{l_r}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из определений (см. также [1; с. 288]) вытекают вложения Ясно, что ${\mathcal L}(L_p)={\mathcal S}(L_p)={\mathcal J}(L_p)=\{p\}$ для всех $1\leqslant p\leqslant \infty$. В то же время существуют симметричные пространства, для которых эти множества различны. Напомним, что пространство Лоренца $L_{p,q}:=L_{p,q}(0,\infty)$, $1<p<\infty$, $1\leqslant q<\infty$, состоит из всех измеримых функций $x(t)$ на $(0,\infty)$, для которых
$$
\begin{equation*}
\|x\|_{L_{p,q}}:=\biggl(\int_0^\infty x^*(t)^q\,d(t^{q/p})\biggr)^{1/q}<\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
где $x^*(t)$ – невозрастающая непрерывная справа перестановка функции $|x|$, определяемая следующим образом:
$$
\begin{equation*}
x^{*}(t):=\inf \{ \tau\geqslant 0\colon m\{s>0\colon |x(s)|>\tau\}\leqslant t \}, \qquad t>0
\end{equation*}
\notag
$$
(см., например, [2; § II.6]). В частности, $L_{p,p}=L_p(0,\infty)$, $1<p<\infty$, изометрически. Тогда если $1<p<q<\infty$, то ${\mathcal L}(L_{p,q})=\{p,q\}$ [3], ${\mathcal S}(L_{p,q})=\{p\}$ [4; теорема 7], а ${\mathcal J}(L_{p,q})=\{q\}$ [5; теоремы 5 и 7].
Вопрос о том, для каких симметричных пространств введенные множества совпадают, остается открытым. В этой заметке будет показано, что такое совпадение имеет место для всех сепарабельных пространств Орлича. Пространства Орлича являются естественным обобщением $L^p$-пространств, $1\leqslant p<\infty$ (см. [6], [7]). Пусть ${N}$ – функция Орлича на $[0,\infty)$, т.е. выпукла, не убывает, ${N}(0)=0$ и $\lim_{s\to\infty}{N}(s)=\infty$. Пространство Орлича $L_N$ состоит из всех измеримых функций $x(t)$ на $(0,\infty)$, для которых норма Люксембурга
$$
\begin{equation*}
\|x\|_{L_N}:=\inf\biggl\{u >0\colon \int_0^\infty N(|x(t)|/u) \,dt\leqslant 1\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
конечна. Если $N(s)=s^p$, $1\leqslant p<\infty$, получаем пространство $L_p=L_p(0,\infty)$ с обычной нормой.
В теории пространств Орлича важную роль играют индексы Матушевской–Орлича:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \alpha_{N}^0= \sup\biggl\{p>0\colon \sup_{0<s,t\leqslant 1}\frac{N(st)}{N(s)t^p}<\infty\biggr\}, \qquad \beta_{N}^0=\inf\biggl\{p>0\colon \inf_{0<s,t\leqslant 1}\frac{N(st)}{N(s)t^p}>0\biggr\}, \nonumber \\ \alpha_{N}^\infty= \sup\biggl\{p>0\colon \sup_{s,t\geqslant 1}\frac{N(s)t^p}{N(st)}<\infty\biggr\}, \qquad \beta_{N}^\infty=\inf\biggl\{p>0\colon \inf_{s,t\geqslant 1}\frac{N(s)t^p}{N(st)}>0\biggr\}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4}
$$
Хорошо известно, что $1\leqslant\alpha_{N}^0\leqslant \beta_{N}^0\leqslant\infty$, $1\leqslant\alpha_{N}^\infty\leqslant \beta_{N}^\infty\leqslant\infty$ [8]. Положим: $\overline{\alpha}:=\min(\alpha_{N}^0,\alpha_{N}^\infty)$ и $\overline{\beta}:=\max(\beta_{N}^0,\beta_{N}^\infty)$.
Пространство Орлича $L_N$ сепарабельно, если и только если функция $N$ удовлетворяет $\Delta_2$-условию, т.е. $k_N:=\sup_{u>0}N(2u)/N(u)<\infty$ (см., например, [6; теорема II.10.2]). Как нетрудно проверить, это условие эквивалентно тому, что $\overline{\beta}<\infty$. Теорема 1. Пусть $N$ – такая функция Орлича, что $\overline{\beta}<\infty$. Тогда ${\mathcal S}(L_N)={\mathcal L}(L_N)={\mathcal J}(L_N)$. Кроме того, В случае (i) утверждение теоремы 1 является непосредственным следствием известных результатов (см. [9; теоремы 1.5 и 1.6], [4; теорема 8] и [10]). Если $\alpha_{N}^\infty>\beta_{N}^0$, то опять в силу [9; теоремы 1.5 и 1.6] и [4; теорема 8] имеем
$$
\begin{equation*}
{\mathcal S}(L_N)={\mathcal J}(L_N)=[\alpha_{N}^0,\beta_{N}^0]\cup [\alpha_{N}^\infty,\beta_{N}^\infty].
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, согласно вложению (2), а также [10; с. 113], получаем, что
$$
\begin{equation*}
[\alpha_{N}^0,\beta_{N}^0]\cup [\alpha_{N}^\infty,\beta_{N}^\infty]\subset {\mathcal L}(L_N)\subset [\alpha_{N}^0,\beta_{N}^\infty].
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, для завершения доказательства теоремы 1 осталось показать справедливость следующего утверждения.
Предложение 1. Если $\alpha_{N}^\infty>\beta_{N}^0$, то ${\mathcal L}(L_N)\cap (\beta_{N}^0,\alpha_{N}^\infty)=\varnothing$. Доказательство. Пусть $p\in(\beta_{N}^0,\alpha_{N}^\infty)$ и $\beta_{N}^0<q_1<p<q_2<\alpha_{N}^\infty$. Из определения индексов Матушевской–Орлича (см. (4)) вытекает существование константы $c>0$, для которой имеют место неравенства
Предполагая, что $p\in {\mathcal L}(L_N)$, для произвольного $n\in\mathbb{N}$ найдем попарно дизъюнктные неотрицательные функции $x_k^n\in L_N$, $k=1,2,\dots,n$, такие, что для произвольных $a_k\in\mathbb{R}$, $\|(a_k)\|_{l_p}=1$, выполнено
$$
\begin{equation}
\frac12\leqslant \biggl\|\sum_{k=1}^n a_kx_k^n\biggr\|_{L_N}\leqslant 2.
\end{equation}
\tag{7}
$$
Отсюда, в частности, в силу выпуклости $N$ и дизъюнктности функций $x_k^n$, $k=1,2,\dots,n$, для любого множества $F\subset\{1,2,\dots,n\}$
$$
\begin{equation}
\sum_{k\in F}\int_0^\infty N\biggl(\frac{x_k^n(s)}{2|F|^{1/p}}\biggr)\,ds\leqslant 1,
\end{equation}
\tag{8}
$$
$$
\begin{equation}
\sum_{k\in F}\int_0^\infty N\biggl(\frac{2x_k^n(s)}{|F|^{1/p}}\biggr)\,ds\geqslant 1
\end{equation}
\tag{9}
$$
(здесь и далее $|F|:= \operatorname{card}F$).
Представим $x_k^n=y_k^n+z_k^n$, где $y_k^n:=x_k^n\cdot \chi_{\{x_k^n\leqslant 1\}}$, $z_k^n:=x_k^n\cdot \chi_{\{x_k^n>1\}}$, $k=1,2,\dots,n$, и покажем, что
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\int_0^\infty N(y_k^n(s))\,ds=0.
\end{equation}
\tag{10}
$$
Действительно, предположим, что (10) неверно. Тогда существуют $\delta>0$ и возрастающая последовательность натуральных чисел $\{n_i\}_{i=1}^\infty$ такие, что
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^{n_i}\int_0^\infty N(y_k^{n_i}(s))\,ds\geqslant \delta\cdot n_i, \qquad i=1,2,\dots
\end{equation}
\tag{11}
$$
Так как в силу (5) для всех $n$
$$
\begin{equation*}
N\biggl(\frac{y_k^n(s)}{2n^{1/p}}\biggr)\geqslant c 2^{-q_1}n^{-q_1/p}N(y_k^n(s)), \qquad s>0,
\end{equation*}
\notag
$$
то из (8) и (11) следует
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 1&\geqslant\sum_{k=1}^{n_i}\int_0^\infty N\biggl(\frac{x_k^{n_i}(s)}{2n_i^{1/p}}\biggr)\,ds\geqslant \sum_{k=1}^{n_i}\int_0^\infty N\biggl(\frac{y_k^{n_i}(s)}{2n_i^{1/p}}\biggr)\,ds \\ &\geqslant c 2^{-q_1}\sum_{k=1}^{n_i}\int_0^\infty N(y_k^{n_i}(s))\,ds\cdot n_i^{-q_1/p}\geqslant c\delta 2^{-q_1}n_i^{1-q_1/p}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда
$$
\begin{equation*}
n_i^{1-q_1/p}\leqslant c^{-1}\delta^{-1}2^{q_1}, \qquad i=1,2,\dotsc\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Последнее невозможно ввиду того, что $q_1<p$ и $\lim_{i\to\infty}n_i=\infty$.
Таким образом, выполнено соотношение (10). Тогда, как нетрудно видеть, для всех $n\in\mathbb{N}$ существуют множества $E_n\subset\{1,\dots,n\}$ такие, что $|E_n|\geqslant n/2$ и
$$
\begin{equation}
\alpha_n:=\max_{k\in E_n}\int_0^\infty N(y_k^{n}(s))\,ds\to 0 \qquad\text{при}\quad n\to\infty.
\end{equation}
\tag{12}
$$
Пусть $l\in\mathbb{N}$, $l\geqslant 2^p$. В силу (12) найдется $n_0>2l$ такое, что для всех $n\geqslant n_0$ справедливо неравенство $l^{1-1/p}\alpha_n\leqslant 1/4$, а также существует множество $F_n\subset\{1,\dots,n\}$, $|F_n|=l$, такое, что
$$
\begin{equation*}
\int_0^\infty N(y_k^{n}(s))\,ds\leqslant\alpha_n, \qquad k\in F_n.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, учитывая выпуклость функции $N$, а также то, что $2l^{-1/p}\leqslant 1$, для всех $n\geqslant n_0$ получим
$$
\begin{equation*}
\sum_{k\in F_n}\int_0^\infty N\biggl(\frac{2y_k^n(s)}{l^{1/p}}\biggr)\,ds\leqslant 2l^{1-1/p}\max_{k\in F_n}\int_0^\infty N(y_k^n(s))\,ds\leqslant 2l^{1-1/p}\alpha_n \leqslant \frac12.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, так как функции $y_k^n$ и $z_k^n$ дизъюнктны, $k=1,2,\dots,n$, согласно (9) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \sum_{k\in F_n}\int_0^\infty N\biggl(\frac{2z_k^n(s)}{l^{1/p}}\biggr)\,ds &=\sum_{k\in F_n}\int_0^\infty N\biggl(\frac{2x_k^n(s)}{l^{1/p}}\biggr)\,ds \nonumber \\ &\qquad -\sum_{k\in F_n}\int_0^\infty N\biggl(\frac{2y_k^n(s)}{l^{1/p}}\biggr)\,ds\geqslant\frac12, \qquad n\in\mathbb{N}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{13}
$$
С другой стороны, если $z_k^n(s)>0$ (и, значит, $z_k^n(s)>1$), то в силу неравенства (6)
$$
\begin{equation*}
N(z_k^n(s))\geqslant {c}{2}^{-q_2} l^{q_2/p}N\biggl(\frac{2z_k^n(s)}{l^{1/p}}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
откуда
$$
\begin{equation}
N\biggl(\frac{2z_k^n(s)}{l^{1/p}}\biggr)\leqslant c^{-1}{2}^{q_2}l^{-q_2/p}N(z_k^n(s)).
\end{equation}
\tag{14}
$$
Кроме того, учитывая неравенство (7), имеем $\|x_k^n\|_{L_N}\leqslant 2$, и, значит,
$$
\begin{equation*}
\int_0^\infty N(z_k^n(s))\,ds\leqslant k_N\int_0^\infty N(z_k^n(s)/2)\,ds\leqslant k_N\int_0^\infty N(x_k^n(s)/2)\,ds\leqslant k_N,
\end{equation*}
\notag
$$
где $k_N$ – $\Delta_2$-константа функции $N$. Поэтому из (13) и (14) следует, что Так как $l\in\mathbb{N}$ может быть сколь-угодно большим, а $q_2>p$, это невозможно. Таким образом, предположение о том, что $p\in {\mathcal L}(L_N)$ неверно, и предложение доказано. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ast23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|