| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Аппроксимация функций Матье функциями параболического цилиндра Е. А. Злобина Санкт-Петербургский государственный университет
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623090031 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеРешения уравнения Матье, традиционно записываемого в виде имеют широкое применение как в математических, так и в физических задачах. Асимптотики функций Матье исследовались в многочисленных работах (см. например, [1]–[6], а также литературу в [7]), где роль большого параметра играли величины $\lambda$, $q$ или $\lambda/q$, и для вещественных $\lambda$ и $q$ были построены равномерные по $x$ асимптотические формулы.Мы обращаемся к ранее не обсуждавшемуся случаю, когда коэффициенты в уравнении Матье, которое нам удобно переписать следующим образом: принимают значения где Рассмотрение этого случая мотивировано изучением задач дифракции на контурах с негладкой кривизной. В этих задачах возникают высокочастотные пограничные слои, для описания которых удобны простые аппроксимации решений (1.1)–(1.2) при вещественных значениях $x$, малых по сравнению с $k$ [8]. Мы строим соответствующие приближения в терминах функций параболического цилиндра $D_{\nu}$ [9], удовлетворяющих уравнению
$$
\begin{equation}
D_\nu''(z)+\biggl(\nu+\frac{1}{2}-\frac{z^2}{4}\biggr)D_\nu(z)=0
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
с начальными данными
$$
\begin{equation}
D_\nu(0)= \frac{2^{\nu/2}\sqrt{\pi}}{\Gamma((1-\nu)/2)}, \qquad D_\nu'(0)=- \frac{2^{(\nu+1)/2}\sqrt{\pi}}{\Gamma(-\nu/2)}
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
(здесь $\Gamma$ – гамма-функция). Нашей целью является построение простых неравномерных асимптотических формул. Отметим, что функции параболического цилиндра допускают удобную равномерную аппроксимацию функциями Эйри [10], однако лишь на вещественной оси и при $\nu \geqslant -1/2$ – нам же важен только случай $\nu \leqslant -1$. 2. Формулировка и доказательство результата Теорема 1. Уравнения Матье (1.1) с параметрами (1.2) имеет решение $u(x)$, такое что при отрицательных $x$, в области для него справедливо представление Замечание 1. Хотя уравнение (1.3) возникает из уравнения (1.1) при замене $\sin x$ на $x$, предполагающей малость $x$, асимптотика (2.2), (2.4) пригодна в области, где аргумент функции $D_{\nu}$ может принимать большие значения, и, соответственно, $u$ осциллирует. Область пригодности аппроксимации при отрицательных $x$ не зависит от параметра $\nu$ (см. (2.1)), а при положительных $x$ она сужается с увеличением $|\nu|$ (см. (2.3)). Перейдем к доказательству теоремы. Доказательство теоремы 1. 1. Сделаем в уравнении (1.1) с параметрами (1.2) замену переменной и положим Тогда $w$ удовлетворяет уравнению где Вещественным значениям $x$ отвечают $z$, лежащие на прямой $\mathbb{R}e^{-i\pi/4}$.
Для $R$, очевидно, при каждом из условий (2.1) и (2.3) справедлива оценка Здесь и далее $C$ – положительная константа, не зависящая от $k$.2. Уравнение (2.6) стандартным образом [11] сводится к уравнению Вольтерра на прямой $\mathbb{R}e^{-i\pi/4}$. Здесь
$$
\begin{equation}
M(z, t)=\bigl[D_\nu(t) D_{-\nu-1}(iz)-D_\nu(z) D_{-\nu-1}(it) \bigr] e^{i\pi(\nu+1)/2},
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
а $D_\nu(z)$ и $D_{-\nu-1}(iz)$ – два линейно независимых решения уравнения (1.3), см. [9], вронскиан которых равен
При $\nu \leqslant -1$ функция $D_\nu(z)$ в полуплоскости $\mathrm{Re}\, z<0$ имеет бесконечно много нулей, приближающихся на бесконечности к лучам $\arg z=\pm 3\pi/4$, но не лежащих на них, а в полуплоскости $\mathrm{Re}\, z \geqslant 0$ не обращается в нуль [7]. Тогда $w(z)$ на прямой $\mathbb{R}e^{-i\pi/4}$ допускает представление с функцией $v(z)$, удовлетворяющей уравнению где см. (2.8) и (2.9).Мы будем рассматривать уравнение (2.11) отдельно для $z \in \mathbb{R}_+ e^{-i\pi/4}$ и для $z \in \mathbb{R}_-e^{-i\pi/4}$ (отвечающих отрицательным и положительным $x$, соответственно, см. (2.5)). 3. Пусть сначала $z \in \mathbb{R}_+ e^{-i\pi/4}$. Оценим $\mu (z, t)$ в области, где выполнено (2.1). В секторе $-3\pi/4 < \arg z < 3\pi/4$ функция $D_\nu (z)$ имеет асимптотику [9]
$$
\begin{equation*}
D_\nu(z)=z^{\nu} e^{-z^2/4}\biggl(1+ O\biggl(\frac{1}{|z|^2}\biggr)\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
откуда, с учетом (1.4), следует, что Тогда и справедлива
Лемма 1. Пусть $z\in \mathbb{R}_+ e^{-i\pi/4}$, $t\in \mathbb{R}_+ e^{-i\pi/4}$ и $|t|\leqslant |z|$. Тогда функция $\mu(z, t)$, см. (2.12), удовлетворяет оценке Решая уравнение (2.11) на полуоси $z \in \mathbb{R}_+ e^{-i\pi/4}$ итерациями, с помощью неравенства (2.7) и леммы 1 получим, что при $\nu \neq -5/2$
$$
\begin{equation}
|v(z)-1| \leqslant \biggl|\int_0^{z} \mu (z, t) R(t)\,dt \biggr| < C \frac{(1+|z|)^{-2\nu-1}}{k} \int_0^{|z|} (1+s)^{2\nu} s^4 \,ds < C \frac{|z|^4}{k}.
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
В случае $\nu=-5/2$ левая часть (2.13) оценивается через $C |z|^4 \ln|z|/k$, что в свою очередь не превосходит $C|z|^{4+\delta}/k$, где $\delta > 0$ можно выбрать сколь угодно малым. Значит, при всех $\nu \leqslant -1$ выполнена оценка откуда, с учетом (2.10), вытекает справедливость представления (2.2) в области (2.1). 4. Рассмотрим теперь уравнение (2.11) при $z \in \mathbb{R}_-e^{-i\pi/4}$. Оценим функцию $\mu(z,t)$ (2.12) в области, где выполнено (2.3). В секторе $\pi/4 < \arg z < 5\pi/4$ функция $D_\nu$ имеет асимптотику [9]
$$
\begin{equation}
D_\nu(z)=z^{\nu} e^{-z^2/4} \biggl(1+ O\biggl(\frac{1}{|z|^2}\biggr)\biggr) -\frac{\sqrt{2\pi}}{\Gamma(-\nu)} e^{i\pi\nu} z^{-\nu-1} e^{z^2/4}\biggl(1+ O\biggl(\frac{1}{|z|^2}\biggr)\biggr),
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
а асимптотика в секторе $-5\pi/4 < \arg z < -\pi/4$ отличается от (2.14) лишь заменой $e^{i\pi\nu}$ на $e^{-i\pi\nu}$ во втором слагаемом. Отсюда, с учетом (1.4), вытекают неравенства
$$
\begin{equation}
|D_{\nu}(z)| < C (1+|z|)^{-\nu-1}, \qquad |D_{-\nu-1}(iz)| < C (1+|z|)^{-\nu-1}.
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
Оценка же $D_{\nu}^{-1}(z)$ осложняется тем, что корни $D_\nu(z)$ приближаются на бесконечности к лучу $\arg z=3\pi/4$ [7]. Для больших по модулю корней $z_{\nu,n}$ справедливо асимптотическое выражение [7]
$$
\begin{equation*}
z_{\nu,n}=e^{3i\pi/4}\sqrt{2\tau_{\nu,n}} \biggl(1+ O\biggl(\frac{\ln\tau_{\nu,n}}{\tau_{\nu,n}}\biggr)\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\tau_{\nu,n}=(2n+1+\nu)+if(\nu), \qquad f(\nu)= \ln\biggl(\frac{2^{\nu}}{\sqrt{\pi}}\Gamma(-\nu)\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
$n$ – достаточно большое натуральное число, а под квадратным корнем и логарифмом подразумеваются главные ветви этих функций. Оценим расстояние от корня $z_{\nu,n}$ до луча $\mathbb{R}_-e^{-i\pi/4}$. Пусть точка $z$ лежит на луче $\mathbb{R}_-e^{-i\pi/4}$ близко к $z_{\nu,n}$. В главном порядке и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |z-z_{\nu,n}| &=|z| \operatorname{tg}\biggl|\arg z_{\nu,n}-\frac{3\pi}{4}\biggr| (1+o(1)) =|z| \operatorname{tg}\biggl|\frac{\arg \tau_{\nu,n}}{2}\biggr| (1+o(1)) \\ &=\frac{|z| f(\nu)}{2\sqrt{|z|^4-4f^2(\nu)}} (1+o(1))= \frac{f(\nu)}{2|z|}(1+o(1)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому $D_{\nu}^{-1}(z)$ на луче $\mathbb{R}_-e^{-i\pi/4}$ удовлетворяет оценке Из неравенств (2.15) и (2.16) немедленно следует Лемма 2. Пусть $z\in \mathbb{R}_- e^{-i\pi/4}$, $t\in \mathbb{R}_- e^{-i\pi/4}$ и $|t|\leqslant |z|$. Тогда для функции $\mu(z, t)$, см. (2.12), справедлива оценка Решая уравнение (2.11) на полуоси $z \in \mathbb{R}_- e^{-i\pi/4}$ итерациями, с помощью неравенства (2.7) и леммы 2 получим оценку
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |v(z)-1| &\leqslant \biggl|\int_0^{z} \mu(z, t)R(t)\,dt \biggr| \\ &< C \frac{(1+|z|)^{-\nu}}{k} \int_0^{|z|} (1+s)^{-2\nu-2} s^4\,ds < C \frac{|z|^{3(1-\nu)}}{k}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда вытекает справедливость представления (2.4) в области (2.3). Таким образом, теорема доказана. Замечание 2. В доказательстве теоремы 1 использованы простые оценки, которые не являются предельно точными, поэтому построенная асимптотика (2.2), (2.4) может быть пригодна и в несколько более широкой области, чем ограниченная неравенствами (2.1) и (2.3). БлагодарностиАвтор благодарит А. П. Киселева и А. В. Цветкову за интерес к работе и полезные замечания. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Zlo23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|