| Математические заметки |
|
|
|
|
|
О конечных группах с Т. И. Васильеваa, А. Г. Коранчукb a Белорусский государственный университет транспорта, г. Гомель b Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины, Республика Беларусь
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623090158 
Реферативные базы данных:
 1. Введение и постановка задачиРассматриваются только конечные группы. Одно из направлений исследования групп состоит в изучении их по свойствам систем подгрупп, связанных с группой заданной подгрупповой цепью. Например, группа нильпотентна тогда и только тогда, когда в ней все силовские подгруппы субнормальны, т.е. каждая силовская подгруппа соединена с группой цепью подгрупп, в которой предыдущая подгруппа нормальна в ее содержащей подгруппе. В [1] Казарин для группы $G$, в которой единичная подгруппа связана с $G$ цепью подгрупп с простыми индексами, нашел описание неабелевых композиционных факторов. В [2] было введено понятие $\mathbb{P}$-субнормальной подгруппы, т.е. подгруппы, которая либо совпадает с группой $G$, либо от нее до $G$ имеется цепь подгрупп с простыми индексами. Группы с системами $\mathbb{P}$-субнормальных подгрупп изучались в ряде работ (см., например, [2]–[7]). Возникает задача изучения влияния на группу $G$ систем подгрупп, связанных с $G$ цепью подгрупп, в которой не все индексы являются простыми числами. В настоящей работе вводится следующее Определение 1. Пусть $\pi$ – некоторое множество простых чисел. Подгруппу $H$ группы $G$ будем называть $\mathbb{P}_{\pi}$-субнормальной в $G$ (кратко обозначать $H\ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn}\ G$), если либо $H=G$, либо существует цепь подгрупп такая, что $|H_{i}: H_{i-1}|$ есть или простое число из $\pi$, или $\pi'$-число для $i=1,\dots,n$. Заметим, если $\pi(G:H)\subseteq\pi$, в частности, $\pi(G)\subseteq\pi$ или $\pi = \mathbb{P}$ – множество всех простых чисел, то определение 1 есть определение $\mathbb{P}$-субнормальной подгруппы из [2]. В работе получены свойства $\mathbb{P}_{\pi}$-субнормальных подгрупп, на основании которых доказаны следующие результаты. Теорема 1. Пусть $\mathfrak{X}$ – класс всех $\pi$-замкнутых групп, в которых все силовские подгруппы $\mathbb{P}_{\pi}$-субнормальны. Тогда справедливы следующие утверждения: Ввиду теоремы Хупперта [8; гл. VI, п. 9.2] в $\pi$-сверхразрешимой группе индекс любой максимальной подгруппы есть или простое число из $\pi$, или $\pi'$-число. Это означает, что в $\pi$-сверхразрешимой группе любая подгруппа является $\mathbb{P}_{\pi}$-субнормальной. Поэтому формация всех $\pi$-замкнутых $\pi$-сверхразрешимых групп содержится в формации $\mathfrak{X}$ из теоремы 1. Пример 1 из [2] показывает, что это включение строгое. Теорема 2. Пусть $G$ – $\pi$-замкнутая группа. Тогда следующие утверждения эквивалентны: Замечание 1. В теореме 2 условие $\pi$-замкнутости группы существенно. Пусть группа $G=\mathrm{PSL}(2, 7)$, $\pi= \{3, 7\}$ и $G_{p}\in\mathrm{Syl}_{p}(G)$, $p\in\pi$. Если $p=3$, то имеется цепь подгрупп $N_{G}(G_{p}) < H < G$, где $N_{G}(G_{p})\cong S_{3}$ – симметрическая группа степени 3, $H\cong S_{4}$ – симметрическая группа степени 4. Поэтому $|H:N_{G}(G_{p})|=4$, $|G:H|=7$ и $N_{G}(G_{p})\ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn}\ G$. Если $p=7$, то $N_{G}(G_{p})\ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn}\ G$, так как $|G:N_{G}(G_{p})|=8$. В $G$ $\pi'$-холловы подгруппы являются силовскими 2-подгруппами. Если $G_{q}\in\mathrm{Syl}_{q}(G)$, $q=2$, то $G_{q}=N_{G}(G_{q}) < M < G$, где $M\cong S_{4}$, $|M:N_{G}(G_{q})|=3$, $|G:M|=7$. Это означает, что $N_{G}(G_{q}) \ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn}\ G$. При этом $G$ не $\pi$-сверхразрешима. Следствие 1 [4; теорема 3.1]. Группа $G$ сверхразрешима тогда и только тогда, когда в $G$ все нормализаторы силовских подгрупп $\mathbb{P}$-субнормальны. Теорема 3. Пусть $G$ – $\pi$-замкнутая группа. Если $\mathfrak{F}$ – наследственная насыщенная формация, состоящая из $\pi$-сверхразрешимых групп и содержащая все $\pi$-нильпотентные группы, то следующие утверждения эквивалентны: Замечание 2. Условие $\pi$-замкнутости в теореме 3 нельзя отбросить. Например, пусть $\pi=\{2\}$, $\mathfrak{F}$ – формация всех $2$-сверхразрешимых групп и $G=S_{4}$. Для $p=2$ нормализатор $N_{G}(G_{p})=G_{p}$ нильпотентен, а значит, принадлежит $\mathfrak{F}$, его 2-нильпотентный корадикал равен 1 и $\mathbb{P}_{\pi}$-субнормален в $G$. При этом $G$ 2-разрешима, но не является 2-сверхразрешимой. Следствие 2. Пусть $G$ – $\pi$-замкнутая группа. Тогда и только тогда $G$ $\pi$-сверхразрешима, когда $G$ – $\pi$-разрешимая группа, в которой $N_{G}(P)$ $\pi$-сверхразрешим и его $\pi$-нильпотентный корадикал $\mathbb{P}_{\pi}$-субнормален в $G$ для любого простого $p\in\pi\cap\pi(G)$ и силовской $p$-подгруппы $P$ из $G$. Следствие 3. Пусть $G$ – $\pi$-замкнутая группа. Тогда и только тогда $G$ $\pi$-сверхразрешима, когда $G$ – $\pi$-разрешимая группа, в которой $N_{G}(P)$ $\pi$-сверхразрешим и его коммутант $\mathbb{P}_{\pi}$-субнормален в $G$ для любого простого $p\in\pi\cap\pi(G)$ и силовской $p$-подгруппы $P$ из $G$. Напомним [9], что группа $G$ называется $\pi$-разложимой, если $G=G_{\pi}\times G_{\pi'}$ и $G_{\pi}$ нильпотентна. Следствие 4. Группа $G$ $\pi$-разложима тогда и только тогда, когда $G$ является $\pi$-замкнутой $\pi$-разрешимой группой такой, что $N_{G}(P)$ $\pi$-разложим для любого простого $p\in\pi\cap\pi(G)$ и силовской $p$-подгруппы $P$ из $G$. Для $\pi=\mathbb{P}$ отсюда получается разрешимый случай теоремы 2 из [10]. Если $\pi=\mathbb{P}$, то теорема 3 включает следующий результат. Следствие 5 [11; предложение 1]. Пусть $\mathfrak{F}$ – наследственная насыщенная формация, состоящая из сверхразрешимых групп и содержащая все нильпотентные группы. Группа $G\in\mathfrak{F}$ тогда и только тогда, когда $G$ разрешима, $N_{G}(P)\in\mathfrak{F}$ и его нильпотентный корадикал $\mathbb{P}$-субнормален в $G$ для любой силовской подгруппы $P$ группы $G$. В [6] был изучен собственный подкласс формации всех сверхразрешимых групп $\mathfrak{U}$, содержащий все нильпотентные группы: класс $s\mathfrak{U}$ всех сильно сверхразрешимых групп. При этом группа $G$ называется сильно сверхразрешимой, если она сверхразрешима и любая силовская подгруппа $H$ субмодулярна в ней, т.е. либо $H=G$, либо существует цепь подгрупп (1.1), в которой $H_{i-1}$ модулярна в $H_{i}$ для любого $i=1, 2,\dots, n$. Здесь модулярная подгруппа – это модулярный элемент в решетке всех подгрупп группы. В [6] было установлено, что $s\mathfrak{U}$ – наследственная насыщенная формация. Поэтому в случае $\pi=\mathbb{P}$ и $\mathfrak{F}=s\mathfrak{U}$ из теоремы 3 вытекает Следствие 6. Группа $G$ сильно сверхразрешима тогда и только тогда, когда $G$ разрешима, $N_{G}(P)$ сильно сверхразрешим и его нильпотентный корадикал $\mathbb{P}$-субнормален в $G$ для любой силовской подгруппы $P$ группы $G$. 2. Предварительные результатыЕсли $G$ – группа, то $|G|$ – порядок $G$, $\pi(G)$ – множество всех различных простых делителей $|G|$. Для подгруппы $H$ группы $G$ используется обозначение $H\leqslant G$ и $H < G$, если $H\neq G$. Далее, $\mathrm{Core}_G(H)=\bigcap_{x\in G} H^{x}$ – ядро подгруппы $H$ в $G$. Через $\mathbb{P}$ обозначается множество всех простых чисел; $\pi$ – некоторое подмножество из $\mathbb{P}$; $\pi'=\mathbb{P}\setminus\pi$; $\pi$-число – целое число, все простые делители которого принадлежат $\pi$; $\pi$-холлова подгруппа группы $G$ – это подгруппа $H$ такая, что $|H|$ – $\pi$-число, а $|G:H|$ – $\pi'$-число. Единичная подгруппа 1 считается $\pi$-холловой подгруппой в $G$, если $\pi\cap \pi(G)=\varnothing$. Силовская $p$-подгруппа группы $G$ – это $\pi$-холлова подгруппа из $G$ для $\pi=\{p\}$, $p\in \mathbb{P}$; $\mathrm{Syl}_p(G)$ – множество всех силовских $p$-подгрупп из $G$; $\mathrm{Syl}(G)$ – множество всех силовских подгрупп из $G$. Нам потребуются известные свойства $\pi$-холловых подгрупп (см., например, [8; гл. VI, § 1], [12; гл. I, § 3]). Лемма 1. Пусть $H$ – $\pi$-холлова подгруппа группы $G$, $N\unlhd G$ и $M\unlhd G$. Тогда справедливы следующие утверждения: Группа $G$ называется:
Группа $G$ обладает свойством $D_{\pi}$, если в $G$ существует $\pi$-холлова подгруппа, все $\pi$-холловы подгруппы сопряжены в $G$, всякая $\pi$-подгруппа из $G$ содержится в некоторой $\pi$-холловой подгруппе из $G$. Согласно теореме Холла–Чунихина (см., например, [8; гл. VI, § 1]) любая $\pi$-разрешимая группа обладает свойствами $D_{\pi}$ и $D_{\pi'}$ и ее $\pi$-холлова подгруппа разрешима. Группа $G$, где $|G|=p_{1}^{\alpha_{1}}\dotsb p_{n}^{\alpha_{n}}$ и простые числа $p_{1}>\dots > p_{n}$, называется дисперсивной по Оре или имеет силовскую башню сверхразрешимого типа, если в $G$ существуют нормальные подгруппы порядков $p_{1}^{\alpha_{1}}\dotsb p_{k}^{\alpha_{k}}$ для любого $k=1,\dots, n$. Формацией называется класс групп, замкнутый относительно взятия гомоморфных образов и подпрямых произведений. Формация $\mathfrak{F}$ называется наследственной, если $\mathfrak{F}$ вместе с каждой группой $G$ содержит и все подгруппы из $G$; насыщенной, если $G \in \mathfrak{F}$ всякий раз, как $G/\Phi(G)\in \mathfrak{F}$. Если $\mathfrak{F}$ – формация, то $\mathfrak{F}$-корадикалом группы $G$ называется подгруппа $G^{\mathfrak{F}}=\bigcap N$ для всех нормальных подгрупп $N$ из $G$, для которых $G/N \in \mathfrak{F}$. Под локальным экраном понимается функция $f\colon \mathbb{P} \to \{\text{формации}\}$. Класс групп
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, LF(f) &= \bigl( G\mid G/C_{G}(H/K) \in f(p)\text{ для любого главного фактора }H/K \\ &\qquad\text{ и каждого }p \in \pi(H/K) \bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Формация $\mathfrak{F}$ называется локальной, если $\mathfrak{F} = LF(f)$ для некоторого локального экрана $f$. Локальный экран $f$ формации $\mathfrak{F} = LF(f)$ называется внутренним, если $f(p) \subseteq \mathfrak{F}$ для любого простого $p$; максимальным внутренним, если $f$ внутренний и для любого внутреннего локального экрана $h$ формации $\mathfrak{F}$ имеет место включение $h(p) \subseteq f(p)$ для любого простого $p$. Используются следующие обозначения:
Приведем некоторые известные необходимые свойства $\pi$-сверхразрешимых групп (см., например, [8; гл. VI, § 8, 9], [9; c. 35]). Лемма 2. (1) Класс всех $\pi$-сверхразрешимых групп является наследственной насыщенной формацией и имеет локальный экран $f$ такой, что $f(p)= \mathfrak{A}(p-1)$, если $p\in\pi$ и $f(p)= \mathfrak{E}$, если $p\in\pi'$. (2) Если группа $G$ $p$-сверхразрешима, то она имеет $p$-нильпотентный коммутант. (3) Если группа $G$ сверхразрешима, то $G$ дисперсивна по Оре. Лемма 3 [13; теорема 2]. Группа $G$ сверхразрешима тогда и только тогда, когда $G$ можно представить в виде произведения двух нильпотентных $\mathbb{P}$-субнормальных подгрупп. 3. Свойства $\mathbb{P}_{\pi}$-субнормальных подгрупп Лемма 4. Пусть $H$ – подгруппа группы $G$. Тогда справедливы следующие утверждения: Доказательство аналогично доказательству леммы 3.1 из [3]. Лемма 5. Пусть в группе $G$ силовская $p$-подгруппа является $\mathbb{P}_{\pi}$-субнормальной. Если $N\unlhd G$, то в $N$ любая силовская $p$-подгруппа $\mathbb{P}_{\pi}$-субнормальна и в $G/N$ любая силовская $p$-подгруппа $\mathbb{P}_{\pi}$-субнормальна. Доказательство. Пусть $R\in \mathrm{Syl}_{p}(N)$ и $S/N\in \mathrm{Syl}_{p}(G/N)$. Ввиду теоремы Силова $R=H\cap N$ и $S/N=H^{x}N/N$ для некоторых $H\in \mathrm{Syl}_{p}(G)$ и $x\in G$. Так как $H \ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn} \ G$, по лемме 4 $R \ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn} \ N$ и $S/N \ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn} \ G/N$. Лемма 6. Пусть $G$ – $\pi$-замкнутая группа, $p$ – наибольшее простое число из $\pi\cap\pi(G)$ и $P\in \mathrm{Syl}_{p}(G)$. Пусть выполняется одно из следующих условий: Тогда $P$ – нормальная подгруппа в $G$. Доказательство. Пусть выполняется условие (1). Предположим, что существуют $\pi$-замкнутые группы, для которых заключение леммы неверно. Выберем среди них группу $G$ наименьшего порядка. Тогда для наибольшего простого $p\in\pi\cap\pi(G)$ в $G$ имеется $P\in \mathrm{Syl}_{p}(G)$, $N_{G}(P) \ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn} \ G$, но $P$ не является нормальной в $G$.
Обозначим $H=N_{G}(P)$. В $G$ существует цепь подгрупп (1.1), для которой $|H_{i}: H_{i-1}|$ есть либо простое число из $\pi$, либо $\pi'$-число. Так как $G$ имеет нормальную $\pi$-холлову подгруппу $G_{\pi}$, $H_{n-1}\cap G_{\pi}$ – нормальная $\pi$-холлова подгруппа в $H_{n-1}$. Заметим, что $H=N_{H_{n-1}}(P)$. Так как $P\in \mathrm{Syl}_{p}(H_{n-1})$, $p$ – наибольшее простое число из $\pi\cap\pi(H_{n-1})$ и $H \ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn} \ H_{n-1}$, по выбору $G$ подгруппа $P\unlhd H_{n-1}$. Предположим, что $|H_{n}: H_{n-1}| = q\in\pi$. Из $H_{n-1}=N_{G}(P)$ по теореме Силова $|G: N_{G}(P)|=q\equiv 1(\mathrm{mod}\,p)$. Получили противоречие с $q<p$. Пусть $|H_{n}: H_{n-1}|$ – $\pi'$-число. Ввиду
$$
\begin{equation*}
|G|=|G_{\pi}|\cdotp |G/G_{\pi}|=|H_{n-1}\cap G_{\pi}|\cdot |H_{n-1}G_{\pi}/G_{\pi}|\cdot |H_{n}:H_{n-1}|
\end{equation*}
\notag
$$
заключаем, что $G_{\pi}$ – $\pi$-холлова подгруппа в $H_{n-1}$. Так как $G_{\pi}$ содержит силовскую $p$-подгруппу из $H_{n-1}$, из теоремы Силова следует, что $P\leqslant G_{\pi}$. Но тогда $P\unlhd G_{\pi}\unlhd G$. Из $P\, \mathrm{char}\,G_{\pi}$ получаем $P\unlhd G$, что противоречит выбору $G$.
Пусть выполняется условие (2). Пусть $G$ – группа наименьшего порядка такая, что $G$ $\pi$-замкнута, $P \ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn} \ G$ для наибольшего простого $p$ из $\pi\cap\pi(G)$ и силовской $p$-подгруппы $P$, но $P$ не является нормальной подгруппой в $G$. Тогда $P\neq G$ и имеется цепь подгрупп $P=P_{0}< P_{1}< \dots < P_{m-1}< P_{m}=G$ такая, что $|P_{i}: P_{i-1}|$ есть либо простое число из $\pi$, либо $\pi'$-число, $i=1, 2, \dots, m$. По выбору $G$ подгруппа $P$ нормальна в $P_{m-1}$. Тогда $P_{m-1}\leqslant N_{G}(P)$. Откуда заключаем, что либо $P_{m-1}=N_{G}(P)$ и $|G:N_{G}(P)|$ – простое число из $\pi$, либо $|G:N_{G}(P)|$ – $\pi'$-число. Это означает, что выполняется условие (1). По доказанному $P\unlhd G$, что противоречит выбору $G$. Лемма 7. Пусть $G$ – $\pi$-замкнутая группа и $\pi\cap\pi(G)=\{p_{1},p_{2},\dots,p_{n}\}$, где $p_{1}>p_{2}>\dots>p_{n}$. Пусть выполняется одно из следующих условий: Тогда $P_{1}P_{2}\dotsb P_{k}\unlhd G$ для любого $k=1,2,\dots,n$; $\pi$-холлова подгруппа из $G$ дисперсивна по Оре; $G$ – $\pi$-разрешимая группа. Доказательство. По лемме 6 $P_{1}\unlhd G$. Из леммы 4, (1) и леммы 6 следует, что $P_{1}P_{2}/P_{1}\unlhd G/P_{1}$. Откуда $P_{1}P_{2}\unlhd G$. Аналогично $P_{1}P_{2}P_{3}/P_{1}P_{2}\unlhd G/P_{1}P_{2}$ и $P_{1}P_{2}P_{3} \unlhd G$. Продолжая этот процесс, получим $P_{1}P_{2}\dotsb P_{k}\unlhd G$, $k=1,2,\dots,n$.
Так как $\pi$-холлова подгруппа $G_{\pi}$ из $G$ нормальна в $G$, она содержит $P_{i}$, $i=1,2,\dots,n$. Тогда из $G_{\pi}=P_{1}P_{2}\dotsb P_{n}$ и по доказанному выше $G_{\pi}$ дисперсивна по Оре, следовательно, $G$ $\pi$-разрешима. Из примера 1 работы [4] следует, что в неразрешимой группе пересечение $\mathbb{P}_{\pi}$-субнормальных подгрупп не всегда является $\mathbb{P}_{\pi}$-субнормальной подгруппой. Лемма 8. Пусть $G$ – $\pi$-замкнутая группа. Если $G$ – $\pi$-разрешимая группа, то справедливы следующие утверждения:
Доказательство. (1) Проведем доказательство индукцией по $|G|$. Можно считать, что $H\neq G$. Тогда существует цепь (1.1), для которой $|H_{i}: H_{i-1}|$ есть либо простое число из $\pi$, либо $\pi'$-число. Рассмотрим цепь подгрупп Если $H_{i-1}\cap K = H_{i}\cap K$ для любого $i\in{1,2,\dots, n}$, то $(H\cap K) \ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn} \ K$ и утверждение верно.
Предположим существует $i$ такое, что $H_{i-1}\cap K\neq H_{i}\cap K$. Обозначим через $j$ наибольшее число из $\{1,2,\dots,n\}$, для которого $H_{j-1}\cap K\neq H_{j}\cap K$. Тогда $H_{j-1}\neq G$, $H_{j-1}$ $\pi$-замкнута и $\pi$-разрешима, $H \ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn} \ H_{j-1}$. По индукции
$$
\begin{equation*}
H\cap (H_{j-1}\cap K)\ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn} \ (H_{j-1}\cap K),
\end{equation*}
\notag
$$
т.е.
$$
\begin{equation*}
(H\cap K) \ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn} \ (H_{j-1}\cap K).
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $H_{j}\cap K = H_{n}\cap K = K$, т.е. $K\leqslant H_{j}$. Если $j<n$, то по индукции $(H\cap K) \ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn} \ K$. Пусть $j=n$. Покажем, что $(H_{n-1}\cap K) \ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn} \ K$. Рассмотрим два случая. Случай (a): $|H_{n}: H_{n-1}| = p\in\pi$. Тогда $H_{n-1}$ – максимальная подгруппа в $G$. Обозначим $D = \mathrm{Core}_{G}(H_{n-1})$. Так как $G/D$ $\pi$-разрешима и $\mathrm{Core}_{G/D}(H_{n-1}/D) = D/D \cong 1$, в $G/D$ найдется минимальная нормальная подгруппа $L/D$ такая, что $L/D$ не содержится в $H_{n-1}/D$ и $G/D = H_{n-1}/D\cdot L/D$. Из $\pi$-разрешимости $G/D$ и $p\in\pi\cap\pi(L/D)$ следует, что $L/D$ – $p$-группа. По [12; A, п. 15.2] $L/D$ – единственная минимальная нормальная подгруппа в $G/D$, $C_{G/D}(L/D)=L/D$ и $H_{n-1}/D\cap L/D=D/D$. Отсюда получаем, что Но тогда $H_{n-1}/D\cong G/D/C_{G/D}(L/D)\cong \mathrm{Aut}_{G/D}(L/D)$ изоморфно вкладывается в $\mathrm{Aut}(Z_{p})\cong Z_{p-1}$. Значит, $G/D$ – сверхразрешимая группа. Поэтому $K/K\cap D\cong KD/D$ сверхразрешима. Тогда $(H_{n-1}\cap K/K\cap D) \ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn} \ (K/K\cap D)$ и по лемме 4, (2) $(H_{n-1}\cap K) \ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn} \ K$.Случай (b): $|H_{n}: H_{n-1}|$ – $\pi'$-число. Так как $H_{n}=G$ $\pi$-разрешима и в $G$ существует нормальная $\pi$-холлова подгруппа $G_{\pi}$, заключаем, что $G_{\pi}=H_{n-1}\cap G_{\pi}$. Подгруппа $K\cap G_{\pi}$ является $\pi$-холловой в $K$. Из $K\cap G_{\pi}\leqslant H_{n-1}\cap K$ заключаем, что $|K: H_{n-1}\cap K|$ – $\pi'$-число. Таким образом, $(H_{n-1}\cap K) \ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn} \ K$. Итак, $(H\cap K) \ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn} \ (H_{n-1}\cap K) \ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn} \ K$. Значит, $(H\cap K) \ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn} \ K$. (2) Утверждение следует из того, что $(H\cap K) \ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn} \ K$ по доказанному в $(1)$. По лемме 4, (3) $(H\cap K) \ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn} \ G$. Лемма 9. Пусть $\mathfrak{F}$ – наследственная формация, $G$ – $\pi$-замкнутая $\pi$-разрешимая группа, $P$ и $H$ – подгруппы из $G$. Если $P\leqslant H\leqslant G$ и $N_{G}(P)^{\mathfrak{F}}$ – $\mathbb{P}_{\pi}$-субнормальная подгруппа в $G$, то $N_{H}(P)^{\mathfrak{F}}$ – $\mathbb{P}_{\pi}$-субнормальная подгруппа в $H$. Доказательство. Ввиду
$$
\begin{equation*}
N_{H}(P)/N_{H}(P)\cap N_{G}(P)^{\mathfrak{F}}\cong N_{H}(P)N_{G}(P)^{\mathfrak{F}}/N_{G}(P)^{\mathfrak{F}}\leqslant N_{G}(P)/N_{G}(P)^{\mathfrak{F}}\in\mathfrak{F}
\end{equation*}
\notag
$$
и наследственности $\mathfrak{F}$ имеем $N_{H}(P)^{\mathfrak{F}}\leqslant N_{G}(P)^{\mathfrak{F}}$. Из
$$
\begin{equation*}
N_{H}(P)^{\mathfrak{F}}\unlhd N_{H}(P), \qquad N_{H}(P)^{\mathfrak{F}}\leqslant N_{G}(P)^{\mathfrak{F}}\cap H\leqslant N_{G}(P)\cap H=N_{H}(P)
\end{equation*}
\notag
$$
следует, что $N_{H}(P)^{\mathfrak{F}}\unlhd N_{G}(P)^{\mathfrak{F}}\cap H$. Из $\pi$-разрешимости $N_{G}(P)^{\mathfrak{F}}\cap H$ заключаем, что
$$
\begin{equation*}
N_{H}(P)^{\mathfrak{F}} \ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn} \ (N_{G}(H)^{\mathfrak{F}}\cap H).
\end{equation*}
\notag
$$
По лемме 8, (1)
$$
\begin{equation*}
(N_{G}(P)^{\mathfrak{F}}\cap H) \ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn} \ H.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $N_{H}(P)^{\mathfrak{F}} \ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn} \ H$ по лемме 4, (3). 4. Доказательства основных результатов Доказательство теоремы 1. (1) Класс групп
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{X}=\bigl(G\mid G - \text{$\pi$-замкнутая группа и }H \ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn} \ G \text{ для любой }H\in \mathrm{Syl}(G) \bigr)
\end{equation*}
\notag
$$
состоит из $\pi$-разрешимых групп по лемме 7.
1. Покажем, что класс $\mathfrak{X}$ является наследственным. Пусть $G\in \mathfrak{X}$ и $K\leqslant G$. По теореме Силова любая силовская $p$-подгруппа $K_{p}$ из $K$ содержится в некоторой силовской $p$-подгруппе $H$ группы $G$. Из леммы 8, (1) следует, что $K_{p}=(H \cap K) \ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn} \ K$. Значит, $K\in \mathfrak{X}$. Итак, $\mathfrak{X}$ – наследственный класс. 2. Пусть $G\in \mathfrak{X}$ и $N\unlhd G$. Тогда $G$ имеет нормальную $\pi$-холлову подгруппу $G_{\pi}$. По лемме 1, (2) $G_{\pi}N/N$ – $\pi$-холлова в $G/N$, причем $G_{\pi}N/N\unlhd G/N$. Так как в $G/N$ любая силовская $p$-подгруппа $S/N=G_{p}N/N$ для некоторой $G_{p}\in\mathrm{Syl}_{p}(G)$, по лемме 5 $S/N \ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn} \ G/N$. Итак, $G/N\in \mathfrak{X}$. Значит, $\mathfrak{X}$ замкнут относительно гомоморфных образов. 3. Покажем, что $\mathfrak{X}$ замкнут относительно подпрямых произведений. Пусть $G/N_{i}\in \mathfrak{X}$, где $N_{i}\unlhd G$, $i=1, 2$. Так как формациями являются класс всех $\pi$-замкнутых групп и класс всех $\pi$-разрешимых групп, $G/N_{1}\cap N_{2}$ $\pi$-замкнута и $\pi$-разрешима. Возьмем любую силовскую $p$-подгруппу $P/N_{1}\cap N_{2}$ из $G/N_{1}\cap N_{2}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
P/N_{1}\cap N_{2}=G_{p}(N_{1}\cap N_{2})/N_{1}\cap N_{2}
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторой $G_{p}\in\mathrm{Syl}_{p}(G)$. Заметим, что для $G_{p}$ выполняется утверждение (4) леммы 1. Поэтому по [12; A, п. 1.2] для $G_{p}$ имеет место $G_{p}N_{1}\cap G_{p}N_{2}=G_{p}(N_{1}\cap N_{2})$. Тогда
$$
\begin{equation*}
P/N_{1}\cap N_{2}=(G_{p}N_{1}/N_{1}\cap N_{2})\cap (G_{p}N_{2}/N_{1}\cap N_{2}).
\end{equation*}
\notag
$$
Из $G_{p}N_{i}/N_{i}\in\mathrm{Syl}_{p}(G/N_{i})$ и $G/N_{i}\in\mathfrak{X}$ заключаем, что $G_{p}N_{i}/N_{i} \ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn} \ G/N_{i}$, $i=1, 2$. По лемме 4, (2) $G_{p}N_{i} \ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn} \ G$, а значит, и $G_{p}N_{i}/N_{1}\cap N_{2} \ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn} \ G/N_{1}\cap N_{2}$, $i=1, 2$. Теперь по лемме 8, (2) $P/N_{1}\cap N_{2}$ $\mathbb{P}_{\pi}$-субнормальна в $G/N_{1}\cap N_{2}$. Итак, $\mathfrak{X}$ замкнут относительно подпрямых произведений. 4. Докажем насыщенность $\mathfrak{X}$ индукцией по $|G|$. Пусть $\Phi(G)\neq1$ и $G/\Phi(G)\in\mathfrak{X}$. Тогда $G/\Phi(G)$ $\pi$-замкнута и $\pi$-разрешима. Из насыщенности формаций всех $\pi$-замкнутых групп и всех $\pi$-разрешимых групп следует, что группа $G$ $\pi$-замкнута и $\pi$-разрешима. Пусть $N$ – минимальная нормальная подгруппа группы $G$. По [12; A, п. 9.2, (e)] $\Phi(G)N/N\leqslant \Phi(G/N)$. Так как $G/\Phi(G)N\in\mathfrak{X}$, получаем $G/N/\Phi(G/N)\in\mathfrak{X}$. Из $|G/N|<|G|$ следует, что $G/N\in\mathfrak{X}$. Из доказанного в п. 3 следует, что $N$ – единственная минимальная нормальная подгруппа в $G$. Тогда $N\leqslant \Phi(G)$. Можно считать, что $G$ не является $\pi'$-группой. Пусть $p$ – наибольшее простое число из $\pi\cap\pi(G)$ и $G_{p}\in \mathrm{Syl}_{p}(G)$. Из $N/N\neq G_{p}N/N\in \mathrm{Syl}_{p}(G/N)$ по лемме 6 имеем $G_{p}N/N \unlhd G/N$. Тогда
$$
\begin{equation*}
G/N=N_{G/N}(G_{p}N/N)= N_{G}(G_{p})N/N=N_{G}(G_{p})/N \qquad\text{и}\qquad G_{p} \unlhd G.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому $N\leqslant G_{p}$. Для $|\pi(G)|=1$ группа $G\in\mathfrak{X}$.
Пусть $|\pi(G)|\geqslant 2$ и $G_{q}$ – произвольная силовская $q$-подгруппа группы $G$, $q\neq p$. Из $G_{q}N/N \ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn} \ G/N$ следует, что $G_{q}N \ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn} \ G$. Обозначим $H=G_{q}G_{p}$. Рассмотрим два случая. Случай (a): $G=H$. Так как $G_{q}N/N \ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn} \ G/N$ и $|G/N:G_{q}N/N|$ – $p$-число, по определению 1 $G_{q}N/N$ $\mathbb{P}$-субнормальна в $G/N$. Из леммы 3 следует сверхразрешимость $G/N$. Ввиду насыщенности формации всех сверхразрешимых групп $G$ сверхразрешима, а значит, $G\in\mathfrak{X}$. Случай (b): $G\neq H$. Так как $G/N\in\mathfrak{X}$, из доказанного выше в п. 1 заключаем, что $H/N\in\mathfrak{X}$. Отсюда следует, что любая силовская подгруппа из $H/N$ является $\mathbb{P}_{\pi}$-субнормальной в $H/N$. Так как $p\in\pi$, $G_{q}N/N$ $\mathbb{P}$-субнормальна в $H/N$. По лемме 3 $H/N$ сверхразрешима. Ввиду [9; следствие 16.2.2] получаем сверхразрешимость $H$. Отсюда следует, что $G_{q}N$ является сверхразрешимой группой. Значит, $G_{q} \ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn} \ G_{q}N$. Из леммы 4, (3) получаем $\mathbb{P}_{\pi}$-субнормальность $G_{q}$ в $G$. Следовательно, любая силовская подгруппа из $G$ является $\mathbb{P}_{\pi}$-субнормальной в $G$, а значит, группа $G\in\mathfrak{X}$. Тем самым, доказательство насыщенности $\mathfrak{X}$ завершено. Итак, ввиду доказанных пунктов 1–4 $\mathfrak{X}$ – наследственная насыщенная формация. Утверждение (1) теоремы доказано. (2) Пусть $G$ – $\pi$-замкнутая группа такая, что $G\not\in \mathfrak{X}$, а любая собственная подгруппа из $G$ принадлежит $\mathfrak{X}$. Тогда $G_{\pi}\neq 1$. Если $G_{\pi}\neq G$, то $G_{\pi}\in\mathfrak{X}$ и по лемме 7 $G$ $\pi$-разрешима. Предположим, что $G_{\pi}= G$. Так как в $G$ любая собственная подгруппа $H\in\mathfrak{X}$, по лемме 7 $H$ $q$-нильпотентна для наименьшего простого $q$ из $\pi\cap\pi(G)$ и разрешима. Тогда $G$ тоже разрешима. Это следует из того, что $G$ либо $q$-нильпотентна, либо бипримарна по [8; гл. IV, п. 5.4]. В первом случае $G$ разрешима, так как имеет нормальную разрешимую $q'$-холлову подгруппу $G_{q'}$ и $G/G_{q'}$ разрешима. Во втором случае $G$ разрешима по теореме Бернсайда [8; гл. V, п. 7.3]. Итак, $G$ – $\pi$-разрешимая группа. Для любой $H/\Phi(G)< G/\Phi(G)$ из $H\neq G$ и $H\in \mathfrak{X}$ следует, что $H/\Phi(G)\in \mathfrak{X}$. Обозначим $\overline{G}=G/\Phi(G)$. Ввиду насыщенности $\mathfrak{X}$ заключаем, что $\overline{G}\not\in\mathfrak{X}$. Пусть $\overline{N}$ – минимальная нормальная подгруппа в $\overline{G}$. Из $\Phi(\overline{G})=1$ и $\overline{G}\neq\overline{N}$ следует, что $\overline{G}=\overline{N}\,\overline{M}$ для некоторой максимальной в $\overline{G}$ подгруппы $\overline{M}$. Тогда $\overline{G}/\overline{N}\cong\overline{M}/\overline{M}\cap\overline{N}\in\mathfrak{X}$. Так как $\mathfrak{X}$ – формация, заключаем, что $\overline{N}$ – единственная минимальная нормальная подгруппа в $\overline{G}$. Поэтому $\overline{N}$ содержится в $\pi$-холловой подгруппе из $\overline{G}$. Значит, $\overline{N}$ – $p$-группа для некоторого $p\in\pi\cap \pi(\overline{G})$. Из $\overline{G}\not\in\mathfrak{X}$ следует, что в $\overline{G}$ имеется не $\mathbb{P}_{\pi}$-субнормальная силовская $r$-подгруппа $\overline{R}$ для некоторого $r\in\pi(G)$. Заметим, что из $\overline{R}\,\overline{N}/\overline{N}\ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn}\ \overline{G}/\overline{N}$ по лемме 4, (2) $\overline{R}\,\overline{N} \ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn} \ \overline{G}$. Если $\overline{R}\,\overline{N}\neq \overline{G}$, то $\overline{R}\,\overline{N}\in\mathfrak{X}$. Поэтому $\overline{R} \ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn} \ \overline{R}\,\overline{N}$. Откуда $\overline{R} \ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn} \ \overline{G}$. Противоречие с выбором $\overline{R}$. Значит, $\overline{R}\,\overline{N}= \overline{G}$. Так как $\Phi(G)$ состоит из необразующих элементов, $\pi(G)=\pi(\overline{G})=\{p, r\}$. Отметим, что $G$ не является сверхразрешимой. Пусть $H$ – любая собственная подгруппа из $G$. Если $H$ примарна, то $H$ сверхразрешима. Пусть $\pi(H)=\{p, r\}$. Из $H\in\mathfrak{X}$ следует, что $H_{p} \ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn} \ H$ и $H_{r} \ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn} \ H$ для любых $H_{p}\in \mathrm{Syl}_{p}(H)$ и $H_{r}\in \mathrm{Syl}_{r}(H)$. Более того, $H_{p}$ и $H_{r}$ – $\mathbb{P}$-субнормальные подгруппы в $H$. Действительно, $\mathbb{P}$-субнормальность $H_{r}$ в $H$ следует из $\pi(H:H_{r})=\{p\}\subseteq\pi$ и определения 1. Если $r\in\pi$, то аналогично $H_{p}$ $\mathbb{P}$-субнормальна в $H$. Если $r\in\pi'$, то из $\pi$-замкнутости $H$ заключаем, что $H_{p}\unlhd H$. Тогда $H_{p}$ $\mathbb{P}$-субнормальна в $H$ ввиду разрешимости $H$. По лемме 3 $H$ сверхразрешима. Утверждение (2) теоремы доказано. (3) Так как $\mathfrak{E}_{\pi'}$, $\mathfrak{X}$, $\mathfrak{N}_{p}\mathfrak{A}(p-1)$ являются наследственными формациями, то с использованием свойств $\mathbb{P}_{\pi}$-субнормальных подгрупп легко показывается, что $F(p)$ – наследственная формация. Из [12; гл. IV, п. 3.14] следует, что формация $LF(F)$ наследственная. Докажем, что $LF(F)=\mathfrak{X}$. Отметим, что $LF(F)$ состоит из $\pi$-замкнутых групп, так как по [9; § 4, п. 6] формация всех $\pi$-замкнутых групп имеет локальный экран $f$ такой, что
$$
\begin{equation*}
f(p) = \begin{cases} \mathfrak{E}, & \text{если } p\in\pi, \\ \mathfrak{E}_{\pi'}, & \text{если } p\in\pi'. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что $LF(F)\setminus \mathfrak{X}\neq\varnothing$. Пусть $G$ – группа наименьшего порядка из $LF(F)\setminus \mathfrak{X}$. Тогда любая собственная подгруппа из $G$ принадлежит $\mathfrak{X}$. По доказанному выше в (2) $G$ является бипримарной минимальной несверхразрешимой группой. Поскольку $\mathfrak{X}$ – насыщенная формация, $\Phi(G)=1$ и $G$ имеет единственную минимальную нормальную подгруппу $N$. Тогда в $G$ найдется максимальная подгруппа $M$ такая, что $G=NM$. Из $\pi$-замкнутости и разрешимости $G$, а также из $\mathrm{Core}_{G}(M)=1$ следует, что $N$ – абелева $p$-группа для некоторого $p\in \pi\cap\pi(G)$, $N\cap M = 1$, $N=C_{G}(N)$. По свойствам минимальных несверхразрешимых групп [9; теорема 26.5] сверхразрешимый корадикал $G^{\mathfrak{U}}$ является силовской подгруппой в $G$. Так как $N\leqslant G^{\mathfrak{U}}$, $G^{\mathfrak{U}}$ – $p$-группа. Тогда $N=G^{\mathfrak{U}}$, потому что $G^{\mathfrak{U}}\cap M\leqslant O_{p}(M)$ и $O_{p}(M)= 1$ по [12; A, п. 13.6, (b)]. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
M\in \mathrm{Syl}_{q}(G), \qquad M\cong G/N=G/C_{G}(N)\in F(p).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому $G/C_{G}(N)\cong M\in\mathfrak{A}(p-1)$. Тогда $G$ сверхразрешима и $G\in\mathfrak{X}$. Получили противоречие с выбором $G$. Итак, доказано, что $LF(F)\setminus \mathfrak{X}=\varnothing$, т.е. $LF(F)\subseteq\mathfrak{X}$.
Докажем обратное включение. Допустим, что $\mathfrak{X}\not\subseteq LF(F)$. Пусть $G$ – группа наименьшего порядка из $\mathfrak{X}\setminus LF(F)$. Для любой $L\unlhd G$ фактор-группа $G/L\in \mathfrak{X}$, поэтому $G/L\in LF(F)$. Из того, что $LF(F)$ – насыщенная формация, заключаем, что $\Phi(G)=1$ и $G$ обладает единственной минимальной нормальной подгруппой $N$. В этом случае $G=NM$, где $M$ – некоторая максимальная в $G$ подгруппа, причем $\mathrm{Core}_{G}(M)=1$. Если $G$ – $\pi'$-группа, то $G/C_{G}(H/K)\in \mathfrak{E}_{\pi'}=F(r)$ для любого главного фактора $H/K$ и $r\in\pi(H/K)$, т.е. $G\in LF(F)$. Это противоречит выбору $G$. Значит, в $G$ $\pi$-холлова подгруппа $G_{\pi}\neq 1$. Из $G\in\mathfrak{X}$ следует, что $G_{\pi}\unlhd G$ и $G_{\pi}$ разрешима. Поэтому $N\leqslant G_{\pi}$ и $N$ – $p$-группа для наибольшего $p\in\pi\cap\pi(G)$. Так как $\Phi(G)=1$ и $N$ абелева, $N=C_{G}(N)$, $N\cap M=1$. Заметим, что $|\pi(G)| > 1$. Из леммы 7, (2) и $O_{p}(M)=1$ следует, что $N\in\mathrm{Syl}_{p}(G)$. Допустим, что $H=G_{q}N\neq G$ для любого $q\neq p$, $q\in\pi(G)$ и $G_{q}\in\mathrm{Syl}_{q}(G)$. Тогда из $H\in\mathfrak{X}$ следует, что $H\in LF(F)$. По [9; лемма 4.5] $H/F_{p}(H)\in F(p)$. Так как $F_{p}(H)=N$, заключаем, что $G_{q}\in \mathfrak{A}(p-1)$. Отсюда и из $M\cong G/N\in \mathfrak{X}$ следует, что $M\in F(p)$. Поэтому $G/N=G/C_{G}(N)\in F(p)$ и $G\in LF(F)$. Получили противоречие. Пусть $G_{q}N = G$. Так как $G\in \mathfrak{X}$, $G_{q} \ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn} \ G$. Тогда $G_{q}$ $\mathbb{P}$-субнормальна в $G$, потому что $|G:G_{q}|$ – $p$-число. По лемме 3 $G$ сверхразрешима. Тогда $G_{q}\cong G/C_{{G}}(N)\in \mathfrak{A}(p-1)\subseteq F(p)$ и $G\in LF(F)$. Из полученного противоречия следует, что $\mathfrak{X}\setminus LF(F)=\varnothing$ и $\mathfrak{X}\subseteq LF(F)$. Таким образом, $LF(F)=\mathfrak{X}$. Так как $F(p)\subseteq \mathfrak{X}$ и $\mathfrak{N}_{p}F(p)=F(p)$ для любого простого $p$, по [9; лемма 3.12] $F$ – максимальный внутренний локальный экран $\mathfrak{X}$. Доказательство теоремы 2. (1) $\Rightarrow$ (2). Пусть $G$ – $\pi$-сверхразрешимая группа. Тогда по лемме 4, (6) все подгруппы, в частности, все нормализаторы силовских $p$-подгрупп для $p\in\pi\cap\pi(G)$ и все нормализаторы $\pi'$-холловых подгрупп $\mathbb{P}_{\pi}$-субнормальны в $G$, т.е. выполняется (2).
(2) $\Rightarrow$ (3). Пусть $G$ – группа, в которой $N_{G}(G_{p})$ и $N_{G}(G_{\pi'})$ $\mathbb{P}_{\pi}$-субнормальны для любого $p\in\pi\cap\pi(G)$, $G_{p}\in\mathrm{Syl}_{p}(G)$ и любой $\pi'$-холловой подгруппы $G_{\pi'}$. По лемме 7 группа $G$ $\pi$-разрешима. Тогда из $G_{\pi'}\unlhd N_{G}(G_{\pi'})$ и $\pi$-разрешимости $N_{G}(G_{\pi'})$ следует, что $G_{\pi'} \ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn} \ N_{G}(G_{\pi'})$. Поэтому $G_{\pi'} \ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn} \ G$ и выполняется (3). (3) $\Rightarrow$ (1). Допустим, что существуют $\pi$-замкнутые не $\pi$-сверхразрешимые группы, для которых выполняется утверждение (3) теоремы. Выберем среди них группу $G$ наименьшего порядка. Тогда $G$ имеет нормальную $\pi$-холлову подгруппу $G_{\pi}\neq 1$ и минимальную нормальную подгруппу $N\neq G$ ввиду $\pi$-разрешимости и выбора $G$. Если $G/N$ – $\pi'$-группа, то $G/N$ $\pi$-сверхразрешима. Пусть $K/N\in \mathrm{Syl}_{q}(G/N)$ для любого $q\in\pi\cap\pi(G)$. Из теоремы Силова следует, что $K/N=G_{q}N/N$ для некоторой $G_{q}\in \mathrm{Syl}_{q}(G)$. Из $N_{G}(G_{q}) \ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn} \ G$ и лемм 1, (5), 4, (1) получаем, что $N_{G}(K/N) \ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn} \ G/N$. Если $S/N$ – $\pi'$-холлова подгруппа из $G/N$, то ввиду $\pi$-разрешимости $G$ заключаем, что $S/N=G_{\pi'}N/N$ для некоторой $\pi'$-холловой подгруппы $G_{\pi'}$ из $G$. Тогда $S/N \ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn} \ G$ по лемме 4, (1). Для $G/N$ выполняется утверждение (3) теоремы, поскольку $|G/N|<|G|$. Поэтому $G/N$ $\pi$-сверхразрешима. Из насыщенности формации всех $\pi$-сверхразрешимых групп следует, что $G$ имеет единственную минимальную нормальную подгруппу $N$ и $\Phi(G)=1$. Тогда $G=NM$, где $M$ – некоторая максимальная подгруппа из $G$, $\mathrm{Core}_{G}(M)=1$. По лемме 6 $G_{p}\unlhd G$ для $G_{p}\in \mathrm{Syl}_{p}(G)$ и наибольшего простого числа $p\in\pi\cap\pi(G)$. Тогда $N\leqslant G_{p}$. По [12; A, 15.2] $N=C_{G}(N)$, $N\cap M=1$. Ввиду [12; A, п. 13.6, (b)] $O_{p}(M)=1$. Из $G_{p}\cap M\leqslant O_{p}(M)$ следует, что $N= G_{p}$. Следовательно, $M$ содержит некоторую $\pi'$-холлову подгруппу группы $G$. Если $M$ не является $\pi'$-группой, то выберем наибольший простой делитель $r$ числа $M$ из $\pi\cap\pi(M)$. Так как $M\cong G/N$ $\pi$-сверхразрешима, из леммы 2, (3) следует, что $\pi$-холлова подгруппа $M_{\pi}$ из $M$ дисперсивна по Оре. Поэтому $M_{r}\unlhd M_{\pi}$ для $M_{r}\in\mathrm{Syl}_{r}(M)$. Отсюда и из $M_{\pi}=M\cap G_{\pi}\unlhd M$ следует, что $M_{r}\unlhd M$. Поэтому $M=N_{G}(M_{r})$, причем $M_{r}\in\mathrm{Syl}_{r}(G)$. Тогда $M \ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn} \ G$ по выбору $G$. Если $M$ – $\pi'$-группа, то $M$ – $\pi'$-холлова подгруппа из $G$. Значит, и в этом случае $M \ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn} \ G$. Из определения 1 выводим, что $|G:M|=p$. Поэтому $|N|=p$ и $G$ $\pi$-сверхразрешима. Полученное противоречие с выбором $G$ завершает доказательство теоремы. Доказательство теоремы 3. Обозначим через $\mathfrak{H}$ формацию всех $\pi$-нильпотентных групп.
(1) $\Rightarrow$ (2). Пусть $G\in\mathfrak{F}$. Тогда $G$ $\pi$-сверхразрешима, а значит, и $\pi$-разрешима. Пусть $p\in\pi\cap\pi(G)$ и $P\in \mathrm{Syl}_{p}(G)$. Из наследственности $\mathfrak{F}$ следует, что $N_{G}(P)\in \mathfrak{F}$. Ввиду $\pi$-сверхразрешимости $G$ заключаем, что $N_{G}(P)^{\mathfrak{H}} \ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn} \ G$. Итак, для $G$ выполняется утверждение (2). (2) $\Rightarrow$ (1). Допустим, что это не так. Выберем группу $G$ наименьшего порядка, для которой выполняется утверждение (2) теоремы, но $G\notin\mathfrak{F}$. Пусть $N$ – минимальная нормальная подгруппа из $G$. Если $N=G$, то ввиду $\pi$-разрешимости $G$ либо $G$ – $p$-группа, $p\in\pi$, либо $|G|$ – $\pi'$-число. Но тогда $G\in \mathfrak{H}\subseteq\mathfrak{F}$, что противоречит выбору $G$. Пусть $N\neq G$. Если $G/N$ – $\pi'$-группа, то $G/N\in \mathfrak{H}\subseteq \mathfrak{F}$. Пусть $G/N$ – не $\pi'$-группа. Рассмотрим $r\in\pi\cap\pi(G/N)$ и $S_{1}/N\in \mathrm{Syl}_{r}(G/N)$. Тогда $S_{1}/N=G_{r}N/N$ для некоторой $G_{r}\in \mathrm{Syl}_{r}(G)$. Имеем
$$
\begin{equation*}
N_{G}(S_{1}/N)=N_{G}(G_{r})N/N\cong N_{G}(G_{r})/N_{G}(G_{r})\cap N\in\mathfrak{F}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если обозначить $A/N=N_{G}(S_{1}/N)$, то $A=N_{G}(G_{r})N$ и по [9; лемма 1.2] $(A/N)^{\mathfrak{H}} = A^{\mathfrak{H}}N/N $, а также $N_{G}(G_{r})^{\mathfrak{H}}N = A^{\mathfrak{H}}N$. Поэтому $N_{G}(S_{1}/N)^{\mathfrak{H}} = N_{G}(G_{r})^{\mathfrak{H}}N/N$. Из $N_{G}(G_{r})^{\mathfrak{H}} \ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn} \ G$ по лемме 4, (1) получаем, что $N_{G}(S_{1}/N)^{\mathfrak{H}} \ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn} \ G/N$. Значит, $G/N\in\mathfrak{F}$ по выбору $G$. Так как $\mathfrak{F}$ – насыщенная формация, $N$ – единственная минимальная нормальная подгруппа в $G$ и $\Phi(G)=1$. Поэтому в $G$ имеется максимальная подгруппа $M$ такая, что $G=MN$, причем $\mathrm{Core}_{G}(M)=1$. Отметим, что $G$ не является $\pi'$-группой. Из $\pi$-замкнутости $G$ следует, что $G$ имеет нормальную $\pi$-холлову подгруппу $G_{\pi}$. Тогда $N\leqslant G_{\pi}$. Из разрешимости $G_{\pi}$ заключаем, что $N$ – $p$-группа для некоторого $p\in\pi\cap\pi(G)$. По [12; А, п. 15.2] $N=C_{G}(N)$, $N\cap M=1$. По [12; А, п. 13.6, (b)] $O_{p}(M)=1$. Так как $N\leqslant G_{p}\in \mathrm{Syl}_{p}(G)$ и $N_{G}(G_{p})\in\mathfrak{F}$, имеем $N\neq G_{p}$ и $1\neq M_{p}\in \mathrm{Syl}_{p}(M)$. Пусть $q$ – наибольшее простое число из $\pi\cap\pi(M)$ и $M_{q}\in \mathrm{Syl}_{q}(M)$. Из $G_{\pi}\unlhd G$ следует, что $M_{\pi}=G_{\pi}\cap M$ – нормальная $\pi$-холлова подгруппа в $M$. Так как $M\cong G/N$ $\pi$-сверхразрешима, заключаем, что $M_{\pi}$ сверхразрешима. По лемме 2, (3) $M_{q}\unlhd M_{\pi}$. Из $M_{q}\ \mathrm{char}\ M_{\pi}$ следует, что $M_{q}\unlhd M$. Тогда $q>p$. Это означает, что Из $\mathrm{Core}_{G}(M)=1$ и $M\leqslant N_{G}(M_{q})$ заключаем, что $M=N_{G}(M_{q})$. Ввиду того, что $M_{q}\in \mathrm{Syl}_{q}(G)$ и $q\in\pi\cap\pi(G)$ по условию $M^{\mathfrak{H}} \ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn} \ G$. Если $M^{\mathfrak{H}}=1$, то $M$ $\pi$-нильпотентна. Тогда $\pi$-холлова подгруппа $M_{\pi}$ нильпотентна. Ввиду $M_{\pi}\unlhd M$ заключаем, что $M_{p}\unlhd M$. Получили противоречие $1\neq M_{p}\leqslant O_{p}(M)=1$. Значит, $M^{\mathfrak{H}}\neq 1$. Предположим, что $M^{\mathfrak{H}}=M$. Тогда из $M^{\mathfrak{H}}\leqslant M'$ заключаем, что $M'=M$. Так как $M$ $\pi$-сверхразрешима, по лемме 2, (2) $M'$ $p$-нильпотентен. Поэтому $M=M_{p}M_{p'}$, где $M_{p'}$ – нормальная $p'$-холлова подгруппа в $M$. Но тогда $M^{\mathfrak{H}}\leqslant M_{p'}\neq M$. Получили противоречие. Итак, $M^{\mathfrak{H}}\neq M$. Из леммы 2, (2) следует, что $M'\in\mathfrak{H}$. Поэтому $M^{\mathfrak{N}}\in\mathfrak{H}$. Тогда $M^{\mathfrak{H}}=M_{1}M_{2}$, где $M_{1}$ – нильпотентная $\pi$-холлова подгруппа в $M^{\mathfrak{H}}$, $M_{2}$ – нормальная $\pi'$-холлова подгруппа в $M^{\mathfrak{H}}$. Если $p\in\pi(M^{\mathfrak{H}})$, то $P_{1}\unlhd M_{1}$ для $P_{1}\in \mathrm{Syl}_{p}(M^{\mathfrak{H}})$. Ввиду $\pi$-замкнутости $G$ имеем, что $M_{1}\unlhd M^{\mathfrak{H}}$. Но тогда $P_{1}\unlhd M^{\mathfrak{H}}$. Из $M^{\mathfrak{H}}\unlhd M$ получаем противоречие $1\neq P_{1}\leqslant O_{p}(M)=1$. Таким образом, $p\notin\pi(M^{\mathfrak{H}})$. Рассмотрим два случая. Случай 1: $|\pi\cap\pi(M)|=2$. Предположим, что $M_{1}\neq 1$. Тогда $M_{1}$ – $q$-группа. Рассмотрим подгруппу $H=NM_{1}$. Используя тождество Дедекинда, получаем $M^{\mathfrak{H}}\cap H = M_{1}$. Поэтому $M_{1} \ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn} \ H$ по лемме 8, (1). Так как $q>p$ и $M_{1}\in \mathrm{Syl}_{q}(H)$, по лемме 6 $M_{1}\unlhd H$. Но тогда Получили противоречие.Допустим, что $M_{1}=1$. Тогда $M^{\mathfrak{H}}=M_{2}$ – $\pi'$-группа. Ввиду $O_{p}(M)=1$ заключаем, что $M^{\mathfrak{H}}$ не совпадает с $\pi'$-холловой подгруппой из $M$. Рассмотрим подгруппу $D = G_{\pi}M^{\mathfrak{H}}$. Тогда $D \neq G$. Заметим, что $\pi\cap\pi(D) = \{p, q\}$. Пусть $S\in \mathrm{Syl}(D)$ и $\pi(S)\subseteq \pi$. Так как $S\in \mathrm{Syl}(G)$, по выбору $G$ имеем $N_{G}(S)\in\mathfrak{F}$ и $N_{G}(S)^{\mathfrak{H}} \ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn} \ G$. Из наследственности $\mathfrak{F}$ следует, что $N_{G}(S)\cap D = N_{D}(S)\in\mathfrak{F}$. Так как $\mathfrak{H}$ – наследственная формация, по лемме 9 $N_{D}(S)^{\mathfrak{H}} \ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn} \ D$. Из $|D|<|G|$ по выбору $G$ следует, что $D$ $\pi$-сверхразрешима. Тогда $G_{\pi}$ сверхразрешима. Ввиду леммы 2, (3) и $q>p$ силовская $q$-подгруппа $D_{q}$ из $D$ нормальна в $G_{\pi}$. А так как $G_{\pi}\unlhd D$, заключаем, что $D_{q}\unlhd D$. Значит, $1\neq D_{q}\leqslant C_{D}(N)\leqslant C_{G}(N)=N$. Получили противоречие. Случай 2: $|\pi\cap\pi(M)|>2$. Заметим, что $G_{p} = N(G_{p}\cap M)$. Так как $M_{q}\unlhd M$, $(G_{p}\cap M)M_{q}$ – подгруппа в $M$, а $N(G_{p}\cap M)M_{q} = G_{p}M_{q}$ – подгруппа в $G$. Обозначим $K = G_{p}M_{q}$. Тогда $\pi(K) = \{p, q\}\subseteq\pi\cap\pi(G)$. Пусть $R\in \mathrm{Syl}(K)$. Из $R\in \mathrm{Syl}(G)$ по выбору $G$ имеем $N_{G}(R)\in\mathfrak{F}$ и $N_{G}(R)^{\mathfrak{H}} \ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn} \ G$. Тогда $N_{K}(R) = N_{G}(R)\cap K\in\mathfrak{F}$ и по лемме 9 $N_{K}(R)^{\mathfrak{H}} \ \mathbb{P}_{\pi}\text{-}\mathrm{sn} \ K$. Из $|K|<|G|$ следует, что $K\in\mathfrak{F}$. Поэтому $K$ $\pi$-сверхразрешима, а значит, и сверхразрешима. Из $q>p$ следует, что $M_{q}\unlhd K$. Поэтому $1\neq M_{q}\leqslant C_{K}(N)\leqslant C_{G}(N) = N$. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{VasKor23} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|