| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Об ограниченности максимальных операторов, ассоциированных с сингулярными гиперповерхностями С. Э. Усманов Самаркандский государственный университет
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623070118 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеВ работе исследуются максимальные операторы, определенные соотношением где оператор усреднения, $S$ – гиперповерхность в $\mathbb{R}^{n+1}$, $\psi$ – фиксированная неотрицательная бесконечно гладкая функция с компактным носителем, т.е. $\psi\in C_{0}^{\infty }(\mathbb{R}^{n+1})$ и $f\in C_{0}^{\infty }(\mathbb{R}^{n+1})$, $dS(x)$ – поверхностная мера на $S$.Если существует положительное число $C$ такое, что выполняется неравенство $\|\mathcal{M}f\|_{L^{p}}\leqslant C\|f\|_{L^{p}}$ для любого $f\in C_{0}^{\infty}(\mathbb{R}^{n+1})$, то максимальный оператор $\mathcal{M}$ называется ограниченным в пространстве $L^{p}:=L^{p}(\mathbb{R}^{n+1})$. Впервые Стейн доказал, что максимальный оператор (1.1) ограничен в пространстве $L^{p}(\mathbb{R}^{n})$ при $p>n/(n-1)$, $n\geqslant3$, и неограничен для $p\leqslant n/(n-1)$, когда гиперповерхность является единичной сферой [1]. Позднее Бурген доказал аналог теоремы Стейна для плоского случая [2]. Если гиперповерхность строго выпуклая и звездная относительно начала координат в $\mathbb{R}^{n+1}$, $n\geqslant2$ (это означает, что любой луч исходящий из начала координат пересекается с гиперповерхностью в единственной точке и Гауссова кривизна гиперповерхности положительна), то ограниченность максимального оператора доказана Гринлифом [3]. Более того, он показал, что если в каждой точке гиперповерхности имеются хотя бы $k$, $k\geqslant 2$, ненулевых главных кривизн, то при $p>(k+1)/k$ максимальный оператор ограничен в $L^{p}$. В случае $k=1$ аналогичный результат получен Согги [4]. Общий результат об ограниченности максимальных операторов, связанных с гиперповерхностями, принадлежит Согги и Стейну. Они доказали, что если Гауссова кривизна гиперповерхности не имеет нулей бесконечного порядка, то существует число $p(S)$, называемое показателем ограниченности максимальных операторов, такое, что при $p>p(S)$ максимальный оператор ограничен в $L^{p}$ [5]. Также максимальные операторы (1.1) исследовались в работах Ковлинга, Маучери, Нагела, Сеегера, Вингера, Иосевича и Соера [6]–[10]. Икромов, Кемпе и Мюллер изучали проблему ограниченности максимальных операторов, связанных с гладкими поверхностями конечного типа в пространстве $\mathbb{R}^{3}$, в случае $p>2$ [11]–[13]. В работе [14] исследованы максимальные операторы, связанные с некоторыми гиперповерхностями и найдено значение показателя ограниченности этих операторов. Статьи [15] и [16] посвящены изучению ограниченности максимальных операторов, связанных с сингулярными поверхностями в пространстве $\mathbb{R}^{3}$, имеющими особые точки на координатных плокостях. 2. Постановка задачи и формулировка основного результатаПонятие дробно степенных рядов определяется следующим определением [17]. Определение 1. Пусть ${V}\subseteq \mathbb{R}_{>0}^{n} $ открытое, связное множество такое, что $0\in \overline{V}$; $f$ называется дробно-степенным рядом во множестве $V$, если существуют открытое множество $W\subseteq \mathbb{R}^{n} $, содержащее $\overline{V}$, натуральное число $N$ и вещественно-аналитическая функция $g$ в $\Phi_{N}^{-1}(W)$ такие, что справедливо тождество $f=g\circ\Phi_{1/N}$ в множестве $V$, где $\Phi_{N}\colon \mathbb{R}^{n}\to{\mathbb{R}^{n}}$ отображение, заданное формулой $\Phi_{N}(x)=(x_{1}^{N},\dots ,x_{n}^{N})$. Рассмотрим семейство сингулярных гиперповерхностей в пространстве $\mathbb{R}^{n+1}$, определенных следующими параметрическими уравнениями: где $m_{i}(u)$ – мономы от $n$ переменных, т.е. $m_{i}(u)=u_{1}^{a_{i1}}\dotsb u_{n}^{a_{in}}$, $u=(u_{1},\dots ,u_{n})$, $u_{j}\geqslant 0$, $a_{ij}$ – неотрицательные рациональные числа, $r_{i}$ – произвольные действительные числа и $g_{i}(u)$ – дробно степенные ряды, $i=1,\dots,n+1$, $j=1,\dots,n$.Введем следующие обозначения:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, A_{1}=\begin{pmatrix} a_{n+11} & a_{21} &\dots &a_{n1} \\ a_{n+12} &a_{22} &\dots &a_{n2} \\ \dots & \dots &\dots &\dots \\ a_{n+1n} &a_{2n} &\dots &a_{nn} \end{pmatrix}, \qquad A_{2}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{n+11} &\dots &a_{n1} \\ a_{12} & a_{n+12} &\dots &a_{n2} \\ \dots & \dots &\dots &\dots \\ a_{1n} &a_{n+1n} &\dots &a_{nn} \end{pmatrix}, \qquad \dots , \\ A_{n}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{21}&\dots &a_{n+11} \\ a_{12} &a_{22} &\dots &a_{n+12} \\ \dots & \dots &\dots &\dots \\ a_{1n} &a_{2n} &\dots &a_{n+1n} \end{pmatrix}, \qquad A_{n+1}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} &\dots &a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} &\dots &a_{n2} \\ \dots & \dots &\dots &\dots \\ a_{1n} & a_{2n} &\dots &a_{nn} \end{pmatrix}, \\ B_{i}=\operatorname{det}A_{i}, \qquad i=1,\dots, n+1. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Определение 2. Точка Если по крайней мере одно из чисел $B_{i}$ отлично от нуля, то точки гиперповерхности (2.1), лежащие в достаточно малой окрестности точки $r=(r_{1},\dots ,r_{n+1})$ и вне координатных плоскостей координатной системы, имеющие начало координат в точке $r$, являются неособыми точками. Точки гиперповерхности (2.1), лежащие на координатных плоскостях координатной системы, имеющей начало координат в точке $r$, являются сингулярными точками (см. лемму 1). Оператор усреднения $\mathcal{A}_{t}f$ в (1.2), связанный с семейством гиперповерхностей (2.1), определим следующим образом:
$$
\begin{equation}
\mathcal{A}_{t}^{\varphi}f(y):=\int_{\mathbb{R}_{+}^{n}}f\bigl(y-t(r+m(u)g(u))\bigr) \psi_{1}(u)u^{d}\varphi (u)\,du,
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, y\,{-}\,t(r\,{+}\,m(u)g(u))=\bigl(y_{1}\,{-}\,t(r_{1}\,{+}\,m_{1}(u)g_{1}(u)),\dots ,y_{n+1}\,{-}\,t(r_{n+1}\,{+}\,m_{n+1}(u)g_{n+1}(u))\bigr), \\ \psi_{1}(u)=\psi\bigl(r_{1}+m_{1}(u)g_{1}(u),\dots , r_{n+1}+m_{n+1}(u)g_{n+1}(u)\bigr) \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
– неотрицательный дробно степенной ряд с достаточно малым носителем, т.е. $\psi_{1}\in C_{0}^{\infty}(\mathbb{R}^{n} )$, $\varphi (u)$ – дробно степенной ряд, $u^{d}=u_{1}^{d_{1}}\dotsb u_{n}^{d_{n}}$, $d_{j}$ – произвольные действительные числа, $j=1,\dots,n$. Соответсвующий максимальный оператор определяется равенством
$$
\begin{equation*}
\mathcal{M}^{\varphi}f(y):=\sup_{t>0}|\mathcal{A}_{t}^{\varphi}f(y)|, \qquad y\in\mathbb{R}^{n+1}.
\end{equation*}
\notag
$$
В настоящей работе исследуем максимальные операторы (1.1), ассоциированные с сингулярными гиперповерхностями в $\mathbb{R}^{n+1}$, заданными параметрическими уравнениями (2.1). Точнее, при некоторых $p>2$ докажем ограниченность, а при некоторых – неограниченность максимального оператора $\mathcal{M}^{\varphi}f$ в пространстве $L^{p}(\mathbb{R}^{n+1})$ в неособых точках сингулярных гиперповерхностей (2.1). Основным результатом настоящей работы является следующая Теорема 1. Пусть $g_{i}(u)$, $\varphi(u)$ – дробно-степенные ряды, определенные в малой окрестности начала координат $\mathbb{R}^{n} $, удовлетворяющие условиям $g_{i}(0)\ne0$, $\varphi (0)\neq0$ и $d_{j}>-1$. Предположим, что выполняются следующие условия: Замечание 1. Если условие 2) заменить на условия Действительно, если предположим, что $i=n+1$, т.е. $B_{n+1}\neq0$, то получим
$$
\begin{equation*}
A_{n+1}^{-1}C=\biggl(\frac{B_{1}}{B_{n+1}}, \frac{B_{2}}{B_{n+1}},\dots ,\frac{B_{n}}{B_{n+1}}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
и из условия замечания 1 вытекает условие 2) теоремы 1. Аналогично показывается справедливость условия 2) теоремы 1 для других $i$. Отметим, что если определители $B_{i}$ отличны от нуля, то выполняется условие 2) теоремы 1 и справедливо следующее замечание. Замечание 2. Если условие 2) заменить на условия $B_{i}\neq0$, $i=1,\dots,n+1$, то теорема 1 остается в силе. Замечание 3. Если $g_{i}(u)$, $\varphi(u)$ – вещественно-аналитические функции, определенные в малой окрестности начала координат $\mathbb{R}^{n} $, то теорема 1 верна. 3. Вспомогательное утверждениеЛемма 1. Если по крайней мере одно из чисел $B_{i}$ отлично от нуля, то точки гиперповерхности (2.1), лежащие в достаточно малой окрестности точки $r$ и вне координатных плоскостей координатной системы, имеющие начало координат в точке $r$, являются неособыми точками. Точки гиперповерхности (2.1), лежащие на координатных плоскостях координатной системы, имеющей начало координат в точке $r$, являются сингулярными точками. Доказательство. Покажем, что для гиперповерхности (2.1) среди миноров $n$-го порядка, получающихся из матрицы $D$ в определении 2, по крайней мере один отличен от нуля в окрестности нуля вне координатных плоскостей. Действительно, если предположим, что $B_{n+1}\neq0$, и вычислим главный минор $M_{1}(u)$ среди миноров $n$-го порядка матрицы $D$, то получим
$$
\begin{equation*}
M_{1}(u)=u_{1}^{a_{11}+a_{21}+\dots +a_{n1}-1}u_{2}^{a_{12}+a_{22}+\dots +a_{n2}-1}\dotsb u_{n}^{a_{1n}+a_{2n}+\dots +a_{nn}-1}q_{n+1}(u),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
q_{n+1}(u)=\begin{vmatrix} a_{11}g_{1}(u)+u_{1}\dfrac{\partial g_{1}}{\partial u_{1}} & a_{21}g_{2}(u)+u_{1}\dfrac{\partial g_{2}}{\partial u_{1}} &\dots &a_{n1}g_{n}(u)+u_{1}\dfrac{\partial g_{n}}{\partial u_{1}} \\ a_{12}g_{1}(u)+u_{2}\dfrac{\partial g_{1}}{\partial u_{2}} & a_{22}g_{2}(u)+u_{2}\dfrac{\partial g_{2}}{\partial u_{2}} &\dots &a_{n2}g_{n}(u)+u_{2}\dfrac{\partial g_{n}}{\partial u_{2}} \\ \dots &\dots &\dots &\dots \\ a_{1n}g_{1}(u)+u_{n}\dfrac{\partial g_{1}}{\partial u_{n}} & a_{2n}g_{2}(u)+u_{n}\dfrac{\partial g_{2}}{\partial u_{n}} &\dots &a_{nn}g_{n}(u)+u_{n}\dfrac{\partial g_{n}}{\partial u_{n}} \end{vmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
– дробно-степенной ряд в начале координат $\mathbb{R}^{^{n}}$.
Значения $M_{1}(u)$ отличны от нуля в достаточно малой окрестности нуля вне координатных плоскостей при условиях $B_{n+1}\neq0$, $u_{1}\dotsb u_{n}\neq0$. Следовательно, ранг матрицы Якоби соотношения (2.1) максимален, т.е. равен $n$ в этой окрестности. Поэтому все точки гиперповерхности (2.1), лежащие в окрестности точки $r$ и вне координатных плоскостей имеющих начало координат в точке $r$, являются неособыми точками. Аналогично показывается регулярность точки гиперповерхности (2.1), лежащие в окрестности точки $r$ и вне координатной системы, имеющей начало координат в точке $r$, когда $B_{i}\neq0$, $i=1,\dots,n$. Точки гиперповерхности (2.1), лежащие на координатной системе, имеющей начало координат в точке $r$, являются особыми, так как в этих точках ранг матрицы $D$ меньше чем $n$. Лемма 1 доказана. 4. Доказательство основного результатаПредположим, что хотя бы одно из чисел $r_{i}$, $i=1,\dots,n$, отлично от нуля и $r_{n+1}\neq0$, $B_{n+1}\neq0$, т.е. $l=n+ 1$. Исследуем ограниченность максимального оператора $\mathcal{M}^{\varphi}f$ в неособых точках гиперповерхности (2.1). По лемме 1 при положительно достаточно малых значениях параметров $u_{1},\dots ,u_{n}$ точки гиперповерхности (2.1), лежащие в достаточно малой окрестности точки $r$ и вне координатной системы, имеющей начало координат в точке $r$, являются неособыми. Поэтому считаем, что эти параметры принадлежат в достаточно малой окрестности нуля $\mathbb{R}^{n}$. Теперь рассмотрим разбиение единицы $\sum _{k=0}^{\infty }\chi_{k}(\sigma) =1$ на интервале $0<\sigma\leqslant1$ и $\chi \in C_{0}^{\infty}(\mathbb{R})$ с носителем на интервале $[1/2,2]$, где $\chi_{k}(\sigma):=\chi(2^{k}\sigma)$ и положим
$$
\begin{equation*}
\chi_{j}(u):=\chi_{j_{1}}(u_{1})\dotsb \chi_{j_{n}}(u_{n}), \qquad j_{1},\dots ,j_{n}\in \mathbb N.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя разбиение единицы, разлагаем оператор $\mathcal{A}_{t}^{\varphi}f$ из (2.2) в сумму операторов
$$
\begin{equation*}
\mathcal{A}_{t}^{\varphi, j}f(y)=\int_{\mathbb{R}_{+}^{n} }f\bigl(y-t(r+m(u)g(u))\bigr)\psi_{1}(u)\chi_{j}(u)u^{d}\varphi(u)\,du.
\end{equation*}
\notag
$$
В этом интеграле сделаем замену переменных
$$
\begin{equation*}
u_{k} =2^{-j_{k}}{z_{k}}, \qquad 0,5\leqslant z_{k}\leqslant2, \quad k=1,\dots,n.
\end{equation*}
\notag
$$
После этой замены переменных оператор $\mathcal{A}_{t}^{\varphi, j}$ представляется в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \mathcal{A}_{t}^{\varphi, j}f(y) &=2^{-(j,d)-|j|}\int_{\mathbb{R}_{+}^{n}} f\bigl(y-t(r+2^{-s}m(z)g(\delta_{2^{-j}}(z)))\bigr) \\ &\qquad \times\psi_{1}(\delta_{2^{-j}}(z))\chi(2^{-j_{1}}z_{1}) \dotsb \chi(2^{-j_{n}}z_{n})z^{d}\varphi(\delta_{2^{-j}}(z))\,dz, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{split} &y-t\bigl(r+2^{-s}m(z)g(\delta_{2^{-j}}(z))\bigr)=\bigl(y_{1}-t(r_{1}+ 2^{-s_{1}}m_{1}(z)g_{1}(\delta_{2^{-j}}(z))),\dots, \\ &\qquad y_{n+1}-t(r_{n+1}+2^{-s_{n+1}}m_{n+1}(z)g_{n+1}(\delta_{2^{-j}}(z)))\bigr), \end{split} \\ (j,d)=j_{1}d_{1}+\dots +j_{n}d_{n}, \qquad |j|=j_{1}+\dots +j_{n}, \\ m_{i}(z)=z_{1}^{a_{i1}}\dotsb z_{n}^{a_{in}}, \qquad i=1,\dots,n+1. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Числа $s_{i}$ определяются следующими равенствами: где $j=(j_{1},\dots ,j_{n})$, $\delta_{2^{-j}}(z)=(2^{-j_{1}}z_{1},\dots ,2^{-j_{n}}z_{n})$, $j_{1},\dots ,j_{n}\geqslant j_{0}$ и $j_{0}$ достаточно большое число, что следует из малости носителя $\psi_{1}$. Предполагая теперь, что $g_{k}(0)=1$, преобразуем переменные
$$
\begin{equation}
w_{k}=m_{k}(z)g_{k}(\delta_{2^{-j}}(z)), \qquad k=1,\dots,n.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Согласно теореме о неявных отображениях эта система в малой окрестности точки $(0,\dots,0, 1,\dots,1)\in\mathbb{R}^{2n}$ имеет единственное решение следующего вида: где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, m_{i}(w)=w_{1}^{c_{i1}}\dotsb w_{n}^{c_{in}}, \qquad 2^{-|a_{k}|}\leqslant w_{k}\leqslant 2^{|a_{k}|}, \qquad |a_{k}|=a_{k1}+\dots +a_{kn}, \\ 2^{-j}=(2^{-j_{1}},\dots ,2^{-j_{n}}), \quad i=1,\dots,n, \qquad (c_{ij})_{i,j=1}^{n}=A_{n+1}^{-1} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
(см. [19; с. 60]). Предполагая, что $\widetilde{g}_{i}(0,\dots,0,1,\dots,1)=1$, гладкие функции $\widetilde{g}_{i}(2^{-j},w)$ определим так:
$$
\begin{equation*}
\widetilde{g}_{i}(2^{-j},w)=1+\sum_{k=1}^{n}2^{-j_{k}}h_{ik}(2^{-j},w),
\end{equation*}
\notag
$$
где $h_{i_{1}i_{2}}(2^{-j},w)$, $i_{1},i_{2}=1,\dots,n$, – некоторые гладкие функции. Далее, при преобразовании (4.2) и (4.3) интеграл (4.1) перейдет к следующему:
$$
\begin{equation}
\mathcal{A}_{t}^{\varphi, j}f(y)=2^{-(j,d)-|j|}\int_{\mathbb{R}_{+}^{n}} f\bigl(y-t(r+2^{-s}w), y_{n+1}-t(r_{n+1}+2^{-s_{n+1}}\phi(w))\bigr)\mu(w)\,dw,
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \phi(w)=w_{1}^{B_{1}/B_{n+1}}w_{2}^{B_{2}/B_{n+1}}\dotsb w_{n}^{B_{n}/B_{n+1}}g(w), \\ y-t(r+2^{-s}w)=\bigl(y_{1}-t(r_{1}+2^{-s_{1}}w_{1}),\dots ,y_{n}-t(r_{n}+2^{-s_{n}}w_{n})\bigr), \\ g(w)=\prod_{i=1}^{n}(\widetilde{g}_{i}(2^{-j}, w))^{c_{i}}{g_{n+1}}\bigl(2^{-j_{1}}m_{1}(w)\widetilde{g}_{1}(2^{-j}, w),\dots ,2^{-j_{n}}m_{n}(w)\widetilde{g}_{n}(2^{-j}, w)\bigr), \\ \mu(w)=\widetilde{\psi_{1}}(w)\widetilde{\chi}(w)\varphi(w)\widetilde{\eta}(w)J(w), \\ \widetilde{\psi_{1}}(w)=\psi_{1}\bigl(2^{-j_{1}}m_{1}(w)\widetilde{g}_{1}(2^{-j}, w),\dots ,2^{-j_{n}}m_{n}(w)\widetilde{g}_{n}(2^{-j}, w)\bigr), \\ \widetilde{\chi}(w)=\prod_{i=1}^{n}\chi\bigl(2^{-j_{i}}m_{i}(w)\widetilde{g}_{i}(2^{-j}, w)\bigr), \qquad \varphi(w)=\prod_{i=1}^{n}(m_{i}(w)\widetilde{g}_{i}(2^{-j},w))^{d_{i}}, \\ \widetilde{\eta}(w)=\eta\bigl(2^{-j_{1}}m_{1}(w)\widetilde{g}_{1}(2^{-j}, w),\dots ,2^{-j_{n}}m_{n}(w)\widetilde{g}_{n}(2^{-j}, w)\bigr) \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
– дробно-степенные ряды, $J(w)$ – якобиан замены переменных (4.3). Операторы
$$
\begin{equation*}
T^{j}f(y):=2^{|s|/p}f\bigl(2^{s_{1}}y_{1},\dots ,2^{s_{n+1}}y_{n+1}\bigr)
\end{equation*}
\notag
$$
изометричны в $L^{p}(\mathbb{R}^{n+1})$ и переводят операторы $\mathcal{A}_{t}^{\varphi, j}f$ из (4.4) в операторы
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathcal{A}_{t}^{\varphi, j}T^{j}f(y)= 2^{(|s|-p(j,d)-p|j|)/p} \\ &\qquad\times\int_{\mathbb{R}_{+}^{n}} f\bigl(2^{s}(y-tr-t2^{-s}w), 2^{s_{n+1}}(y_{n+1}-tr_{n+1}-t2^{-s_{n+1}}\phi(w))\bigr) \mu(w)\,dw, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, 2^{s}(y-tr-t2^{-s}w)=\bigl(2^{s_{1}}(y_{1}-tr_{1}-t\cdot 2^{-s_{1}}w_{1}),\dots ,2^{s_{n}}(y_{n}-tr_{n}-t\cdot 2^{-s_{n}}w_{n})\bigr), \\ |s|=s_{1}+\dots +s_{n+1}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
А также операторы
$$
\begin{equation*}
T^{-j}f(y):=2^{-|s|/p}f\bigl(2^{-s_{1}}y_{1},\dots ,2^{-s_{n+1}}y_{n+1}\bigr)
\end{equation*}
\notag
$$
изометричны в $L^{p}(\mathbb{R}^{n+1})$ и переводят операторы $\mathcal{A}_{t}^{\varphi, j}T^{j}f$ в новые операторы
$$
\begin{equation*}
T^{-j}\mathcal{A}_{t}^{\varphi, j}T^{j}f(y)= 2^{-(j,d)-|j|}\int_{\mathbb{R}_{+}^{n}}f\bigl(y-t(\lambda+w), y_{n+1}-t(\lambda_{n+1}+\phi(w))\bigr)\mu(w)\,dw,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, y-t(\lambda+w)=\bigl(y_{1}-t(\lambda_{1}+w_{1}),\dots ,y_{n}-t(\lambda_{n}+w_{n})\bigr), \\ \lambda_{1}=2^{s_{1}}r_{1}, \qquad\dots , \qquad\lambda_{n+1}=2^{s_{n+1}}r_{n+1}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим теперь, что $\max\{|\lambda_{1}|,\dots ,|\lambda_{n+1}|\}=|\lambda_{n+1}|$. Вращаем систему координат в $\mathbb{R}^{n+1}$ так, чтобы точка $(\lambda_{1},\lambda_{2},\dots ,\lambda_{n+1})$ переходила в точку $(0,\dots ,0,d)\in\mathbb{R}^{n+1}$, где $d=\sqrt{\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}+\dots +\lambda_{n+1}^{2}}$. Матрица поворота $R$ будет ортогональной и иметь вид
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, R=(b_{lk})_{l,k=1}^{n+1}=\prod_{i=1,\dots,n,\,j=i+1,\dots,n+1}R_{ij}, \\ R_{ij}=\begin{pmatrix} 1 &0 & \dots & 0 &\dots & 0 & \dots & 0 \\0 &1 & \dots & 0 &\dots & 0 & \dots & 0 \\\dots & \dots & \dots & \dots &\dots & \dots & \dots & \dots \\0 & 0 & \dots & \cos\theta_{ij} &\dots & -\sin\theta_{ij} & \dots & 0 \\\dots & \dots & \dots & \dots &\dots & \dots & \dots & \dots \\0 & 0 & \dots & \sin\theta_{ij} &\dots & \cos\theta_{ij} & \dots & 0 \\\dots & \dots & \dots & \dots &\dots & \dots & \dots & \dots \\0 & 0 & \dots & 0 &0 & \dots & 0 & 1 \end{pmatrix}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $b_{lk}$ – вещественные числа, $\theta_{ij}$ – некоторые углы в интервале $(0,\pi)$ (см. [18; с. 48, 49]). Теперь, используя матрицу $R$, определим следующий оператор поворота:
$$
\begin{equation*}
R^{\theta}f(y):=f\biggl(\sum_{k=1}^{n+1}b_{1k}x_{k},\, \sum_{k=1}^{n+1}b_{2k}x_{k},\dots ,\sum_{k=1}^{n+1}b_{n+1k}x_{k}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
который изометричен в пространстве $L^{p}(\mathbb{R}^{n+1})$. Оператор поворота $R^{\theta}f$ и обратный ему $R^{-\theta}f$ переводят $T^{-j}\mathcal{A}_{t}^{\varphi, j}T^{j}f$ в следующие операторы:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &R^{-\theta}T^{-j}\mathcal{A}_{t}^{\varphi, j}T^{j}R^{\theta}f(y) \\ &\qquad= 2^{-(j,d)-|j|}\int_{\mathbb{R}_{+}^{n}} f\bigl(y-t\alpha(w),y_{n+1}-t(d+\alpha_{n+1}(w))\bigr) \mu(w)\,dw, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
где
$$
\begin{equation*}
y-t\alpha(w)=\bigl(y_{1}-t\alpha_{1}(w),\dots ,y_{n}- t\alpha_{n}(w)\bigr), \qquad \alpha_{i}(w)=\sum_{k=1}^{n}b_{ik}w_{k}+b_{in+1}\phi(w).
\end{equation*}
\notag
$$
Как известно, вторая квадратичная форма гиперповерхности, заданными параметрическими уравнениями
$$
\begin{equation}
\overline{r}(w)=\overline{r}\bigl(\alpha_{1}(w),\alpha_{2}(w),\dots ,\alpha_{n+1}(w)\bigr),
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
представляется в виде где
$$
\begin{equation}
L_{ij}=(\overline{r}_{ij},\overline{n}), \qquad \overline{r}_{ij}=\frac{\partial^{2}\overline{r}}{\partial w_{i}\,\partial w_{j}},
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
$\overline{n}=\overline{N}\cdot|\overline{N}|^{-1}$ – единичный нормальный вектор (см. [20; с. 401]). Нормальный вектор $\overline{N}$ в точках гиперповерхности (4.6) опеделяется так:
$$
\begin{equation*}
\overline{N}=\begin{vmatrix} e_{1} & e_{2} & \dots & e_{n+1} \\ \dfrac{\partial \alpha_{1}}{\partial w_{1}}& \dfrac{\partial \alpha_{2}}{\partial w_{1}} & \dots &\dfrac{\partial \alpha_{n+1}}{\partial w_{1}} \\ \dots &\dots & \dots &\dots \\ \dfrac{\partial \alpha_{1}}{\partial w_{n}}&\dfrac{\partial \alpha_{2}}{\partial w_{n}} & \dots &\dfrac{\partial \alpha_{n+1}}{\partial w_{n}} \end{vmatrix} ,
\end{equation*}
\notag
$$
где $e_{1}, e_{2},\dots ,e_{n+1}$ – стандартный ортонормальный базис. Вычисляя коэффициенты $L_{ii}$ и $L_{ik}$, $i\neq k$, в (4.7), имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, L_{ii} &=\frac{\partial^{2}{\phi}}{\partial{w_{i}^{2}}} =\frac{|\overline{N}|^{-1}}{B_{n+1}^{2}} w_{1}^{B_{1}/B_{n+1}}w_{2}^{B_{2}/B_{n+1}}\dotsb w_{i}^{B_{i}/B_{n+1}-2}\dotsb w_{n}^{B_{n}/B_{n+1}} \\ &\qquad\times g\biggl(B_{i}(B_{i}-B_{n+1})g(w)+2B_{i}B_{n+1}w_{i} \dfrac{\partial{g(w)}}{\partial{w_{i}}}+B_{n+1}^{2}w_{i}^{2} \dfrac{\partial^{2}{g(w)}}{\partial{w_{i}^{2}}}g\biggr), \\ L_{ik} &=\frac{\partial^{2}{\phi}}{\partial{w_{i}}\,\partial{w_{k}}}= \frac{|\overline{N}|^{-1}}{B_{n+1}^{2}} w_{1}^{B_{1}/B_{n+1}}w_{2}^{B_{2}/B_{n+1}} \dotsb w_{i}^{B_{i}/B_{n+1}-1}\dotsb w_{k}^{B_{k}/B_{n+1}-1} \dotsb w_{n}^{B_{n}/B_{n+1}} \\ &\qquad\times g\biggl(B_{i}B_{k}\varphi(w)+B_{k}B_{n+1} w_{i} \dfrac{\partial{g(w)}}{\partial{w_{i}}}+B_{i}B_{n+1}w_{k}\dfrac{\partial{g(w)}}{\partial{w_{k}}} +B^{2}w_{i}w_{k}\dfrac{\partial^{2}{g(w)}}{\partial{w_{i}}\,\partial{w_{k}}}g\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как в силу условия 2) теоремы 1 хотя бы одно из чисел не равно нулю, соответствующая производная $\partial^{2}{\phi}/\partial{w_{i}^{2}}$ или $\partial^{2}{\phi}/\partial{w_{i}}\,\partial{w_{k}}$, $i,k=1,\dots,n$, $k\neq i$, отлична от нуля для достаточного большого $j_{0}$.Следовательно, для гиперповерхности (4.6) выполняются условия теоремы 7.1 работы [14]. Применяя эту теорему к последнему интегралу, при $p>2$ получим
$$
\begin{equation*}
\Bigl\|\sup_{t>0}|R^{-\theta}T^{-j}\mathcal{A}_{t}^{\varphi, j}T^{j}R^{\theta}f|\Bigr \|_{L^{p}} \leqslant D_{p}2^{(s_{n+1}-p(j,d)-p|j|)/p}\|{f}\|_{L^{p}},
\end{equation*}
\notag
$$
где $D_{p}$ – некоторое положительное число. Отсюда в силу изометричности операторов $T^{j}f$, $T^{-j}f$, $R^{\theta}f$, $R^{-\theta}f$ вытекает оценка
$$
\begin{equation*}
\Bigl\|\sup_{t>0}|\mathcal{A}_{t}^{\varphi, j}f|\Bigr\|_{L^{p}}\leqslant D_{p}2^{(s_{n+1}-p(j,d)-p|j|)/p}\|{f}\|_{L^{p}}.
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом равенства
$$
\begin{equation*}
\| \mathcal{M}^{\varphi, j}f \|_{L^{p}}=\sup_{t>0}\bigl\| |\mathcal{A}_{t}^{\varphi, j}f|\bigr \|_{L^{p}}
\end{equation*}
\notag
$$
получим неравенство
$$
\begin{equation*}
\sum_{j_{1},\dots ,j_{n}\geqslant{j_{0}}}\| \mathcal{M}^{\varphi, j}f \|_{L^{p}} \leqslant{D}_{p}\sum_{j_{1},\dots ,j_{n}\geqslant{j_{0}}}2^{(s_{n+1}-p(j,d)-p|j|)/p} \|{f}\|_{L^{p}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Ряд в правой стороне этого неравенства сходится при $p>\max\{a_{n+1j}/(d_{j}+1), 2\}$, $j=1,\dots,n$. При выполнении этого условия справедлива следующая оценка:
$$
\begin{equation*}
\| \mathcal{M}^{\varphi}f\|_{L^{p}}\leqslant\sum_{j_{1},\dots ,j_{n}\geqslant{j_{0}}} \| \mathcal{M}^{\varphi, j}f \|_{L^{p}}\leqslant{C}_{p}\|{f}\|_{L^{p}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично можно доказать, что если $\max\{|\lambda_{1}|,\dots ,|\lambda_{n+1}|\}=|\lambda_{k}|$, $k=1,\dots,n$, то максимальный оператор $\mathcal{M}^{\varphi}f$ ограничен в $L^{p}(\mathbb{R}^{n+1})$ для $p>\max\{a_{kj}/(d_{j}+1), 2\}$. Пусть $\max\{a_{n+1j}/(d_{j}+1)\}>2$. Следуя [1], рассмотрим следующую функцию:
$$
\begin{equation*}
f(x,x_{n+1})=\frac{\eta_{1}(x)\eta_{2}(x_{n+1})}{|x_{n+1}|^{1/p} \bigl|\ln|x_{n+1}|\bigr|^{1/p}},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\eta_{1}$, $\eta_{2}$ – гладкие функции, удовлетворяющие условию:
$$
\begin{equation*}
\eta_{1}(x)\eta_{2}(x_{n+1})= \begin{cases} 1,&|x|\leqslant\dfrac{\kappa}{2}, \\ 0,&|x|\geqslant\kappa. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $\kappa$ – некоторое достаточно малое положительное число. По соотношениям (2.1), (2.2) оператор усреднения, соответствующий функции $f(x,x_{n+1})$, представляется в виде
$$
\begin{equation*}
\mathcal{A}_{t}^{\varphi}f(y) =\int_{\mathbb{R}_{+}^{2}}\frac{\eta_{1}(y-tx(u))\eta_{2} (y_{n+1}-tx_{n+1}(u))}{|y_{n+1}-tx_{n+1}(u)|^{1/p}\, \bigl|\ln|y_{n+1}-tx_{n+1}(u)|\bigr|^{1/p}}\psi_{1}(u)u^{d}\varphi(u)\,du,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
y-tx(u)=\bigl(y_{1}-tx_{1}(u),\dots ,y_{n}-tx_{n}(u)\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\kappa$ достаточно малое положительное число, то для $(y_{1},\dots,y_{n}),$ лежащих в достаточно малой окрестности точки $({r_{1}y_{n+1}}/{r_{n+1}},\dots,{r_{n}y_{n+1}}/{r_{n+1}})$, предполагаем, что $\psi_{1}(0)>0$, $t={y_{n+1}}/{r_{n+1}}>0$. Тогда получаем следующее неравенство:
$$
\begin{equation*}
\sup_{t>0}|\mathcal{A}_{t}^{\varphi}f(y)|\geqslant C\cdot\int_{|u|\leqslant{\kappa}/{2}} \frac{|u_{1}|^{d_{1}-a_{n+11}/p}|u_{2}|^{d_{2}-a_{n+12}/p}\dotsb |u_{n}|^{d_{n}-a_{n+1n}/p}}{\bigl|\ln |(y_{n+1}/r_{n+1})m_{n+1}(u)g_{n+1}(u)|\bigr|^{1/p}}\,du,
\end{equation*}
\notag
$$
где $C$ – некоторое положительное число. Итак, интеграл в правой стороне последнего неравенства расходится для всех $p$, удовлетворяющих неравенству
$$
\begin{equation*}
2<p\leqslant \max\biggl\{\frac{a_{n+1j}}{d_{j}+1}\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. максимальный оператор $\mathcal{M}^{\varphi}f$ неограничен в $L^{p}(\mathbb{R}^{n+1})$ для таких $p$. Аналогично можно показать, что если $\max\{a_{kj}/(d_{j}+1)\}>2$, то максимальный оператор $\mathcal{M}^{\varphi}f$ не ограничен в $L^{p}(\mathbb{R}^{n+1})$ при $2<p\leqslant \max\{a_{kj}/(d_{j}+1), 2\}\}$. Если $r_{i}=0$, $i=1,\dots,n$, то показатель ограниченности максимального оператора $\mathcal{M}^{\varphi}f$ равен $p(S)=\max\{a_{n+1j}/(d_{j}+1)\}$. Таким образом, аналогично с теми же рассуждениями при условиях $r_{l}\neq0$, $B_{l}\neq0$ для $l=1,\dots,n$ завершаем доказательство теоремы 1. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Usm23} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|