| Математические заметки |
|
|
|
|
|
О существовании собственных значений трехчастичного дискретного оператора Шрёдингера Ж. И. Абдуллаевa, Ж. Х. Боймуродовb, А. М. Халхужаевc a Самаркандский государственный университет им. Ш. Рашидова, Узбекистан b Навоийский государственный педагогический институт, Узбекистан c Институт математики им. В. И. Романовского АH Республики Узбекистан, г. Ташкент
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623110019 
Реферативные базы данных:
  1. Введение и постановка задачиВ моделях физики твердого тела [1], [2], а также в решетчатой квантовой теории поля [3] рассматриваются дискретные операторы, являющиеся решетчатыми аналогами трехчастичного оператора Шрёдингера в евклидовом пространстве. Кинематика квантовых частиц на решетке довольно экзотическая [4]. Дискретный лапласиан, в отличие от непрерывного случая, не является трансляционно-инвариантным относительно вращения [3] и поэтому в разложении гамильтониана в прямой интеграл Флоке–Блока слойные операторы параметрически зависят от полного квазиимпульса системы частиц. В данной работе рассматривается гамильтониан ${H}_{\mu,\lambda,\gamma}$ системы трех квантовых частиц (две из них – бозоны с массой $1$ и третья частица с массой $m=1/\gamma<1$), с парным контактным потенциалом $ \mu> 0 $ бозона и иной частицы и бозон-бозонным взаимодействием $ \lambda> 0 $ на трехмерной решетке $\mathbb{Z}^3$. В импульсном представлении полный трехчастичный гамильтониан разлагается в прямой операторный интеграл (см. [5], [6])
$$
\begin{equation*}
{H}_{\mu,\lambda,\gamma}=\int_{\mathbb{T}^3}\bigoplus H_{\mu,\lambda,\gamma}(\mathbf{K})\,d\mathbf{K}.
\end{equation*}
\notag
$$
Существенный спектр слойного оператора $H_{\mu,\lambda,\gamma}(\mathbf{K})$, $ \mathbf{K} \in \mathbb{T}^3 \equiv \mathbb{R}^3 / (2 \pi\mathbb{Z}^3) $ (см. (2.1)) состоит из объединения трех отрезков, ширины и местоположения которых зависят от полного квазиимпульса системы $\mathbf{K}\in \mathbb{T}^3$ и энергий взаимодействий $\mu>0$ и $\lambda>0$. Основные результаты статьи приведены для достаточно больших значений $ \mu> 0 $ и фиксированного значения $\lambda>0$, т.е. для случая, когда взаимодействие бозона и другой частицы сильное: существуют пороговые значения отношения масс частиц $ \gamma_1 $, $ \gamma_2 $ такие, что оператор $H_{\mu,\lambda,\gamma}(\mathbf{0})$ имеет для $\gamma\in (0,\gamma_{1})$ по крайней мере одно собственное значение, для $\gamma\in (\gamma_{1},\gamma_{2})$ не менее двух и для $\gamma\in (\gamma_{2},+\infty)$ не менее четырех собственных значений, лежащих левее существенного спектра. Существование связанных состояний трехчастичных систем изучалось во многих работах, см., например, [7]–[21]. Ефимов [7] обнаружил существование бесконечного числа собственных значений (эффект Ефимова). С тех пор эта проблема изучалась во многих журналах и книгах [8]–[10]. Строгое математическое доказательство существования эффекта Ефимова было первоначально выполнено в работе [11] Яфаева, а затем эта теория быстро развилась см., например, [12]–[16]. В работе [17] рассматривается квантовая система из трех частиц: два фермиона с единичной массой и другая частица с массой $m>0$, точечно взаимодействующая с фермионами. Гамильтониан системы строится как расширение симметрического оператора энергии
$$
\begin{equation*}
H_0=-\frac{1}{2}\biggl(\frac{1}{m}\Delta_y+\Delta_{x_1}+\Delta_{x_2}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
определенного в $L_2(\mathbb{R}^3)\otimes L^{\mathrm{asym}}_2(\mathbb{R}^3\times \mathbb{R}^3)$. При построении некоторого естественного семейства расширений $H_0$ возникает задача о самосопряженных расширениях вспомогательной последовательности $\{T_l,\,l=0,1,2,\dots\}$ симметрических операторов, действующих в пространстве $ L_2(\mathbb{R}^3)$. Все операторы $T_l$ с четным $l$ самосопряжены, а для каждого $T_l $ с нечетным $ l $ существуют два числа $0<m^{(1)}_l<m^{(2)}_l<\infty$ такие, что при $m>m^{(2)}_l$ оператор $T_l$ самосопряжен и полуограничен снизу, а при $m \leqslant m^{(2)}_l$ он имеет индексы дефекта. При этом для $m\in [m^{(1)}_l,m^{(2)}_l]$ любое самосопряженное расширение $T_l$, инвариантное относительно вращения $\mathbb{R}^3$, полуограничено снизу, а при $0<m<m^{(1)}_l$ оно имеет бесконечную последовательность собственных значений $\{\lambda_n\}$ кратности $ 2l+1$, $\lambda_n\to -\infty$, $n \to \infty $. Последнее обстоятельство приводит к тому, что среди связанных состояний расширенного оператора $H_0$ находится последовательность таких состояний со спектром $P^2/(2(m+2))+z_n$, где $z_n<0 $ накапливаются к нулю. Приведем некоторые результаты, касающиеся трехчастичных систем на решетке. Существование хотя бы одного собственного значения трехчастичного дискретного оператора Шрёдингера $H_\mu(\mathbf{K})=H_0(\mathbf{K})-\mu V$, $\mu \in \mathbb{R}$, для размерностей $ d = 1,2 $ приведены в [18] и [19], доказательства которых основаны на неограниченности нормы оператора Фаддеева $ \mathbf{T} (\mathbf {K}, z) $ в нижней границе существенного спектра $z=\inf(\sigma_{\mathrm{ess}}(H_\mu(\mathbf{K})))$. Если $ d \geqslant3 $, то оператор $ \mathbf{T} (\mathbf {K}, z) $ ограничен и на краю существенного спектра, т.е. в этом случае методы для $ d = 1,2 $ не применимы. В работе [20] рассматривается трехчастичный дискретный оператор Шрёдингера $H_{\mu,\gamma} (\mathbf{K})$, $\mathbf{K} \in \mathbf{T^3}$, ассоциированный с системой трех частиц (два фермиона и одна другая частица), взаимодействующих с помощью парных контактных потенциалов $ \mu > 0$ на трехмерной решетке $\mathbf{Z}^3$. Доказано, что оператор $H_{\mu,\gamma} (\mathbf{K})$, $\|\mathbf K \| < \delta $, для $0 < \gamma < \gamma_0$ $(\gamma_0 \approx 4.7655)$ не имеет собственных значений и для $\gamma > \gamma_0$ имеет ровно три собственных значения, лежащих левее существенного спектра для достаточно больших $ \mu > 0$ и малых $ \delta > 0$. В работе [6] рассматривается система трех частиц (две из них – бозоны, а третья – произвольная), взаимодействующих с помощью парных контактных потенциалов притяжения. Описан существенный спектр ассоциированного этой системе трехчастичного оператора $H_{\mu_1\mu_3}(\mathbf {K})$. Доказано существование эффекта Ефимова для $H_{\mu_1\mu_3}(\mathbf {0})$ в случаях, когда либо две, либо три двухчастичные подсистемы трех частиц имеют виртуальные уровни на левом крае трехчастичного существенного спектра (т.е. когда $\mu_1=\mu_1^0$ и $\mu_2 \in [0,\mu_2^0)$ или $\mu_\alpha=\mu_\alpha^0$, $\alpha=1,3 $), а также показана конечность числа связанных состояний при малых значениях параметра $\mathbf{K}\neq \mathbf{0}$, для любого фиксированного $\gamma>0$. Рассматриваемый нами оператор $H_{\mu,\lambda,\gamma} (\mathbf {K})$, $\mathbf {K} \in \mathbb{T}^3$, совпадает с оператором $H_{\mu_1\mu_3}(\mathbf {K})$, если учитывать обозначения $\mu=\mu_1$, $\lambda=\mu_3$. Одна из “двухчастичных ветвей” $[\tau_{\min}(\mu,\gamma),\tau_{\max}(\mu,\gamma)]$ существенного спектра оператора $H_{\mu,\lambda,\gamma} (\boldsymbol{0})$ сдвигается к $ -\infty $ с порядком $ \mu $ при $ \mu \to + \infty$, в результате которого бесконечное число собственных значений оператора “поглощаются” существенным спектром. Поэтому возникает естественный вопрос: существуют ли собственные значения оператора $H_{\mu,\lambda,\gamma} (\boldsymbol{0})$, лежащие левее существенного спектра при достаточно больших $\mu$ и фиксированном $\lambda>0$, и если существуют, то сколько? В данной работе доказывается, что существуют критические значения отношений масс $ \gamma_1 \approx 2.9417 $ и $ \gamma_2 \approx 5.3985 $ такие, что при любом $\lambda>0$ и $\gamma \in (0,\gamma_1) $ оператор $ H_{\mu,\lambda,\gamma}(\mathbf{0}) $ имеет по крайней мере одно собственное значение, а при $\gamma\in (\gamma_{1},\gamma_{2}) $ оператор $ H_{\mu,\lambda,\gamma} (\boldsymbol{0})$ имеет по крайней мере два и при $\gamma>\gamma_2 $ имеет не менее четырех собственных значений, лежащих левее существенного спектра для достаточно больших значений $ \mu> 0$. Применяя теорию возмущений, можно показать, что полученные результаты сохраняются при малых значениях $ \mathbf {K} $. Отметим, что задача нахождения числа собственных значений оператора $ H_{\mu,\lambda,\gamma} (\mathbf {K})$, которые меньше $z$, $z <\tau_{\min, \gamma} (\mu, \mathbf {K})$, сводится к задаче нахождения числа собственных значений оператора типа Фаддеева $ A_{\mu, \gamma} (\mathbf {K}, z)$, которые больше 1 (см. лемму 5). Чувствительность ядра интегрального оператора $A_{\mu,\gamma} (\mathbf{K},z)$ относительно изменения $ \mathbf {K} $ приводит к изменению числа собственных значений оператора $ H_{\mu,\lambda,\gamma} (\mathbf {K})$. Например при $\mathbf{K}=\boldsymbol{\pi}=(\pi,\pi,\pi)$ число собственных значений оператора $H_{\mu,\lambda,\gamma}(\boldsymbol{\pi})$ не совпадает с числом собственных значений $H_{\mu,\lambda,\gamma}(\mathbf{0})$ при больших $\mu>0$ и фиксированном $\lambda>0$. 2. Постановка задачи и формулировка основных результатовПусть $\mathbb{T}^{3}$ – трехмерный тор, $L_{2}[(\mathbb{T}^{3})^d]$, $d=1,2$, гильбертово пространство квадратично-интегрируемых функций, определенных на $ (\mathbb {T}^{3})^d $ и $L_{2}^{\mathrm{sym}}[(\mathbb{T}^{3})^2]\subset L_{2}[(\mathbb{T}^{3})^2]$ – подпространство симметричных функций относительно перестановки переменных. Трехчастичный дискретный оператор Шрёдингера $H_{\mu,\lambda,\gamma} (\mathbf {K})$, $\mathbf {K} \in \mathbb{T}^3$, ассоциированный с системой трех частиц (две из них – бозоны с массой $1$ и одна – произвольная с массой $m=1/\gamma<1)$, взаимодействующих с помощью парных контактных потенциалов $\mu>0$ и $\lambda>0$ на трехмерной решетке $ \mathbb{Z}^3$, действует в гильбертовом пространстве $L_{2}^{\mathrm{sym}}[(\mathbb{T}^{3})^2] $ по формуле (см., например, [6])
$$
\begin{equation}
H_{\mu,\lambda,\gamma}(\mathbf{K})=H_{0,\gamma}(\mathbf{K})-\mu(V_1+V_2)-\lambda{V_3},
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, (H_{0,\gamma}(\mathbf{K})f)(\mathbf{p},\mathbf{q})= E_{\mathbf{K},\gamma}(\mathbf{p},\mathbf{q})f(\mathbf{p},\mathbf{q}), \\ E_{\mathbf{K},\gamma}(\mathbf{p},\mathbf{q}) = \varepsilon(\mathbf{p}) + \varepsilon(\mathbf{q})+\gamma\varepsilon(\mathbf{K-p-q}), \\ \varepsilon(\mathbf{p}) =3-\xi{(\mathbf{p})}, \quad \xi{(\mathbf{p})}=\sum_{i=1}^{3}\cos p_i, \qquad \mathbf{p}=(p_{1},p_{2},p_{3})\in \mathbb{T}^{3}, \\ (V_1f)(\mathbf{p},\mathbf{q})=\int_{\mathbb{T}^3} f(\mathbf{p},\mathbf{s})\,d\mathbf{s}, \qquad (V_2f)(\mathbf{p},\mathbf{q})=\int_{\mathbb{T}^3} f(\mathbf{s},\mathbf{q})\, d\mathbf{s}, \\ (V_3f)(\mathbf{p},\mathbf{q})=\int_{\mathbb{T}^3} f(\mathbf{p}+\mathbf{q}-\mathbf{s},\mathbf{s})\,d\mathbf{s}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
На торе $ \mathbb {T}^3 $ выбрана единичная мера $d\mathbf {p} $, т.е. $\int_{\mathbb{T}^3}\,d\mathbf{p}=1$. Вводим следующие обозначения:
$$
\begin{equation*}
W=\int_{\mathbb{T}^{3}}\frac{d\mathbf{s}}{\varepsilon(\mathbf{s})}, \qquad W_{11}=\int_{\mathbb{T}^{3}}\frac{\cos^{2}{s}_{1}\,d\mathbf{s}} {\varepsilon(\mathbf{s})}, \qquad W_{12}=\int_{\mathbb{T}^{3}}\frac{\cos{s}_{1}\cos{s}_{2} \,d\mathbf{s}}{\varepsilon(\mathbf{s})}.
\end{equation*}
\notag
$$
Интеграл $W$ называется интегралом Ватсона, а интегралы $W_{11}$ и $W_{12}$ – интегралами типа Ватсона (см., например, [22]). Пусть
$$
\begin{equation}
\gamma_{1}=\frac{3W}{3W-1}\approx 2.9417, \qquad \gamma_{2}=\frac{1}{W_{11}- W_{12}}\approx 5.3985.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Основные результаты статьи приводятся для случая $\mathbf{K}=\boldsymbol{0}$ и приведены в следующей теореме. i) Если $\gamma\in (0,\gamma_1)$, то существует $\mu(\gamma, \lambda)>0$ такое, что для любого $\mu>\mu(\gamma, \lambda)$ оператор $H_{\mu,\lambda,\gamma}(\boldsymbol{0})$ имеет по крайней мере одно собственное значение, лежащее левее существенного спектра. ii) Если $\gamma\in (\gamma_{1},\gamma_{2})$, то существует $\mu(\gamma, \lambda)>0$ такое, что для любого $\mu>\mu(\gamma, \lambda)$ оператор $H_{\mu,\lambda,\gamma}(\boldsymbol{0})$ имеет не менее двух собственных значений, лежащих левее существенного спектра. iii) Если $\gamma\in (\gamma_{2},+\infty)$, то существует $\mu(\gamma, \lambda)>0$ такое, что при всех $\mu>\mu(\gamma, \lambda)$ оператор $H_{\mu,\lambda,\gamma}(\boldsymbol{0})$ имеет не менее четырех собственных значений, лежащих левее существенного спектра. Замечание 1. Отметим, что $\mu(\gamma,\lambda)$ принимает различные положительные значения в трех пунктах теоремы 1. 3. О спектре двухчастичных операторов $h_{\mu,\gamma}(\mathbf{k})$, $h_{\lambda}(\mathbf{k})$Двухчастичный дискретный оператор Шрёдингера $h_{\mu,\gamma}(\mathbf{k})$, $\mathbf{k}\in \mathbf{\mathbb{T}}^{3}$, соответствующий системе двух произвольных частиц (бозона и другой частицы) действует в $L_2(\mathbb{T}^3)$ по формуле
$$
\begin{equation*}
h_{\mu,\gamma}(\mathbf{k}) = h_{0,\gamma}(\mathbf{k}) - \mu v,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag (h_{{0},\gamma}(\mathbf{k})f)(\mathbf{p})=\mathcal{E}_{\mathbf{k},\gamma}(\mathbf{p}) f(\mathbf{p}), \qquad \mathcal{E}_{\mathbf{k},\gamma}(\mathbf{p}) = \varepsilon (\mathbf{p})+ \gamma \varepsilon(\mathbf{k-p}), \\ (vf)(\mathbf{p})=\int_{\mathbb{T}^3}f(\mathbf{s})\,d\mathbf{s}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
$\gamma>0$ – отношение масс бозона и другой частицы, а $\mu>0$ – энергия взаимодействия этих частиц. Двухчастичный дискретный оператор Шрёдингера $h_{\lambda}(\mathbf{k})$, $\mathbf{k}\in \mathbf{\mathbb{T}}^{3}$, соответствующий системе двух бозонов, действует в подпространстве $L(\mathbf{k})=\{f\in L_2(\mathbb{T}^3)\colon f(\mathbf{p})=f(\mathbf{k-p})\}$ по формуле
$$
\begin{equation*}
h_{\lambda}(\mathbf{k}) = h_{0}(\mathbf{k}) - \lambda v,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
(h_{0}(\mathbf{k})f)(\mathbf{p})=\mathcal{E}_{\mathbf{k}}(\mathbf{p}) f(\mathbf{p}), \qquad \mathcal{E}_{\mathbf{k}}(\mathbf{p}) = \varepsilon ( \mathbf{p} )+ \varepsilon(\mathbf{k-p}),
\end{equation*}
\notag
$$
оператор $\upsilon$ определяется по формуле (3.1), а $\lambda>0$ – энергия взаимодействия двух бозонов. Приведем некоторые элементарные факты, касающиеся спектра $h_{\mu,\gamma}(\mathbf{k})$, $\mathbf{k}\in \mathbf{\mathbb{T}}^{3}$ (см. [16]). По теореме Вейля об устойчивости существенного спектра при компактных возмущениях [5], существенный спектр $\sigma_{\mathrm{ess}}(h_{\mu,\gamma}(\mathbf{k}))$ оператора $h_{\mu,\gamma}(\mathbf{k})$ совпадает со спектром $\sigma(h_{0,\gamma}(\mathbf{k}))$ невозмущенного оператора $h_{0,\gamma}(\mathbf{k})$, т.е.
$$
\begin{equation*}
\sigma_{\mathrm{ess}}(h_{\mu,\gamma}(\mathbf{k})) = \bigl[\mathcal{E}_{\min,\gamma}(\mathbf{k}) ,\mathcal{E}_{\max,\gamma}(\mathbf{k})\bigr],
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathcal{E}_{\min,\gamma}(\mathbf{k})=\min_{\mathbf{q}{\in }\mathbb{T}^3} \mathcal{E}_{\mathbf{k},\gamma}(\mathbf{q})= 3(1+\gamma)-\sum _{i=1}^3\sqrt{1+2\gamma\cos {k}_i+\gamma^2}, \\ \mathcal{E}_{\max,\gamma}(\mathbf{k})=\max_{\mathbf{q}{\in }{\mathbb{T}}^3}\mathcal{E}_{\mathbf{k},\gamma}(\mathbf{q})= 3(1+\gamma)+\sum _{i=1}^3\sqrt{1+2\gamma\cos {k}_i+\gamma^2}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $z \in \mathbb{C}\setminus [\mathcal{E}_{\min,\gamma}(\mathbf{k}),\mathcal{E}_{\max,\gamma}(\mathbf{k})]$ и $\Delta_{\mu,\gamma}(\mathbf{k},z)$ –детерминант Фредгольма оператора $I-{\mu}vr_{0,\gamma}(\mathbf{k},z)$, где $r_{0,\gamma}(\mathbf{k},z)$ – резольвента невозмущенного оператора $h_{0,\gamma}(\mathbf{k})$. Так как оператор $ v$ – проектор ранга один, определитель Фредгольма имеет простой вид:
$$
\begin{equation}
\Delta_{\mu,\gamma}(\mathbf{k},z)=1-{\mu}\int_{\mathbb{T}^3} \frac{d\mathbf{q}}{\mathcal{E}_{\mathbf{k},\gamma}(\mathbf{q})-z}.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Лемма 1. Число $z \in {\mathbb{C}\setminus [\mathcal{E}_{\min,\gamma}(\mathbf{k}),\mathcal{E}_{\max,\gamma}(\mathbf{k})]}$ является собственным значением оператора $h_{\mu,\gamma}(\mathbf{k})$ тогда и только тогда, когда $\Delta_{\mu,\gamma}(\mathbf{k},z)=0$. Лемма 1 доказывается аналогично теореме 3.2 работы [20]. Обозначим через $\mu_{0}(\gamma)=(1+\gamma)/{W}$ сумму средних гармонических значений энергии двух свободных частиц, т.е. бозона и другой частицы (см., например, [20]). Теорема 2. Пусть $\mu>\mu_0(\gamma)$. Тогда для любого $\mathbf{k}\in \mathbb{T}^3$ оператор $h_{\mu,\gamma}(\mathbf{k}) $ имеет единственное простое собственное значение $z_{\mu,\gamma}(\mathbf{k})$, лежащее левее существенного спектра. Лемма 2. Собственное значение $z_{\mu,\gamma}(\mathbf{k})=z_{\mu,\gamma}({k}_1,{k}_2,{k}_3)$ –симметричная функция относительно перестановки переменных ${k}_i$, ${k}_j$ и четна по ${k}_i\in [-\pi,\pi]$, монотонно возрастает по ${k}_i\in [0,\pi]$, $i=1,2,3$. Доказательство непосредственно вытекает из свойств функции $\Delta_{\mu,\gamma}(\mathbf{k},z)$ и утверждения леммы 1. Доказательство аналогичного утверждения приведено в лемме 3.4 работы [20]. Существенный спектр оператора $h_{\lambda}(\mathbf{k})$ состоит из отрезка $[2 \varepsilon(\mathbf{k}/2),12-2 \varepsilon(\mathbf{k}/2)]$. Если предположить, что $\gamma=1$ и $\mu=\lambda$, то собственное значение $z_{\lambda}(\mathbf{k})=z_{\lambda,1}(\mathbf{k})$ оператора $h_{\lambda}(\mathbf{k})$ совпадает с собственным значением $z_{\mu,\gamma}(\mathbf{k})$ оператора $h_{\mu,\gamma}(\mathbf{k})$. 4. О существенном и дискретном спектрах оператора $H_{\mu,\lambda,\gamma}(\mathbf{0})$Для каждого $\mathbf{K}\in \mathbb{T}^{3}$ обозначим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, E_{\min,\gamma }(\mathbf{K} )=\min_{\mathbf{p,q} \in \mathbb{T}^{3}} E_{\mathbf{K},\gamma}(\mathbf{p},\mathbf{q}), \qquad E_{\max,\gamma }(\mathbf{K} )=\max_{\mathbf{p,q} \in \mathbb{T}^{3}} E_{\mathbf{K},\gamma}(\mathbf{p},\mathbf{q}), \\ \tau_{\min,\gamma }(\mu,\mathbf{K}) =\min_{\mathbf{p}\in \mathbb{T}^{3}}\{z_{\mu,\gamma}(K-\mathbf{p})+ \varepsilon(\mathbf{p})\}, \qquad\! \tau_{\max,\gamma }(\mu,\mathbf{K}) =\max_{\mathbf{p} \in \mathbb{T}^{3}}\{z_{\mu,\gamma}(K-\mathbf{p})+ \varepsilon(\mathbf{p})\}, \\ \tau_{\min}(\lambda,\mathbf{K}) =\min_{\mathbf{p}\in \mathbb{T}^{3}}\{z_{\lambda}(K-\mathbf{p})+\gamma \varepsilon(\mathbf{p})\}, \qquad \tau_{\max}(\lambda,\mathbf{K}) =\max_{\mathbf{p} \in \mathbb{T}^{3}}\{z_{\lambda}(K-\mathbf{p})+ \gamma\varepsilon(\mathbf{p})\}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $ z_{\mu,\gamma}(\mathbf{p})$ и $ z_{\lambda}(\mathbf{p})$ – собственные значения операторов $ h_{\mu,\gamma}(\mathbf{p})$ и $ h_{\lambda}(\mathbf{p})$ соответственно. Существенный спектр $\sigma_{\mathrm{ess}}(H_{\mu,\lambda,\gamma}(\mathbf{K}))$ оператора $H_{\mu,\lambda,\gamma}(\mathbf{K})$ состоит из объединения трех отрезков (см. работу [6]):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sigma_{\mathrm{ess}}(H_{\mu,\lambda,\gamma}(\mathbf{K})) &=[\tau_{\min,\gamma}(\mu, \mathbf{K} ),\tau_{\max,\gamma}(\mu, \mathbf{K})] \\ &\qquad\cup [\tau_{\min}(\lambda,\mathbf{K} ),\tau_{\max}(\lambda,\mathbf{K})] \cup[E_{\min,\gamma}(\mathbf{K}),E_{\max,\gamma}(\mathbf{K})]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отрезки $[\tau_{\min,\gamma}(\mu, \mathbf{K} ),\tau_{\max,\gamma}(\mu, \mathbf{K})]$ и $[\tau_{\min}(\lambda, \mathbf{K} ),\tau_{\max}(\lambda, \mathbf{K})]$ называются двухчастичными ветвями а отрезок $[E_{\min,\gamma}(\mathbf{K}),E_{\max,\gamma}(\mathbf{K})]$ –трехчастичной ветвью существенного спектра оператора $H_{\mu,\lambda,\gamma}(\mathbf{K})$. Следствие 1. Пусть $\mathbf{K}=\mathbf{0}=(0,0,0)$. Тогда Нас интересует дискретный спектр оператора $H_{\mu,\lambda,\gamma}(\mathbf{0})$ при достаточно больших $\mu>0$ и фиксированном $\lambda>0$. Из утверждения леммы 3 и структуры существенного спектра следует (см. (4.1)), что одна двухчастичная ветвь
$$
\begin{equation*}
[\tau_{\min,\mu}(\mathbf{0}),\tau_{\max,\mu}(\mathbf{0})]=[z_{\mu,\gamma}(\mathbf{0}), z_{\mu,\gamma}(\boldsymbol{\pi})+6]
\end{equation*}
\notag
$$
существенного спектра сдвигается к $ -\infty $ с порядком $ \mu $ при $ \mu \to + \infty$. Поэтому выполняются равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \inf \sigma_{\mathrm{ess}}(H_{\mu,\lambda,\gamma}(\mathbf{0})) &=\inf \sigma_{\mathrm{ess}}(H_{\mu,0,\gamma}(\mathbf{0}))= \tau_{\min,\gamma}(\mu, \mathbf{0} )= z_{\mu,\gamma}(\mathbf{0}) \\ &=-\mu+3(1+\gamma)+O\biggl(\frac{1}{\mu}\biggr) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
при достаточно больших $\mu>0$ и фиксированном $\lambda>0$. Поэтому в дальнейшем предположим, что $z\leqslant \inf \sigma_{\mathrm{ess}}({H_{\mu,\lambda,\gamma}(\mathbf{0})})=z_{\mu,\gamma}(\mathbf{0})$. Сначала покажем, что оператор $H_{\mu,\lambda,\gamma}(\mathbf{K})$ не имеет собственных значений, лежащих правее $E_{\max,\gamma}(\mathbf{K})$. Теорема 3. Для каждого $\mathbf{K}\in \mathbb{T}^3$ и при любых $ \mu>0$, $\lambda>0$, $\gamma>0$ оператор $H_{\mu,\lambda,\gamma}(\mathbf{K})$ не имеет собственных значений, лежащих правее $E_{\max,\gamma}(\mathbf{K})$. Доказательство. Из положительности оператора $V=\mu(V_1+V_2)+\lambda{V_3}$ и принципа минимакса заключаем, что откуда следует, что $\sigma(H_{\mathbf \mu,\lambda,\gamma}(\mathbf{K}))\cap(E_{\max,\gamma}(\mathbf{K}),+\infty)=\varnothing$. Теорема 4. Для любых $\mu>0$, $\lambda>0$, $\gamma>0$ число собственных значений оператора $H_{\mu,\lambda,\gamma}(\mathbf{0})$, лежащих левее $\inf \sigma_{\mathrm{ess}}(H_{\mu,\lambda,\gamma}(\mathbf{0})) $, не меньше числа собственных значений оператора $H_{ \mu,\gamma}(\mathbf{0}):=H_{ \mu,0,\gamma}(\mathbf{0})$, лежащих левее $\inf \sigma_{\mathrm{ess}}(H_{\mu,\lambda,\gamma}(\mathbf{0}))$. Доказательство. Из положительности оператора $V_3$ и неравенства
$$
\begin{equation*}
(H_{\mu,\lambda,\gamma}(\mathbf{0})f,f)= (H_{\mu,\gamma}(\mathbf{0})f,f)-\lambda (V_{3}f,f)\leqslant (H_{\mu,\gamma}(\mathbf{0})f,f),
\end{equation*}
\notag
$$
непосредственно вытекает доказательство теоремы 4. Теперь найдем эквивалентное уравнение для собственных функций оператора $H_{\mathbf \mu,\gamma}(\mathbf{0})$. Для каждого $ z<z_{\mu,\gamma}(\mathbf{0})$ определим самосопряженный оператор $A_{\mu,\gamma}(z)$ в гильбертовом пространстве $L_{2}(\mathbb{T}^{3})$ формулой
$$
\begin{equation*}
(A_{\mu,\gamma}(z)\psi)(\mathbf{p})= \frac{\mu}{\sqrt{\Lambda_{\mu,\gamma} (\mathbf{p},z)}}\int_{\mathbb{T}^{3}}\frac{\psi(\mathbf{s})\,d\mathbf{s}}{ (E_{\mathbf{0},\gamma}(\mathbf{p},\mathbf{s})-z)\sqrt{\Lambda_{\mu,\gamma} (\mathbf{s},z)}},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
\Lambda_{\mu,\gamma}(\mathbf{p},z):=\Delta_{\mu,\gamma}(-\mathbf{p},z-\varepsilon(\mathbf{p})),
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
и функция $\Delta_{\mu,\gamma}(\cdot,\cdot)$ – определена по формуле (3.2). Лемма 4. Число $z < z_{\mu,\gamma}(\mathbf{0})$ является собственным значением ${H}_{\mu,\gamma}{(\mathbf{0})}$ тогда и только тогда, когда число 1 есть собственное значение оператора $A_{\mu,\gamma}(z)$. Доказательство. Пусть число $z < z_{\mu,\gamma}(\mathbf{0})$ является собственным значением оператора ${H}_{\mu,\gamma}{(\mathbf{0 })}$ и $f-$соответствующая собственная функция, т.е. уравнение
$$
\begin{equation}
( H_{0,\gamma}(\mathbf{0})f)(\mathbf{p},\mathbf{q})- \mu\int_{\mathbb{T}^{3}}f(\mathbf{p,s})\,d\mathbf{s}- \mu\int_{\mathbb{T}^{3}}f(\mathbf{t,q})\,d\mathbf{t}=zf(\mathbf{p},\mathbf{q}),
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
имеет ненулевое решение $f\in L_{2}^{\mathrm{sym}}[(\mathbb{T}^{3})^{2}]$. Обозначая
$$
\begin{equation}
(V_{1}f)(\mathbf{p},\mathbf{q})=\int_{\mathbb{T}^3}f(\mathbf{p},\mathbf{s})\,d\mathbf{s}= \varphi(\mathbf{p}),
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
из (4.3) получим
$$
\begin{equation}
f(\mathbf{p},\mathbf{q})=\mu\frac{\varphi(\mathbf{p})+ \varphi(\mathbf{q})}{E_{\mathbf{0},\gamma}(\mathbf{p},\mathbf{q})-z}.
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Подставляя выражение (4.5) в (4.4), получим, что уравнение
$$
\begin{equation*}
\varphi(\mathbf{p})\biggl(1-\mu \int_{\mathbb{T}^3}\frac{d\mathbf{s}} {E_{\mathbf{0},\gamma}(\mathbf{p},\mathbf{s})-z} \biggr)=\mu \int_{\mathbb{T}^3}\frac{\varphi(\mathbf{s})\,d\mathbf{s}} {E_{\mathbf{0},\gamma}(\mathbf{p},\mathbf{s})-z},
\end{equation*}
\notag
$$
имеет ненулевое решение $\varphi \in L_{2}(\mathbb{T}^{3}) $. Используя обозначение (4.2), можно убедиться, что $\varphi\in L_{2}(\mathbb{T}^{3})$ является решением следующего уравнения:
$$
\begin{equation}
\varphi(\mathbf{p})=\frac{\mu}{\Lambda_{\mu,\gamma} (\mathbf{p},z)}\int_{\mathbb{T}^{3}}\frac{\varphi(\mathbf{s})\,d\mathbf{s}} {E_{\mathbf{0},\gamma}(\mathbf{p},\mathbf{s})-z}.
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Обозначая $\psi(\mathbf{p})=\sqrt{\Lambda_{\mu,\gamma} (\mathbf{p},z)}\varphi( \mathbf{p})$, получим эквивалентное к (4.6) уравнение т.е. 1 является собственным значением оператора $A_{\mu,\gamma}(z)$.
Обратно. Пусть для некоторого $z < z_{\mu,\gamma}(\mathbf{0})$ число 1 является собственным значением оператора $A_{\mu,\gamma}(z)$ и $ \psi\in L_{2}(\mathbb{T}^{3})$ – соответствующей собственной функцией. Тогда функция $f$, определяемая формулой (4.5), принадлежит пространству $ L_{2}^{\mathrm{sym}}[(\mathbb{T}^{3})^{2}]$ и удовлетворяет уравнению (4.3), где $\varphi(\mathbf{p})=\psi( \mathbf{p})/\sqrt{\Lambda_{\mu,\gamma} (\mathbf{p},z)}$. Замечание 2. Предельный оператор $\lim_{z\to{z_{\mu,\gamma}(\mathbf{0})}}A_{\mu,\gamma}(z)= A_{\mu,\gamma}(z_{\mu,\gamma}(\mathbf{0}))$ является компактным самосопряженным оператором в $L_{2}(\mathbb{T}^{3})$. Для ограниченного самосопряженного оператора $B$, действующего в гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$ и для некоторого $\lambda\in \mathbb{R}$ определим число $n[\lambda,B]$ через
$$
\begin{equation*}
n[\lambda,B]:=\max \bigl\{\dim \mathcal{H}_{B}(\lambda)\colon {H}_{B}(\lambda)\subset \mathcal{H};\, (B\varphi,\varphi)>\lambda,\, \varphi\in \mathcal{H}_{B}(\lambda),\, \|\varphi\|=1\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если какая-то точка существенного спектра оператора $B$ больше $\lambda$, то число $n[\lambda,B]$ равно бесконечности, и если $n[\lambda,B]$ – конечно, то оно равно числу собственных значений оператора $B$, которые больше $\lambda$ (см., например, лемму Глазмана [23]). Следующая лемма следует из известного принципа Бирмана–Швингера (см., например, [6]). Используя равенство и учитывая обозначение (2.2), имеем
$$
\begin{equation}
\frac{1}{E_{\mathbf{0},\gamma}(\mathbf{p},\mathbf{s})-z}=\frac{1}{a(\gamma,z)}\biggl(1+ \frac{\xi(\mathbf{p})+\xi(\mathbf{s})+\gamma\xi(\mathbf{p+s})}{a(\gamma,z)}+ \frac{\zeta(\gamma;\mathbf{p,s})}{a(\gamma,z)}\biggr),
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
где
$$
\begin{equation*}
a(\gamma,z)=6+3\gamma-z, \qquad \zeta(\gamma;\mathbf{p,s})=\frac{(\xi(\mathbf{p})+\xi(\mathbf{s})+ \gamma\xi(\mathbf{p+s}))^{2}}{E_{\mathbf{0},\gamma}(\mathbf{p,s})-z}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пользуясь равенством (4.7), оператор $A_{\mu,\gamma}(z)$ представим в виде суммы
$$
\begin{equation}
A_{\mu,\gamma}(z)=A_{\mu,\gamma}^{(0)}(z)+ A_{\mu,\gamma}^{(1)}(z),
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
где самосопряженные операторы $A_{\mu,\gamma}^{(0)}(z)$ и $A_{\mu,\gamma}^{(1)}(z)$ определены как
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (A_{\mu,\gamma}^{(0)}(z) \psi)(\mathbf{p})=\frac{\mu}{a^{2}(\gamma,z)}\int_{\mathbb{T}^{3}} \frac{[a(\gamma,z)+\xi(\mathbf{p})+\xi(\mathbf{s})+ \gamma\xi(\mathbf{p+s})]\psi(\mathbf{s})\,d\mathbf{s}}{\sqrt{\Lambda_{\mu,\gamma} (\mathbf{p},z)}\sqrt{\Lambda_{\mu,\gamma} (\mathbf{s},z)}}, \\ (A_{\mu,\gamma}^{(1)}(z)\psi)(\mathbf{p})=\frac{\mu}{a^{2}(\gamma,z)} \int_{\mathbb{T}^{3}}\frac{\zeta(\gamma;\mathbf{p,s})\psi(\mathbf{s})\,d\mathbf{s}}{\sqrt{ \Lambda_{\mu,\gamma} (\mathbf{p},z)}\sqrt{\Lambda_{\mu,\gamma} (\mathbf{s},z)}}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В дальнейшем показывается, что норма оператора $A_{\mu,\gamma}^{(1)}(z)$ стремится к нулю при $\mu \to +\infty$ (см. лемму 15). Поэтому установим существование собственных значений, которые больше 1, оператора $A_{\mu,\gamma}^{(0)}(z)$ при достаточно больших $\mu>0$. Найдем инвариантные подпространства относительно $A_{\mu,\gamma}^{(0)}(z)$. Пусть $L_{2}^{e}(\mathbb{T}^{3})$ (соответственно $L_{2}^{o}(\mathbb{T}^{3})$) – подпространство четных (соответственно нечетных) функций. Известно, что
$$
\begin{equation*}
L_{2}(\mathbb{T}^{3})=L_{2}^{e}(\mathbb{T}^{3})\oplus L_{2}^{o}(\mathbb{T}^{3}).
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 6. Подпространства $L_{2}^{e}(\mathbb{T}^{3})$ и $L_{2}^{o}(\mathbb{T}^{3})$ инвариантны относительно операторов $A_{\mu,\gamma}(z)$, $A_{\mu,\gamma}^{(0)}(z)$ и $A_{\mu,\gamma}^{(1)}(z)$. Доказательство. Из определения $\Lambda_{\mu,\gamma}(\mathbf{p},z)$ и $\varepsilon(\mathbf{p})$ (см. (3.2) и (2.2)) следует
$$
\begin{equation}
\Lambda_{\mu,\gamma} (\mathbf{-p},z)=\Delta_{\mu,\gamma}(\mathbf{p},z-\varepsilon(\mathbf{-p}))= \Delta_{\mu,\gamma}(\mathbf{-p},z-\varepsilon(\mathbf{p}))=\Lambda_{\mu,\gamma} (\mathbf{p},z).
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
Если $\psi\in L_{2}^{e}(\mathbb{T}^{3})$, то делая замену переменного $\mathbf{s}=-\mathbf{q}$, учитывая соотношения $ E_{\mathbf{0},\gamma}(-\mathbf{p},-\mathbf{q})= E_{\mathbf{0},\gamma}(\mathbf{p},\mathbf{q})$ и (4.9), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widetilde{\psi}(-\mathbf{p}) &=(A_{\mu,\gamma}(z)\psi)(\mathbf{-p})= \mu\int_{\mathbb{T}^{3}}\frac{ \psi(\mathbf{s})\,d\mathbf{s}}{\sqrt{\Lambda_{\mu,\gamma} (-\mathbf{p},z)}(E_{\mathbf{0},\gamma}(-\mathbf{p},\mathbf{s})-z)\sqrt{\Lambda_{\mu,\gamma} (\mathbf{s},z)}} \\ &=\mu\int_{\mathbb{T}^{3}}\frac{ \psi(\mathbf{q})\,d\mathbf{q}}{\sqrt{\Lambda_{\mu,\gamma} (\mathbf{p},z)}(E_{\mathbf{0},\gamma}(-\mathbf{p},-\mathbf{q})-z)\sqrt{\Lambda_{\mu,\gamma} (\mathbf{q},z)}}=\widetilde{\psi}(\mathbf{p}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, подпространство $L_{2}^{e}(\mathbb{T}^{3})$ инвариантно относительно $A_{\mu,\gamma}(z)$.
Ядро $A_{\mu,\gamma}^{(0)}(\mathbf{p},\mathbf{s};z)$ оператора $A_{\mu,\gamma}^{(0)}(z)$ удовлетворяет условию $A_{\mu,\gamma}^{(0)}(-\mathbf{p},-\mathbf{s};z)= A_{\mu,\gamma}^{(0)}(\mathbf{p},\mathbf{s};z)$. Отсюда следует инвариантность подпространства $L_{2}^{e}(\mathbb{T}^{3})$ относительно $A_{\mu,\gamma}^{(0)}(z)$. Из представления $A_{\mu,\gamma}^{(1)}(z)=A_{\mu,\gamma}(z)-A_{\mu,\gamma}^{(0)}(z)$ вытекает инвариантность подпространства $L_{2}^{e}(\mathbb{T}^{3})$ относительно оператора $A_{\mu,\gamma}^{(1)}(z)$. Поскольку операторы $A_{\mu,\gamma}(z)$, $ A_{\mu,\gamma}^{(0)}(z)$ и $A_{\mu,\gamma}^{(1)}(z)$ – самосопряженные, ортогональное дополнение $L_{2}^{o}(\mathbb{T}^{3})$ подпространства $L_{2}^{e}(\mathbb{T}^{3})$ также инвариантно относительно этих операторов. Обозначим через $A_{\mu,\gamma}^{(0,e)}(z):=A_{\mu,\gamma}^{(0)}(z)\big|_{L_{2}^{e}(\mathbb{T}^{3})}$ и $A_{\mu,\gamma}^{(0,o)} (z):=A_{\mu,\gamma}^{(0)}(z)\big|_{L_{2}^{o}(\mathbb{T}^{3})}$ сужения оператора $A_{\mu,\gamma}^{(0)}(z)$ на подпространства $L_{2}^{e}(\mathbb{T}^{3})$ и $L_{2}^{o}(\mathbb{T}^{3})$ соответственно, т.е.
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (A_{\mu,\gamma}^{(0,e)}(z)\psi)(\mathbf{p})=\frac{\mu}{a^{2}(\gamma,z)} \int_{\mathbb{T}^{3}}\frac{[a(\gamma,z)+ \sum_{i=1}^{3}(\cos{p_{i}}+\cos{s_{i}}+ \gamma\cos{p_{i}}\cos{s_{i}})]\psi(\mathbf{s})\,d\mathbf{s}}{\sqrt{\Lambda_{\mu,\gamma} (\mathbf{p},z)}\sqrt{\Lambda_{\mu,\gamma} (\mathbf{s},z)}}, \\ \bigl(A_{\mu,\gamma}^{(0,o)}(z)\psi\bigr)(\mathbf{p})=-\frac{\mu\gamma}{a^{2}(\gamma,z)} \sum_{i=1}^{3}\int_{\mathbb{T}^{3}} \frac{\sin{p_{i}}\sin{s_{i}}\psi(\mathbf{s})\,d\mathbf{s}} {\sqrt{\Lambda_{\mu,\gamma} (\mathbf{p},z)}\sqrt{\Lambda_{\mu,\gamma} (\mathbf{s},z)}}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство. Действительно, для любого $\psi\in L_{2}^{o}(\mathbb{T}^{3})$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (A_{\mu,\gamma}^{(0,o)}(z)\psi,\psi) &=-\frac{\mu\gamma}{a^{2}(\gamma,z)} \int_{\mathbb{T}^{3}}\int_{\mathbb{T}^{3}}\frac{(\sum_{i=1}^{3}\sin{s_{i}} \sin{p_{i}})\psi(\mathbf{s})\overline{\psi(\mathbf{p})}\,d\mathbf{s}\,d\mathbf{p}} {\sqrt{\Lambda_{\mu,\gamma} (\mathbf{s},z)}\sqrt{\Lambda_{\mu,\gamma} (\mathbf{p},z)}} \\ &=-\frac{\mu\gamma}{a^{2}(\gamma,z)}\sum_{i=1}^{3}\int_{\mathbb{T}^{3}} \frac{\sin{s_{i}}\psi(\mathbf{s})\,d\mathbf{s}}{\sqrt{\Lambda_{\mu,\gamma} (\mathbf{s},z)}}{\int_{\mathbb{T}^{3}}\frac{\overline{{\sin{p_{i}}\psi(\mathbf{p})}} \,d\mathbf{p}}{\sqrt{\Lambda_{\mu,\gamma}(\mathbf{p},z)}}} \\ &=-\frac{\mu\gamma}{a^{2}(\gamma,z)}\sum_{i=1}^{3}\biggl|\int_{\mathbb{T}^{3}}\frac{\sin{p_{i}} \psi(\mathbf{p})\,d\mathbf{p}}{\sqrt{\Lambda_{\mu,\gamma} (\mathbf{p},z)}}\biggr|^{2}\leqslant 0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 8. Пусть $\mu>3(1+\gamma)$ и $z\leqslant z_{\mu,\gamma}(\mathbf{0})$. Тогда верны неравенства где $z_{\mu,\gamma}(\mathbf{p})-$собственное значение двухчастичного оператора $h_{\mu,\gamma}(\mathbf{p})$. Если $\mu \to +\infty$, то верна асимптотика Доказательство. По лемме 1 для всех $\mathbf{p}\in{\mathbb{T}^{3}}$ имеет место
$$
\begin{equation*}
\mu\int_{\mathbb{T}^{3}}\frac{d\mathbf{s}}{\varepsilon(\mathbf{s})+ \gamma\varepsilon(\mathbf{p-s})-z_{\mu,\gamma}(\mathbf{p})}=\mu\int_{\mathbb{T}^{3}} \frac{d\mathbf{s}}{\varepsilon(\mathbf{s})+ \gamma\varepsilon(\mathbf{p+s})-z_{\mu,\gamma}(\mathbf{p})}\equiv 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Пользуясь этим, имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \Lambda_{\mu,\gamma} (\mathbf{p},z) &=1-\mu\int_{\mathbb{T}^{3}} \frac{d\mathbf{s}}{{E}_{\boldsymbol{0},\gamma}(\mathbf{p},\mathbf{s})-z} \\ \notag &=\mu\int_{\mathbb{T}^{3}}\frac{d\mathbf{s}}{\varepsilon(\mathbf{s})+ \gamma\varepsilon(\mathbf{p+s})-z_{\mu,\gamma}(\mathbf{p})}-\mu\int_{\mathbb{T}^{3}} \frac{d\mathbf{s}}{\varepsilon(\mathbf{s}) +\gamma\varepsilon(\mathbf{p+s})+\varepsilon(\mathbf{p})-z} \\ &=\mu(z_{\mu,\gamma}(\mathbf{p})+\varepsilon(\mathbf{p})- z)\int_{\mathbb{T}^{3}}\frac{d\mathbf{s}}{(E_{\mathbf{0},\gamma}(\mathbf{p},\mathbf{s})-z) [\varepsilon(\mathbf{s})+\gamma\varepsilon(\mathbf{p-s})- z_{\mu,\gamma}(\mathbf{p})]}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
Из неравенств $0\leqslant\varepsilon(\mathbf{s})\leqslant6$ и $0\leqslant E_{\mathbf{0},\gamma}(\mathbf{p},\mathbf{s})\leqslant 12+6\gamma$ следуют, что
$$
\begin{equation}
\frac{1}{6+6\gamma-z_{\mu,\gamma}(\mathbf{p})}\leqslant\frac{1}{\varepsilon(\mathbf{s})+ \gamma\varepsilon(\mathbf{p-s})-z_{\mu,\gamma}(\mathbf{p})} \leqslant\frac{1}{-z_{\mu,\gamma}(\mathbf{p})},
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{1}{12+6\gamma-z}\leqslant\frac{1}{E_{\mathbf{0},\gamma} (\mathbf{p},\mathbf{s})-z}\leqslant\frac{1}{-z}.
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
Из соотношений (4.12)–(4.14) непосредственно вытекает (4.10).
Для доказательства равенства (4.11) воспользуемся соотношениями
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{1}{\varepsilon(\mathbf{s})+\gamma\varepsilon(\mathbf{p-s})-z_{\mu,\gamma}(\mathbf{p})}= \frac{1}{3+3\gamma-z_{\mu,\gamma}(\mathbf{p})}\biggl(1+\frac{\xi(\mathbf{s})+ \gamma\xi(\mathbf{p-s})}{\varepsilon(\mathbf{s})+\gamma\varepsilon(\mathbf{p-s})- z_{\mu,\gamma}(\mathbf{p})}\biggl), \\ &\frac{1}{\varepsilon(\mathbf{s})+\gamma\varepsilon(\mathbf{p+s})+ \varepsilon(\mathbf{p})-z_{\mu,\gamma}(\mathbf{0})} \\ &\qquad =\frac{1}{6+3\gamma-z_{\mu,\gamma}(\mathbf{0})}\biggl(1+\frac{\xi(\mathbf{s})+ \gamma\xi(\mathbf{p+s})+\xi(\mathbf{p})}{\varepsilon(\mathbf{s})+\gamma\varepsilon(\mathbf{p+s})+ \varepsilon(\mathbf{p})-z_{\mu,\gamma}(\mathbf{0})}\biggl). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $z \leqslant z_{\mu,\gamma}(\mathbf{0}) \leqslant-\mu+3(1+\gamma)$, по лемме 3 из равенства (4.12) можно заключить, что
$$
\begin{equation*}
\Lambda_{\mu,\gamma} (\mathbf{p},z_{\mu,\gamma}(\mathbf{0}))=\frac{\mu(z_{\mu,\gamma}(\mathbf{p})+ \varepsilon(\mathbf{p})-z_{\mu,\gamma}(\mathbf{0}))}{(3+3\gamma-z_{\mu,\gamma}(\mathbf{p})) (6+3\gamma-z_{\mu,\gamma}(\mathbf{0}))}\biggl(1+O\biggl(\frac{1}{\mu}\biggl)\biggl),
\end{equation*}
\notag
$$
при достаточно больших $\mu>0$. Отсюда, снова пользуясь утверждением леммы 3, можно убедиться, что верно (4.11). Определим положительный интегральный оператор $B(\mu,\gamma)$, $\mu>0$, $\gamma>0$, ранга 4 в гильбертовом пространстве $L_{2}^e(\mathbb{T}^{3})$ с ядром
$$
\begin{equation*}
B_{\mu,\gamma}(\mathbf{p,s})=\frac{3+\mu+\sum_{i=1}^{3} (\cos{p_{i}}+\cos{s_{i}}+\gamma\cos{p_{i}}\cos{s_{i}})}{ \sqrt{\varepsilon(\mathbf{p})}\sqrt{\varepsilon(\mathbf{s})}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 9. Пусть $\gamma>0$. При $\mu\to \infty$ выполнется равенство равномерно по $\mathbf{p},\mathbf{s} \in \mathbb{T}^{3}$, где через $A_{\mu,\gamma}^{(0,e)}(\mathbf{p,s},z)$ обозначено ядро интегрального оператора $ A_{\mu,\gamma}^{(0,e)}(z)$. Доказательство. По лемме 3 имеем, что $a(\gamma,z_{\mu,\gamma}(\mathbf{0}))=3+\mu+O(1/{\mu})$ при $\mu\to \infty$. Отсюда и из (4.11) при $\mu \to +\infty $ получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &A_{\mu,\gamma}(\mathbf{p,s},z_{\mu,\gamma}(\mathbf{0})) =\frac{\mu^{2}}{(3+\mu+O({1}/{\mu}))^{2}} \\ &\qquad\qquad \times\frac{\bigl(3+\mu+\sum_{i=1}^{3} (\cos{p_{i}}+\cos{s_{i}}+\gamma\cos{p_{i}}\cos{s_{i}})+O({1}/{\mu})\bigr)}{ \sqrt{\varepsilon(\mathbf{p})}\sqrt{\varepsilon(\mathbf{s})}}\biggl(1+O\biggl(\frac{1}{\mu} \biggl)\biggl) \\ &\qquad=\frac{3+\mu+\sum_{i=1}^{3}(\cos{p_{i}}+\cos{s_{i}}+\gamma\cos{p_{i}}\cos{s_{i}})} {\sqrt{\varepsilon(\mathbf{p})}\sqrt{\varepsilon(\mathbf{s})}}\biggl(1+O \biggl(\frac{1}{\mu}\biggl)\biggl). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $L_{2}^{e,s}(\mathbb{T}^{3})\subset L_{2}^{e}(\mathbb{T}^{3})$ подпространство симметричных функций относительно перестановки любых двух переменных, т.е.
$$
\begin{equation*}
L_{2}^{e,s}(\mathbb{T}^{3})=\bigl\{\psi\in L_{2}^{e}(\mathbb{T}^{3})\colon \psi(p_{1},p_{2},p_{3})=\psi(p_{2},p_{1},p_{3})= \psi(p_{3},p_{2},p_{1})=\psi(p_{1},p_{3},p_{2})\bigl\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
L_{2}^{e}(\mathbb{T}^{3})=L_{2}^{e,s}(\mathbb{T}^{3})\oplus (L_{2}^{e,s}(\mathbb{T}^{3}))^{\perp},
\end{equation*}
\notag
$$
где $(L_{2}^{e,s}(\mathbb{T}^{3}))^{\perp}$ обозначает ортогональное дополнение подпространства $L_{2}^{e,s}(\mathbb{T}^{3})$. Лемма 10. Подпространства $L_{2}^{e,s}(\mathbb{T}^{3})$ и $(L_{2}^{e,s}(\mathbb{T}^{3}))^{\perp}$ инвариантны относительно оператора $B{(\mu,\gamma)}$. Доказательство. Доказательство утверждения непосредственно вытекает из симметричности аргументов ядра $B_{\mu,\gamma}(\mathbf{p,s})$ оператора $B{(\mu,\gamma)}$.
Обозначим через ${P}^{s}$ оператор проектирования пространства $L_{2}^{e}(\mathbb{T}^{3})$ на подпространство $L_{2}^{s,e}(\mathbb{T}^{3})$, т.е.
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, ({P}^{s}\psi)(\mathbf{p}) &=\frac{1}{6}\bigl[\psi(p_{1},p_{2},p_{3})+\psi(p_{2},p_{1},p_{3})+ \psi(p_{3},p_{1},p_{2}) \\ &\qquad +\psi(p_{1},p_{3},p_{2})+\psi(p_{2},p_{3},p_{1})+\psi(p_{3},p_{2},p_{1})\bigl]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Сужение $B^{s}{(\mu,\gamma)}=P^{s}B{(\mu,\gamma)}P^{s}$ оператора $B{(\mu,\gamma)}$ на подпространство $L_{2}^{e,s}(\mathbb{T}^{3})$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(B^{s}{(\mu,\gamma)}\psi)(\mathbf{p}) \\ &\qquad =\frac{1}{\sqrt{\varepsilon(\mathbf{p})}} \int_{\mathbb{T}^{3}}\biggl[3+\mu-\frac{3}{\gamma}+\frac{3}{\gamma}\biggl(1+\gamma- \frac{\gamma}{3}\varepsilon(\mathbf{p})\biggl)\biggl(1+\gamma- \frac{\gamma}{3}\varepsilon(\mathbf{s})\biggl)\biggl] \frac{\psi(\mathbf{s})\,d\mathbf{s}}{ \sqrt{\varepsilon(\mathbf{s})}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 11. Пусть $\mu>0$ – достаточно большое число. Тогда оператор $B^{s}{(\mu,\gamma)}$ имеет два простых собственных значения, которые имеют вид Доказательство. Пусть уравнение имеет решение $\mathbf{0}\neq \psi\in L_{2}^{e,s}(\mathbb{T}^{3})$.
Обозначая
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \displaystyle C_{1}=\int_{\mathbb{T}^{3}}\frac{\psi(\mathbf{s})\,d\mathbf{s}}{\sqrt{\varepsilon(\mathbf{s})}}, \\ \displaystyle C_{2}=\int_{\mathbb{T}^{3}}\sqrt{\varepsilon(\mathbf{s})}\psi(\mathbf{s})\,d\mathbf{s}, \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
получим равносильное к равенству (4.17) уравнение
$$
\begin{equation}
\psi(\mathbf{p})=\frac{1}{\beta\sqrt{\varepsilon(\mathbf{p})}} \biggl[\bigl(9+\mu+3\gamma-(1+\gamma)\varepsilon(\mathbf{p})\bigl)C_{1}+ \biggl(\frac{\gamma}{3}\varepsilon(\mathbf{p})-(1+\gamma)\biggl)C_{2}\biggl].
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
Подставляя (4.19) в (4.18), получим систему уравнений относительно $C_{1}, C_{2}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} \bigl(\beta+1+\gamma-(9+\mu+3\gamma)W\bigr)C_{1} +\biggl((1+\gamma)W-\dfrac{\gamma}{3}\biggr)C_{2}=0, \\ -(\mu+6)C_{1}+(\beta+1)C_{2}=0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Детерминант этой системы является квадратным трехчленом относительно $\beta$, нули которого имеют вид (4.15) и (4.16). Пусть $B^{\perp}{(\gamma)}$ – сужение оператора $B{(\mu,\gamma)}$ на подпространство $(L_{2}^{e,s}(\mathbb{T}^{3}))^{\perp}$. Несложные вычисления показывают, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (B^{\perp}{(\gamma)}\psi)(\mathbf{p}) &=\frac{\gamma}{3} \int_{\mathbb{T}^{3}}\biggl[\frac{(2\cos{p_{1}}-\cos{p_{2}}- \cos{p_{3}})}{\sqrt{\varepsilon(\mathbf{p})}} \frac{(\cos{s_{1}}-\cos{s_{3}})}{\sqrt{\varepsilon(\mathbf{s})}} \\ &\qquad +\frac{(2\cos{p_{2}}-\cos{p_{1}}-\cos{p_{3}})}{\sqrt{\varepsilon(\mathbf{p})}} \frac{(\cos{s_{2}}-\cos{s_{3}})}{\sqrt{\varepsilon(\mathbf{s})}} \biggl]{\psi(\mathbf{s})\,d\mathbf{s}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что этот оператор линейно зависит от $\gamma$ и не зависит от параметра $\mu$. Доказательство леммы 12 аналогично доказательству леммы 11. Лемма 13. Пусть $\gamma>0$. Существует число $\mu_{\gamma}>0$ такое, что при $\mu> \mu_{\gamma}$ собственное значение $\beta_1(\mu,\gamma)$ оператора $B^{s}{(\mu,\gamma)}$ удовлетворяет неравенству Доказательство. Из представления (4.15) функции $\beta_{1}(\mu,\gamma)$ непосредственно вытекает, что для $\mu>\mu_{\gamma}$, где $\mu_{\gamma}$ – некоторое число, зависящее от $\gamma>0$, выполняется Лемма 14. Пусть $\gamma>0$. Имеет место асимптотика Доказательство. Так как $\Psi_{1}(\mu,\gamma)>0$ при доcтаточно больших $\mu>0$ и
$$
\begin{equation*}
\sqrt{1+\frac{\Psi_{2}(\gamma)}{\Psi_{1}^{2}(\mu,\gamma)}}=1+O\biggl(\frac{1}{\mu^{2}}\biggl)
\end{equation*}
\notag
$$
при $\mu\to {+\infty}$, пользуясь равенствами (4.16) и (2.3), имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \beta_2(\mu,\gamma) =\frac{1}{2}\biggl [(9+\mu+3\gamma)W-\gamma-2- \Psi_{1}(\mu,\gamma)\sqrt{1+\frac{\Psi_{2}(\gamma)}{\Psi_{1}^{2}(\mu,\gamma)}}\biggl ] \\ &\qquad=\frac{1}{2}\biggl [(9+\mu+3\gamma)W-\gamma-2-\biggl ((9+\mu+3\gamma)W+ \frac{2\gamma}{3W}-3\gamma-2\biggl ) \biggl(1+O\biggl(\frac{1}{\mu^{2}}\biggl)\biggl)\biggl ] \\ &\qquad=\gamma\biggl(\frac{3W-1}{3W}\biggr)+O\biggl(\frac{1}{\mu}\biggl) = \frac{\gamma}{\gamma_{1}}+O\biggl(\frac{1}{\mu}\biggl). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 15. Пусть $\gamma>0$. Тогда существует $\mu_{\gamma}>0$ такое, что для любого $\mu>\mu_{\gamma}$ верна оценка которая выполняется равномерно по $z\leqslant z_{\mu,\gamma}(\mathbf{0})$, $C-$положительная константа, зависящая только от $\gamma$. Доказательство. Пусть $g\in{L_{2}(\mathbb{T}^{3})}$ и $\|g\|=1$. В силу неравенств $\xi(\mathbf{p})\leqslant 3$ и $E_{\boldsymbol{0},\gamma}(\mathbf{p}, \mathbf{s})\geqslant 0$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag |(A_{\mu,\gamma}^{(1)}(z)g,g)| &\leqslant\frac{\mu}{(6+3\gamma-z)^{2}} \int_{\mathbb{T}^{3}}\int_{\mathbb{T}^{3}}\frac{(\xi(\mathbf{p})+ \xi(\mathbf{s})+\gamma\xi(\mathbf{p}+\mathbf{s}))^{2}|g(\mathbf{s})| |\overline{g(\mathbf{p})}|\,d\mathbf{s}\,d\mathbf{p}}{(E_{\boldsymbol{0},\gamma}(\mathbf{p}, \mathbf{s})-z)\sqrt{\Lambda_{\mu,\gamma}(\mathbf{s},z)}\sqrt{\Lambda_{\mu,\gamma} (\mathbf{p},z)}} \\ \notag &\leqslant\frac{\mu(6+3\gamma)^{2}}{(6+3\gamma-z)^{2}(-z)}\int_{\mathbb{T}^{3}} \int_{\mathbb{T}^{3}}\frac{|g(\mathbf{s})|\,|\overline{g(\mathbf{p})}|\,d\mathbf{s}\,d\mathbf{p}}{ \sqrt{\Lambda_{\mu,\gamma} (\mathbf{s},z)}\sqrt{\Lambda_{\mu,\gamma} (\mathbf{p},z)}} \\ & =\frac{\mu(6+3\gamma)^{2}}{(6+3\gamma-z)^{2}(-z)}\biggl(\int_{\mathbb{T}^{3}} \frac{|g(\mathbf{s})|\,d\mathbf{s}}{\sqrt{\Lambda_{\mu,\gamma} (\mathbf{s},z)}}\biggl)^{2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
Так как $z\leqslant z_{\mu,\gamma}(\mathbf{0})\leqslant z_{\mu,\gamma}(\mathbf{p})$, учитывая (4.10), при $\mu>3(1+\gamma)$ получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\biggl(\int_{\mathbb{T}^{3}}\frac{|g(\mathbf{s})|\,d\mathbf{s}}{\sqrt{\Lambda_{\mu,\gamma} (\mathbf{s},z)}}\biggr)^{2} \leqslant\biggl(\int_{\mathbb{T}^{3}} \sqrt{\frac{(6+6\gamma-z_{\mu,\gamma}(\mathbf{s}))(12+6\gamma-z)}{\mu(z_{\mu,\gamma}(\mathbf{s})+ \varepsilon(\mathbf{s})-z)}}|g(\mathbf{s})|\,d\mathbf{s}\biggl)^{2} \\ &\qquad \leqslant\frac{(6+6\gamma-z)(12+6\gamma-z)}{\mu}\int_{\mathbb{T}^{3}}|g(\mathbf{s})|^{2}\,d\mathbf{s} \int_{\mathbb{T}^{3}}\frac{d\mathbf{s}}{\varepsilon(\mathbf{s})}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.21}
$$
Так как
$$
\begin{equation*}
\frac{6+6\gamma-z}{6+3\gamma-z}\leqslant 2, \qquad \frac{12+6\gamma-z}{6+3\gamma-z} \leqslant 2, \qquad z \leqslant -\mu+3(1+\gamma),
\end{equation*}
\notag
$$
из (4.20) и (4.21) при $\mu>6(1+\gamma)$ имеем где $C_{\gamma}=8(6+3\gamma)^{2}W$. Доказательство теоремы 1, i). Пусть $\gamma\in (0,\gamma_{1})$. Из равенства (4.8) и утверждения леммы 15 следует, что существует $\mu_{\gamma}>0$ такое, что для всех $\mu>\mu_{\gamma}$ операторы $A_{\mu,\gamma}(z)$ и $A_{\mu,\gamma}^{(0)}(z)$ имеют одинаковое число собственных значений, больших 1. Из лемм 6 и 7 следуют равенства
Из утверждений лемм 11 и 12 можно заключить, что оператор $A_{\mu,\gamma}^{(0,e)}(z_{\mu,\gamma}(\mathbf{0}))$ имеет четыре собственных значения $\beta_{1}$, $\beta_{2}$, $\beta_{3,4}$. Так как $0<\gamma<\gamma_{1}$, в силу лемм 13 и 14 выполняются неравенства $\beta_{1}>1$, $\beta_{2}<1$, $\beta_{3,4}<1$ для достаточно больших $\mu>0$. По принципу Бирмана Швингера (см. лемму 5) оператор $H_{\mu,\gamma}(\mathbf{0})$ имеет единственное собственное значение $z<z_{\mu,\gamma}(\mathbf{0})$. Отсюда и из теоремы 4 вытекает доказательство утверждения i) теоремы 1. Аналогично доказываются утверждения ii) и iii). 5. ЗаключениеСледует отметить, что если $\mathbf{K} \neq \mathbf{0}$, то подпространства $L_{2}^{e}(\mathbb{T}^{3})$ и $L_{2}^{e,s}(\mathbb{T}^{3})$ не являются инвариантными относительно оператора $A_{\mu,\gamma}(\mathbf{K},z)$. Поэтому наши результаты о числе собственных значений оператора $ H_{\mu,\lambda,\gamma}(\mathbf{K})$ сохраняются только для малых по норме $\|\mathbf{K}\|<\delta$. Если $\mathbf{K} \in U_\delta(\mathbf{0})$, критические значения отношения масс $\gamma_1$ и $\gamma_2$ изменяются зависимо от параметра $\mathbf{K}$. При достаточно больших $\lambda\gg1$ и фиксированном $ \mu> 0$, т.е. в случае, когда бозон-бозонное взаимодействие сильное, можно получить другие результаты. Если предположим, что $ \mu= 0$, спектр оператора $H_{0,\lambda,\gamma}(\mathbf{K})=H_{0,\gamma}(\mathbf{K})-\lambda{V_3}$ состоит только из существенного спектра. Поэтому при малых значениях параметра $\mu\ll1$ дискретный спектр оператора $ H_{\mu,\lambda,\gamma}(\mathbf{K})$ пуст. Если отношение масс $\gamma=0$ (т.е. масса другой частицы бесконечно большая), то оператор $H_{\mu,\lambda,0}(\mathbf{K})$ теряет зависимость от полного квазиимпульса $\mathbf{K}$. Если дополнительно и $\lambda=0$, то оператор $H_{\mu,0,0}(\mathbf{0})$ можно представить в виде тензорного произведения
$$
\begin{equation*}
H_{\mu,0,0}(\mathbf{0})=h_{\mu,0}(\mathbf{0})\otimes I+I\otimes h_{\mu,0}(\mathbf{0}).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из утверждения о спектре оператора, представляемого в виде тензорного представления, следует, что имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
\sigma (H_{\mu,0,0}(\mathbf{K}))=\{2z_{\mu,0}(\mathbf{0})\} \cup \sigma_{\mathrm{ess}} (H_{\mu,0,0}(\mathbf{K})),
\end{equation*}
\notag
$$
где $z_{\mu,0}(\mathbf{0})$ – единственное собственное значение оператора $h_{\mu,0}(\mathbf{0})$. Все собственные функции, соответствующие собственным значениям оператора $ H_{\mu,\lambda,\gamma}(\mathbf{0})$, принадлежат пространству
$$
\begin{equation*}
L_{2}^{sym,e}[(\mathbb{T}^{3})^2]=\bigl\{f\in L_{2}^{\mathrm{sym}}[(\mathbb{T}^{3})^2]\colon f(\mathbf{-p,-q})=f(\mathbf{p,q})\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AbdBoyKha23} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|