| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 5 научных статьях (всего в 5 статьях) О разрушении решения одной нелинейной системы уравнений тепло-электрической модели М. О. Корпусовab, А. Ю. Перловc, А. В. Тимошенкоd, Р. С. Шафирea a Российский университет дружбы народов, г. Москва b Физический факультет, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова c Национальный исследовательский университет "МИЭТ" d Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет) e Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623110202 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеНадежность современных радиолокационных комплексов мониторинга космического пространства (РЛК МКП) в значительной степени определяется эффективностью системы охлаждения, что особенно актуально для современных комплексов высокой мощности с предельно высокой компоновкой радиоэлектронной аппаратуры (РЭА) при жесточайших требованиях к снижению массогабаритных показателей. Оценке параметров надежности посвящена, например, работа [1]. Успешное решение задачи синтеза системы управления систем охлаждения таких РЛК МКП во многом определяется корректностью математической модели, основанной на решении системы дифференциальных уравнений, описывающей тепловые процессы в полупроводниковой радиоэлектронной аппаратуре. В настоящей статье приведены результаты теоретических исследований по обоснованию разрешимости и разрушения классических решений системы дифференциальных уравнений для потенциала электрического поля и температуры. Данная работа продолжает исследования, начатые в работах [2]–[4] и посвященные исследованию начально–краевых задач для локальных и нелокальных уравнений следующего вида:
$$
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial t}(\Delta u-u)+\Delta u+\mu|\nabla u|^p=0, \qquad p>0, \quad \mu>0,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial t}(\Delta u-u)+\Delta u+\int_0^th(t-s)\Delta u(s)\,ds+\mu|\nabla u|^p=0, \qquad p>0, \quad \mu>0
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
при некоторых условиях на функцию $h(t)$,
$$
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial t}\Delta u+\sigma_1\Delta_2 u+\sigma_2 u_{x_3x_3}+ \mu|\nabla u|^p=0, \qquad p>0, \quad \mu>0.
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
В данной работе мы рассмотрим следующую систему уравнений (см. [5]–[8]):
$$
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial t}\Delta\phi+\sigma_0\Delta\phi-\gamma_0\Delta\psi=0,
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
$$
\begin{equation}
\varepsilon_0\frac{\partial\psi}{\partial t}=\Delta\psi+q_0|D_x\phi|^p,
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
где $\phi$ – потенциала электрического поля, $\psi$ – температура,
$$
\begin{equation}
\sigma_0=\frac{4\pi\sigma}{\varepsilon}, \qquad \gamma_0=\frac{4\pi\gamma}{\varepsilon},
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
причем $\varepsilon_0>0$, $\sigma_0>0$, $\gamma_0>0$, $q_0>0$ и $p>1$. При этом при исследовании вопроса о разрушении решения уравнений и систем уравнений мы будем пользоваться методами нелинейной емкости и пробных функций [9]–[12]. Отметим, что модельные уравнения (1.1)–(1.3) относятся к уравнениям соболевского типа (см. работы [13], [14]). 2. Вывод системы уравненийВывод системы уравнений имеется в работе [2]. Именно там получена вот такая система уравнений, описывающая тепловые и электрические явления в полупроводниковых приборах, из–за которых полупроводниковые элементы на платах греются и происходит тепловой “пробой”. Для полноты изложения приведем вывод рассматриваемой системы уравнений. В приближении квазистационарного электрического поля справедливы следующие уравнения (см. работу [8]):
$$
\begin{equation}
\operatorname{div}\mathbf{D}=-4\pi n, \qquad\operatorname{rot}\mathbf{E}=0, \qquad \mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E},
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где $\mathbf{D}$ – это вектор индукции электрического поля, $\mathbf{E}$ – это вектор напряженности электрического поля, $n$ – плотность свободных зарядов, причем в случае поверхностной односвязности границы $\Gamma$ определен потенциал электрического поля $\phi$: Поскольку полупроводник, очевидно, является проводящей средой, то мы должны дополнить уравнения (2.1) уравнением для тока свободных зарядов, которое имеет следующий вид [8]:
$$
\begin{equation}
\frac{\partial n}{\partial t}=\operatorname{div}\mathbf{J},
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где $\mathbf{J}$ – это вектор тока свободных зарядов. При этом учтем тепловой разогрев полупроводника [5], [6]:
$$
\begin{equation}
\mathbf{J}=\sigma\mathbf{E}-\gamma\nabla\psi, \qquad \sigma>0, \quad\gamma>0,
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
где $\psi$ – это температура в полупроводнике. Причем для температуры $\psi$ имеет место уравнение теплопроводности с тепловым нагревом за счет электрического поля $\mathbf{E}$ следующего вида [5]:
$$
\begin{equation}
\varepsilon_0\frac{\partial\psi}{\partial t}=\Delta\psi+Q(|\mathbf{E}|),
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
где параметр $\varepsilon_0>0$ имеет следующий вид: и $\varepsilon_1>0$ – это фиксированное число, а параметр $\alpha>0$ достаточно велик. Функция $Q(|\mathbf{E}|)$ описывает тепловую накачку в полупроводнике в самосогласованном электрическом поле $\mathbf{E}$ и хорошо аппроксимируется степенной функцией следующего вида [5]:
$$
\begin{equation}
Q(|\mathbf{E}|)=q_0|\mathbf{E}|^p,\qquad p>0,\qquad q_0>0.
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Из уравнений (2.1)–(2.6) вытекает такая система уравнений:
$$
\begin{equation}
\frac{\varepsilon}{4\pi}\,\frac{\partial}{\partial t}\Delta\phi+\sigma\Delta\phi+\gamma\Delta\psi=0,
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
$$
\begin{equation}
\varepsilon_0\frac{\partial\psi}{\partial t}=\Delta\psi+q_0|D_x\phi|^p,
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
которую заменой $\phi\mapsto-\phi$ можно переписать в виде (1.4)–(1.6).
3. Обозначения и вспомогательные результатыБудем предполагать, что $\Omega\subset\mathbb{R}^N$ – ограниченная выпуклая область с поверхностно односвязной границей $\Gamma\in\mathbb{C}^{2,\alpha}$ при $\alpha\in(0,1)$. Нас будет интересовать случай $N=3$. В работе мы будем пользоваться стандартными обозначениями из работы [15]. Отметим только, что символом $\mathbb{C}^{(1,0)}(\overline{D}_T)$ мы обозначили линейное пространство функций банаховое относительно нормы
$$
\begin{equation*}
|u(x,t)|_{1,0;D_T}:=|u(x,t)|_{0;D_T}+\sum_{i=1}^N|D_{x_i}u(x,t)|_{0;D_T}.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим первую краевую задачу в ограниченной области $D_T=\Omega\times(0,T)$ с границей $S_T\cup B_T\cup B$:
$$
\begin{equation}
\frac{\partial\psi(t)}{\partial t}-\Delta\psi(t)=f(x,t) \qquad\text{для}\quad (x,t)\in D_T\cup B_T,
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
$$
\begin{equation}
\psi(x,t)=\psi_0(x) \qquad\text{для}\quad (x,t)\in B.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Функция Грина $G(x,t;y,\tau)$ первой краевой задачи существует, единственна и является непрерывной (см. работу [16]) для $(x,t;\xi,\tau)\in\overline{D}_T\times(D_T\cup B)$, $t>\tau$. Кроме того,
$$
\begin{equation}
G, D_xG, D^2_xG,D_tG\in\mathbb{C}\bigl((D_T\cup B_T)\times(D_T\cup B)\bigr), \qquad t>\tau.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
И решение $\psi(x,t)\in\mathbb{C}^{(2,1)}(\overline{D}_T)$ первой краевой задачи (3.1)–(3.3) представимо в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\psi(x,t)=\chi(t)\psi_0(x)+\int_0^t\int_{\Omega}G(x,t;y,\tau) \bigl[f(y,\tau)-\chi'(\tau)\psi_0(y)+\chi(\tau)\Delta\psi_0(y)\bigr]\,dy\,d\tau,
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
если
$$
\begin{equation}
\chi(t)\in\mathbb{C}^{(1)}_b[0,+\infty), \qquad \psi_0(x)\in\mathbb{C}^{(2)}(\overline{\Omega}), \qquad\chi(0)=1, \qquad \psi_0(x)=0 \quad\text{при}\ \ x\in\Gamma.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Для доказательства представления (3.5) достаточно применить третью формулу Грина (см., например, [16]) к функции $\psi(x,t)-\chi(t)\psi_0(x)$. Заметим, что в работе [17] приведены мажоранты для производных функции Грина следующего вида:
$$
\begin{equation}
|D_t^rD_x^sG(x,t;y,\tau)|\leqslant\frac{A_1}{(t-\tau)^{(3+2r+s)/2}} \exp\biggl(-a_1\frac{|x-y|^2}{t-\tau}\biggr),
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
при $t>\tau$, $x\ne y$. Из этой оценки (см., например, [16]) элементарно получается вспомогательная оценка:
$$
\begin{equation}
|D_t^rD_x^sG(x,t;y,\tau)|\leqslant \frac{A_2}{(t-\tau)^{\mu}|x-y|^{3+2r+s-2\mu}}, \qquad t>\tau, \quad x\ne y.
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Прежде чем переходить к основной части исследования, приведем вспомогательное утверждение о свойстве объемного потенциала
$$
\begin{equation}
V(x,t):=\int_0^t\int_{\Omega}G(x,t;y,\tau)f(y,\tau)\,dy\,d\tau.
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Справедливо следующее утверждение (см., например, [16]). Лемма 1. Если функция $f(x,t)\in\mathbb{C}(\overline{D}_T)$, то объемный потенциал $V(x,t)\in\mathbb{C}^{(1,0)}(\mathbb{R}^3\times[0,T])$ и для всех $(x,t)\in D_T$ справедливо равенство: причем справедлива оценка: для любого $\theta\in(0,1)$. С учетом оценки (3.8) справедливо утверждение (см. [18; теорема 5]). Лемма 2. Если область $\Omega\subset\mathbb{R}^N$ – выпуклая и функция $f(x,t)\in\mathbb{C}(\overline{D}_T)$ (тогда $ D_{x_i}V(x,t) \in\mathbb{C}^{\alpha/2,\alpha}(\overline{D}_T)$), то справедлива оценка производных: для всех $(x'',t''), (x',t')\in\overline{D}_T$ и любого $\alpha\in(0,1)$. Наконец, справедливо следующее известное утверждение [16]. Лемма 3. Если функция $f(x,t)\in\mathbb{C}^{\alpha/2,\alpha}(\overline{D}_T)$ при $\alpha\in(0,1)$, то 4. Постановка первой краевой задачиРассмотрим следующую первую краевую задачу в ограниченной цилиндрической области $D_T=\Omega\times(0,T)$:
$$
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial t}\Delta\phi+\sigma_0\Delta\phi-\gamma_0\Delta\psi=0,\qquad (x,t)\in D_T\cup B_T,
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
$$
\begin{equation}
\varepsilon_0\frac{\partial\psi}{\partial t}=\Delta\psi+q_0|D_x\phi|^p,\qquad (x,t)\in D_T\cup B_T,
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
$$
\begin{equation}
\psi(x,t)=\phi(x,t)=0\qquad\text{при}\quad (x,t)\in S_T,
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
$$
\begin{equation}
\phi(x,0)=\phi_0(x),\quad\psi(x,0)=\psi_0(x)\qquad\text{при}\quad x\in\overline{\Omega}.
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Дадим определение классического решения первой краевой задачи (4.1)–(4.4). Определение 1. Пара функций $\{\phi(x,t),\psi(x,t)\}$ называется классическим решением задачи (4.1)–(4.4), если Справедливо следующее утверждение. Лемма 4. В классе классических решений $\{\phi(x,t),\psi(x,t)\}$ при условии согласования $\phi_0(x)=0=\psi_0(x)$ для всех $x\in\Gamma$ и $\phi_0(x)\in\mathbb{C}^{2+\alpha}(\overline{\Omega})$ задача (4.1)–(4.4) эквивалентна следующей: Доказательство. Заметим только, что если $\psi(x,t)\in\mathbb{C}^{1+\alpha/2,2+\alpha}(\overline{D}_T)$ и $u_0(x)\in\mathbb{C}^{2+\alpha}(\overline{\Omega})$, то функция $\phi(x,t)$, определенная равенством (4.6), принадлежит классу
$$
\begin{equation*}
\phi(x,t),\frac{\partial\phi(x,t)}{\partial t}\in\mathbb{C}^{1+\alpha/2,2+\alpha}(\overline{D}_T), \qquad\alpha\in(0,1),
\end{equation*}
\notag
$$
и для нее справедливы поточечные равенства (4.1), (4.3) и (4.4). Справедлива следующая Лемма 5. Если $\psi_0(x)\geqslant 0$, то в классе $\psi(x,t)\in\mathbb{C}^{(2,1)}({D}_T\cup B_T)\cap\mathbb{C}(\overline{D}_T)$ имеем $\psi(x,t)\geqslant 0$ для всех $(x,t)\in\overline{D}_T$. 5. Существование непродолжаемого во времени решения интегрального уравненияРассмотрим вспомогательное интегральное уравнение вида (3.5):
$$
\begin{equation}
\begin{split} \psi(t) &=\chi(t)\psi_0(x)+\int_0^t\int_{\Omega}G(x,t;y,\tau) \bigl[q_0|D_yA(\psi)(y,\tau)|^p \\ &\qquad\qquad -\chi'(\tau)\psi_0(y)+\chi(\tau)\Delta\psi_0(y)\bigr]\,dy\,d\tau, \end{split}
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
$$
\begin{equation}
\phi(x,t)=A(\psi)(x,t):=\phi_0(x)\exp(-\sigma_0t)+\gamma_0\int_0^t\exp (-\sigma_0(t-\tau))\psi(x,\tau)\,d\tau,
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
где $G(x,t;\xi,\tau)$ – функция Грина первой краевой задачи для оператора теплопроводности
$$
\begin{equation*}
L_{\varepsilon_0}:=\varepsilon_0\frac{\partial}{\partial t}-\Delta_x, \qquad\varepsilon_0>0,
\end{equation*}
\notag
$$
в ограниченной цилиндрической области $D_T=\Omega\times(0,T)$. Справедлива следующая Доказательство. Справедлива цепочка равенств:
$$
\begin{equation}
|D_xu_1|^p-|D_xu_2|^p= \int_0^1\frac{d}{d s}|D_xu_s|^p\,ds= p\int_0^1|D_xu_s|^{p-2}(D_xu_s,D_xu_1-D_xu_2)\,ds,
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
из которого получается оценка где мы воспользовались неравенством Имеет место следующее утверждение. Лемма 7. Линейный оператор (5.2) действует и в классе функций $\psi(x,t)\in\mathbb{C}^{(1,0)}(\overline{D}_T)$ справедлива оценка: Рассмотрим отображение Справедливо следующее утверждение. Лемма 8. Отображение $F(\psi)$ при $p>1$ действует Введем отображение
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\widehat{G}(\psi)(x,t) :=\chi(t)\psi_0(x) \\ &\qquad\qquad+ \int_0^t\int_{\Omega}G(x,t;y,\tau) \bigl[q_0F(\psi)(y,\tau)- \chi'(\tau)\psi_0(y)+\chi(\tau)\Delta\psi_0(y)\bigr]\,dy\,d\tau. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.12}
$$
Справедлива следующая Теорема 1. Если $\psi_0(x)\in\mathbb{C}^{(2)}(\overline{\Omega})$ и $\chi(t)\in\mathbb{C}^{(1)}_b[0,+\infty)$, то при $p>1$ отображение $\widehat{G}$ действует Доказательство. Первое утверждение теоремы вытекает из лемм 1 и 8. Кроме того, в силу (3.11) и (5.11) справедлива следующая цепочка неравенств:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &|\widehat{G}(\psi_1)-\widehat{G}(\psi_2)|_{1,0;D_T} \\ \notag &\qquad\leqslant M(N,\theta)q_0p\gamma_0^pT^{p+\theta-1} \max\bigl\{|D_xA(\psi_1)|_{0;D_T}^{p-1},|D_xA(\psi_2)|_{0;D_T}^{p-1}\bigr\} |D_x\psi_1-D_x\psi_2|_{0;D_T} \\ &\qquad\leqslant M_1(N,\theta,q_0,p,\gamma_0)T^{p+\theta-1} \max\bigl\{|D_xA(\psi_1)|_{0;D_T}^{p-1},|D_xA(\psi_2)|_{0;D_T}^{p-1}\bigr\} |\psi_1-\psi_2|_{1,0;D_T}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.15}
$$
Из этой теоремы вытекает следующая Теорема 2. Для любых функций $\psi_0(x)\in\mathbb{C}^{(2)}(\overline{\Omega})$, $\phi_0(x)\in\mathbb{C}^{(1)}(\overline{\Omega})$ и $\chi(t)\in\mathbb{C}^{(1)}_b[0,+\infty)$ при $p>1$ найдется такое малое $T>0$, что существует единственное решение интегрального уравнения (5.1) в классе $\mathbb{C}^{(1,0)}(\overline{D}_T)$. Используя стандартный алгоритм продолжения решений интегральных уравнений типа Вольтерра во времени (см., например, [19]), получим такой результат: Теорема 3. Для любых функций $\psi_0(x)\in\mathbb{C}^{(2)}(\overline{\Omega})$, $\phi_0(x)\in\mathbb{C}^{(1)}(\overline{\Omega})$ и $\chi(t)\in\mathbb{C}^{(1)}_b[0,+\infty)$ при $p>1$ найдется такое максимальное $T_0=T_0(\phi_0,\psi_0,\chi)>0$, что для любого $T\in(0,T_0)$ существует единственное решение интегрального уравнения (5.1) в классе $\mathbb{C}^{(1,0)}(\overline{D}_T)$, причем либо $T_0=+\infty$ либо $T_0<+\infty$ и в последнем случае справедливо предельное свойство: 6. Существование классического решения задачи (4.1)–(4.4)Прежде всего справедлива следующая Лемма 9. Если $D_{x_i}\phi_0(x)\in\mathbb{C}^{\alpha}(\overline{\Omega})$, $D_{x_i}\psi(x,t)\in\mathbb{C}^{\alpha/2,\alpha}(\overline{D}_T)$ при $\alpha\in(0,1)$, то Справедлива следующая Лемма 10. Если $D_{x_i}A(\psi)(x,t)\in\mathbb{C}^{\alpha/2,\alpha}(\overline{D}_T)$ для всех $i=1,\dots,N$ и функция то Имеет место утверждение. Лемма 11. Если $F(\psi)(x,t)\in\mathbb{C}^{\alpha/2,\alpha}(\overline{D}_T)$, $\psi_0(x)\in\mathbb{C}^{2+\alpha}(\overline{\Omega})$ и $\chi(t)\in\mathbb{C}^{(2)}_b[0,+\infty)$, то Справедлива следующая Теорема 4. Для любых $\psi_0(x)\in\mathbb{C}^{2+\alpha}(\overline{\Omega})$, $\phi_0(x)\in\mathbb{C}^{1+\alpha}(\overline{\Omega})$ при $\alpha\in(0,1)$, $p>1$ и $\chi(t)\in\mathbb{C}^{(2)}_b[0,+\infty)$ оператор $\widehat{G}$ на решениях интегрального уравнения (5.1) действует Доказательство. Прежде всего заметим, что, с одной стороны, в силу результата леммы 2 имеем
$$
\begin{equation}
D_{x_i}\widehat{G}(\psi)(x,t)\in\mathbb{C}^{\alpha/2,\alpha}(\overline{D}_T)
\end{equation}
\tag{6.6}
$$
для любой функции $\psi(x,t)\in\mathbb{C}^{(1,0)}(\overline{D}_T)$. С другой стороны, из интегрального уравнения (5.1) получим $D_{x_i}\psi(x,t)\in\mathbb{C}^{\alpha/2,\alpha}(\overline{D}_T)$. Осталось последовательно воспользоваться леммами 9–11. Таким образом, из теоремы 4 с учетом теоремы 3 вытекает следующее утверждение: Теорема 5. Для любых $\psi_0(x),\phi_0(x)\in\mathbb{C}^{2+\alpha}(\overline{\Omega})$ при $\alpha\in(0,1)$, $p>1$, $\chi(t)\in\mathbb{C}^{(2)}_b[0,+\infty)$ при выполнении условий согласования $\phi_0(x)=0=\psi_0(x)$ для всех $x\in\Gamma$, найдется такое максимальное $T_0=T_0(\phi_0,\psi_0,\chi(t))>0$, что существует единственное классическое решение задачи (4.1)–(4.4) для любого $T\in(0,T_0)$, причем либо $T_0=+\infty$ либо $T_0<+\infty$, и в этом последнем случае выполнено предельное свойство (5.16). Доказательство. Для доказательства теоремы нужно воспользоваться леммами 3 и 4, явным видом интегрального уравнения (5.1), а также третьей формулой Грина, из которой вытекает, что всякое классическое решение задачи (4.1)–(4.4) представимо в виде (5.1), (5.2).
7. Разрушение классического решения первой краевой задачи (4.1)–(4.4)В этом параграфе мы получим достаточные условия того, что для времени $T_0>0$ из теоремы 5 выполнено неравенство $T_0<+\infty$. Пусть $\{\phi(x,t),\psi(x,t)\}$ классическое решение первой краевой задачи (4.1)–(4.4) для произвольного $T\in(0,T_0)$. Введем обозначения:
$$
\begin{equation}
J_1:=\int_{\Omega}\phi(x,t)\psi_1(x)\,dx, \qquad J_2:=\int_{\Omega}\psi(x,t)\psi_1(x)\,dx, \qquad J_3:=\int_{\Omega}|D_x\phi|^p\psi_1(x)\,dx.
\end{equation}
\tag{7.1}
$$
Тогда умножим уравнения (4.1) и (4.2) на первую собственную функцию $\psi_1(x)$ оператора Лапласа в области $\Omega$ и проинтегрируем по частям с учетом граничных условий (4.3) на боковой поверхности $S_T$ цилиндрической области $D_T$. Тогда получим равенства:
$$
\begin{equation}
J_1(t)\in\mathbb{C}^{(2)}[0,T_0),\qquad J_2(t)\in\mathbb{C}^{(1)}[0,T_0),\qquad J_3(t)\in\mathbb{C}[0,T_0),
\end{equation}
\tag{7.4}
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber \gamma_1:=\frac{\lambda_1}{\varepsilon_0},\qquad\gamma_2:=\frac{q_0}{\varepsilon_0}.
\end{equation}
\notag
$$
Сделаем замену функции: Тогда из (7.1)–(7.5) получим
$$
\begin{equation}
I_1:=\int_{\Omega}\phi_1(x,t)\psi_1(x)\,dx,\qquad I_3:=\int_{\Omega}|D_x\phi_1(x,t)|^p\psi_1(x)\,dx,
\end{equation}
\tag{7.6}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{d}{d t}(\exp(\gamma_1 t)J_2)=\gamma_2\exp((\gamma_1-p\sigma_0) t)I_3.
\end{equation}
\tag{7.8}
$$
В свою очередь из (7.7) и (7.8) получим одно уравнение:
$$
\begin{equation}
\frac{d}{d t}\biggl(\exp((\gamma_1-\sigma_0)t)\frac{ d I_1}{d t}\biggr)=\gamma_0\gamma_2\exp((\gamma_1-p\sigma_0)t)I_3,
\end{equation}
\tag{7.9}
$$
из которого получаем равенство:
$$
\begin{equation}
\frac{d^2 I_1}{d t^2}+(\gamma_1-\sigma_0)\frac{d I_1}{d t}=\gamma_0\gamma_2\exp(-(p-1)\sigma_0t)I_3.
\end{equation}
\tag{7.10}
$$
Кроме того, справедлива следующая цепочка выражений:
$$
\begin{equation}
\nonumber |I_1| =\biggl|\int_{\Omega}\phi_1(x,t)\psi_1(x)\,dx\biggr|= \frac{1}{\lambda_1}\biggl|\int_{\Omega}\phi_1(x,t)\Delta\psi_1\,dx\biggr|
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber =\frac{1}{\lambda_1}\biggl|\int_{\Omega}(D_x\phi_1(x,t),D_x\psi_1)\,dx\biggr|\leqslant \frac{1}{\lambda_1}\int_{\Omega}|D_x\phi_1|\,|D_x\psi_1|\,dx
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber =\frac{1}{\lambda_1}\int_{\Omega}\psi_1^{1/p}|D_x\phi_1| \frac{|D_x\psi_1|}{\psi_1^{1/p}}\,dx
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber \leqslant \frac{1}{\lambda_1}\biggl(\int_{\Omega} \frac{|D_x\psi_1|^{p/(p-1)}}{\psi_1^{1/(p-1)}(x)}\,dx\biggr)^{(p-1)/p} \biggl(\int_{\Omega}|D_x\phi_1|^p\psi_1\,dx\biggr)^{1/p}
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
=a\biggl(\int_{\Omega}|D_x \phi_1|^p\psi_1\,dx\biggr)^{1/p}=aI^{1/p}_3,
\end{equation}
\tag{7.11}
$$
$$
\begin{equation}
a =a(p;\Omega;N)\equiv\frac{1}{\lambda_1} \biggl(\int_{\Omega}\frac{|\nabla\psi_1|^{p/(p-1)}}{\psi_1^{1/(p-1)}(x)}\,dx\biggr)^{(p-1)/p}.
\end{equation}
\tag{7.12}
$$
Прежде, чем переходить к детальному рассмотрению этого случая нам нужно изучить сходимость следующего интеграла – нелинейную “емкость”:
$$
\begin{equation}
a=a(p;\Omega;N)\equiv\frac{1}{\lambda_1} \biggl(\int_{\Omega}\frac{|\nabla\psi_1|^{p/(p-1)}}{\psi_1^{1/(p-1)}(x)}\,dx\biggr)^{(p-1)/p},
\end{equation}
\tag{7.13}
$$
где функция $\psi_1(x)$ – есть первая собственная функция, соответствующая первому собственному значению $\lambda_1>0$ оператора Лапласа в ограниченной области $\Omega\subset\mathbb{R}^3$ с гладкой границей $\Gamma\in\mathbb{C}^{2,\alpha}$ при $\alpha\in(0,1)$:
$$
\begin{equation}
\Delta\psi_1(x)+\lambda_1\psi_1(x)=0, \qquad\psi_1(x)\big|_{\partial\Omega}=0.
\end{equation}
\tag{7.14}
$$
Обозначим через $p_0=p_0(\Omega;N)>1$ такое число, что при $p>p_0$ интеграл в правой части равенства (7.12) сходится. Докажем, что существуют области $\Omega\subset\mathbb{R}^3$, для которых такое $p_0$ существует. Действительно, пусть $\Omega=B_R=\{x\in\mathbb{R}^3\colon |x|<R\}$ – шар радиуса $R>0$. Тогда можно вычислить первую собственную функцию и первое собственное значение задачи (7.14) (см., например, [20]). Действительно,
$$
\begin{equation*}
\psi_1(x)=\psi_1(|x|)=c_0r^{-1/2}J_{1/2}(\lambda_1^{1/2}r), \qquad \lambda_1=\frac{(z_{31})^2}{R^2}, \qquad r=|x|,
\end{equation*}
\notag
$$
где $z_{31}$ – первый корень функции Бесселя $J_{1/2}(x)$. Заметим теперь, что для функции Бесселя $J_{\nu}(z)$ справедлива следующая формула Эйлера [20]:
$$
\begin{equation}
J_{\nu}(z)=\frac{(\frac{1}{2}z)^{\nu}}{\Gamma(\nu+1)} \prod_{n=1}^{+\infty}\biggl\{1-\frac{z^2}{z^2_{\nu,n}}\biggr\},
\end{equation}
\tag{7.15}
$$
где $z_{\nu,1}<z_{\nu,2}<\cdot\cdot\cdot<z_{\nu,n}<\cdot\cdot\cdot$ – это корни функции Бесселя $J_{\nu}(z)$. Из явного вида (7.15) следует, что подынтегральная функция в (7.12) имеет интегрируемую особенность при $p>2$, т.е. число $p_0=2$ в случае шара. Сделаем важные предположения:
$$
\begin{equation}
I_1(0)=\int_{\Omega}\phi_0(x)\psi_1(x)\,dx>0, \qquad \frac{d I_1}{dt}(0)=\gamma_0J_2(0)=\gamma_0\int_{\Omega}\psi_0(x)\psi_1(x)\,dx>0.
\end{equation}
\tag{7.17}
$$
Поэтому в классе $I_1(t)\in\mathbb{C}^{(2)}[0,T_0)$ найдется такое $T_1\in(0,T_0)$, что
$$
\begin{equation}
I_1(t)>0, \quad \frac{d I_1(t)}{d t}>0 \qquad\text{для}\quad t\in[0,T_1].
\end{equation}
\tag{7.18}
$$
С учетом неравенств (7.11), (7.16) при $t\in[0,T_1]$ получим неравенство
$$
\begin{equation}
\frac{d^2 I_1}{d t^2}+(\gamma_1-\sigma_0)\frac{d I_1}{d t}\geqslant\gamma_3\exp(-(p-1)\sigma_0t)I_1^p, \qquad \gamma_3:=\frac{\gamma_0\gamma_2}{a^p},
\end{equation}
\tag{7.19}
$$
которое умножим на $I_1'(t)$ при $t\in[0,T_1]$ и проинтегрируем на этом сегменте по времени и получим неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \frac{1}{2}\,\frac{d}{d t} \biggl(\frac{d I_1}{d t}\biggr)^2 &\geqslant (\sigma_0-\gamma_1)\biggl(\frac{d I_1}{d t}\biggr)^2+\exp(-(p-1)\sigma_0t)\frac{\gamma_3}{p+1}\,\frac{d}{d t}I_1^{p+1} \\ &\geqslant \exp(-(p-1)\sigma_0t)\frac{\gamma_3}{p+1}\,\frac{d}{d t}I_1^{p+1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.20}
$$
Проинтегрируем теперь неравенство (7.20) по времени и получим
$$
\begin{equation}
\frac{1}{2}\biggl(\frac{d I_1}{d t}\biggr)^2\geqslant\frac{1}{2}\biggl(\frac{d I_1}{d t}(0)\biggr)^2+\frac{\gamma_3}{p+1}\int_0^t\exp(-(p-1)\sigma_0\tau) \frac{d}{d\tau}I_1^{p+1}(\tau)\,d\tau.
\end{equation}
\tag{7.21}
$$
Заметим, что справедлива формула интегрирования по частям
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\int_0^t\exp(-(p-1)\sigma_0\tau) \frac{d}{d\tau}I_1^{p+1}(\tau)\,d\tau= I_1^{p+1}(t)\exp(-(p-1)\sigma_0t)-I^{p+1}_1(0) \\ \notag &\qquad\qquad+ (p-1)\sigma_0\int_0^t\exp(-(p-1)\sigma_0\tau)I_1^{p+1}(\tau)\,d\tau \\ &\qquad\geqslant I_1^{p+1}(t)\exp(-(p-1)\sigma_0t)-I^{p+1}_1(0). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.22}
$$
Теперь потребуем выполнения неравенства
$$
\begin{equation}
b:=\frac{1}{2}\biggl(\frac{d I_1}{d t}(0)\biggr)^2-\frac{\gamma_3}{p+1}I_1^{p+1}(0)>0.
\end{equation}
\tag{7.23}
$$
Тогда, с одной стороны, из (7.21) получим неравенство
$$
\begin{equation}
\frac{d I_1(t)}{d t}\geqslant (2b)^{1/2}>0 \qquad\text{при}\quad t\in[0,T_1],
\end{equation}
\tag{7.24}
$$
причем постоянная $b>0$ определяется только начальными условиями. Поэтому неравенства (7.18) выполняются на всем полуинтервале $[0,T_0)$, на котором существует функция $I_1(t)\in\mathbb{C}^{(2)}[0,T_0)$. С другой стороны, в силу (7.23) из (7.20)–(7.22) получаем неравенство:
$$
\begin{equation}
\frac{d I_1(t)}{d t}\geqslant\gamma_4\exp(-\gamma_5t)I_1^{\alpha}(t),
\end{equation}
\tag{7.25}
$$
$$
\begin{equation}
\gamma_4:=\biggl(\frac{2\gamma_3}{p+1}\biggr)^{1/2},\qquad \gamma_5:=\frac{p-1}{2}\sigma_0,\qquad \alpha:=\frac{p+1}{2}>1.
\end{equation}
\tag{7.26}
$$
Из неравенства (7.25) получаем такие неравенства
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\frac{1}{I_1^{\alpha}}\,\frac{dI_1(t)}{d t}\geqslant\gamma_4\exp(-\gamma_5t) \\ \notag &\quad\Longrightarrow\quad \int_0^t\frac{1}{I_1^{\alpha}(\tau)}\,\frac{dI_1(\tau)}{d \tau} \geqslant \gamma_4\int_0^t\exp(-\gamma_5\tau)\,d\tau= \frac{\gamma_4}{\gamma_5}[1-\exp(-\gamma_5t)] \\ \notag &\quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{\alpha-1}[I_1^{1-\alpha}(0)-I^{1-\alpha}_1(t)]\geqslant \frac{\gamma_4}{\gamma_5}[1-\exp(-\gamma_5t)] \\ &\quad\Longrightarrow\quad I_1(t)\geqslant\frac{I_1(0)}{[1-(\alpha-1)\gamma_4\gamma_5^{-1}I_1^{\alpha-1}(0) (1-\exp(-\gamma_5 t))]^{1/(\alpha-1)}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.27}
$$
Потребуем теперь выполнения еще одного неравенства:
$$
\begin{equation}
I_1(0)>\biggl(\frac{1}{\alpha-1}\,\frac{\gamma_5}{\gamma_4}\biggr)^{1/(\alpha-1)}.
\end{equation}
\tag{7.28}
$$
Тогда миноранта в последнем неравенстве из (7.27) за время
$$
\begin{equation}
T_{\mathrm{blowup}}:=-\frac{1}{\gamma_5}\ln\biggl(1-\frac{1}{\alpha-1}\, \frac{\gamma_5}{\gamma_4}I_1^{1-\alpha}(0)\biggr)
\end{equation}
\tag{7.29}
$$
обращается в $+\infty$. Таким образом, справедлива следующая основная Теорема 6. Если выполнены все условия из теоремы 5 и условия: 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KorPerTym23} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|