| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Модулярное обобщение теоремы Бургейна–Конторовича И. Д. Кан Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623110147 
Реферативные базы данных:
  1. Введение1.1. История вопросаПусть фиксирован некоторый конечный числовой алфавит $\mathbf{A} \subseteq \mathbb{N}$ (множество чисел). Тогда числа $d_1,d_2,\dots,d_{l}\in\mathbf{A}$, где $l\in \mathbb{N}$, рассмотрим как неполные частные цепной дроби и через $[d_1,d_2,\dots,d_{l}]$ обозначим конечную цепную дробь (слово в алфавите $\mathbf{A}$):
$$
\begin{equation}
[d_1,d_2,\dots,d_l]=\cfrac{1}{d_1+\cfrac{1} {d_2+{\atop\ddots\,\displaystyle{+\cfrac{1}{d_l}}}}},
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
а через $\mathfrak{R}_{\mathbf{A}}$ – множество пар натуральных чисел $(a,b)$, образующих несократимые рациональные дроби $a/b$, представимые цепными дробями вида (1.1):
$$
\begin{equation}
\mathfrak{R}_{\mathbf{A}}=\biggl\{(a,b)\in \mathbb{N}^2\biggm| \begin{matrix} \exists\,l\in \mathbb{N}\colon{a}/{b}=[d_1,d_2,\dots,d_{l}], \,\operatorname{gcd}(a,b)=1, \\ a\leqslant b,\, d_j\in\mathbf{A}\text{ для } j=1,2,\dots,l \end{matrix} \biggr\}.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Через $\mathfrak{D}_{\mathbf{A}}$ и $\mathfrak{D}^N_{\mathbf{A}}$ для $N\in \mathbb{N}$ обозначим, соответственно, множество всевозможных знаменателей $b$ из (1.2) и тех из них, которые не превосходят числа $N$:
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{D}_{\mathbf{A}}=\bigl\{b \in \mathbb{N}{} \mid \exists\,b\in \mathbb{N}\colon (a,b)\in \mathfrak{R}_{\mathbf{A}}\bigr\}, \qquad \mathfrak{D}^N_\mathbf{A}=\mathfrak{D}_{\mathbf{A}}\cap [1,N].
\end{equation*}
\notag
$$
Гипотеза 1 (Заремба, 1971; [1]). Существует константа $A\in \mathbb{N}$ такая, что для каждого $N\in \mathbb{N}$ для алфавита $\mathbf{A}=\{1,2,\dots,A\}$ выполнено равенство $|\mathfrak{D}^N_\mathbf{A}|={N}$. Обзор результатов, связанных с гипотезой 1, можно найти в работах [2], [3]. Отметим лишь, что, по-видимому, история возникновения гипотезы 1 связана с работами Коробова [4] и [5]: это обсуждалось в [6] и [7]. Всюду далее натуральный параметр $N$ считается растущим неограниченно. Бургейн и Конторович в 2011 г. [8] доказали следующую теорему. Теорема 1.1 [2; теорема 1.2, замечание 1.20]. Для каждого алфавита $\mathbf{A}$, удовлетворяющего условию справедлива оценка (здесь и всюду далее все константы в знаках $\ll$, $\gg$ и $\asymp$, если иное не сказано, зависят только от алфавита $\mathbf{A}$). В работе [2] Бургейн и Конторович доказали также, что при выполнении условия (1.3) справедлива формула $|\mathfrak{D}^N_{\mathbf{A}}|= N(1-o(1))$ и оценили остаточное слагаемое в этом равенстве. Для формулировки здесь необходимы следующие определения и обозначения. Для алфавита $\mathbf{A}$ и для натурального $Q>1$ число $d\in\mathbb{N}$ называется представимым по модулю $Q$, если во множестве $\mathfrak{D}_{\mathbf{A}}$ существует хотя бы одно число, сравнимое с $d$ по модулю $Q$. Число $d$ называется допустимым [2], если оно представимо по любому модулю. Через $\mathfrak{A}_{\mathbf{A}}$ обозначим множество допустимых чисел. Для каждого элемента $b\in {\mathfrak{D}}_{\mathbf{A}}$ его кратностью $K_{b}$ называется количество целых чисел $a$ таких, что $(a,b)\in\mathfrak{R}_{\mathbf{A}}$. Теорема 1.2 [2; теорема 1.8, замечание 1.20]. Для каждого алфавита $\mathbf{A}$, удовлетворяющего условию (1.3), множество $\mathfrak{D}_{\mathbf{A}}$ содержит почти все допустимые числа. Точнее, найдется константа $c=c({\mathbf{A}})>0$, такая что во множестве $\mathfrak{D}_{\mathbf{A}}\cap[0.5N,N]$ содержится по крайней мере элементов $b$, для каждого из которых кратность $K_{b}$ удовлетворяет неравенству Теоремы 1.1 и 1.2 применимы к алфавиту $\mathbf{A}=\{1,2,\dots,A\}$ при любом $A\geqslant 50$: как показано в [2], это следует из результата Хенсли [9]. Улучшению теорем 1.1 и 1.2 было посвящено несколько работ [6], [7], [10]–[19]. Так, в работе [13] автор настоящей статьи и Фроленков доказали теорему, аналогичную теореме 1.1, для алфавита $\mathbf{A}=\{1,2,3,4,5\}$ (а также для любого конечного алфавита с $\Delta_{\mathbf{A}}> {5}/{6}=0.8333\dots$). В статье [7] была доказана следующая теорема, аналогичная теореме 1.2. Теорема 1.3 [7; теорема 1.4]. Если для алфавита $\mathbf{A}$ величина $\Delta_{\mathbf{A}}$ удовлетворяет условию 1.2. Модулярные постановки задачиПусть теперь вместо неравенства (1.7) выполнена некоторая более слабая оценка. Что тогда можно утверждать о множестве $\mathfrak{D}^N_{\mathbf{A}}$? Рассмотрим натуральное число $Q$, несколько меньшее, чем $N$. Пусть, скажем, для фиксированного числа $\kappa$ из интервала $0<\kappa <1$ выполнено равенство $Q=[N^{\kappa}]$ (где квадратные скобки обозначают целую часть числа). Рассмотрим множество остатков (наименьших неотрицательных вычетов) чисел из $\mathfrak{D}^N_{\mathbf{A}}$ от деления на $Q$. Для этого положим
$$
\begin{equation}
\mathfrak{D}^{N,Q}_{\mathbf{A}}=\bigl\{r \in \mathbb{N}\cup \{0\} \mid r < Q \text{ и } \exists\, b\in \mathfrak{D}^N_{\mathbf{A}}\colon b\equiv r \ (\operatorname{mod} Q)\bigr\}.
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
Конечно, выполнена верхняя оценка $|\mathfrak{D}^{N,Q}_{\mathbf{A}}|\leqslant Q$. Формулировка результатов по поводу нижних оценок мощности множества (1.8) содержится в следующем пункте. Другая серия вопросов связана с понятиями представимых и допустимых чисел. Из сравнения формулировок аналогичных теорем в [2] и [8] следует, что природа этих видов чисел является важной проблемой для рассматриваемого круга исследований. Здесь возможны по крайней мере два направления научного поиска. Во-первых, можно стремиться к тому, чтобы дать минимальное ограничение на величину $\Delta_{\mathbf{A}}$ снизу, при котором по крайней мере почти каждое число из множества $\{0,1,2,\dots,Q-1\}$ является представимым по простым модулям (результат об этом также содержится в следующем пункте). Но при этом континуанты из классов вычетов заданных остатков по модулю $Q$ могут отличаться от этих остатков в неограниченное количество раз. Во-вторых, можно, напротив, разрешить величине $\Delta_{\mathbf{A}}$ принимать близкие к единице значения, но интересоваться минимальным числом раз, в которое континуант, представляющий заданный классов вычетов, превосходит исходный остаток по модулю $Q$. С последним направлением связана, например, недавняя работа Лямкина [20], в которой доказано, что для любого $\varepsilon > 0$ и любого простого $Q$ для каждого натуральнго $d$ найдутся натуральные $q=O(Q^{2+\varepsilon})$, $q\equiv d \ (\operatorname{mod} Q)$ и $a \leqslant q,(a,q)=1$, такие, что неполные частные цепной дроби $a/q$ ограничены сверху абсолютной константой. Модулярные результаты содержатся также в статьях [21]–[24]. 1.3. Основной результат статьиНастоящая статья является продолжением цикла работ автора, основанных на методе Бургейна–Конторовича. Однако для понимания настоящего исследования достаточно, в основном, ознакомления со статьей [17]. Для $Q = [N^\kappa ]$ положим
$$
\begin{equation}
\mathcal{M}=\min\biggl\{3\Delta_{\mathbf{A}}-2, \frac{2\Delta_{\mathbf{A}}}{\kappa}-2\biggr\}.
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
Главная цель работы состоит в доказательстве следующей теоремы. Теорема 1.4. Пусть $Q$ – простое, а число $\mathcal{M}$ удовлетворяет условию $\mathcal{M}> 0$. Тогда по крайней мере почти каждое число из множества $\{0,1,2,\dots,Q-1\}$ является представимым по модулю $Q$, т.е. и для любого достаточно малого $\varepsilon>0$ выполнена оценка остаточного слагаемого в равенстве (1.10) со степенным понижением: Если же $Q\in \mathbb{N}$ – составное или $\mathcal{M}\leqslant 0$, то для любого $\varepsilon>0$ справедливо неравенство Замечание 1.1. Согласно формулам из работ [25] и [26] оценка $\Delta_{\mathbf{A}}>2/3$ выполнена, например, для алфавита $\{1,2,4\}$. Для этого алфавита при $\kappa\leqslant2/3<\Delta_{\mathbf{A}}$ число $\mathcal{M}$ из (1.9) положительно, так что неравенство (1.11) при $\mathbf{A}=\{1,2,4\}$ и $Q\leqslant N^{2/3}$ дает степенное понижение остаточного слагаемого. 2. Стартовые приемы метода Бургейна–КонторовичаЧерез $G_{\mathbf{A}}$ обозначим множество тех матриц $g=\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}$, для которых
$$
\begin{equation*}
\alpha,\beta,\gamma,\delta\in \mathbb{Z},\qquad 0\leqslant \alpha\leqslant \gamma\leqslant \delta,\qquad \alpha\leqslant \beta\leqslant \delta,\qquad \alpha \delta-\beta \gamma=1,\qquad (\beta,\delta)\in \mathfrak{R}_{\mathbf{A}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для каждой такой матрицы $g$ из $G_{\mathbf{A}}$ ее нормой $(g)_{\max}$ будем считать величину $(g)_{\max}=\max\{|\alpha|,|\beta|,|\gamma|,|\delta|\}=\delta$. Следующая лемма дает структуру элементов множества $G_{\mathbf{A}}$ и превращает $G_{\mathbf{A}}$ в мультипликативную полугруппу. Лемма 2.1 [27]. Каждый элемент полугруппы $G_{\mathbf{A}}$ имеет, причем единственное, представление в виде Через $G^{N}_{\mathbf{A}}$ обозначим подмножество матриц $g$ из $G_{\mathbf{A}}$, для которых $(g)_{\max}\leqslant N$. Тогда, согласно результатам Хенсли [28], [29], $|G^{N}_{\mathbf{A}}|\asymp N^{2\Delta_{\mathbf{A}}}$. Ключевым понятием метода, разработанного в [2], является “ансамбль” $\Omega^{N}$ – специальным образом построенное подмножество в $G^{N}_{\mathbf{A}}$, для которого, в частности, при каждом $\varepsilon>0$ выполнена оценка $|\Omega^{N}|\gg_{\varepsilon}N^{2\Delta_{\mathbf{A}}-\varepsilon}$. Ансамбль из [2] был несколько изменен в [12]: теперь это множество матриц $\Omega^{N}=\Omega^{N}_{\varepsilon_0}$ зависит не только от достаточно большого $N$, но и от произвольно малого $\varepsilon_0\in (0,0.0004)$. Всюду далее будем для краткости считать числа $\varepsilon_0$ и $\varepsilon$ совпадающими. Для каждого $\theta\in \mathbb{R}$ тригонометрическую сумму по ансамблю определим равенством
$$
\begin{equation}
S^{ {N}}_{\varepsilon}(\theta)=\sum_{g\in\Omega^{N}_{\varepsilon}} e^{2\pi i\theta(g)_{\max}}=\sum_{\binom{\beta}{\delta}\in \Omega^{N}_{\varepsilon}\binom{0}{1}}e^{2\pi i\theta\delta}.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Хотя доказательство теоремы из настоящей работы существенно отличается от аргументов Бургейна и Конторовича [2], все же автор остается в рамках предложенного ими подхода – в частности, все вычисления производятся в ансамбле и связаны с верхней оценкой суммы, составленной из модулей значений тригонометрической суммы (2.1) при различных $\theta$.
3. Основа вывода формул (1.11) и (1.12)Пусть для каждого целого ${m}$
$$
\begin{equation}
\delta_Q({m})=Q^{-1}\sum^{Q-1}_{k=0}e^{2\pi i Q^{-1}k{m}}= \begin{cases} 1, & \text{если} \ m \ \text{делится на} \ Q, \\ 0 & \text{в противном случае}, \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
– $\delta$-символ Коробова (в честь профессора Коробова, пропагандировавшего идею использования формулы (3.1), см. [30; формула (12)]). Пусть, кроме того, $N_{\max}$ – максимальное значение нормы для матриц из ансамбля $\Omega^{N}_{\varepsilon}$. Возьмем тот вариант ансамбля, при котором $N_{\max}\leqslant N$. Пусть для каждого натурального $d \leqslant Q$ через $P^{N,Q}_{\varepsilon}(d)$ обозначено количество пар натуральных чисел $n$ и $r$ таких, что $r\equiv d\ (\operatorname{mod}Q)$ и $\binom{n}{r} \in\Omega^{N}_{\varepsilon}\binom{0}{1}$. Другими словами,
$$
\begin{equation}
P^{N,Q}_{\varepsilon }(d)= \sum_{\binom{n}{r}\in \Omega^{N}_{\varepsilon}\binom{0}{1}} \delta_Q(d-r).
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Докажем следующий аналог равенства Парсеваля. Доказательство. Подстановка формулы (3.2) в левую часть равенства (3.3) приводит к следующей цепочке равенств:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q\sum^{N_{\max}}_{d=1}(P^{N,Q}_{\varepsilon}(d))^{2} &= Q\sum^{N_{\max}}_{d=1}\,\sum_{\binom{n_1}{r_1}\in \Omega^{N}_{\varepsilon}\binom{0}{1}}\delta_Q(r_1-d) \sum_{\binom{n_2}{r_2}\in \Omega^{N}_{\varepsilon}\binom{0}{1}} \delta_Q(d -r_2) \\ &=Q\sum^{N_{\max}}_{d=1}\,\sum_{\binom{n_1}{r_1}, \binom{n_2}{r_2}\in \Omega^{N}_{\varepsilon}\binom{0}{1}} \delta_Q(r_1-d)\delta_Q(d-r_2) \\ &=Q\sum_{\binom{n_1}{r_1},\binom{n_2}{r_2}\in \Omega^{N}_{\varepsilon}\binom{0}{1}}\delta_Q(r_1-r_2). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Применение формул (2.1) и (3.1) позволяет продолжить эту цепочку:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q\sum^{N_{\max}}_{d=1}(P^{N,Q}_{\varepsilon}(d))^{2}&= \sum^{Q-1}_{k=0}\,\sum_{\binom{n_1}{r_1}\in\Omega^{N}_{\varepsilon} \binom{0}{1}}\,\sum_{\binom{n_2}{r_2}\in \Omega^{N}_{\varepsilon} \binom{0}{1}}e^{2\pi iQ^{-1}k(r_1-r_2)} \\ &=\sum^{Q-1}_{k=0}\biggl|\sum_{\binom{b}{d}\in \Omega^{N}_{\varepsilon}\binom{0}{1}}e^{ {2\pi i}Q^{-1}kd}\biggr|^2= \sum^{Q-1}_{k=0}|S^{N}_{\varepsilon}(kQ^{-1})|^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Сравнивая начало и конец последней цепочки равенств, получаем формулу (3.3). Лемма доказана. Лемма 3.2. Пусть при $Q\leqslant N_{\max}$ для некоторого действительного $\xi$ и для любого $\varepsilon \in (0,0.0004)$ выполнена оценка Доказательство. Применим формулу (3.3) и неравенство Коши–Буняковского, получая следующую цепочку из равенств и неравенств:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber |\mathfrak{D}^{N,Q}_{\mathbf{A}}|&=Q|\mathfrak{D}^{N,Q}_{\mathbf{A}}| \frac{\sum^{N_{\max}}_{d=1}(P^{N,Q}_{\varepsilon}(d))^{2}} {\sum^{Q-1}_{k=0}|S^{N}_{\varepsilon}(kQ^{-1})|^2} \\ &\geqslant\frac{Q(\sum^{N_{\max}}_{d=1}P^{N,Q}_{\varepsilon}(d))^2} {\sum^{Q-1}_{k=0}|S^{N}_{\varepsilon}(kQ^{-1})|^2}= \frac{Q|\Omega^{N}_{\varepsilon}|^2}{|\Omega^{N}_{\varepsilon}|^2+ \sum^{ Q-1}_{k=1}|S^{N}_{\varepsilon}(k Q^{-1})|^2} \gg_{\varepsilon} Q^{1-\varepsilon-\xi}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
где последнее неравенство в (3.7) получилось путем применения оценки (3.4) при $\xi\geqslant 0$. Сравнивая начало и конец формулы (3.7), получаем оценку (3.5).
Если же оценка (3.4) выполнена при $\xi<0$, то формулу (3.7) можно закончить по-другому:
$$
\begin{equation}
|\mathfrak{D}^{N,Q}_{\mathbf{A}}|\geqslant Q\biggl(1-\sum^{Q-1}_{k=1}|S^{N}_{\varepsilon}(kQ^{-1})|^2 |\Omega^{N}_{\varepsilon}|^{-2}\biggr)\geqslant Q(1-C{Q}^{\varepsilon-|\xi|}),
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
где $C>0$ – константа из оценки (3.4). Таким образом, согласно (3.8), выполнена оценка (3.6). Лемма доказана. Лемма 3.3. Пусть при $Q\leqslant N_{\max}$ для некоторого действительного $\xi$ и для любого $\varepsilon \in (0,0.0004)$, для каждого $q>1$, делящего $Q$, выполнена оценка Доказательство. Для простого $Q$ оценка (3.9), ввиду равенства $q=Q$, совпадает с (3.4), поэтому утверждение настоящей леммы следует из предыдущей.
Для каждого составного $Q$, производя возможные сокращения в дробях $k/Q$ и используя неравенство (3.9), получаем
$$
\begin{equation}
\sum^{Q-1}_{k=1}|S^{N}_{\varepsilon}(kQ^{-1})|^2= \sum_{q|Q}\,\sum_{\substack{1\leqslant k<q\colon \\ \operatorname{gcd}(k,q)=1}}|S^{N}_{\varepsilon}(kq^{-1})|^2 \ll_{\varepsilon}\sum_{q|Q}|\Omega^{N}_{\varepsilon}|^2 q^{\xi+\varepsilon}.
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Согласно [30; гл. II, § 11, лемма 13] количество делителей числа $Q$ имеет оценку $\ll_{\varepsilon}Q^{\varepsilon}$. Поэтому, если $\xi\geqslant 0$, то цепочку (3.11) можно продолжить неравенством
$$
\begin{equation}
\sum^{Q-1}_{k=1}|S^{N}_{\varepsilon}(kQ^{-1})|^2\ll_{\varepsilon} Q^{\varepsilon}|\Omega^{N}_{\varepsilon}|^2 Q^{\xi+\varepsilon}= |\Omega^{N}_{\varepsilon}|^2 Q^{\xi+2\varepsilon}.
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Если же $\xi< 0$, то цепочка оценок (3.11) продолжается по другому:
$$
\begin{equation}
\sum^{Q-1}_{k=1}|S^{N}_{\varepsilon}(kQ^{-1})|^2\ll_{\varepsilon} Q^{\varepsilon}|\Omega^{N}_{\varepsilon}|^2.
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
Подставляя оценки (3.12) или (3.13) в (3.7), получаем (3.10) или (3.6). Лемма доказана. 4. Применение обобщенной леммы КонягинаПоложим
$$
\begin{equation*}
{\mathbf W}=\{k \in \mathbb{N} \mid k\leqslant q-1\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Можно доказать следующую лемму (обобщающую [31; следствие 17]). Лемма 4.1 [32; формула (3.1) при $m=2$, $n=1$]. При $q\geqslant 4$ для всякой функции $f\colon{\mathbf W}\to \mathbb{R}_{+}\cup\{0\}$ (принимающей неотрицательные значения) для любого $\varepsilon>0$ выполнено неравенство Чтобы применить лемму 4.1 к оценке левой части неравенства (3.4), положим Величину $\sigma_{Z}$ для каждого $Z\subseteq {\mathbf W}$ определим равенством
$$
\begin{equation}
\sigma_{Z}=\biggl(\,\sum_{k \in Z}f(k)\biggr)^2= \biggl(\,\sum_{k \in Z}|S^{N}_{\varepsilon}(kq^{-1})|\biggr)^2.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Лемма 4.2. Пусть для алфавита $\mathbf{A}$, для некоторого действительного $\xi$, при $\Delta_{\mathbf{A}}>0.5$ и при некотором $\varepsilon \in (0,0.0004)$, для каждой пары достаточно больших натуральных $N$ и $Q$ таких, что $Q\leqslant N_{\max}$, для каждого $q$, делящего $Q$, для каждого $Z\subseteq {\mathbf W}$ выполняется оценка Если же оценка (4.4) для каждого $Z\subseteq {\mathbf W}$ выполняется при $\xi <0$, то справедливо неравенство (3.6). Доказательство. Подставляя (4.4) в оценку (4.1), используя обозначения (4.2) и (4.3) и умножая обе части неравенства (4.1) на $|Z|$, получаем оценку (3.4). Поэтому, согласно лемме 3.2, в случае положительного или отрицательного $\xi$ выполнены, соответственно, неравенства (3.5) или (3.6). Лемма доказана.
5. Свойство разложения для ансамбляПусть $A$ – максимальный элемент алфавита ${\mathbf A}$. Лемма 5.1 [14; теорема 3.1], [15; лемма 2.1]. Для всякого числа $M$, удовлетворяющего неравенству Всюду далее числа $x$, $X$, $y$ и $Y$ понимаются далее только в таком смысле как в формулах (5.3). Можно более точно (однозначно) сформулировать процесс выбора множеств $\Omega$ и $\Omega_1$, исходя из значений $N$ и $M$ – например, так, как это сделано в [14], но это бы усложнило текст. Поступим проще: при заданном $N$ для каждого числа $M$ фиксируем какое-либо разложение ансамбля на множители $\Omega$ и $\Omega_1$: Всюду далее параметр $M$ связан с разложением (5.4) так же, как в лемме 5.1 это, в частности, означает, что для элементов множеств $\Omega$ и $\Omega_1$ выполнены соотношения (5.2).6. Важные вспомогательные сравнения и неравенстваПусть $k$ и $k'$ – любые два элемента из $Z\subseteq \mathbf{W}$. Используя обозначения из (5.3), для чисел $x$, $X$, $y$, $Y$ через $t,T\in \mathbb{Z}$ обозначим числа, для которых выполнены соотношения
$$
\begin{equation}
k'x-ky-t \equiv 0 \equiv k'X-kY-T\ (\operatorname{mod}q), \qquad |t|,|T|\leqslant 0.5{q}.
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
Напомним, что $M$ – параметр из (5.1). Положим
$$
\begin{equation}
\mathbf{H}=\biggl[q\frac{3200A^2}{M}\biggr]q^{-1},\qquad F=\begin{cases} \biggl[\dfrac{4}{\mathbf{H}}\biggr], & \text{если} \ \mathbf{H}\ne 0, \\ 4q, & \text{если} \ \mathbf{H}=0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
Поскольку
$$
\begin{equation}
\mathbf{H}=\frac{1}{q}\biggl[q\frac{3200A^2}{M}\biggr]\leqslant \frac{3200A^2}{M}<1
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
ввиду нижней оценки в (5.1), согласно (6.2) $F\geqslant 4>0$. Пусть, кроме того, параметры $\mathbf{u}$ и $P_{\mathbf{u}}$ удовлетворяют соотношениями
$$
\begin{equation}
\mathbf{u}\geqslant [A^610^{10}M^{6\varepsilon}]+1,\qquad P_{\mathbf{u}}=\frac{\mathbf{H}Q}{\mathbf{u}}.
\end{equation}
\tag{6.4}
$$
Лемма 6.1 [17; лемма 5.2]. Пусть выполнены соотношения Тогда имеет место цепочка оценок Доказательство. Пусть, для начала, $\mathbf{H}=0$. Тогда, ввиду (6.2) и (6.5) выполняется оценка
$$
\begin{equation*}
\frac{|t|}{q}<\frac{1}{\mathbf{u}F}\leqslant \frac{1}{4q}<\frac{1}{q}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует равенство $t=0$. По аналогии также $T=0$. Поэтому неравенства (6.6) выполнены.
Пусть теперь $\mathbf{H}\ne 0$. Тогда ввиду (6.2) и оценки $3/\mathbf{H}\geqslant 1$, следующей из (6.3), выполнена цепочка соотношений:
$$
\begin{equation*}
F=\biggl[\frac{4}{\mathbf{H}}\biggr]=\frac{4}{\mathbf{H}}- \biggl\{\frac{4}{\mathbf{H}}\biggr\}\geqslant \frac{4}{\mathbf{H}}-1\geqslant\frac{1}{\mathbf{H}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $1/F\leqslant\mathbf{H}$, поэтому ввиду (6.5) выполнена первая оценка в (6.6). Оставшиеся оценки в (6.6) получаются из формул (6.3) и (6.4). Лемма доказана. Лемма 6.2 [17; теорема 5.2]. Пусть выполнены соотношения (6.1) и Тогда имеют место оценки Доказательство. Каждую из оценок (6.7) можно продолжить цепочкой неравенств
$$
\begin{equation}
\frac{\max\{|t|,|T|\}}{q}<\frac{1}{2M}< \frac{1}{8q}\mathbf{1}_{\{3200A^2q/M<1\}}+ \frac{\mathbf{H}}{8}\mathbf{1}_{\{3200A^2q/M\geqslant 1\}}\leqslant \frac{1}{2F}.
\end{equation}
\tag{6.9}
$$
Действительно: первая из оценок в (6.9) следует из огрубления (6.7); второе неравенство в (6.9) доказывается рассмотрением двух случаев, соответствующих выполнению одного из неравенств в фигурных скобках. Так, первое слагаемое следует из деления первого из этих неравенств на $8q$. Если, напротив, выполнено неравенство из второй пары фигурных скобок, то при $\tau={3200A^2q}/{M}\geqslant 1$ выполнена оценка $\tau/2<[\tau]$, откуда
$$
\begin{equation*}
\frac{200A^2}{M}=\frac{1}{8q}\,\frac{1}{2}\tau< \frac{1}{8 {q}}[\tau]=\frac{\mathbf{H}}{8},
\end{equation*}
\notag
$$
так что второе неравенство в цепочке оценок (6.9) доказано. Результат цепочки неравенств (6.9) следует из оценки
$$
\begin{equation*}
\frac{\mathbf{H}}{8}\leqslant \frac{1}{2[4\mathbf{H}^{-1}]}= \frac{1}{2F},
\end{equation*}
\notag
$$
выполненной при $\mathbf{H}\ne 0$. Следовательно, неравенства (6.8) доказаны. Лемма доказана. 7. Оценка тригонометрической суммыЦель настоящего раздела состоит в получении верхних оценок величины $\sigma_{Z}$, определенной формулой (4.3). Лемма 7.1 [17; лемма 7.1]. Для любого разложения $\Omega^{N}_{\varepsilon}=\Omega_{1}\Omega$ для любого $q$, делящего $Q$, найдутся комплексные числа $\rho{(k)}$ такие, что $|\rho{(k)}|=1$ и выполнена оценка Для формулировки следующей леммы введем обозначение $\mathfrak{S}_H(0)=5$ и при не равных нулю аргументах для любого действительного $H\geqslant 1$ положим
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{S}_H(y_1)= 5\biggl(2H\sin\frac{(\pi(y_1/(2H)))}{(\pi y_1)}\biggr)^2,\qquad \mathfrak{S}_H(Y_1)= 5\biggl(2H\sin\frac{(\pi(Y_1/(2H)))}{(\pi Y_1)}\biggr)^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Обобщает оценку (7.1) следующая лемма. Лемма 7.2. Найдутся комплексные числа $\rho(k)$ такие, что $|\rho{(k)}|=1$, и при $H=1.01M^{1+2\varepsilon}$ выполнена оценка Доказательство. Известно, что $\mathfrak{S}_H(y_1)\geqslant 1$ при $|y_1|\leqslant H$ и $\mathfrak{S}_H(y_1)\geqslant 0$ при остальных $y_1$. Другими словами, выполнено неравенство ${\mathbf 1}_{\{|y_1|\leqslant H\}}\leqslant\mathfrak{S}_H(y_1)$, где здесь и далее ${\mathbf 1}_{\{P\}}$ равно $1$, если утверждение $P$ истинно, и нулю – если ложно. Учтем также, что для специальной матрицы $g_1$ такой, что $(0,1)g_1=(y_1,Y_1)\in(0,1)\Omega_1$, выполняется верхняя оценка в неравенстве (5.2). Поэтому
$$
\begin{equation*}
{\mathbf 1}_{\{(y_1,Y_1)\in(0,1)\Omega_1\}}\leqslant {\mathbf 1}_{\{y_1 \in\mathbb{Z},\,y_1\leqslant H\}} {\mathbf 1}_{\{Y_1 \in\mathbb{Z},\,Y_1\leqslant H\}}\leqslant \mathfrak{S}_H(y_1)\mathfrak{S}_H(Y_1).
\end{equation*}
\notag
$$
Подставив это неравенство в (7.1), получим оценку (7.2). Лемма доказана. Положим
$$
\begin{equation}
\Xi=\biggl\{\begin{pmatrix} {\mathbf s} \\ {\mathbf S}\end{pmatrix} \in\mathbb{R}^2 \biggm| \exists\, k \in Z, \ \exists\,\begin{pmatrix} y \\ Y\end{pmatrix}\in \Omega \begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix}\colon \begin{pmatrix} {\mathbf s} \\ {\mathbf S}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} y \\ Y\end{pmatrix}kq^{-1}\biggr\}.
\end{equation}
\tag{7.3}
$$
Лемма 7.3. Найдутся комплексные числа $\rho^{\mathbf s}_{\mathbf S}$ такие, что $|\rho^{\mathbf s}_{\mathbf S}|=1$, и при $H=1.01M^{1+2\varepsilon}$ выполнена оценка Доказательство. Применим доказанную оценку (7.2). Исследуем число решений уравнения
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} {\mathbf s} \\ {\mathbf S}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} y \\ Y\end{pmatrix}kq^{-1}
\end{equation}
\tag{7.5}
$$
в переменных $\binom{y}{Y}\in \Omega\binom{0}{1}$ и $k\in Z$ при фиксированных $q$, ${\mathbf s}$ и ${\mathbf S}$. Пусть $\binom{y}{Y}$, $k$ – какое-нибудь решение уравнения (7.5), $\binom{x}{X}\in \Omega\binom{0}{1}$ и $k' \in Z$ – другое его решение, тогда $\binom{y}{Y}k=\binom{x}{X}k'$, или По условию всегда $k'\ne 0$, $k\ne 0$. Поэтому из равенств (7.6) следует, что ${x}/{X}={y}/{Y}$. Отсюда ввиду несократимости этих дробей получаем равенства $x=y$, $X=Y$. Таким образом, из (7.6) следует, что $k'=k$, т.е. уравнение (7.5) имеет не более одного решения в переменных $y$, $Y$ и $k$.
Теперь остается только положить $\rho^{\mathbf s}_{\mathbf S}=\rho(k)$ и подставить в оценку (7.2) определение множества $\Xi$ из (7.3). Лемма доказана. Оценить сумму по $y_1$ и $Y_1$ из (7.4) поможет следующая Лемма 7.4 [17; лемма 7.3]. Для любого конечного множества $\Xi$ векторов $\binom{\mathbf s}{\mathbf S}\in\mathbb{R}^2$ и для любых комплексных коэффициентов $\rho^{\mathbf s}_{\mathbf S}$, по модулю равных единице, выполнена оценка Доказательство. Будем исходить из доказанной оценки (7.4). К сумме по $y_1$, $Y_1$ применим оценку (7.7) и введем обозначения
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} {\mathbf s} \\ {\mathbf S}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} y \\ Y\end{pmatrix}kq^{-1}, \qquad \begin{pmatrix} {\mathbf r} \\ {\mathbf R}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x \\ X\end{pmatrix}=k'q^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда получим неравенство (7.8). Лемма доказана. Лемма 7.6 [17; лемма 7.5]. При $H=1.01 M^{1+2\varepsilon}$, при любом натуральном ${\mathbf u}$ из (6.4) выполнена оценка Для вывода леммы 7.6 из леммы 7.5 достаточно применить технику работы с разбиениями отрезка $[0,1]$ из [17], используя леммы 6.1 и 6.2. Лемма 7.7. При выполнении условий $M\ll N\ll Mq^{1/2}$ и $M\leqslant q$ справедливы оценки Доказательство. Выберем
$$
\begin{equation*}
{\mathbf u}=([A^610^{10}M^{6\varepsilon}]+1)\frac qM.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда из неравенств в (7.9) следует, что оба расстояния до ближайших целых из фигурных скобок в (7.9) равны нулю. Поэтому для всех ненулевых слагаемых кратной суммы выполнены сравнения из фигурных скобок в (7.10).
Кратная сумма из (7.10) по
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} x \\ X \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} y \\ Y \end{pmatrix}\in \Omega\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
и $k',k\in Z$ была исследована ранее в нескольких работах – например, в [33], [17; лемма 11.2]. Напомним начало этих вычислений. Пусть
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} x \\ X \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} y \\ Y \end{pmatrix}\in \Omega\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
– любые векторы, для которых существуют какие-либо $m$ и $m'$ из $Z$ такие, что
$$
\begin{equation}
m' x\equiv my \ (\operatorname{mod}q), \qquad m' X\equiv mY \ (\operatorname{mod}q).
\end{equation}
\tag{7.12}
$$
Перемножая элементы сравнений (7.12), получаем сравнение или, сокращая на числа $m$ и $m'$, взаимно простые с $q$, получаем $Xy\equiv xY \ (\operatorname{mod}q)$. Согласно [33; теореме 5.1] мощность множества пар векторов с таким свойством не превосходит величины $|\Omega|^2 q^{-\Delta_{\mathbf{A}}}$. Кроме того, фиксируя число $k$ одним из $|Z|$ способов, получаем, что число $k'$ сравнениями в (7.10) определено однозначно в виду взаимной простоты $x$ и $X$.
Остается учесть равенство $\Omega^{N}_{\varepsilon}=\Omega_1\Omega$ и неравенство $M^{2\Delta_{\mathbf{A}}}\ll |\Omega_1|^{1+\varepsilon}$: подставляя все эти формулы в (7.10), получаем (7.11). Лемма доказана. 8. Доказательство теоремы 1.4Согласно лемме 4.2, достаточно проверить, при каких действительных $\xi$ выполнено неравенство (4.4). Ввиду неравенства (7.11) и условий леммы 7.7, для этого достаточно проверить, что существует число $M\leqslant q$ такое, что
$$
\begin{equation}
M ^{-2\Delta_{\mathbf{A}}+17\varepsilon}|Z|\, |\Omega^{N}_{\varepsilon}|^2 q^{2-\Delta_{\mathbf{A}}} \ll_{\varepsilon} q^{\xi}|Z|\,|\Omega^{N}_{\varepsilon}|^2.
\end{equation}
\tag{8.2}
$$
Решая неравенство (8.2) относительно $M$ и учитывая ограничения (8.1) и $M\leqslant q$, получаем, что достаточно проверить, существует ли число $M$ такое, что
$$
\begin{equation}
q^{2-\Delta_{\mathbf{A}}-\xi}\ll_{\varepsilon} M ^{ 2\Delta_{\mathbf{A}}-17\varepsilon}\ll_{\varepsilon} q ^{ (2\Delta_{\mathbf{A}}-17\varepsilon)\min\{1,1/\kappa-1/2\}}.
\end{equation}
\tag{8.3}
$$
Отбрасывая в (8.3) среднюю часть неравенства и логарифмируя оставшиеся из них по основанию $q$, получаем, что достаточно проверить, что
$$
\begin{equation}
2-\Delta_{\mathbf{A}}-\xi<2\Delta_{\mathbf{A}} \min\biggl\{1,\,\frac1\kappa-\frac12\biggr\}.
\end{equation}
\tag{8.4}
$$
Решая неравенство (8.4) относительно $\xi$, приходим к требованиям $\xi>2-3\Delta_{\mathbf{A}}$ и $\xi>2-2\Delta_{\mathbf{A}}/\kappa$. Выбирая знак числа (1.9) одним из двух вариантов, получаем, соответственно, доказательство одного из неравенств, которые утверждаются в теореме 1.4.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kan23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|