Математические заметки, 2023, том 114, выпуск 2, страницы 316–320 DOI: https://doi.org/10.4213/mzm13936 (Mi mzm13936)

DOI: https://doi.org/10.4213/mzm13936

Финансовая поддержка	Номер гранта
Российский научный фонд	22-71-10008
Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского научного фонда в рамках научного проекта № 22-71-10008, https://rscf.ru/project/22-71-10008/.

Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 2, Pages 275–279
DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623070295

Реферативные базы данных:

Математические модели, описываемые в терминах ветвящегося аргумента, т.е. аргумента, принимающего значения из некоторого геометрического графа, возникают при анализе процессов в сложных физических системах. Примером таких систем могут служить упругие сетки, решетки стержней, электрические цепи, акустические сети, волноводы, гидравлические системы и пр. Активный математический интерес к исследованию таких задач привел к появлению многочисленных публикаций. Особенно отметим работы [1]–[9]. Также выделим публикации [10], [11], в которых для случая отрезка проводилось исследование решений дифференциальных уравнений с обобщенными коэффициентами. Однако во всех этих работах рассматривались задачи с линейными граничными условиями.

В данной статье для дифференциального уравнения второго порядка с импульсными особенностями в коэффициентах и правой части, порождаемыми наличием локализованных внешних нагрузок (упругих опор, сосредоточенных сил), проводится поточечный анализ краевой задачи на геометрическом графе-звезде с нелинейным условием в узле. При этом используется стилтьесовский подход, продемонстрировавший свою эффективность, например, в работах [2], [4], [5], [7].

Пусть точки $O$, $A_1,A_2,\dots,A_n$ принадлежат горизонтальной плоскости $\pi$. Рассмотрим механическую систему, состоящую из $n$ струн, соединенных между собой в одной точке (узел), которые в положении равновесия совпадают с отрезками $OA_1,OA_2,\dots,OA_n$. Под воздействием внешней силы, направленной перпендикулярно плоскости $\pi$, струны отклоняются от равновесного положения. При этом предполагается, что отклонение всех точек струн параллельно прямой, перпендикулярной плоскости $\pi$. Введем систему координат, чтобы описать процесс деформаций. Поместим начало координат в точку $O$. Ось $Ox$ для $i$-й струны, $i=1,2,\dots ,n$, содержит отрезок $OA_i$ и направлена от $O$ к $A_i$. Ось $Oy$ направлена перпендикулярно к плоскости $\pi$ и проходит через точку $O$. Точка $A_i$ имеет на своей оси $Ox$ координату $l_i$, $i=1,2,\dots ,n$. Граф $\Gamma$, вдоль которого в положении равновесия расположена струнная система, ориентирован от узла и состоит из ребер-интервалов $\gamma_i=(0,l_i)$ и внутренней вершины $0$ (узла). Мы используем обозначения и терминологию из [3]. Через $\partial\Gamma$ обозначим множество граничных вершин $\Gamma$. В нашем случае им соответствуют точки $l_i$ на каждом из ребер. Определим множества $\overline{\Gamma}=\Gamma\cup \partial\Gamma$; $R(\Gamma)=\bigcup_{i=1}^n\gamma_i$.

Обозначим через $u(x)$ заданную на $\overline{\Gamma}$ функцию, описывающую отклонение струнной системы от положения равновесия под воздействием внешней силы. Будем предполагать, что струны жестко закреплены в граничных вершинах, т.е. выполнено условие

Мы также предполагаем, что в произвольном количестве точек (но не более, чем счетном), принадлежащих ребрам, установлены упругие опоры (пружины). Обозначим через $Q(x)$ определенную на $\overline{\Gamma}$ функцию, описывающую упругую реакцию внешней среды. Ее скачки совпадают с жесткостями пружин, установленных в соответствующих точках. Обозначим через $p(x)$ определенную на $\overline{\Gamma}$ функцию, характеризующую упругие свойства струн. Сужения функций $Q$ и $p$ на $(0,l_i)$ будем обозначать как $Q_i$ и $p_i$ соответственно. Дополнительно будем предполагать, что в узле, вдоль оси $Oy$ установлен ограничитель на перемещение струн под воздействием внешней силы, представленный отрезком $[-m,m]$. Таким образом, имеется условие

Согласно [4] функционал потенциальной энергии для системы стилтьесовских струн имеет вид

• (i) функции $p$, $F$ имеют ограниченную вариацию на каждом ребре, причем $\inf_{R(\Gamma)}p \mspace{-1mu} > \mspace{-1mu} 0$;
• (ii) функция $Q_i$ не убывает на каждом ребре $(0,l_i)$, $\sum_{i=1}^n(Q_i(0+0)-Q(0))=0$;
• (iii) $\sum_{i=1}^n(F_i(0+0)-F(0))=f$;
• (iv) функции $p$, $Q$, $F$ непрерывны в граничных вершинах графа.

Во всех формулировках результатов предполагается, что выполнены условия (i)–(iv).

В (3) первый интеграл, характеризующий работу силы упругости струн (при малых деформациях), понимается как сумма интегралов Лебега по ребрам; второй интеграл, определяющий работу силы упругости внешней среды, понимается как соответствующие суммы интегралов Стилтьеса по ребрам; третий интеграл, определяющий работу внешней силы, под воздействием которой происходит процесс деформаций, понимается как соответствующие суммы интегралов Стилтьеса по ребрам и узлу $\int_{\{0\}}u\,dF$, где $\int_{\{0\}}u\,dF=fu(0)$.

Согласно принципу Лагранжа–Гамильтона реальная форма, принятая струнной системой, минимизирует функционал $\Phi(u)$ с условиями (1), (2). Функционал $\Phi(u)$ мы рассматриваем на множестве $E$ абсолютно-непрерывных на $\overline{\Gamma}$ функций $u(x)$, производные которых $u'(x)$ являются на каждом ребре функциями ограниченной вариации.

Нелинейное условие

Переменная $x$ в каждом уравнении из (4) принадлежит соответствующим специальным расширениям отрезков $[0,l_i]$, обозначаемым через $\gamma_{i\sigma_i}$, $i=1,2,\dots ,n$. Доопределим в точки $x=0$ и $x=l_i$ функции $p_i$, $Q_i$, $F_i$ предельными значениями. Обозначим через $S_i$ множество точек разрыва функций $p_i$, $Q_i$, $F_i$, принадлежащих $(0,l_i)$. На множестве $\gamma_{i\sigma_i}$ каждая точка $\xi_i\in S_i$ заменяется парой $\{\xi_i-0, \xi_i+ 0\}$. Тем самым, мы не допускаем, чтобы переменный верхний предел $x$ в интеграле принимал значение из $S_i$. Мы полагаем, что $\xi_i-0>x$ для всех $x<\xi_i$ и $\xi_i+0<x$ для всех $x>\xi_i$. На $\gamma_{i\sigma_i}$ значения $p_i(\xi_i\pm0)$, $Q_i(\xi_i\pm0)$ и $F_i(\xi_i\pm0)$, которые были на $[0,l_i]$ предельными, оказываются собственными значениями в соответствующих точках из $\gamma_{i\sigma_i}$. Точная конструкция построения такого расширения отрезка приведена в работе [5].

Заметим, что в каждой точке $\xi_i\in S_i$ имеет место равенство

Решением задачи (4) назовем функцию $u\in E$, удовлетворяющую на соответствующих ребрах уравнениям из (4) (для всех $x\in \gamma_{i\sigma_i}$) и удовлетворяющую условиям (1), (2).

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1.	А. Т. Диаб, Б. К. Калдыбекова, О. М. Пенкин, Матем. заметки, 99:4 (2016), 489–501
2.	Р. Ч. Кулаев, А. А. Уртаева, Матем. заметки, 111:6 (2022), 947–952
3.	Ю. В. Покорный, О. М. Пенкин, В. Л. Прядиев, А. В. Боровских, К. П. Лазарев, С. А. Шабров, Дифференциальные уравнения на геометрических графах, Физматлит, М., 2005
4.	Ю. В. Покорный, М. Б. Зверева, Ж. И. Бахтина, Дифференц. уравнения, 48:8 (2012), 1117–1125
5.	Ю. В. Покорный, М. Б. Зверева, С. А. Шабров, УМН, 63:1 (379) (2008), 111–154
6.	Ю. В. Покорный, В. Л. Прядиев, УМН, 59:3 (357) (2004), 115–150
7.	M. Kamenskii, Ch.-F. Wen, M. Zvereva, Optimization, 69:9 (2020), 1935–1959
8.	Yu. V. Pokornyi, A. V. Borovskikh, J. Math. Sci. (N.Y.), 119:6 (2004), 691–718
9.	A. P. Zhabko, V. V. Provotorov, S. M. Sergeev, Вестн. С.-Петербург. ун-та. Сер. 10. Прикл. матем. Информ. Проц. упр., 18:3 (2022), 425–437
10.	В. Е. Владыкина, А. А. Шкаликов, Матем. заметки, 98:6 (2015), 832–841
11.	А. М. Савчук, А. А. Шкаликов, Матем. сб., 211:11 (2020), 129–166

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{BurZveKam23}
\by М.~Ш.~Бурлуцкая, М.~Б.~Зверева, М.~И.~Каменский
\paper Краевая задача на геометрическом графе-звезде с~нелинейным условием в узле
\jour Матем. заметки
\yr 2023
\vol 114
\issue 2
\pages 316--320
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/mzm13936}
\crossref{https://doi.org/10.4213/mzm13936}
\transl
\jour Math. Notes
\yr 2023
\vol 114
\issue 2
\pages 275--279
\crossref{https://doi.org/10.1134/S0001434623070295}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85168627714}